2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第01講集合(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

則的值為（

）A． B． C．1 D．2二、多選題9．（2024上·江西·高一校聯(lián)考期末）如圖，已知矩形表示全集，是的兩個(gè)子集，則陰影部分可表示為（

）

A． B． C． D．10．（2024上·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）已知集合，.若，則實(shí)數(shù)可以為（

）A．0 B． C．1 D．2三、填空題11．（2024·湖南·長(zhǎng)沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．12．（2024上·安徽合肥·高一合肥一中?？计谀W(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高二（8）班共有30名同學(xué)參加比賽，有15人參加田徑比賽，14人參加球類比賽，13人參加趣味比賽，同時(shí)參加田徑比賽和球類比賽的有5人，同時(shí)參加田徑比賽和趣味比賽的有4人，有2人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，只參加趣味比賽一項(xiàng)的有人.四、解答題13．（2024上·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，.(1)求，；(2)若，求的取值范圍.14．（2024上·浙江寧波·高一余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）已知集合，.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)從①；②；③中任選一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.B能力提升1．（2024·四川南充·統(tǒng)考一模）已知全集，集合則能表示關(guān)系的圖是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：若集合滿足，存在且，且存在且，則稱集合為嵌套集合．已知集合且，，若集合為嵌套集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023·重慶·重慶市石柱中學(xué)校校聯(lián)考一模）設(shè)非空集合滿足，，則這樣的的個(gè)數(shù)為．4．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）定義兩個(gè)點(diǎn)集，之間的距離集為，其中表示兩點(diǎn)，之間的距離.已知，，，，，則的一個(gè)可能值為.5．（2023上·上?！じ咭恍？计谥校┦怯欣頂?shù)集，集合，在下列集合中：①；②；③；④．與集合相等的集合序號(hào)是.C綜合素養(yǎng)6．（2024上·北京順義·高三統(tǒng)考期末）給定正整數(shù)，設(shè)集合．若對(duì)任意，，，兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于，則稱集合具有性質(zhì)．(1)分別判斷集合與是否具有性質(zhì)；(2)若集合具有性質(zhì)，求的值；(3)若具有性質(zhì)的集合中包含6個(gè)元素，且，求集合．7．（2024上·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，若非空集合A，B，C同時(shí)滿足以下4個(gè)條件，則稱A，B，C是“無(wú)和劃分”：①；②，，；③，且C中的最小元素大于B中的最小元素；④，，，必有，，.(1)若，，，判斷A，B，C是否是“無(wú)和劃分”，并說明理由.(2)已知A，B，C是“無(wú)和劃分”（）.（i）證明：對(duì)于任意m，，都有；（ii）若存在i，，使得，記.證明：Ω中的所有奇數(shù)都屬于A.（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效）第01講集合(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024下·內(nèi)蒙古赤峰·高三校考開學(xué)考試）已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再由交集定義求交集.【詳解】由題意可得，則.故選：D2．（2024上·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解出集合，再判斷包含關(guān)系.【詳解】依題意，，，所以，.故選：A3．（2024下·黑龍江·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的定義可得集合.【詳解】因?yàn)榧希?，則.故選：A.4．（2024上·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，記.則下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)集合對(duì)元素的要求，求得集合,再根據(jù)交集并集的定義判斷A,B兩項(xiàng)，根據(jù)集合新定義和的元素要求，分別求出集合判斷即得.【詳解】由可得可能的取值有，即，均滿足，故.對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因，故，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，依題有，,則，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.5．（2024上·四川·高三校聯(lián)考期末）集合的一個(gè)真子集可以為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由真子集的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槭羌系淖蛹?，但不是真子集，故D錯(cuò)誤；是集合的真子集，故C正確.故選：C.6．（2024上·山東威?！じ呷y(tǒng)考期末）設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解出兩個(gè)集合，然后根據(jù)交集的定義得出答案.【詳解】由題意得：或，，所以.故選：D7．（2024上·江西·高三校聯(lián)考期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式得集合A和集合B，然后根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算和交集運(yùn)算求解即可.【詳解】由，得或，所以或，所以.由得，所以，所以.故選：B8．（2024上·湖南岳陽(yáng)·高一?？计谀┮阎?，，若集合，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意，由集合相等列出方程，即可求得，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或?dāng)時(shí)，不滿足集合元素的互異性，故，，.故選：B.二、多選題9．（2024上·江西·高一校聯(lián)考期末）如圖，已知矩形表示全集，是的兩個(gè)子集，則陰影部分可表示為（

）

A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用集合的交集、并集以及補(bǔ)集的定義，結(jié)合韋恩圖分析各選項(xiàng)即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圖示可知陰影部分表示的元素是屬于集合，而不屬于集合，即在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素，則滿足，且，即且；因此陰影部分可表示為，即A正確；且，因此陰影部分可表示為，C正確；易知陰影部分表示的集合是和的真子集，即B錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．（2024上·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）已知集合，.若，則實(shí)數(shù)可以為（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】ABC【分析】由已知，圓在圓的內(nèi)部或圓上，即圓心距小于或等于半徑差.【詳解】由題意，，即圓在圓的內(nèi)部或圓上，則，即.故選：ABC

三、填空題11．（2024·湖南·長(zhǎng)沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【答案】【分析】先利用基本不等式求得集合，再由得到，即可求得.【詳解】由集合中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故．因?yàn)?，所以，所以，故?shí)數(shù)m的取值范圍為．故答案為：.12．（2024上·安徽合肥·高一合肥一中?？计谀W(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高二（8）班共有30名同學(xué)參加比賽，有15人參加田徑比賽，14人參加球類比賽，13人參加趣味比賽，同時(shí)參加田徑比賽和球類比賽的有5人，同時(shí)參加田徑比賽和趣味比賽的有4人，有2人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，只參加趣味比賽一項(xiàng)的有人.【答案】6【分析】根據(jù)韋恩圖計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示，設(shè)同時(shí)參加田徑和球類比賽有人，可得，解得．易知只參加趣味比賽一項(xiàng)的有6人，故答案為：6四、解答題13．（2024上·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，.(1)求，；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)，或(2)【分析】（1）根據(jù)并集、補(bǔ)集、交集的知識(shí)求得正確答案.（2）根據(jù)列不等式，從而求得的取值范圍.【詳解】（1）依題意，集合，，所以，或，所以或.（2）由于，若，則.14．（2024上·浙江寧波·高一余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）已知集合，.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)從①；②；③中任選一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，寫出集合，并解出集合，利用并集的定義可得出集合；（2）根據(jù)所選條件可得出，分、兩種情況討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：由，得，得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.（2）解：若選①，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)，即，得；當(dāng)時(shí)，則有，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；若選②，因?yàn)?，則，當(dāng)，即，得；當(dāng)時(shí)，則有，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；若選③，因?yàn)?，則，當(dāng)，即，得；當(dāng)時(shí)，則有，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.B能力提升1．（2024·四川南充·統(tǒng)考一模）已知全集，集合則能表示關(guān)系的圖是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】解出集合后，求得，逐項(xiàng)分析即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，?duì)于A，，錯(cuò)誤；對(duì)于C，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)符合題意，故選：B.2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：若集合滿足，存在且，且存在且，則稱集合為嵌套集合．已知集合且，，若集合為嵌套集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出集合，分類討論求出集合，再根據(jù)嵌套集合的定義即可得解.【詳解】因?yàn)?，所有，由，得，如圖，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，不等式的解集為，所以且，由，得，當(dāng)，即時(shí)，則，不符題意；當(dāng)，即時(shí)，則，由，得，根據(jù)嵌套集合得定義可得，解得；當(dāng)，即時(shí)，則，由，得，根據(jù)嵌套集合得定義可得，無(wú)解，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.3．（2023·重慶·重慶市石柱中學(xué)校校聯(lián)考一模）設(shè)非空集合滿足，，則這樣的的個(gè)數(shù)為．【答案】【分析】利用非空集合子集的個(gè)數(shù)計(jì)算公式可求滿足條件的的個(gè)數(shù).【詳解】由題設(shè)可得，這5組中的每一組中的元素必定同時(shí)出現(xiàn)在集合中，故這樣的非空集合的個(gè)數(shù)為，故答案為：4．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）定義兩個(gè)點(diǎn)集，之間的距離集為，其中表示兩點(diǎn)，之間的距離.已知，，，，，則的一個(gè)可能值為.【答案】（答案不唯一，可填，中任何一個(gè)）.【分析】根據(jù)集合表示雙曲線上支，集合表示直線，將轉(zhuǎn)化為直線與漸近線平行，在漸近線下方，且與漸近線的距離為1即可求解.【詳解】，即，，故集合表示雙曲線上支的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，，故直線與漸近線平行，在漸近線下方，即，且與漸近線的距離為1.雙曲線的漸近線為，不妨取，則，平行線的距離，故，，.故答案為：（答案不唯一，可填，中任何一個(gè)）.5．（2023上·上?！じ咭恍？计谥校┦怯欣頂?shù)集，集合，在下列集合中：①；②；③；④．與集合相等的集合序號(hào)是.【答案】④【分析】集合相等的條件為集合中的元素相同，根據(jù)此條件分別判斷①②③④中四個(gè)集合中元素是否與集合一致即可.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)椋O(shè)，則，不妨取，可知，而，顯然，所以①與集合不相等；（2）若集合具有性質(zhì)，記，則，令，則，從而必有，不妨設(shè)，則，且，令，，則，且，且，以下分類討論：1）當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)，滿足性質(zhì)；若，舍；若，無(wú)解；2）當(dāng)時(shí)，則，注意且，可知無(wú)解；經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，綜上；（3）首先容易知道集合中有0，有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，其中，，根據(jù)題意，且，從而或，1）當(dāng)時(shí)，，并且，，由上可得，并且，綜上可知；2）當(dāng)時(shí)，同理可得，據(jù)此，當(dāng)中有包含6個(gè)元素，且時(shí)，符合條件的集合有5個(gè)，分別是，，或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是確定滿足性質(zhì)的集合里面有0，再對(duì)其他元素進(jìn)行討論.7．（2024上·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，若非空集合A，B，C同時(shí)滿足以下4個(gè)條件，則稱A，B，C是“無(wú)和劃分”：①；②，，；③，且C中的最小元素大于B中的最小元素；④，，，必有，，.(1)若，，，判斷A，B，C是否是“無(wú)和劃分”，并說明理由.(2)已知A，B，C是“無(wú)和劃分”（）.（i）證明：對(duì)于任意m，，都有；（ii）若存在i，，使得，記.證明：Ω中的所有奇數(shù)都屬于A.（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效）【答案】(1)不是，理由見解析(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）可取，，從而可求解.（2）（i）利用假設(shè)法存在，，使得，根據(jù)題意證得假設(shè)不成立，從而求解；（ii）利用，，是“無(wú)和劃分”，分別設(shè)出存在且，且最小值設(shè)為，然后分類討論不同的情況，從而可求解.【詳解】（1）不是.取，，則，說明A，B，C不是“無(wú)和劃分”.（2）（i）假設(shè)存在，，使得，記的最小值為，則，；設(shè)中最小的元素為，則，所以，所以，（否則與，，矛盾），（否則與，矛盾），所以，因?yàn)?，所以，不同屬于C.所以，這與矛盾.所以假設(shè)不成立，原命題成立.（ii）因?yàn)锳，B，C是“無(wú)和劃分”，且存在，，使得，記的最小值為，所以，；由（1）知，，，，因?yàn)?，所以，，所以，設(shè)中最小的元素為，若，則，所以，所以，（否則與，，矛盾），所以（否