2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第08講函數(shù)與方程(知識(shí)+真題+7類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第08講函數(shù)與方程目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷 3高頻考點(diǎn)二：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 3高頻考點(diǎn)三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù) 4高頻考點(diǎn)四：比較零點(diǎn)大小關(guān)系 5高頻考點(diǎn)五：求零點(diǎn)和 5高頻考點(diǎn)六：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù) 6高頻考點(diǎn)七：二分法求零點(diǎn) 7第四部分：新定義題（解答題） 8第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于一般函數(shù)，我們把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．注意函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).2、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．3、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的根.注：上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).4、二分法對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值．5、高頻考點(diǎn)技巧①若連續(xù)不斷的函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；③函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)；④函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，其中為常數(shù).第二部分：高考真題回顧1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè),函數(shù),若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷典型例題例題1．（2024上·安徽六安·高一六安一中?？计谀┖瘮?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．例題2．（2024上·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．練透核心考點(diǎn)1．（2024上·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．高頻考點(diǎn)二：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷典型例題例題1．（2024下·河南·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例題2．（2024下·河北保定·高一河北安國中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例題3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．8 C．10 D．12練透核心考點(diǎn)1．（2024上·全國·高三統(tǒng)考競賽）方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2024下·重慶·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)有（

）A．4個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)高頻考點(diǎn)三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù)典型例題例題1．（2024上·山東日照·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)所有零點(diǎn)的乘積為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題2．（2024上·浙江嘉興·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．練透核心考點(diǎn)1．（2024上·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024上·上?！じ叨軛疃行？计谀┮阎?，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則b的取值范圍是.高頻考點(diǎn)四：比較零點(diǎn)大小關(guān)系典型例題例題1．（2024下·河南·高一信陽高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別是，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．例題2．（多選）（2024上·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）已知曲線、與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，則（

）A． B．C． D．

練透核心考點(diǎn)1．（2024上·湖南株洲·高一統(tǒng)考期末）.已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．2．（2024上·廣東·高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．高頻考點(diǎn)五：求零點(diǎn)和典型例題例題1．（2024·廣東·珠海市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足：且，，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（）A． B． C． D．02．（2024上·安徽亳州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則常數(shù)a的取值范圍為．高頻考點(diǎn)七：二分法求零點(diǎn)典型例題例題1．（2024上·吉林延邊·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（）A． B．C． D．例題2．（多選）（2024上·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，某同學(xué)用二分法求方程的近似解精確度為，列出了對(duì)應(yīng)值表如下：依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，方程的近似解不可能為（

）A． B． C． D．例題3．（2024上·湖南株洲·高一株洲二中?？计谀┯枚址ㄇ蠛瘮?shù)在區(qū)間的零點(diǎn)，若要求精確度，則至少進(jìn)行次二分.練透核心考點(diǎn)1．（2024上·湖南株洲·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，現(xiàn)用二分法求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)的近似值，則使用兩次二分法后，零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，用二分法求方程近似解時(shí)，至少需要求（

）次中點(diǎn)值可以求得近似解（精確度為0.01）.A．5 B．6 C．7 D．83．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ杏胖袑W(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)在區(qū)間的一個(gè)零點(diǎn)的近似值用二分法逐次計(jì)算列表如下：那么方程的一個(gè)近似解為（精確到0.1）第四部分：新定義題（解答題）例題1．（2024上·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)和非零實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)為“伴和函數(shù)”.(1)判斷是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為“伴和函數(shù)”？若存在，請(qǐng)求出的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)證明：函數(shù)在上為“伴和函數(shù)”；(3)若函數(shù)在上為“伴和函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題2．（2024上·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，我們就稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，實(shí)數(shù)為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù)，，若存在，使得，則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).(1)證明：函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)一定是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).(2)已知函數(shù)，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)和穩(wěn)定點(diǎn)；（Ⅱ）若存在，使函數(shù)有三個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，求的值和實(shí)數(shù)的取值范圍.第08講函數(shù)與方程目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4高頻考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷 4高頻考點(diǎn)二：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 6高頻考點(diǎn)三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù) 8高頻考點(diǎn)四：比較零點(diǎn)大小關(guān)系 12高頻考點(diǎn)五：求零點(diǎn)和 15高頻考點(diǎn)六：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù) 18高頻考點(diǎn)七：二分法求零點(diǎn) 21第四部分：新定義題（解答題） 23第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于一般函數(shù)，我們把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．注意函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).2、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．3、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的根.注：上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).4、二分法對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值．5、高頻考點(diǎn)技巧①若連續(xù)不斷的函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；③函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)；④函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，其中為常數(shù).第二部分：高考真題回顧1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè),函數(shù),若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，此時(shí)成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時(shí)，，此時(shí)成立．（2）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，顯然不成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時(shí)，，顯然不成立；綜上，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為．所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對(duì)值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對(duì)應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)，從而解出．2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出，求出的取值范圍，然后對(duì)實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得或.①當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，所以，，解得；③當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，合乎題意；④當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，可得，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷典型例題例題1．（2024上·安徽六安·高一六安一中?？计谀┖瘮?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可判斷和選擇.【詳解】在上都是單調(diào)增函數(shù)，故在上是單調(diào)增函數(shù)；又，，，；故的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C.例題2．（2024上·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可判斷選項(xiàng).【詳解】在上單調(diào)遞增，也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以，則在上無零點(diǎn).因?yàn)?，，，，所以，則根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，在上有零點(diǎn).故選：D練透核心考點(diǎn)1．（2024上·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在原理進(jìn)行求解即可.【詳解】由條件知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理知該函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為，故選：B2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由零點(diǎn)的存在定理，判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增．由，，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B．高頻考點(diǎn)二：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷典型例題例題1．（2024下·河南·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點(diǎn)問題，畫圖可解.【詳解】令，得，畫出函數(shù)與的圖象，可得這兩個(gè)函數(shù)在上的圖象有唯一公共點(diǎn)，故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．故選：B例題2．（2024下·河北保定·高一河北安國中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】當(dāng)時(shí)，解二次方程得函數(shù)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，把函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得或；當(dāng)時(shí)，令，則，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，可知在上有一個(gè)公共點(diǎn).故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：C例題3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】由函數(shù)偶函數(shù)性質(zhì)及結(jié)合得到函數(shù)的周期，然后求出的在上的解析式，則求的零點(diǎn)就等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，作出相關(guān)圖形，從而可求解.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，所以，因?yàn)閷?duì)任意，都有，即，所以函數(shù)的周期，當(dāng)時(shí)，，則，對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，如圖所示，一共有10個(gè)交點(diǎn)，故C正確.故選：C.練透核心考點(diǎn)1．（2024上·全國·高三統(tǒng)考競賽）方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義即可求解.【詳解】依題意，原方程等價(jià)于即，顯然只有一個(gè)正實(shí)根.故選：B.2．（2024下·重慶·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)有（

）A．4個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】B【分析】結(jié)合函數(shù)與的圖象可得正確的選項(xiàng).【詳解】令，即，可知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖像，可知與的函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè).故選：C.高頻考點(diǎn)三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù)典型例題例題1．（2024上·山東日照·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)所有零點(diǎn)的乘積為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)的圖象，利用換元，令，將原問題轉(zhuǎn)化為的所有解的乘積為1，結(jié)合函數(shù)圖象，分類討論，即可求得答案.【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖象如圖：令，則函數(shù)，即，即，即，由題意函數(shù)所有零點(diǎn)的乘積為1，可知的所有解的乘積為1，而的解可看作函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；結(jié)合的圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，且，即，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，其中最左側(cè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于等于0，則的所有解的乘積小于等于0，不合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，且，即，符合題意；綜合以上可知實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）轉(zhuǎn)化法：利用換元法，令，將函數(shù)所有零點(diǎn)的乘積為1，轉(zhuǎn)化為的所有解的乘積為1；（2）數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，分類討論，解決問題.例題2．（2024上·浙江嘉興·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】令，則只有一個(gè)零點(diǎn)，即，據(jù)此即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則只有一個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)為正數(shù)，，根據(jù)函數(shù)和的圖象及凹凸性可知，只需滿足即可，即：，又因?yàn)?，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題令，則只有一個(gè)零點(diǎn)，即的分析.練透核心考點(diǎn)1．（2024上·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由函數(shù)零點(diǎn)的定義得到，再結(jié)合條件進(jìn)行變形，，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解取值范圍.【詳解】由題意可知，，，即，因?yàn)椋?，則，當(dāng)時(shí)，解得：.故選：D2．（2024上·上海·高二曹楊二中?？计谀┮阎絷P(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則b的取值范圍是.【答案】【分析】方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合即可求.【詳解】由題意，表示交點(diǎn)在軸上的橢圓的上半部分，且左頂點(diǎn)為，表示斜率為1的一組平行線，

若直線與橢圓相切時(shí)，由得，所以，解得（負(fù)根舍去），當(dāng)兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)圖象，縱截距的取值范圍為：.故答案為：高頻考點(diǎn)四：比較零點(diǎn)大小關(guān)系典型例題例題1．（2024下·河南·高一信陽高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別是，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，從而將問題轉(zhuǎn)化為、、與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】令，得，則為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出和的圖象，如圖所示，

由圖可知，.故選：B例題2．（多選）（2024上·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）已知曲線、與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)題意是與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出圖象，利用圖象對(duì)稱性依次求解判斷.【詳解】由，得，即是與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，得，即是與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出，，，的圖象，如下圖所示，與它們的交點(diǎn)依次為，與關(guān)于直線對(duì)稱，所以，關(guān)于對(duì)稱，則，，由，解得，所以，故A正確；對(duì)于B，由，且，則，，所以，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，故B正確；對(duì)于C，由，，所以，故C正確；對(duì)于D，由，，則，若，則，當(dāng)時(shí)與矛盾，又顯然不成立，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.

練透核心考點(diǎn)1．（2024上·湖南株洲·高一統(tǒng)考期末）.已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)分別為，可轉(zhuǎn)化為與三個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，在同一坐標(biāo)系下，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象可得：.故選：B.2．（2024上·廣東·高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】由，可得，所以，故，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，如圖，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，可知.故選：A.高頻考點(diǎn)五：求零點(diǎn)和典型例題例題1．（2024·廣東·珠海市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足：且，，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（）A． B． C． D．0【答案】B【分析】首先利用函數(shù)的性質(zhì)畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，再結(jié)合對(duì)稱性求所有實(shí)數(shù)根的和.【詳解】由題意知，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的周期為2，則函數(shù)，在區(qū)間上的圖象如下圖所示：由圖形可知函數(shù)，在區(qū)間上的交點(diǎn)為，易知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,若設(shè)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根之和為.故選：B例題2．（2024下·湖南長沙·高二長沙一中校考開學(xué)考試）已知函數(shù)，則直線與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．【答案】12【分析】由可得，令，，分析可知與圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由可得，令，，則函數(shù)的定義域?yàn)?，其最小正周期，令，解得，?dāng)時(shí)，，即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意，，所以函數(shù)圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由于函數(shù)與在上均為增函數(shù)，則函數(shù)在上也為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，，作出與圖象如下：

由圖可知，函數(shù)與的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，其中這6個(gè)交點(diǎn)滿足三對(duì)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因此直線與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.故答案為：12練透核心考點(diǎn)1．（2024上·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，若方程在上有實(shí)根，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（

）A．30 B．14 C．12 D．6【答案】A【分析】先根據(jù)題干求出函數(shù)的最小正周期，在畫出函數(shù)的大致圖像即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，且又因?yàn)?，所以即且函?shù)關(guān)于對(duì)稱，令得，所以，即函數(shù)的最小正周期，再由函數(shù)在上單調(diào)遞減，方程在有實(shí)根可知方程在有且僅有一個(gè)實(shí)根，函數(shù)的大致圖像如圖所示：

由圖可知函數(shù)與在區(qū)間有個(gè)交點(diǎn)，且兩兩對(duì)稱所以.故選：A2．（2024上·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，若存在，使得，則的取值可以是（

）A． B．3 C． D．【答案】CD【分析】設(shè)，則直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性求出的取值范圍即可.【詳解】設(shè)，作出函數(shù)與的圖象，如圖：觀察圖形知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則，且函數(shù)在上為增函數(shù)，由，，得，因此，所以的取值可以是，.故選：CD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求函數(shù)零點(diǎn)和的取值范圍問題，解題的關(guān)鍵在于分析函數(shù)圖象的對(duì)稱性，求出，結(jié)合不等式求出的取值范圍，進(jìn)而求解.高頻考點(diǎn)六：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)典型例題例題1．（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）若方程的實(shí)根在區(qū)間上，則（

）A． B．2 C．或2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)來求解，畫出函數(shù)圖象觀察交點(diǎn)范圍，再用零點(diǎn)存在性定理證明即可.【詳解】方程化為，分別做出方程左右兩邊的圖象，從圖象可知，方程，方程有兩個(gè)分別在和之間的根，下面證明：方程在和之間各有一個(gè)實(shí)根，設(shè)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得在區(qū)間上是增函數(shù)，又，，則，由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程區(qū)間上僅有一個(gè)實(shí)根，同理可得方程區(qū)間上僅有一個(gè)實(shí)根，結(jié)合題意可知，或，故選：C.例題2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）若二次函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】設(shè)為在上的零點(diǎn)，可得，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上，結(jié)合的幾何意義，可得有解問題，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和最值即得.【詳解】設(shè)為在上的零點(diǎn),可得：，即：，從而可理解為點(diǎn)在直線上，而表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方.依題意，問題轉(zhuǎn)化為有解，即有解，不妨設(shè)，令則，則有，記易得：在上遞減，在上遞增，而故即：，故當(dāng)或時(shí)，的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)在定區(qū)間上存在零點(diǎn)問題常用的方法：（1）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在給定區(qū)間上的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.（2）分離參數(shù)法：對(duì)于一個(gè)參數(shù)的問題，一般先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題加以解決；（3）反客為主法：對(duì)于含雙變量的零點(diǎn)問題，常設(shè)出零點(diǎn)，將方程轉(zhuǎn)化為雙變量為點(diǎn)坐標(biāo)的軌跡問題，利用所求式的幾何意義求解.練透核心考點(diǎn)1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得.【詳解】若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，由函數(shù)在的圖象連續(xù)不斷，且為增函數(shù)，則根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，只需滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.2．（2024上·安徽亳州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則常數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性再結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解.【詳解】因?yàn)樵谏暇鶠樵龊瘮?shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，故若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則解得．故常數(shù)a的取值范圍為．故答案為：高頻考點(diǎn)七：二分法求零點(diǎn)典型例題例題1．（2024上·吉林延邊·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二分法求零點(diǎn)的要求，逐一分析各選項(xiàng)即可得解.【詳解】不能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)，要么沒有零點(diǎn)，要么零點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)；對(duì)于A，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于B，有唯一零點(diǎn)，但恒成立，故不可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于C，有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在每個(gè)零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于D，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn).故選：B.例題2．（多選）（2024上·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，某同學(xué)用二分法求方程的近似解精確度為，列出了對(duì)應(yīng)值表如下：依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，方程的近似解不可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】先由題中參考數(shù)據(jù)可得根在區(qū)間內(nèi)，由此可得答案．【詳解】由題中參考數(shù)據(jù)可得根在區(qū)間內(nèi)，故通過觀察四個(gè)選項(xiàng)，符合要求的方程近似解可能為，不可能為ABD選項(xiàng)．故選：ABD．例題3．（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）用二分法求函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)，若要求精確度，則至少進(jìn)行次二分.【答案】8【分析】二分法每一次操作都會(huì)讓區(qū)間縮小一半長度，按此規(guī)律求解.【詳解】根據(jù)題意，原來區(qū)間的長度等于2，每經(jīng)過二分法的一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，則經(jīng)過次操作后，區(qū)間的長度為，若，即，故最少為8次.故答案為：8.練透核心考點(diǎn)1．（2024上·湖南株洲·高一校考期末）已知函數(shù)，現(xiàn)用二分法求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)的近似值，則使用兩次二分法后，零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二分法的計(jì)算方法即可判斷.【詳解】由二分法可知，第一次計(jì)算，又，由零點(diǎn)存在性定理知零點(diǎn)在區(qū)間上，所以第二次應(yīng)該計(jì)算，又，所以零點(diǎn)在區(qū)間.故選：B.2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，用二分法求方程近似解時(shí)，至少需要求（

）次中點(diǎn)值可以求得近似解（精確度為0.01）.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)二分法結(jié)合零點(diǎn)的近似值求解.【詳解】由所給區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?jīng)過n次操作后，區(qū)間長度變?yōu)椋市?，解得，所以至少需要操?次.故選：C3．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ杏胖袑W(xué)校考期末）若函數(shù)在區(qū)間的一個(gè)零點(diǎn)的近似值用二分法逐次計(jì)算列表如下：那么方程的一個(gè)近似解為（精確到0.1）【答案】【分析】根據(jù)題