數(shù)學(xué)教材梳理幾何概型

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、幾何概型的概念對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn),這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等。用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型.深化升華只有每個(gè)事件發(fā)生的概率與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積)成比例時(shí),這樣的概率模型才為幾何概率模型.二、幾何概型的特征幾何概型具有如下兩個(gè)特征：(1）進(jìn)行一次試驗(yàn)相當(dāng)于向一個(gè)幾何體G中取一點(diǎn).(2）對(duì)G內(nèi)任意子集，事件“點(diǎn)取自g"的概率與g的測(cè)度（長(zhǎng)度、面積或體積）成正比，而與g在G中的位置、形狀無(wú)關(guān)。如果試驗(yàn)中的隨機(jī)事件A可用G中的一個(gè)區(qū)域g表示（組成事件A的所有可能結(jié)果與g中的所有點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)）,那么事件A的概率規(guī)定為：P(A）=.例如，正方形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切圓，向正方形內(nèi)隨機(jī)地撒一粒芝麻的試驗(yàn)就是幾何概型,記事件“芝麻落在圓內(nèi)"為A，則P(A）=.聯(lián)想發(fā)散對(duì)于幾何概型，隨機(jī)事件A的概率P(A)與表示它的區(qū)域g的測(cè)度（長(zhǎng)度、面積或體積）成正比，而與區(qū)域g的位置和形狀無(wú)關(guān)；只要表示兩個(gè)事件的區(qū)域有相同的測(cè)度（長(zhǎng)度、面積或體積）,不管它們的位置和形狀如何,這兩個(gè)事件的概率一定相等.三、幾何概型的特點(diǎn)(1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件)有無(wú)限多個(gè)。（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。（3）幾何概型同古典概型一樣也是一種等可能概型。辨析比較幾何概型與古典概型的區(qū)別：幾何概型的基本事件總數(shù)有無(wú)限多個(gè)，古典概型的基本事件總數(shù)有有限個(gè)。四、幾何概型的計(jì)算公式幾何概型中,事件A的概率的計(jì)算公式如下:P(A）=.公式中的“測(cè)度”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時(shí),相應(yīng)的“測(cè)度”分別是長(zhǎng)度、面積和體積等.因?yàn)閰^(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣（等可能性），某個(gè)事件發(fā)生的概率才與構(gòu)成該事件區(qū)域的“測(cè)度"成比例.誤區(qū)警示當(dāng)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積一定時(shí)，事件A的概率只與構(gòu)成事件A的區(qū)域面積有關(guān)，而與A的位置和形狀無(wú)關(guān).五、利用幾何概型求概率需注意哪些方面（1)幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)窮多且事件是等可能發(fā)生的概率類型；如與速度、溫度變化有關(guān)的物理問(wèn)題,與長(zhǎng)度、面積、體積有關(guān)的實(shí)際生產(chǎn)、生活問(wèn)題.（2）幾何概型主要用于解決與長(zhǎng)度、面積、體積有關(guān)的題目；（3）公式為P(A)=；（4）計(jì)算幾何概率要先計(jì)算基本事件總體與事件A包含的基本事件對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度（角度、面積、體積).典題·熱題知識(shí)點(diǎn)幾何概型概率計(jì)算例1國(guó)家安全機(jī)關(guān)監(jiān)聽(tīng)錄音機(jī)記錄了兩個(gè)間諜的談話，發(fā)現(xiàn)30min長(zhǎng)的磁帶上，從開(kāi)始30s處起,有10s長(zhǎng)的一段內(nèi)容包含兩間諜犯罪的信息。后來(lái)發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員稱他完全是無(wú)意中按錯(cuò)了鍵,使從此處起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了。那么由于按錯(cuò)了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？思路分析：包含兩個(gè)間諜談話錄音的部分在30到40s之間，當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在這段時(shí)間之內(nèi)時(shí)，部分被擦掉，當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在0到30s之間時(shí)全部被擦掉，即在0到40s之間即0到min之間的時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵時(shí)含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉,而0到30min之間的時(shí)間段內(nèi)任一時(shí)刻按錯(cuò)鍵的可能性是相等的，所以按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率只與從開(kāi)始到談話內(nèi)容結(jié)束的時(shí)間段長(zhǎng)度有關(guān)，符合幾何概型的條件.解：記A={按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉｝,A發(fā)生就是在0到min之間的時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵.P（A)=。誤區(qū)警示此題有兩個(gè)難點(diǎn)：一是等可能性的判斷；二是事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域是0到min的時(shí)間段,而不是min到min的時(shí)間段.例2甲乙兩人相約10天之內(nèi)在某地會(huì)面，約定先到的人等候另一人3天以后方可離開(kāi),若他們?cè)谄谙迌?nèi)到達(dá)目的地是等可能的，則此二人會(huì)面的概率為_(kāi)________。思路分析：這是會(huì)面問(wèn)題,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型求解。設(shè)甲乙兩人分別在第x，y天到達(dá)某地,則0≤x≤10，0≤y≤10，兩人會(huì)面的條件是｜x—y|≤3。圖3-3—2如圖3-3-2所示,區(qū)域Ω是邊長(zhǎng)為10的正方形，圖中介于兩直線x—y=±3之間陰影表示事件A:“此二人會(huì)面”問(wèn)題可以理解為求出現(xiàn)在圖中陰影部分的概率.于是μΩ=10×10=100.μA=102-(10—3)2=51.故所求概率為P（A)=答案：深化升華把兩個(gè)時(shí)間分別用x，y兩個(gè)坐標(biāo)表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn)(x,y），從而把時(shí)間這個(gè)一維長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成面積型幾何概率.例3如圖3-3-3，在等腰RT△ABC中，在斜邊AB上取一點(diǎn)M，求AM的長(zhǎng)小于AC的概率。圖3—3—3思路分析：此題是“長(zhǎng)度比”型的概率求法。點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上,線段AB為試驗(yàn)所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域D，當(dāng)點(diǎn)M位于圖中線段AC′上時(shí)，AM＜AC,線段AC即為構(gòu)成事件的區(qū)域d.方法一：在AB上截取AC′=AC，于是P(AM〈AC)=P(AM<AC′)=，即AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率為。方法二：視射線CM在∠ACB內(nèi)是等可能分布的，在AB上取AC′=AC，則∠ACC′==67.5°.故所求的概率為.誤區(qū)警示背景相似的問(wèn)題，當(dāng)?shù)瓤赡艿慕嵌炔煌瑫r(shí),其概率是不一樣的。問(wèn)題·探究思想方法探究問(wèn)題我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩種計(jì)算事件發(fā)生概率的方法：(1)通過(guò)試驗(yàn)方法得到事件發(fā)生的頻率,來(lái)估計(jì)概率；(2）用古典概型的公式來(lái)計(jì)算概率.可以求解很多的隨機(jī)事件概率，為什么還要學(xué)習(xí)幾何概型？探究過(guò)程:通過(guò)試驗(yàn)方法得到