數(shù)學(xué)教材梳理三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰丁巧解牛知識·巧學(xué)1.三角函數(shù)的周期性（1)周期函數(shù)定義對于函數(shù)f(x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f（x+T）=f(x),那么函數(shù)f(x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.由誘導(dǎo)公式可知，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù),每一個(gè)非零常數(shù)2kπ（k∈Z，k≠0)都是它們的周期.深化升化周期函數(shù)x∈定義域M，則必有x+T∈M,且若T＞0則定義域無上界；T＜0則定義域無下界，且如果一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù),它的周期T往往是多值的(如y=sinx，2π，4π,…,-2π,-4π，…都是周期）.對于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f(x）的最小正周期.例如，2π是正、余弦函數(shù)所有周期中的最小正數(shù)，則2π是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最小正周期.但應(yīng)注意并不是所有的周期函數(shù)都存在最小正周期.如函數(shù)f(x)=1，對于任意實(shí)數(shù)T都有f（x+T）=f(x）=1，所以只要T是非零常數(shù)，則T就是函數(shù)f（x）=1的周期，而在實(shí)數(shù)中并不存在最小的正數(shù)，則函數(shù)f（x）=1不存在最小正周期。聯(lián)想發(fā)散由正切線可知，正切函數(shù)也是周期函數(shù),它的每一個(gè)周期為非零常數(shù)kπ（k∈Z，k≠0)，它的最小正周期為π.（2)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及函數(shù)y=Acos（ωx+φ)（其中A、ω、φ是常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的最小正周期.一般地，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）及函數(shù)y=Acos（ωx+φ）（其中A、ω、φ是常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的最小正周期T=。誤區(qū)警示公式T=求周期只適用于函數(shù)y=Asin（ωx+φ）及函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的周期且應(yīng)具有條件“ω＞0”，比如要求y=3sin(—2x+1）的最小正周期,若利用公式T=，所求的最小正周期為T==—π，結(jié)論是錯(cuò)誤的。其正確結(jié)果應(yīng)為T===π。因此，在求y=Asin（ωx+φ）及函數(shù)y=Acos（ωx+φ)的周期時(shí)還應(yīng)注意具體問題具體分析，即應(yīng)注意題目中所給的條件是否有條件“ω＞0”,若有，則它們的最小正周期為T=，否則它們的最小正周期為T=.聯(lián)想發(fā)散函數(shù)y=Atan(ωx+φ)及函數(shù)y=Acot（ωx+φ）（其中A、ω、φ是常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的最小正周期為T=。2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1)正弦函數(shù)的圖象對于一類函數(shù)，我們主要研究它們的性質(zhì)，而在三角函數(shù)中，正、余弦函數(shù)的性質(zhì)是重點(diǎn).為了更加直觀地研究三角函數(shù)的性質(zhì),可以先作出它們的圖象.由于余弦函數(shù)y=cosx=sin（x+），則余弦函數(shù)的圖象與正弦函數(shù)的圖象的形狀相同,它可由正弦函數(shù)的圖象經(jīng)過平移得到，則只要畫出正弦函數(shù)的圖象，就可以得到余弦函數(shù)的圖象.由上述內(nèi)容可知,正弦函數(shù)y=sinx是以2π為最小正周期的周期函數(shù)，則只要畫出y=sinx在區(qū)間［0，2π］上的圖象，就可以得到整個(gè)圖象,而y=sinx在區(qū)間［0,2π］上的圖象可由單位圓中的有向線段得到.畫y=sinx在區(qū)間［0,2π］上的圖象的思路如下:①先作單位圓，把⊙O1十二等分(當(dāng)然分得越細(xì)，圖象越精確）；②十二等分后得對應(yīng)于0，，,，…，2π等角，并作出相應(yīng)的正弦線；③將x軸上從0到2π一段分成12等份(2π≈6。28），若變動(dòng)比例，今后圖象將相應(yīng)“變形"；④取點(diǎn)，平移正弦線，使起點(diǎn)與軸上的點(diǎn)重合;⑤描圖(連結(jié)）得y=sinx,x∈［0，2π］.其具體步驟如下：在直角坐標(biāo)系的x軸上任意取一點(diǎn)O1，以O(shè)1為圓心作單位圓，從⊙O1與x軸的交點(diǎn)起把⊙O1分成12等份（份數(shù)宜取6的倍數(shù),份數(shù)越多，圖象越精確)。過⊙O1上各分點(diǎn)作x軸的垂線,可以得到對應(yīng)于0，,，，…,2π等角的正弦線(如圖1-3—2，有向線段O1B對應(yīng)于角的正弦線），相應(yīng)地,再將x軸從0到2π分為12等份(如圖1—3—2，從原點(diǎn)起向右的第四個(gè)點(diǎn)就是對應(yīng)于角的點(diǎn)).把角x的正弦線向右平移,使它的起點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)x重合(如圖1-3-2，把正弦線O1B向右平移，使點(diǎn)O1與x軸上的點(diǎn)重合）。再用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來，就得到了y=sinx，x∈［0，2π］的圖象(如圖1-3-2).圖1由終邊相同的三角函數(shù)性質(zhì)知y=sinx,x∈[2kπ,2（k+1）π］,k∈Z,k≠0的圖象，與函數(shù)y=sinx，x∈［0，2π］圖象形狀相同，只是位置不同-—每次向左（右)平移2π單位長就得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象,正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線（如圖1-圖1上面是借助正弦線描點(diǎn)來作出正弦曲線，此外，也可以通過列表描點(diǎn)來作出正弦曲線.由上面的圖1不難發(fā)現(xiàn),函數(shù)y=sinx,x∈［0,2π］的圖象上起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有五個(gè):（0，0),(,1），(π,0)，(，-1)，（2π,0).事實(shí)上，描出五點(diǎn)后，函數(shù)y=sinx,x∈［0，2π］的圖象形狀就基本確定了。此種畫法稱為“五點(diǎn)（畫圖)法”。這種畫法的優(yōu)點(diǎn)是方便，缺點(diǎn)是精確度不高，熟練后且在精確度要求不高的情況下才可以用此種方法畫正弦函數(shù)的圖象。作三角函數(shù)的圖象時(shí)，自變量要用弧度制，這樣自變量與函數(shù)值均為實(shí)數(shù),x、y軸的單位就可以統(tǒng)一了，作圖時(shí)不要以比較習(xí)慣的角度制作為自變量的單位，這一點(diǎn)應(yīng)引起注意.聯(lián)想發(fā)散利用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的圖象時(shí),這五個(gè)點(diǎn)的選擇與函數(shù)自變量的取值范圍有關(guān)，一般地,當(dāng)自變的取值范圍是［0,2π］時(shí)，這五個(gè)點(diǎn)?。?,0）,（，1)，（π,0）,(,-1),(2π，0）；當(dāng)自變量的取值范圍為［-，］時(shí)，這五個(gè)點(diǎn)取(-,0）,(0,0)，(,1),(π，0）,(,-1).總之,這五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都使正弦函數(shù)值取得最大值、最小值和零值。(2）余弦函數(shù)的圖象由上面內(nèi)容可知余弦函數(shù)與正弦有如下關(guān)系：y=cosx=2sin（x+),所以，只要將正弦函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位就可得到余弦函數(shù)的圖象.余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線(如圖1-3圖1辨析比較正弦曲線和余弦曲線的共同點(diǎn)：都是波浪狀曲線，且都夾在直線y=1和y=—1之間，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。它們的不同點(diǎn)：正弦曲線的對稱中心為(kπ，0),k∈Z,對稱軸方程為x=kπ+，k∈Z,而余弦曲線的對稱中心為（kπ+,0），k∈Z，對稱軸方程為x=kπ，k∈Z.(3）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，可得正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)如下:①定義域正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R。②值域由正弦曲線、余弦曲線可以發(fā)現(xiàn)：—1≤sinx≤1，—1≤cosx≤1,即|sinx｜≤1,｜c(diǎn)osx｜≤1〔我們把滿足條件|f(x)｜≤M的函數(shù)f（x）稱為有界函數(shù)〕.而且sinx,cosx都可以?。邸?，1］中的一切值,所以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域都是[—1，1].由正弦函數(shù)圖象的畫法過程可知,角的正弦線最長,它等于單位圓的半徑為1，所以，當(dāng)x=正弦函數(shù)取最大值為1，又角2kπ+（k∈Z)與角的終邊相同,則角2kπ+（k∈Z)的正弦值也是1，所以正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+(k∈Z)時(shí)取得最大值1。同理,當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ-（k∈Z)時(shí)取得最小值—1.而由單位圓中的有向線段可知當(dāng)x=0時(shí)，余弦函數(shù)取最大值為1，又角x=2kπ(k∈Z）與角0的終邊相同，所以余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ(k∈Z）時(shí)取最大值1。同理,當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+π(k∈Z）時(shí)取最小值-1.③周期性由誘導(dǎo)公式一可知，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2kπ(k∈Z,k≠0)都是它們的周期，它們的最小正周期為2π.正、余弦函數(shù)的周期性也可以通過它們的圖象體現(xiàn)出來，它們的圖象都是由在［0，2π]上的圖象向左或向右平移2π的整數(shù)倍個(gè)單位得到的.④奇偶性對于正弦函數(shù)y=sinx,x∈R,其圖象任意一點(diǎn)(x，y)即（x,sinx)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是（—x，-y）即(-x，—sinx)，又由誘導(dǎo)公式sin(—x）=-sinx可知，這個(gè)對稱點(diǎn)就是（-x，sin(-x）），它也在正弦函數(shù)的圖象上.這就是說將正弦曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后,曲線與原來的曲線重合，所以正弦函數(shù)是奇函數(shù)，正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。對于余弦函數(shù)y=cosx,x∈R,其圖象任意一點(diǎn)（x，y）即（x,cosx)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是(—x,y）即(—x，cosx），又由誘導(dǎo)公式cos（—x)=cosx可知，這個(gè)對稱點(diǎn)就是（-x，cos(-x）)，它也在余弦函數(shù)的圖象上.這說明，將余弦函數(shù)沿y軸折疊，y軸兩旁的部分能夠互相重合，所以,余弦函數(shù)是偶函數(shù),余弦曲線關(guān)于y軸對稱.⑤單調(diào)性由正弦曲線可以看出，當(dāng)x由-增大到時(shí),曲線逐漸上升，sinx的值由—1增大到1;當(dāng)x由增大到時(shí)，曲線逐漸下降,sinx的值由1減小到—1,由正弦函數(shù)的周期性可知：正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［—+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從—1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間[+2kπ,+2kπ］（k∈Z)上都是減函數(shù),其值從1減小到-1。所以,每一個(gè)閉區(qū)間[-+2kπ,+2kπ］（k∈R)是正弦函數(shù)的增區(qū)間，每一個(gè)閉區(qū)間［+2kπ,+2kπ](k∈Z）是正弦函數(shù)的減區(qū)間。誤區(qū)警示正弦函數(shù)在第一象限是增函數(shù)這種說法是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)榈谝幌笙拗薪K邊相同的角的正弦值是相等的，而終邊相同的角具有大小關(guān)系,所以這并不滿足單調(diào)性的定義.正確的說法是:正弦函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間（2kπ，+2kπ）(k∈Z）上是增函數(shù)。類似地,由余弦曲線可以看出，當(dāng)x由0增大到π時(shí),曲線逐漸下降，cosx的值由1減小到—1;當(dāng)x由π增大到2π時(shí)，曲線逐漸上升,cosx的值由-1增大到1，由余弦函數(shù)的周期性可知：余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ,π+2kπ](k∈Z）上都是減函數(shù)，其值從1減小到—1;在每一個(gè)閉區(qū)間［π+2kπ，2π+2kπ](k∈Z）上都是增函數(shù)，其值從-1增大到1。所以，每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ,π+2kπ］(k∈Z)是余弦函數(shù)的減區(qū)間，每一個(gè)閉區(qū)間［π+2kπ，2π+2kπ](k∈Z)是余弦函數(shù)的增區(qū)間。利用正、余弦函數(shù)的單調(diào)性,可以比較三角函數(shù)的大小,可以求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，還可以借助三角函數(shù)的圖象解簡單的三角不等式.辨析比較函數(shù)的奇偶性是相對于函數(shù)的定義域來說的，而函數(shù)的單調(diào)性是相對于函數(shù)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間來說，從這個(gè)意義上說,函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，而奇偶性是函數(shù)的“整體"性質(zhì).深化升華奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反.記憶要訣對于正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，要結(jié)合它們的圖象進(jìn)行記憶。（4）正切函數(shù)的圖象同正弦函數(shù)的圖象的畫法相同，畫正切函數(shù)的圖象也利用單位圓的有向線段.畫它的圖象可分以下幾步進(jìn)行：①首先考慮定義域:不論是研究函數(shù)的性質(zhì)還是畫函數(shù)的圖象都應(yīng)首先考慮它的定義域，由正切函數(shù)的定義可知，正切函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸｜x≠kπ+(k∈Z)}.②為了研究方便，再考慮一下它的周期:∵tan（x+π)===tanx（x∈R,且x≠kπ+，k∈Z），∴y=tanx（x∈R,且x≠kπ+，k∈Z）的周期為T=π（最小正周期）。③選擇(-,)的區(qū)間作出它的圖象（如圖1-3—圖1根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)y=tanx,x∈R，且x≠+kπ（k∈Z）的圖象,并把它稱為正切曲線(如圖1—3圖1正切曲線是被互相平行的直線x=kπ+,k∈Z所隔開的無窮多支曲線組成的，且正切曲線是中心對稱圖形，它的對稱中心為(，0），其中k∈Z。深化升化正切函數(shù)的定義域是{x｜x≠kπ+（k∈Z)}，所以正切曲線被x=±,±，…等與y軸平行的直線隔開，且這些直線成為正切曲線的漸近線,在每兩條這樣的相鄰直線之間，曲線是連續(xù)變化的，并且從左向右看是上升的.辨析比較作正弦函數(shù)的圖象可以利用“五點(diǎn)法”作圖.而作正切函數(shù)的圖象可用“三點(diǎn)兩線法"，“三點(diǎn)”即為(kπ,0),（kπ+，1），(kπ-，—1)，其中k∈Z，“兩線”指的是直線x=kπ±，k∈Z.（5）正切函數(shù)的性質(zhì)由正切函數(shù)的圖象可以得到正切函數(shù)的主要性質(zhì)如下:①定義域由正切函數(shù)的定義不難得出正切函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸｜x∈R且x≠+kπ，k∈Z}.②值域由圖象可觀察到：當(dāng)x從小于kπ+（k∈Z）趨向于kπ+時(shí)，tanx趨于+∞。當(dāng)x從大于kπ+（k∈Z)趨向于kπ+時(shí),tanx趨于—∞.所以，正切函數(shù)的值域?yàn)閷?shí)數(shù)集R.③周期性由正切函數(shù)的圖象可知,正切函數(shù)是以π為周期的周期函數(shù)。此外,正切函數(shù)的周期性也可由誘導(dǎo)公式得出。④奇偶性由誘導(dǎo)公式可得tan（—x）=—tanx，所以正切函數(shù)是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.⑤單調(diào)性由正函數(shù)的圖象可知在每一個(gè)開區(qū)間(—+kπ，+kπ）,k∈Z內(nèi)都是增函數(shù)，即每一個(gè)開區(qū)間(-+kπ，+kπ），k∈Z都是正切函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.利用正切函數(shù)的單調(diào)性可以解決以下問題:①比較不同角的三角函數(shù)值的大小;②求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；③解三角不等式.記憶要訣充分利用正切函數(shù)的圖象來掌握正切函數(shù)的性質(zhì)。誤區(qū)警示雖然正切函數(shù)在每一個(gè)開區(qū)間（-+kπ,+kπ）,k∈Z內(nèi)都是增函數(shù).但正切函數(shù)在它的定義域內(nèi)是增函數(shù)是錯(cuò)誤的，比如和都在正切函數(shù)的定義域內(nèi),且＜，但tan＞tan,與單調(diào)增函數(shù)的定義不符。所以，不能說正切函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù).辨析比較正切函數(shù)y=tanx，x≠kπ+,k∈Z的定義域不是R，又正切函數(shù)與正、余弦函數(shù)的對應(yīng)法則不同,因此一些性質(zhì)與正、余弦函數(shù)的性質(zhì)有較大的差別.如正、余弦函數(shù)是有界函數(shù)，而正切函數(shù)則是無界函數(shù);正、余弦函數(shù)是連續(xù)曲線，反映在圖象是連續(xù)無間斷點(diǎn)的,而正切函數(shù)在R上不連續(xù)，它有無數(shù)條漸近線，它的圖象被這些漸近線分割開來；正、余弦函數(shù)既有單調(diào)增區(qū)間又有單調(diào)減區(qū)間，而正切函數(shù)只有單調(diào)增區(qū)間.它們也有大量的共同性質(zhì)。比如它們都是周期函數(shù)，它們的圖象都是中心對稱圖形等。3.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象(1)A、ω、φ的物理意義當(dāng)函數(shù)y=Asin（ωx+φ），x∈［0,+∞)(其中A＞0,ω＞0)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，A就表示這個(gè)量振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大距離,通常稱為這個(gè)振動(dòng)的振幅；往復(fù)一次所需要的時(shí)間T=,稱為這個(gè)振動(dòng)的周期；單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)f=，稱為振動(dòng)的頻率；ωx+φ稱為相位；當(dāng)x=0時(shí),相位φ稱為初相。（2)函數(shù)y=sin(x+φ)和y=sinx的圖象的關(guān)系在前面內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中我們研究過函數(shù)y=2x和函數(shù)y=2x+a圖象之間的關(guān)系，我們知道函數(shù)y=2x+a的圖象是由函數(shù)y=2x左右平移得到的.那么函數(shù)y=sin(x+φ)和y=sinx的圖象的關(guān)系又是怎樣的呢？下面就以實(shí)例來說明.畫出函數(shù)y=sin(x+）（x∈R）；y=sin(x-)(x∈R)的簡圖。畫上面兩個(gè)函數(shù)的簡圖同畫正弦函數(shù)的簡圖相同，可以利用五點(diǎn)作圖。其步驟如下：列表:x+0π2ππsin（x+)010—10x-0π2ππsin（x—）010-10作圖：由圖1—3-7不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=sin（x+)的圖象是由函數(shù)y=sinx的圖象向左平移了個(gè)單位得到的；函數(shù)y=sin(x—)的圖象是由函數(shù)y=sinx的圖象向右平移了個(gè)單位得到的。圖1由此我們可以得到一般結(jié)論如下:一般地,函數(shù)y=sin(x+φ）的圖象可以看作將函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜個(gè)單位長度而得到的.深化升華在利用五點(diǎn)法作函數(shù)y=sin（x+φ)的圖象時(shí)，需要將x+φ看成一個(gè)整體，使x+φ分別取0、、π、、2π，解出相應(yīng)的x，然后描點(diǎn),連線即可。聯(lián)想發(fā)散函數(shù)y=f（x+a)的圖象，可以看作是把y=f（x)圖象向左（a＞0)或向右（a＜0）平移｜a｜個(gè)單位得到的.記憶要訣對于左右的平移,可簡記為“加左減右"，即當(dāng)自變量x加上一個(gè)正數(shù)向左平移,減去一個(gè)正數(shù)向右平移.(3）函數(shù)y=Asinx和y=sinx的圖象間的關(guān)系畫出函數(shù)y=2sinx,x∈R；y=sinx,x∈R的圖象(簡圖）。由于這兩個(gè)函數(shù)的周期T=2π，所以不妨在［0,2π］上作它們的簡圖，方法還是利用五點(diǎn)法.步驟如下：列表：x0π2πsinx010-102sinx020-20sinx00—0作圖：由圖1-3-8可以看出，函數(shù)y=2sinx的圖象上橫坐標(biāo)為t的點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于函數(shù)y=sinx的圖象上橫坐標(biāo)為t的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的2倍；而函數(shù)y=sinx的圖象上橫坐標(biāo)為t的點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于函數(shù)y=sinx的圖象上橫坐標(biāo)為t的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的倍。所以，函數(shù)y=2sinx的圖象可以看作函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變)而得到的；而函數(shù)y=sinx的圖象可以看作函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?橫坐標(biāo)不變）而得到的。圖1由此可得一般結(jié)論如下：一般地,函數(shù)y=Asinx(A＞0且A≠1）的圖象，可以看作將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍(橫坐標(biāo)不變）而得到的.此外，由上面的圖象還不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=Asinx(A＞0且A≠1）的值域［-A，A]，最大值是A，最小值是-A。它是一個(gè)周期函數(shù),周期T=2π。它也是一個(gè)奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.在每一個(gè)閉區(qū)間[—+2kπ，+2kπ］（k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從-A增大到A；在每一個(gè)閉區(qū)間[+2kπ，+2kπ］(k∈Z）上都是減函數(shù)，其值從A減小到-A.所以，每一個(gè)閉區(qū)間[-+2kπ,+2kπ］（k∈Z)是它的增區(qū)間，每一個(gè)閉區(qū)間［+2kπ,+2kπ]（k∈Z）是它的減區(qū)間。若A＜0，可先作y=—Asinx的圖象，再以x軸為對稱軸翻折即可.聯(lián)想發(fā)散函數(shù)y=Af(x)(A＞0，A≠1)的圖象，可以看作是把y=f（x)圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(A＞1)或縮短（0＜A＜1）到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變）而得到的。(4)函數(shù)y=sinωx和函數(shù)y=sinx的圖象的關(guān)系畫出函數(shù)y=sin2x，x∈R；y=sinx，x∈R的圖象（簡圖）.函數(shù)y=sin2x的周期T=π,∴在[0，π］上利用五點(diǎn)法作其簡圖。令X=2x，則x=，從而sinX=sin2x。列表:X=2x0π2πx0πsin2x010-10函數(shù)y=sin的周期T=4π，∴在[0,4π］上利用五點(diǎn)法作其簡圖。列表：X=0π2πx0π2π3π4πsin010-10作圖：由圖1-3—9可以看出，函數(shù)y=sin2x的圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于函數(shù)y=sinx的圖象上橫坐標(biāo)為t的點(diǎn)的縱坐標(biāo);而函數(shù)y=sinx的圖象上橫坐標(biāo)為2t的點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于函數(shù)y=sinx的圖象上橫坐標(biāo)為t的點(diǎn)的縱坐標(biāo)。所以,函數(shù)y=2sinx的圖象可以看作函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）而得到的;而函數(shù)y=sinx的圖象可以看作函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的.圖1由此我們可以得到一般結(jié)論如下：函數(shù)y=sinωx,x∈R（ω＞0且ω≠1）的圖象，可看作將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變)而得到的.此外，由上圖我們還不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=sinωx，x∈R(ω＞0且ω≠1）具有以下性質(zhì):①值域?yàn)椋邸?，1］；②它是一個(gè)周期函數(shù)，周期T=；③它是一個(gè)奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;④在每一個(gè)閉區(qū)間［-+,+］（k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從—1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［+，+］(k∈Z）上都是減函數(shù)，其值從1減小到—1。所以,每一個(gè)閉區(qū)間［-+,+］(k∈Z）是它的增區(qū)間,每一個(gè)閉區(qū)間[+,+］(k∈Z)是它的減區(qū)間.若ω＜0，則可用誘導(dǎo)公式將符號“提出”再作圖.聯(lián)想發(fā)散函數(shù)y=f(ωx)(ω＞0,ω≠1)的圖象，可以看作是把y=f(x）圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(ω＞1）或伸長(0＜ω＜1)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的.(5)函數(shù)y=sinωx和y=sin(ωx+φ）（ω＞0，φ≠0）的圖象的關(guān)系.畫出函數(shù)y=sin(2x+）(x∈R）的簡圖.列表：2x+0π2πx-sin(2x+）010-10作圖:由圖1-3-10可知，函數(shù)y=sin（2x+）的圖象是由函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位而得到的.類似地，將函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位就可以得到函數(shù)y=sin（2x-）的圖象.圖1一般地，函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω＞0，φ≠0)的圖象,可以看作將函數(shù)y=sinωx的圖象上所有的點(diǎn)向左（φ＞0時(shí)）或向右（φ＜0時(shí))平移||個(gè)單位而得到的。聯(lián)想發(fā)散函數(shù)y=f(ax+b）（a＞0,a≠1)的圖象是由函數(shù)y=f（ax)的圖象向左(b＞0)或向右(b＜0）平移｜|個(gè)單位得到的.(6)函數(shù)y=sinx和y=Asin(ωx+φ）（A＞0，ω＞0)的圖象的關(guān)系一般地，函數(shù)y=Asin（ωx+φ)(其中A＞0,ω＞0),x∈R的圖象,可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲線上所有的點(diǎn)向左(φ＞0）或向右(φ＜0）平行移動(dòng)|φ|個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（ω＞1)或伸長（0＜ω＜1)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變)，再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(A＞1）或縮短(0＜A＜1）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）。此外，y=Asin(ωx+φ）(其中A＞0，ω＞0），x∈R的圖象也可通過下面的方法而得到:先把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(ω＞1)或伸長(0＜ω＜1)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再把所得各點(diǎn)向左（φ＞0)或向右(φ＜0）平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（A＞1)或縮短（0＜A＜1)到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）.其示意圖如下：誤區(qū)警示橫坐標(biāo)的伸縮變換，實(shí)際是變換自變量x的系數(shù)，與自變量x后的常數(shù)無關(guān)，如將函數(shù)y=sin(x+1）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變）所得圖象對應(yīng)的解析式應(yīng)為y=sin(2x+1)而不是y=sin2（x+1）。4.三角函數(shù)的應(yīng)用三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么它就可以借助三角函數(shù)來描述.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究許多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用.具體的，我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”。通過觀察散點(diǎn)圖并進(jìn)行函數(shù)擬合而獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個(gè)函數(shù)模型來解決實(shí)際問題。實(shí)際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器。解答應(yīng)用題的關(guān)鍵在于審題上，而要準(zhǔn)確理解題意必須過好三關(guān):事理關(guān),通過閱讀、理解，明白問題講的是什么，熟悉實(shí)際背景，為解題打開突破口；文理關(guān),將實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號語言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系.數(shù)理關(guān)，在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中,對已有數(shù)學(xué)知識進(jìn)行檢索，從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型完成由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.典題·熱題知識點(diǎn)1三角函數(shù)的周期例1求下列三角函數(shù)的周期：（1)y=sin(x+）；(2)y=3sin(+)。思路分析:利用函數(shù)的定義及函數(shù)周期性。解：(1)令z=x+，而sin（2π+z)=sinz.即f（2π+z）=f（z）.所以有f［（2π+x+］=f（x+）?！嘀芷赥=2π.(2)令z=+，則有f(x）=3sinz=3sin（z+2π)=3sin（++2π)=3sin(+)=f(x+4π）?！郥=4π。方法歸納求函數(shù)的最小正周期或證明一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)通常利用周期函數(shù)的定義，即利用式子f（x+T）=f（x)，此式子的意思是：將函數(shù)解析式中的自變量x用x+T替代后，函數(shù)的解析式不變。例2(1)設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，其最小正周期為,若f（x）=求f(—)的值。（2)已知函數(shù)f(x)的最小正周期為2的奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f（x)=2x，求f（)的值。思路分析：對于(1）由于T=，則有f(x+）=f（x），多次利用周期函數(shù)定義進(jìn)行化簡,即獲得結(jié)果.對于(2）可利用f(x+2）=f（x)及f（-x)=—f（x)，將轉(zhuǎn)化到開區(qū)間（0，1)上，再利用f（x)=2x求值.解：（1)由于T=，則k·T=k·(k∈Z,k≠0)都是函數(shù)的周期.所以f（—)=f［(—3）×+］=f（）=sin=sin=.(2)∵24＜23＜25,∴4＜log223＜5，則0＜log223-4＜1。又∵2為f(x）的周期，∴2k(k∈Z)也是f(x）的周期?！鄁（)=f（—log223）=—f(log223）=-f（log223—4)==·2—4=-.方法歸納若T為一個(gè)函數(shù)的最小正周期，則kT(k為非零整數(shù))也是函數(shù)的周期.深化升華周期性不是三角函數(shù)的專有性質(zhì)，只要一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)滿足周期函數(shù)的定義,則它就是一個(gè)周期函數(shù).如：y=（x—2k）2，x∈［2k—1，2k+1］.（k∈Z)就是一個(gè)以2為最小正周期的周期函數(shù).知識點(diǎn)2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)例3畫出下列函數(shù)的簡圖:(1）y=1+sinx，x∈［0,2π］；(2)y=—cosx,x∈［0，2π］.思路分析：利用五點(diǎn)法作出它們的圖象。解：（1)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表:x0π2πsinx010—101+sinx12101利用正弦函數(shù)的性質(zhì)描點(diǎn)畫圖（如圖1—圖1（2）按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0π2πcosx10—101-cosx-1010-1利用余弦函數(shù)的性質(zhì)描點(diǎn)畫圖（如圖1—圖1方法歸納利用五點(diǎn)法作正、余弦函數(shù)圖角的關(guān)鍵是找出五個(gè)關(guān)鍵的點(diǎn)，一般地，對于正弦函數(shù)應(yīng)取一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)及三個(gè)與x軸的交點(diǎn)；對于余弦函數(shù)應(yīng)取兩個(gè)最大值點(diǎn)、一個(gè)最小值點(diǎn)及兩個(gè)與x軸的交點(diǎn)。例4求使下列函數(shù)取最大值的x的集合:（1)y=1-cos2x，x∈R；(2)y=2sin(2x+)，x∈R。思路分析：應(yīng)用正、余弦函數(shù)的性質(zhì).解題時(shí)（1)中將2x看成一個(gè)整體；(2）中將2x+看成一個(gè)整體.解：(1)若函數(shù)y=1-cos2x,x∈R取最大值，則函數(shù)y=cos2x,x∈R取最小值，令z=2x，由于x∈R，則z∈R，且使函數(shù)y=cosz，z∈R取得最小值的z的集合是{z｜z=π+2kπ,k∈Z｝。由2x=π+2kπ,k∈Z，得x=+kπ，k∈Z.這就是說使函數(shù)y=1—cos2x,x∈R取最大值的x的集合是{x｜x=+kπ，k∈Z}。(2)令z=2x+，由于x∈R,則z∈R,且使函數(shù)y=sinz,z∈R取得最大值的z的集合是｛z｜z=+2kπ,k∈Z｝。由2x+=+2kπ，k∈Z,得x=+kπ，k∈Z.這就是說使函數(shù)y=2sin(2x+)，x∈R取最大值的x的集合是{x|x=+kπ,k∈Z}。深化升華函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b(A＞0）的最大值為A+b，最小值為-A+b，取最大值時(shí)ωx+φ=2kπ+（k∈Z)，取最小值時(shí)ωx+φ=2kπ—(k∈Z)；函數(shù)y=Acos（ωx+φ)+b（A＞0)的最大值為A+b，最小值為—A+b，取最大值時(shí)ωx+φ=2kπ(k∈Z)，取最小值時(shí)ωx+φ=2kπ+π(k∈Z).例5不求值，該如何判斷下列各式的符號？(1)sin500°—sin134°；(2）cos(）—cos（）;(3)tan138°—tan143°；(4）tan()-tan(）。思路分析：應(yīng)用三角函數(shù)的單調(diào)性,解題時(shí)首先利用誘導(dǎo)公式將角化到各三角函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用單調(diào)性比較大小,從而得出差與0的大小關(guān)系。解:(1)由于sin500°=sin140°，又90°＜134°＜140°＜180°，由正弦函數(shù)的性質(zhì),可知在90°—180°范圍內(nèi)，正弦值隨自變量的增大而減小，所以sin500°＜sin134°，從而sin500°—sin134°＜0.(2）由于cos()=cos,cos（)=cos。又0＜＜＜π，由于［0,π］是余弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，則有cos（)＞cos（).從而cos()-cos（）＞0.（3）由于tan138°—tan143°=tan(180°-42°）-tan(180°-37°）=tan37°—tan42°.又37°角的終邊和42°角的終邊都在第二象限,根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，可知tan37°＜tan42°.所以，tan37°—tan42°＜0，即tan138°-tan143°＜0。（2)由于tan(）—tan(）=tan—tan=tan(3π+)—tan(3π+）=tan—tan,由于0＜＜＜,根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，可知tan＞tan。所以tan—tan＞0,即tan()-tan(）＞0.方法歸納在比較幾個(gè)角同名三角函值的大小時(shí)，一定要注意將這些角利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再進(jìn)行比較.在比較的過程中也要注意不等式基本性質(zhì)的應(yīng)用.例6寫出下列函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間：（1）y=3sin(2x—）；（2)y=2cos（2x+）；（3)y=logi[sin（2x+）]。思路分析:應(yīng)用正、余弦函數(shù)的單調(diào)性。(1)設(shè)z=2x—，則y=sinz在［—+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上是增函數(shù)，即2x—∈［—+2kπ，+2kπ]（k∈Z)。由此可寫出x的范圍;(2）與(1）類似；（3)根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則進(jìn)行求解。解:(1）設(shè)z=2x-，則y=sinz在［-+2kπ,+2kπ］（k∈Z)上是增函數(shù),即2x—∈[-+2kπ,+2kπ］(k∈Z）。由-+2kπ≤2x-≤+2kπ（k∈Z)，得—+2kπ≤2x≤+2kπ（k∈Z),即-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z)。所以，函數(shù)y=3sin（2x—)的單調(diào)增區(qū)間為［-+kπ，+kπ］（k∈Z).（2)由-π+2kπ≤2x+≤2kπ(k∈Z)，得—+2kπ≤2x≤—+2kπ(k∈Z），即-+kπ≤x≤-+kπ(k∈Z)。所以，函數(shù)y=2cos(2x+)的單調(diào)增區(qū)間為［-+kπ，—+kπ]（k∈Z）.(3)設(shè)u=sin(2x+）,由y=log2u是增函數(shù),可知y=log2［sin（2x+）］的增區(qū)間就是u=sin（2x+)（u＞0)的增區(qū)間.由y=sinx（y＞0）的圖象,可知y=sinx(y＞0）的增區(qū)間為（2kπ，2kπ+］(k∈Z），因此,對于u=sin（2x+)（u＞0)有2kπ＜2x+≤2kπ+(k∈Z)，即—+2kπ＜2x≤2kπ+（k∈Z）。所以—+kπ＜x≤kπ+（k∈Z）.所以，函數(shù)y=log2［sin（2x+）]的單調(diào)增區(qū)間為(-+kπ，kπ+］(k∈Z）。方法歸納本題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，使用了整體換元法。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，因此，要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)首先求函數(shù)的定義域。此外，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)寫成區(qū)間的形式.例7討論函數(shù)y=tan（x+)的性質(zhì)。思路分析:本題主要應(yīng)用正切函數(shù)的性質(zhì),只需設(shè)z=x+即可.解：設(shè)u=x+，由于y=tanu的定義域?yàn)?x++kπ)，則有x+≠+kπ,k∈Z，由此可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜x∈R且x≠kπ+，k∈Z}，又函數(shù)y=tanu的值域?yàn)镽，所以函數(shù)y=tan(x+)的值域也是R。又tan（—x+)≠tan(x+）且tan（—x+)≠-tan(x+)，所以函數(shù)y=tan（x+）是非奇非偶函數(shù).又y=tanu的單調(diào)區(qū)間為開區(qū)間（—+kπ,+kπ)(k∈Z），則由—+kπ＜x+＜+kπ,k∈Z可得：函數(shù)y=tan（x+)在（kπ—，kπ+)上是增函數(shù)。由于tan（x+π+)=tan（x+)，所以函數(shù)y=tan(x+)是以π為周期的周期函數(shù)。函數(shù)y=tan(x+)的圖象可看作是函數(shù)y=tanx的圖象向左平移了個(gè)單位。方法歸納一般地，函數(shù)y=Atan（ωx+φ）(A＞0，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間由不等式kπ-＜ωx+φ＜kπ+(k∈Z）得出.知識點(diǎn)3函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象例8（1)函數(shù)y=sin(2x—)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x的圖象經(jīng)過下列哪種變換得到？()A。向右平移個(gè)單位B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位D。向左平移個(gè)單位（2）已知函數(shù)y=f(x)，f（x)的圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然后將整個(gè)圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)y=sinx的圖象,則函數(shù)y=f（x)的表達(dá)式為(）A。y=sin(—）B。y=sin（+）C.y=sin(x+)D。y=sin(2x-）思路解析：（1）由函數(shù)y=sin2x的圖象得到y(tǒng)=sin（2x-)的圖象，由變化規(guī)律可知，需將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位；A項(xiàng)向右平移個(gè)單位得到的函數(shù)的解析式應(yīng)為y=sin2(x-)=sin（2x-），B項(xiàng)中若向左平移個(gè)單位得到的函數(shù)的解析式應(yīng)為y=sin2(x+）=sin(2x+)，D項(xiàng)若向左平移個(gè)單位得到的函數(shù)的解析式應(yīng)為y=sin2（x+）=sin(2x+).(2）是一個(gè)由復(fù)雜函數(shù)y=sin（ωx+φ）的圖象得到一個(gè)簡單函數(shù)y=sinx圖象的問題,可逆過來從簡單函數(shù)的圖象出發(fā)實(shí)施相反的變換過程即可得y=f（x）的解析式。根據(jù)題意，將y=sinx的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)y=sin(x-）的圖象，再將此函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)y=sin(2x-），此即為函數(shù)y=f(x)的解析式。答案:(1）C(2）D方法歸納處理三角函數(shù)圖象變換的問題一定要熟記三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律.當(dāng)由復(fù)雜函數(shù)的解析式通過圖象變換推導(dǎo)簡單函數(shù)的解析式時(shí)，可利用其逆過程。例9不畫圖寫出下列函數(shù)的周期、頻率、振幅和初相。這些函數(shù)的圖象是由正弦曲線經(jīng)過怎樣的變換得出的？(1）y=8sin（-）；(2）y=sin(3x+）。思路分析：由三角函數(shù)周期的計(jì)算公式、頻率的計(jì)算公式、振幅和初相的定義解出.解:(1)由三角函數(shù)周期的計(jì)算公式、頻率的計(jì)算公式、振幅和初相的定義可知：周期為4π，頻率為，振幅為8,初相為—.變換過程是:將正弦曲線上所有的點(diǎn)向右平移，得函數(shù)y=sin（x—）的圖象,將函數(shù)y=sin(x-)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sin（—）的圖象，再將函數(shù)y=sin（-)圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變）即可得到函數(shù)y=8sin（-）的圖象.（2)由三角函數(shù)周期的計(jì)算公式、頻率的計(jì)算公式、振幅和初相的定義可知：周期為，頻率為，振幅為，初相為.將正弦曲線上所有的點(diǎn)向左平移，得到函數(shù)y=sin（x+)的圖象,將函數(shù)y=sin（x+)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(3x+)的圖象，再將函數(shù)y=sin（3x+）圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變)，即可得到函數(shù)y=sin（3x+)的圖象.方法歸納在進(jìn)行三角函數(shù)的圖象的變換時(shí)，一般是先進(jìn)行圖象的左右平移變換，再進(jìn)行自變量x的系數(shù)變換。例10函數(shù)y=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0｜φ｜＜）的最小值是-2,其圖象最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)的差是3π，又圖象過點(diǎn)(0，1），求函數(shù)解析式。思路分析：利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ)(A＞0,ω＞0）的圖象和性質(zhì).以同一周期內(nèi)相鄰的兩個(gè)取最值的橫坐標(biāo)差的絕對值為周期的一半.解：易知A=2,半周期=3π，∴T=6π，即=6π,從而ω=.則y=2sin(x+φ),令x=0,有2sinφ=1.又｜φ｜＜,∴φ=.∴所求函數(shù)解析式為y=2sin(x+）.方法歸納由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0,｜φ｜＜）的圖象，可得函數(shù)的最值、周期、對稱軸和對稱中心等信息.深化升華函數(shù)y=Asin(ωx+φ）（A＞0，ω＞0,｜φ｜＜）的圖象夾在直線y=±A之間,它既是一個(gè)軸對稱圖形，又是一個(gè)中心對稱圖形。它的對稱軸方程由方程ωx+φ=kπ+,k∈Z得出，它的對稱中心的橫坐標(biāo)由方程ωx+φ=kπ，k∈Z得到,縱坐標(biāo)為0.相鄰的兩個(gè)對稱軸之間的距離或相鄰的兩個(gè)對稱中心之間的距離為其周期的一半.知識點(diǎn)4三角函數(shù)的應(yīng)用例11已知某城市一年中12個(gè)月的月平均氣溫與月份數(shù)之間的關(guān)系可以近似地用一個(gè)三角函數(shù)來描述.已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低,為8℃。則這個(gè)三角函數(shù)的表達(dá)式是什么?思路分析：可設(shè)出解析式利用已知條件和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b（A＞0，ω＞0）的性質(zhì)求出系數(shù)即可。解：設(shè)函數(shù)的解析式為y=Asin(ωx+φ）+b（A＞0,ω＞0,—π≤φ＜π），則由已知可得解得又由已知函數(shù)周期的一半為12-6=6，所以函數(shù)的周期為12，即12=。所以ω=。又當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)有最大值為28。所以，有28=10sin(×6+φ）+18,即sin(φ+π)=1，得sinφ=—1。又—π≤φ＜π，所以φ=-.所以，函數(shù)的解析式為y=10sin(x—)+18.方法歸納在利用待定系數(shù)法求y=Asin(ωx+φ)+b（A＞0，ω＞0，-π≤φ＜π)時(shí)，如果有最值點(diǎn)的坐標(biāo),一般是利用最值點(diǎn)來確定解析式中的φ值.例12如圖1—圖1思路分析:根據(jù)右圖，太陽高度角為θ、樓高為h、樓在地面的投影長l與h之間有如下關(guān)系：l=。根據(jù)地理知識，在北京地區(qū)，太陽直射北回歸線時(shí)物體的影子最短，直射南回歸線時(shí)物體的影子最長。因此為了使新樓一層正午的太陽全年不被遮擋，應(yīng)考慮太陽直射南回歸線時(shí)的情況。解：如圖1-圖1根據(jù)太陽高度角的定義，有∠C=90°—｜40°-（-23°26′)｜=26°34′，所以MC=≈2.000h,即在蓋樓時(shí)，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當(dāng)于樓高兩倍的間距.方法歸納實(shí)際問題的背景往往比較復(fù)雜，而且需要綜合應(yīng)用多學(xué)科的知識才能解決它.因此，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意從復(fù)雜的背景中抽取基本數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科來幫助解決問題。問題·探究思想方法探究問題怎樣求方程sinx=解的個(gè)數(shù)?探究過程：根據(jù)我們所學(xué)的知識，還不能解出這個(gè)方程.這時(shí)不妨采用數(shù)形結(jié)合的方法，把求方程根的個(gè)數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=sinx與y=的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題。此外，解題時(shí)還應(yīng)注意兩個(gè)函數(shù)的奇偶性及圖象的特性。具體方法是:作出當(dāng)x≥0時(shí)，y=sinx與y=的圖象，由圖可知它們有4個(gè)交點(diǎn)(包括原點(diǎn)）。又因?yàn)閥=sinx與y=都是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以,當(dāng)x＜0時(shí),兩圖象有3個(gè)交點(diǎn)。所以，函數(shù)y=sinx與y=共有7個(gè)交點(diǎn)，即方程sinx=有7個(gè)根。探究結(jié)論：方程sinx=是一個(gè)超越方程，用代數(shù)的方法是無法求解的,對于超越方程我們只能利用數(shù)形結(jié)合的方法求其近似解和其解的個(gè)數(shù)。具體方法是:首先將方程化為f(x）=g(x）的形式，其中f（x)、g（x）的圖象可以畫出.然后畫出函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象，它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的解，而交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為方程解的個(gè)數(shù)。思維發(fā)散探究問題已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）(ω＞0,0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于