數(shù)學(xué)教材梳理：離散型隨機(jī)變量及其分布列

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、離散型隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量在一些試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來表示，并且這個(gè)變量X是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的變化而變化的，我們把這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量通常用字母X,Y,ξ，η……表示。2.隨機(jī)變量的特征（1）不確定性(隨機(jī)性）。即在試驗(yàn)之前，不能確定隨機(jī)變量的結(jié)果；（2)隨機(jī)變量和函數(shù)一樣是一種映射，它把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù);（3）可類比性。可類比函數(shù)進(jìn)行理解，試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域。把隨機(jī)變量的取值范圍叫做隨機(jī)變量的值域.知識(shí)拓展隨機(jī)變量X是和隨機(jī)事件A互相對(duì)應(yīng)的。隨機(jī)變量X的取值x1,x2，…是和A中的隨機(jī)事件A1,A2，…一一對(duì)應(yīng)的；隨機(jī)變量X中的每個(gè)取值x1,x2，…的概率P（X=x1)，P(X=x2）,…分別等于隨機(jī)事件A1,A2，…所發(fā)生的概率P(A1）,P（A2）….隨機(jī)變量X不但有取值范圍，而且還要有取值的概率，這是和通常的變量所不同的地方.辨析比較要注意區(qū)分隨機(jī)變量ξ（u)與以前所學(xué)函數(shù)f（x），這是兩個(gè)不同的概念。函數(shù)f(x）是研究確定性現(xiàn)象的，它定義在實(shí)數(shù)軸上，有確定的因果關(guān)系，概率中的隨機(jī)變量是研究隨機(jī)現(xiàn)象的，它定義在由全部試驗(yàn)結(jié)果所組成的集合上，它的取值是不能預(yù)知的.我們研究隨機(jī)變量，關(guān)心的是隨機(jī)變量能取哪些值，即都包含哪些試驗(yàn)結(jié)果（基本事件），以及注意研究它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。3。離散型隨機(jī)變量所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量。如:拋擲骰子向上的面的點(diǎn)數(shù)是離散型隨機(jī)變量，它的取值只有1，2,3，4，5，6這六個(gè)結(jié)果。二、離散型隨機(jī)變量的分布列1。X的分布列一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…,xi，…xn,X取每一個(gè)值xi（i=1,2，…,n）的概率P(X=xi)=Pi，以表格形式表示如下：Xｘ1ｘ2…ｘｉ…ｘnPｐ1ｐ2…ｐI…ｐn這個(gè)表格稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列,簡(jiǎn)稱為X的分布列.要點(diǎn)提示X的分布列從整體上反映了隨機(jī)變量取各個(gè)值的可能性的大小，反映了隨機(jī)變量取值的規(guī)律性.為了表達(dá)簡(jiǎn)單，也用等式P(X=xi）=pi,i=1,2，…,n表示X的分布列.2.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)（1）pi≥0，i=1,2,…，n;（2)=1.性質(zhì)：(1）是由概率的非負(fù)性所決定的。性質(zhì)（2）是因?yàn)橐淮卧囼?yàn)的各種結(jié)果是互斥的，而全部結(jié)果之和為一必然事件。深化升華由于離散型隨機(jī)變量取的各個(gè)可能值之間彼此互斥，因此離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和。方法歸納求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：①首先確定隨機(jī)變量X的取值有哪些；②求出每種取值下隨機(jī)事件的概率;③列表對(duì)應(yīng)，即為分布列。上述步驟的關(guān)鍵是各隨機(jī)事件的概率的計(jì)算.3.兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列是X01P1-ｐｐ我們稱這樣的分布為兩點(diǎn)分布列.如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱X服從兩點(diǎn)分布，而稱p=P（X=1)為成功概率。深化升華兩點(diǎn)分布又稱0-1分布。由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫伯努利試驗(yàn),所以這種分布還稱為伯努利分布。兩點(diǎn)分布的應(yīng)用非常廣泛,如抽取的彩券是否中獎(jiǎng);買回的一件產(chǎn)品是否為正品；新生嬰兒的性別；投籃是否命中等等，都可以用兩點(diǎn)分布來研究.兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能性，且其概率之和為1.4。超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取ｎ件，其中恰有X件次品數(shù),則事件{X=k}發(fā)生的概率為P{X=k｝=,k=0，1,2,…,m,其中m=min｛M，n}，且n≤N，M≤N,n,M，N∈N＊,稱分布列X01…ｍP…為超幾何分布列。如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布。超幾何分布列給出了求解這類問題的方法，可以做公式直接運(yùn)用求解,但不能機(jī)械地去記憶公式,要在理解的前提下記憶。在超幾何分布中,只要知道N，M和ｎ，就可以根據(jù)公式,求出X取不同ｍ值時(shí)的概率P（X=ｍ），從而列出X的分布列。疑點(diǎn)突破在模型應(yīng)用中，有時(shí)所遇到的問題是直接符合超幾何分布的，這時(shí)只需直接利用模型即可；而有時(shí)需要構(gòu)造或轉(zhuǎn)化才可以利用.如從10名女生和15名男生中任選5名參加校體操隊(duì)，求至少有3名女同學(xué)被選中的概率.此題與模型對(duì)照有點(diǎn)差別，但稍作轉(zhuǎn)化再比較便知，設(shè)取出女生數(shù)為X，則N=25，ｎ=10，M=5.就可以借助于模型處理了.問題·探究問題1隨機(jī)變量是映射嗎？它與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系是什么？思路：隨機(jī)變量和函數(shù)一樣,也是一個(gè)映射。隨機(jī)變量是人為的把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù)，這與函數(shù)概念的本質(zhì)是一樣的.只不過函數(shù)是把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù)。在這兩種映射之間，試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域。探究:隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對(duì)應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件,在學(xué)習(xí)時(shí),我們要注意隨機(jī)變量與以前所學(xué)的變量的區(qū)別與聯(lián)系。問題2如果已知某離散型隨機(jī)變量的分布列如下Ξ12…ｋ…910Pbab…ak—1b…a8bA9你能根據(jù)上表及離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)ａ和ｂ的關(guān)系嗎?思路:離散型隨機(jī)變量的分布列有兩個(gè)性質(zhì)：(1)pi≥0,i=1，2,…，n；（2）=1。由性質(zhì)（2)可得b+a9=1，則b=1-a9b=(1-a）,所以可得b=1-a，即a+b=1.再由分布列的性質(zhì)（1）知各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率應(yīng)為非負(fù)實(shí)數(shù).綜上可以發(fā)現(xiàn)ａ與ｂ必須滿足：①a≥0,b≥0；②a+b=1.探究:求分布列可以分為以下幾步：(1)明確隨機(jī)變量的取值范圍；(2)求出每一個(gè)隨機(jī)變量值的概率;(3)列成表格得分布列.分布列的求解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1）搞清隨機(jī)變量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件；（2）計(jì)算必須準(zhǔn)確無誤;(3）注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列是否正確。典題·熱題例1下列所述：①某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)ξ;②某無線電尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到尋呼次數(shù)ξ；③一天之內(nèi)的溫度ξ；④一位射擊手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分,用ξ表示該射擊手在一次射擊中的得分.其中ξ是離散型隨機(jī)變量的是()A.①②③B。①②④C。①③④D。②③④思路分析：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義,可知①②④中的ξ可能取的值,可以按一次序列出,而③中的ξ可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，屬于連續(xù)型的隨機(jī)變量,故選B。答案：B方法歸納判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量,就是看這一變量的所有可能的取值是否可以一一列出。例2袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從中任取一個(gè)球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球?yàn)橹?。求取球次?shù)X的概率分布列.思路分析:要求取球次數(shù)X的概率分布列，需先寫出X的可能取值，然后求出X中每一個(gè)可能值的概率.本題在求概率時(shí)要注意題中條件，每次從中任取一球,且每次取出黑球不再放回.解：X的可能取值為1，2，3，4，5，則第1次取到白球的概率為：P(X=1）=，第2次取到白球的概率為：P(X=2)=,第3次取到白球的概率為：P(X=3)=，第4次取到白球的概率為：P(X=4)=,第5次取到白球的概率為：P（X=5）=，所以X的分布列是：X12345P拓展延伸一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球,編號(hào)為1，2，3，4,5,6,現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球,以X表示取出球的最大號(hào)碼，求X的概率分布列。思路分析：隨機(jī)變量X的所有可能取值為3,4，5，6?！癤=3"對(duì)應(yīng)條件“取出3個(gè)球,編號(hào)為1，2,3”；“X=4"對(duì)應(yīng)條件“取出3個(gè)球中恰好取到4號(hào)球和1，2,3號(hào)球中的2個(gè)”；“X=5”對(duì)應(yīng)條件“取出3個(gè)球中恰好取到5號(hào)球和1,2，3，4號(hào)球中的2個(gè)"；“X=6"對(duì)應(yīng)條件“取出3個(gè)球中恰好取到6號(hào)球和1，2，3,4,5號(hào)球中的2個(gè)"。而要求其概率則要利用古典概型的概率公式和排列組合知識(shí)求解，從而獲得X的分布列。解：隨機(jī)變量X的可能取值為3，4，5，6.從袋中隨機(jī)地取3個(gè)球，包含的基本事件總數(shù)為，事件“X=3”包含的基本事件總數(shù)為；事件“X=4”包含的基本事件總數(shù)為；事件“X=5”包含的基本事件總數(shù)為；事件“X=6”包含的基本事件總數(shù)為。于是有P（X=3)=；P(X=4）=；P（X=5）=；P(X=6)=。所以隨機(jī)變量X的分布列為X3456P方法歸納確定離散型隨機(jī)變量X的分布列,要根據(jù)其常規(guī)步驟來執(zhí)行.其關(guān)鍵是要搞清X取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件,進(jìn)一步利用排列組合知識(shí)求出X取每個(gè)值的概率.例3(2005山東高考)袋中裝有黑球和白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)既終止,每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用ξ表示取球終止所需要的取球次數(shù)。(1）求袋中所有的白球的個(gè)數(shù);（2）求隨機(jī)變量ξ的概率分布；（3)求甲取到白球的概率。思路分析：(1）求袋中原有白球的個(gè)數(shù)，需設(shè)出白球的個(gè)數(shù)，利用古典概型公式，列出方程組求解；(2)寫出ξ的可能取值，求出相應(yīng)概率，寫出ξ的分布列；(3)利用所求的分布列,甲取到白球的概率為P(A）=P(ξ=1）+P(ξ=3）+P（ξ=5）。解：(1）設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題意知.可得n=3或n=—2（舍去），即袋中原有3個(gè)白球.(2)由題意，ξ的可能取值為1，2，3，4,5。P（ξ=1）=；P（ξ=2）=;P（ξ=3）=;P（ξ=4)=;P(ξ=5)=所以ξ的分布列為Ξ12345P(3）因?yàn)榧紫热?，所以甲只有可能在第一次，第三次和第五次取?記“甲取到白球”為事件A，則P（A）=P（ξ=1）+P（ξ=3)+P(ξ=5)=。深化升華本題考查知識(shí)面廣，包括等可能事件，互斥事件,隨機(jī)變量的概率分布等知識(shí),可以運(yùn)用方程組的思想求出白球的個(gè)數(shù).例4將3個(gè)小球任意放入4個(gè)大玻璃杯中去，杯子中球的最多個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列。思路分析：應(yīng)首先明確杯子中球的最多個(gè)數(shù)X的可能值，再求相應(yīng)的概率,列表即可.解：由題意可知，杯子中球的最多個(gè)數(shù)X的所有可能值為1，2，3。當(dāng)X=1時(shí)，對(duì)應(yīng)于4個(gè)杯子中恰有三個(gè)杯子各放