數(shù)學(xué)教材習(xí)題點(diǎn)撥：變化率與導(dǎo)數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點(diǎn)撥1．(思考1）當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí)，氣球的平均膨脹率是多少？答：氣球的平均膨脹率為eq\f(rV2－rV1，V2－V1）＝eq\f(\r（3,\f（3V2，4π））－\r(3，\f(3V1，4π)）,V2－V1)。2．（探究)計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0≤t≤eq\f(65,49)這段時(shí)間里的平均速度,并思考下面的問(wèn)題:（1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?（2）你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎?答：（1)運(yùn)動(dòng)員不是靜止的；（2）在0≤t≤eq\f(65，49)這段時(shí)間內(nèi)的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(h\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(65，49)）)－h(huán)0，\f(65,49)－0）＝0,而運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)不是靜止的，因此用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的狀態(tài)不合適．3．（思考2)觀察函數(shù)y＝f（x)的圖象，平均變化率eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1）表示什么？答：eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1）表示y＝f（x）圖象上兩點(diǎn)A(x1，f(x1)）、B（x2，f（x2））連線的斜率．（1）運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度怎樣表示？(2）函數(shù)f（x）在x＝x0處的瞬時(shí)變化率怎樣表示?答：(1)運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度為eq\o(lim,\s\do4（Δt→0))eq\f（ht0＋Δt－h(huán)t0，Δt)；(2）函數(shù)y＝f(x）在x＝x0處的瞬時(shí)變化率為eq\o(lim,\s\do4(Δx→0）)eq\f（Δy，Δx)＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0））eq\f（fx0＋Δx－fx0,Δx）.練習(xí)解:在第3h和5h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為－1和3。它說(shuō)明在第3h附近,原油溫度大約以1℃/h的速率下降；在第5h時(shí),原油溫度大約以3℃/h的速率上升．（問(wèn)題)此處的切線定義與以前學(xué)過(guò)的切線定義有什么不同？答：初中平面幾何中圓的切線的定義：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切．這時(shí)直線叫做圓的切線,惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．圓是一種特殊的曲線．這種定義并不適用于一般曲線的切線．比如圖中的曲線C，直線l1雖然與曲線C有唯一的公共點(diǎn)N，但我們不能認(rèn)為它與曲線C相切;而另一條直線l2,雖然與曲線C有不止一個(gè)公共點(diǎn)，我們還是認(rèn)為它是曲線C在點(diǎn)M處的切線．因此,以上圓的切線的定義并不適用于一般的曲線．通過(guò)逼近方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線，適用于各種曲線．所以,這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)．練習(xí)1解：函數(shù)h(t)在t＝t3附近單調(diào)遞增,在t＝t4附近單調(diào)遞增．并且,函數(shù)h（t)在t4附近比在t3附近增加得慢．點(diǎn)撥：體會(huì)“以直代曲”的思想．練習(xí)20．29;0.18.習(xí)題1。1A組1．解：在t0處，雖然W1（t0）＝W2（t0)，然而eq\f(W1t0－W1t0－Δt,－Δt)≥eq\f（W2t0－W2t0－Δt,－Δt），所以單位時(shí)間里企業(yè)甲比企業(yè)乙的平均治污率大，因此企業(yè)甲比企業(yè)乙略好一籌．點(diǎn)撥：考查平均變化率的應(yīng)用，體會(huì)平均變化率的內(nèi)涵．2．解：eq\f(Δh，Δt)＝eq\f(h1＋Δt－h(huán)1，Δt）＝－4。9Δt－3。3，所以h′(1)＝－3。3。這說(shuō)明運(yùn)動(dòng)員在t＝1s附近以每秒3.3m的速度下降．3．解：物體在第5s的瞬時(shí)速度就是函數(shù)s(t)在t＝5時(shí)的導(dǎo)數(shù)．eq\f（Δs，Δt）＝eq\f(s5＋Δt－s5，Δt）＝Δt＋10，所以s′(5）＝10。因此物體在第5s時(shí)的瞬時(shí)速度為10m/s，它在第5s的動(dòng)能U＝eq\f（1，2）×3×102＝150J.4．解:設(shè)車輪的角速度為θ，時(shí)間為t，則θ＝kt2(k＞0)．由題意可知，當(dāng)t＝0.8時(shí),θ＝2π。所以k＝eq\f(25π，8)，于是θ＝eq\f（25π,8)t2。車輪轉(zhuǎn)動(dòng)開(kāi)始后第3。2s時(shí)的瞬時(shí)角速度就是函數(shù)θ（t)在t＝3.2s時(shí)的導(dǎo)數(shù)．eq\f（Δθ，Δt)＝eq\f（θ3.2＋Δt－θ3.2，Δt)＝eq\f（25π，8)Δt＋20π，所以θ′(3.2)＝20π.因此，車輪在開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后第3.2s時(shí)的瞬時(shí)角速度為20π弧度/秒．5．解:由題圖可知，函數(shù)f(x)在x＝－5處切線的斜率大于零，所以函數(shù)在x＝－5附近單調(diào)遞增．同理可得，函數(shù)f(x）在x＝－4、－2、0、1附近分別單調(diào)遞增、幾乎沒(méi)有變化、單調(diào)遞減、單調(diào)遞減．點(diǎn)撥：“以直代曲”思想的應(yīng)用．6．解:第一個(gè)函數(shù)的圖象是一條直線，其斜率是一個(gè)小于零的數(shù)，因此，其導(dǎo)數(shù)f′（x）的圖象如圖（1)所示；第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）恒大于零，并且隨著x的增加，f′(x)的值也在增加，如圖(2）所示；對(duì)于第三個(gè)函數(shù)，當(dāng)x小于零時(shí)，f′（x)小于零,當(dāng)x大于零時(shí)，f′(x)大于零，并且隨著x的增加，f′(x）的值也在增加，如圖(3)所示．以下給出了滿足上述條件的導(dǎo)函數(shù)圖象中的一種．點(diǎn)撥：本題意在讓學(xué)生將導(dǎo)數(shù)與曲線的切線斜率相聯(lián)系．B組1．解：高度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)刻畫的是運(yùn)動(dòng)變化的快慢，即速度；速度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)刻畫的是速度變化的快慢，根據(jù)物理知識(shí)，這個(gè)量就是加速度．2．解：如圖所示．點(diǎn)撥:由給出的v(t）的信息獲得s(t)的相關(guān)信息,并據(jù)此畫出s(t）的圖象的大致的形狀．這個(gè)過(guò)程基于對(duì)導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的了解，以及數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換．3．解：由題意可知，函數(shù)f（x)的圖象在點(diǎn)(1，－5)處的切線斜率為－1