2024-2025學(xué)年湖南省“炎德·英才·名校聯(lián)考聯(lián)合體”高二第一次聯(lián)考(暨入學(xué)檢測(cè))數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省“炎德·英才·名校聯(lián)考聯(lián)合體”高二第一次聯(lián)考(暨入學(xué)檢測(cè))數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=7i3+i的虛部為(

)A.2110 B.?2110 C.212.已知集合U=R，A={x|12<12x+1<A.A??UB B.?UA?B 3.已知cos2α=18，α∈(0,π2A.?74 B.74 4.已知命題甲：“實(shí)數(shù)x，y滿足yx=xy”，乙：“實(shí)數(shù)x，y滿足xA.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知a=40.1，b=(0.1)0.4，c=A.a>c>b B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b6.將函數(shù)f(x)=cos(2ωx+π?ωπ4)(ω>0)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間(πA.14 B.12 C.347.由于豬肉的價(jià)格有升也有降，小張想到兩種買肉方案.第一種方案：每次買3斤豬肉;第二種方案：每次買50元豬肉.下列說法正確的是(

)A.采用第一種方案劃算 B.采用第二種方案劃算

C.兩種方案一樣 D.采用哪種方案無法確定8.[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x+2)為偶函數(shù)，f(?2)=?8，對(duì)于區(qū)間[0,2]上的任意x1，x2都有f(x1+4)?f(x2+4)x2?A.0 B.1 C.2 D.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)向量a=(3,k)，b=(2,?1)，則下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.若a與b的夾角為鈍角，則k>6

B.|a|的最小值為9

C.與b共線的單位向量只有一個(gè)，為(22,?10.隨機(jī)抽取8位同學(xué)對(duì)2024年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷的平均分進(jìn)行預(yù)估，得到一組樣本數(shù)據(jù)如下：97，98，99，100，101，103，104，106，則下列關(guān)于該樣本的說法正確的有(

)A.均值為101 B.極差為9

C.方差為8 D.第60百分位數(shù)為10111.陽馬和鱉臑[biē?nào]是我國(guó)古代對(duì)一些特殊錐體的稱謂，取一長(zhǎng)方體按下圖斜割一分為二，得兩個(gè)一模一樣的三棱柱(圖2，圖3)，稱為塹堵.再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(圖4)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè).以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬(圖5).余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑(圖6).若圖1中的長(zhǎng)方體是棱長(zhǎng)為1的正方體，則下列結(jié)論正確的是(

)

A.鱉臑中的四個(gè)直角三角形全等

B.塹堵的表面積等于陽馬與鱉臑的表面積之和

C.鱉臑的體積等于陽馬體積的一半

D.鱉臑的內(nèi)切球表面積為(3?2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若A，B，C三點(diǎn)共線，對(duì)任意一點(diǎn)O，有2OA?OC=2cosα?OB(α13.已知函數(shù)f(x)=a3x+1滿足f(0)=12，則14.如圖，已知點(diǎn)A，B在圓錐SO的底面圓周上，S為圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐的底面中心，且圓錐SO的底面積為4π，∠ASB=30°，若AB與截面SAO所成角為60°，則圓錐SO的側(cè)面積為

．

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=sinωxcos(1)求ω;(2)求f(x)在區(qū)間[?π416.(本小題12分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA(a(1)求A;(2)若b2+c217.(本小題12分)隨著時(shí)代不斷地進(jìn)步，人們的生活條件也越來越好，越來越多的人注重自己的身材，其中體脂率是一個(gè)很重要的衡量標(biāo)準(zhǔn).根據(jù)一般的成人標(biāo)準(zhǔn)，女性體脂率的正常范圍是20%至25%，男性的正常范圍是15%至18%.這一范圍適用于大多數(shù)成年人，可以幫助判斷個(gè)體是否存在肥胖的風(fēng)險(xiǎn)．某市有關(guān)部門對(duì)全市100萬名成年女性的體脂率進(jìn)行一次抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)，抽取了1000名成年女性的體脂率作為樣本繪制頻率分布直方圖如圖．

(1)求a;(2)如果女性體脂率為25%至30%屬“偏胖”，體脂率超過30%屬“過胖”，那么全市女性“偏胖”，“過胖”各約有多少人?(3)小王說：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).”小張說：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù).”那么誰的體脂率更低?18.(本小題12分)如圖，四棱錐P?ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD，設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．(1)證明：l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．19.(本小題12分)在扔硬幣猜正反游戲中，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)，猜是正面的概率為α(0<α<1)，猜是反面的概率為1?α;當(dāng)硬幣出現(xiàn)反面時(shí)，猜是反面的概率為β(0<β<1)，猜是正面的概率為1?β.假設(shè)每次扔硬幣相互獨(dú)立．(1)若兩次扔硬幣分別為“正反”，設(shè)猜測(cè)全部正確與猜測(cè)全部錯(cuò)誤的概率分別為P1，P2，試比較P1，(2)若不管扔硬幣是正面還是反面，猜對(duì)的概率都大于猜錯(cuò)的概率，(ⅰ)從下面?①?②?③?④中選出一定錯(cuò)誤的結(jié)論：?①α+β=3(ⅱ)從(ⅰ)中選出一個(gè)可能正確的結(jié)論作為條件，用X表示猜測(cè)的正反文字串，將X中正面的個(gè)數(shù)記為n(X)，如X=“正反正反”，則n(X)=2.若扔四次硬幣分別為“正正反反”，求P(n(X)=2)的取值范圍．

參考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.C

6.D

7.B

8.C

9.BC

10.ABD

11.CD

12.π313.1

14.2(15.解：(1)因?yàn)閒(π4)=0，

所以f(π4)=sinπ4ωcosπ4ω?cos2π4

=12sinπ2ω?(22)2=12sinπ2ω?12=0，

所以sinπ2ω=1，

所以π2ω=π2+2kπ(k∈Z)，

解得ω=1+4k(k∈Z)，

又0<ω<516.解：(1)因?yàn)閟inA(acosC?12b)=cosA(32b?asinC)，

所以a(sinAcosC+cosAsinC)=12bsinA+32bcosA，

所以asin(A+C)=12bsinA+32bcos17.解：(1)由圖可知，(2a+0.03+0.07+6a+2a)×5=1，解得a=0.01．

(2)因?yàn)榕泽w脂率為25%至30%的頻率為0.06×5=0.3，

女性體脂率超過30%的頻率為0.02×5=0.1，

所以全市女性“偏胖”約有100×0.3=30(萬人)，

“過胖”約有100×0.1=10(萬人)．

(3)[10,20)的頻率為(0.02+0.03)×5=0.25，

[10,25)的頻率為(0.02+0.03+0.07)×5=0.6，

所以中位數(shù)位于[20,25)內(nèi)，設(shè)為x0，

則(0.02+0.03)×5+(x0?20)×0.07=0.5，解得x0≈23.57;

平均數(shù)為x18.(1)證明：在正方形ABCD中，AD//BC，

因?yàn)锳D?平面PBC，BC?平面PBC，

所以AD//平面PBC，

又因?yàn)锳D?平面PAD，平面PAD∩平面PBC=l，

所以AD//l，

因?yàn)樵谒睦忮FP?ABCD中，底面ABCD是正方形，

所以AD⊥DC，所以l⊥DC，

因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，

所以AD⊥PD，所以l⊥PD，

因?yàn)镃D∩PD=D，CD，PD?平面PDC，

所以l⊥平面PDC；

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，

因?yàn)镻D=AD=1，

則有D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0)，

設(shè)Q(m,0,1)，則有DC=(0,1,0),DQ=(m,0,1),PB=(1,1,?1)，

設(shè)平面QCD的法向量為n=(x,y,z)，

則n?DC=0n?DQ=0，，即y=0mx+z=0,

令x=1，則z=?m，

所以平面QCD的一個(gè)法向量為n=(1,0,?m)，

則cos<n,PB>=n?19.解：(1)猜測(cè)全部正確的概率為P1=αβ，

猜測(cè)全部錯(cuò)誤的概率為P2=(1?α)(1?β)，

因?yàn)镻2?P1=(1?α)(1?β)?αβ=1?(α+β)，

所以當(dāng)α+β<1時(shí)，P1<P2;

當(dāng)α+β=1時(shí)，P1=P2;

當(dāng)α+β>1時(shí)，P1>P2．

(2)(i)若不管扔硬幣是正面還是反面，猜對(duì)的概率都大于猜錯(cuò)的概率，

則α>1?αβ>1?β解得α>12β>12,

所以12<α<1,12<β<1,

所以1<α+β<2，14<αβ<1．

因此，?②?④一定錯(cuò)誤．

(ii)若扔四次硬幣分別為“正正反反”，事件n(X)=2包含以下三種情況：

兩個(gè)正都猜對(duì)，且兩個(gè)反都猜對(duì)，其概率為α2β2;

有且只有一個(gè)正猜對(duì)，且有且只有一個(gè)反猜對(duì)，