數(shù)學教材梳理向量的應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精皰丁巧解牛知識·巧學1.物理學中的向量物理中有許多量，比如力、速度、加速度、位移等都是具有大小和方向的,因而它們都是向量。力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它們也符合向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解；運動的疊加也用到了向量的加法.在物理中動量是向量的數(shù)乘，力所做的功是向量的數(shù)量積。深化升華數(shù)學與物理學是密不可分的兩門自然科學,它們之間有著千絲萬縷的聯(lián)系。用數(shù)學知識研究物理問題的方法是:首先把物理問題轉化成數(shù)學問題，即將物理量之間的關系抽象成數(shù)學模型,然后利用建立起來的數(shù)學模型解釋和回答相關的物理問題。學法一得向量在物理學中最基本的應用就是力、速度、加速度、位移的合成與分解。2。向量在平面幾何中的應用由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算和數(shù)量積表示出來,因此,可以用向量方法解決平面幾何中的一些問題。解決幾何問題時,先用向量表示相應的點、線段、夾角等幾何元素;然后通過向量的運算，特別是數(shù)量積來研究點、線段等元素之間的關系;最后再把運算結果“翻譯"成幾何關系，得到幾何結論.這就是用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系;（3）再把運算結果“翻譯"成幾何關系。學法一得由于向量的數(shù)量積主要涉及向量的模及向量的夾角,因此，平面幾何中涉及到距離(線段長度)、垂直和夾角問題時,常利用向量的數(shù)量積運算及其性質來解決.典題·熱題知識點1物理學中的向量例1如圖2-5—2,在日常生活中,我們有時要用同樣長的兩根繩子掛一個物體，如果繩子的最大拉力為F,物體受到的重力為圖2思路分析：為了確切描述這一問題,應先把物理問題轉化為數(shù)學問題，畫出力的示意圖.解:由向量的平行四邊形法則、力的平衡及直角三角形的有關知識易得出|M｜=.方法歸納解決力的合成與分解問題,關鍵是畫出示意圖，并利用向量的運算法則進行解題.巧妙變式上題中求的是拉力與兩繩夾角間的關系，本題也可以改結論,將所求的結論變成“兩繩之間的夾角θ為何值時，拉力M最小，最小值是多少”.思路分析：結合上題的解法找出拉力M的大小與兩繩之間的夾角θ之間的關系,然后利用三角函數(shù)的性質求最值即可.例2如圖2—5-3,一條河的兩岸平行,河寬為500米，一艘船從A處出發(fā)到對岸，船速為圖2思路分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對岸的方向行駛,就能使航程最短,所用的時間也最短,考慮到水流速度,要使船行駛最短的航程，那么船的速度與水流速度的合速度應垂直于對岸.解:要使船行駛最短的航程,那么船的速度與水流速度的合速度應垂直于對岸。如圖2-圖2|v｜=.所以,所用時間t=×60≈3.1（分鐘）。方法歸納在用向量解決物理問題時,也要注意平面幾何知識在解題過程中的應用.知識點2向量在平面幾何中的應用例3已知A、B、C是坐標平面上的三點,其坐標分別為A(1,2)、B(4,1)、C（0，—1),則三角形ABC的形狀為(）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D。以上均不對思路解析:由于=(3，-1）,=(—1,—3)，所以||=｜｜=。又·=3×（—1)+（-1）×(-3）=0，所以⊥。所以,三角形ABC為等腰直角三角形。答案:C方法歸納當已知三角形三頂點坐標而判斷其形狀時，可轉化為向量知識來解決,利用向量的模判斷三邊關系，而利用夾角公式求三個內(nèi)角.深化升華判斷三角形的形狀要從邊和角這兩方面入手.例4如圖2—5-5所示，已知點M、N、L分別為△ABC的邊AC、AB、BC上的點,且=l，=m,=n，=0,試求l、m、n的關系.圖2-5思路分析:取一組向量作為基底,將、、表示這組基底的線性組合，再用平面向量基本定理比較基底的系數(shù)，即可得出結論.解：以=a,=b為一組基底，根據(jù)已知條件有=la，=mb.又=—a-b，則有=-na—nb。則=(l-1）a—b。①=a+mb,②=—na+（1-n)b.③將①②③代入=0,整理得（l-n）a+（m-n)b=0，根據(jù)平面向量基本定理有l(wèi)-n=m—n=0,即l=m=n.方法歸納在平面幾何中,利用向量找線段長度之間的關系一般利用向量的線性運算或向量模的計算公式。問題·探究思想方法探究問題：求等腰直角三角形兩直角邊上的中線所成鈍角的余弦值。探究過程：由于題目中涉及到了兩直線所成的鈍角的余弦值的問題，而由向量數(shù)量積的性質可知，利用向量數(shù)量積的性質可以處理向量的夾角問題，則可考慮建立直角坐標系，構造向量,利用向量數(shù)量積的性質求夾角。因此可如圖2-圖2設A(2,0）、B（0,2),則F(1,0)、E（0，1),所以cos∠EGF===—。探究結論：由于向量有幾何意義、向量運算和坐標運算,因此將