數(shù)學(xué)教材梳理向量的應(yīng)用VIP

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)1.物理學(xué)中的向量物理中有許多量，比如力、速度、加速度、位移等都是具有大小和方向的,因而它們都是向量。力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它們也符合向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解；運(yùn)動(dòng)的疊加也用到了向量的加法.在物理中動(dòng)量是向量的數(shù)乘，力所做的功是向量的數(shù)量積。深化升華數(shù)學(xué)與物理學(xué)是密不可分的兩門自然科學(xué),它們之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。用數(shù)學(xué)知識(shí)研究物理問題的方法是:首先把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型,然后利用建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型解釋和回答相關(guān)的物理問題。學(xué)法一得向量在物理學(xué)中最基本的應(yīng)用就是力、速度、加速度、位移的合成與分解。2。向量在平面幾何中的應(yīng)用由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積表示出來(lái),因此,可以用向量方法解決平面幾何中的一些問題。解決幾何問題時(shí),先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素;然后通過(guò)向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積來(lái)研究點(diǎn)、線段等元素之間的關(guān)系;最后再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯"成幾何關(guān)系，得到幾何結(jié)論.這就是用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系;（3）再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯"成幾何關(guān)系。學(xué)法一得由于向量的數(shù)量積主要涉及向量的模及向量的夾角,因此，平面幾何中涉及到距離(線段長(zhǎng)度)、垂直和夾角問題時(shí),常利用向量的數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)來(lái)解決.典題·熱題知識(shí)點(diǎn)1物理學(xué)中的向量例1如圖2-5—2,在日常生活中,我們有時(shí)要用同樣長(zhǎng)的兩根繩子掛一個(gè)物體，如果繩子的最大拉力為F,物體受到的重力為圖2思路分析：為了確切描述這一問題,應(yīng)先把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，畫出力的示意圖.解:由向量的平行四邊形法則、力的平衡及直角三角形的有關(guān)知識(shí)易得出|M｜=.方法歸納解決力的合成與分解問題,關(guān)鍵是畫出示意圖，并利用向量的運(yùn)算法則進(jìn)行解題.巧妙變式上題中求的是拉力與兩繩夾角間的關(guān)系，本題也可以改結(jié)論,將所求的結(jié)論變成“兩繩之間的夾角θ為何值時(shí)，拉力M最小，最小值是多少”.思路分析：結(jié)合上題的解法找出拉力M的大小與兩繩之間的夾角θ之間的關(guān)系,然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.例2如圖2—5-3,一條河的兩岸平行,河寬為500米，一艘船從A處出發(fā)到對(duì)岸，船速為圖2思路分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對(duì)岸的方向行駛,就能使航程最短,所用的時(shí)間也最短,考慮到水流速度,要使船行駛最短的航程，那么船的速度與水流速度的合速度應(yīng)垂直于對(duì)岸.解:要使船行駛最短的航程,那么船的速度與水流速度的合速度應(yīng)垂直于對(duì)岸。如圖2-圖2|v｜=.所以,所用時(shí)間t=×60≈3.1（分鐘）。方法歸納在用向量解決物理問題時(shí),也要注意平面幾何知識(shí)在解題過(guò)程中的應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)2向量在平面幾何中的應(yīng)用例3已知A、B、C是坐標(biāo)平面上的三點(diǎn),其坐標(biāo)分別為A(1,2)、B(4,1)、C（0，—1),則三角形ABC的形狀為(）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D。以上均不對(duì)思路解析:由于=(3，-1）,=(—1,—3)，所以||=｜｜=。又·=3×（—1)+（-1）×(-3）=0，所以⊥。所以,三角形ABC為等腰直角三角形。答案:C方法歸納當(dāng)已知三角形三頂點(diǎn)坐標(biāo)而判斷其形狀時(shí)，可轉(zhuǎn)化為向量知識(shí)來(lái)解決,利用向量的模判斷三邊關(guān)系，而利用夾角公式求三個(gè)內(nèi)角.深化升華判斷三角形的形狀要從邊和角這兩方面入手.例4如圖2—5-5所示，已知點(diǎn)M、N、L分別為△ABC的邊AC、AB、BC上的點(diǎn),且=l，=m,=n，=0,試求l、m、n的關(guān)系.圖2-5思路分析:取一組向量作為基底,將、、表示這組基底的線性組合，再用平面向量基本定理比較基底的系數(shù)，即可得出結(jié)論.解：以=a,=b為一組基底，根據(jù)已知條件有=la，=mb.又=—a-b，則有=-na—nb。則=(l-1）a—b。①=a+mb,②=—na+（1-n)b.③將①②③代入=0,整理得（l-n）a+（m-n)b=0，根據(jù)平面向量基本定理有l(wèi)-n=m—n=0,即l=m=n.方法歸納在平面幾何中,利用向量找線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系一般利用向量的線性運(yùn)算或向量模的計(jì)算公式。問題·探究思想方法探究問題：求等腰直角三角形兩直角邊上的中線所成鈍角的余弦值。探究過(guò)程：由于題目中涉及到了兩直線所成的鈍角的余弦值的問題，而由向量數(shù)量積的性質(zhì)可知，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)可以處理向量的夾角問題，則可考慮建立直角坐標(biāo)系，構(gòu)造向量,利用向量數(shù)量積的性質(zhì)求夾角。因此可如圖2-圖2設(shè)A(2,0）、B（0,2),則F(1,0)、E（0，1),所以cos∠EGF===—。探究結(jié)論：由于向量有幾何意義、向量運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算,因此將