2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第01講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算(知識(shí)+真題+9類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第01講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 2第二部分：高考真題回顧 4第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4高頻考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念 4高頻考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 5高頻考點(diǎn)三：求切線方程（在型） 6高頻考點(diǎn)四：求切線方程（過型） 6高頻考點(diǎn)五：已知切線方程（或斜率）求參數(shù) 7高頻考點(diǎn)六：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象 8高頻考點(diǎn)七：公切線問題 10高頻考點(diǎn)八：與切線有關(guān)的轉(zhuǎn)化問題 11高頻考點(diǎn)九：已知切線條數(shù)求參數(shù) 12第四部分：典型易錯(cuò)題型 13備注：求導(dǎo)時(shí)分子公式記錯(cuò) 13備注：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)容易誤用求導(dǎo)法則 13備注：求切線時(shí)“過型”容易誤把已知點(diǎn)直接當(dāng)切點(diǎn) 13第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、平均變化率（1）變化率事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值.（2）平均變化率一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：.（3）如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：①作差：求出和②作商：對(duì)所求得的差作商，即.2、導(dǎo)數(shù)的概念（1）定義：函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作.（2）定義法求導(dǎo)數(shù)步驟：求函數(shù)的增量：；求平均變化率：；求極限，得導(dǎo)數(shù)：.3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即.4、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)(為常數(shù))()()(，)5、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若，存在，則有（1）（2）（3）6、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對(duì)的導(dǎo)數(shù)等于對(duì)的導(dǎo)數(shù)與對(duì)的導(dǎo)數(shù)的乘積．7、曲線的切線問題（1）在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點(diǎn).第二步：計(jì)算切線斜率.第三步：計(jì)算切線方程.切線過切點(diǎn)，切線斜率。根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.（2）過型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：過點(diǎn)（無論該點(diǎn)是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；計(jì)算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·甲卷文）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念典型例題例題1．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（）A．2 B．1 C． D．4例題2．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則等于（

）A．1 B．C． D．0練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二上·浙江金華·期末）如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（

）A．1 B． C． D．2．（23-24高二上·云南昭通·期末）設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A．2 B．1 C． D．6高頻考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算典型例題例題1．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（

）A． B． C． D．例題2．（多選）（23-24高二下·河南·開學(xué)考試）下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．例題3．（23-24高二下·湖北黃岡·階段練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)(3)；練透核心考點(diǎn)1．（多選）（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則2．（多選）（23-24高二下·河北·開學(xué)考試）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A．若，則 B．C． D．高頻考點(diǎn)三：求切線方程（在型）典型例題例題1．（23-24高二下·廣西·開學(xué)考試）曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（

）A．5 B．6 C．7 D．8例題2．（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程的斜率為．例題3．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）已知、為實(shí)數(shù)，函數(shù)在處的切線方程為，則的值.2．（23-24高二上·福建南平·期末）已知函數(shù)在處的切線為，則直線的方程為.3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處切線方程為．高頻考點(diǎn)四：求切線方程（過型）典型例題例題1．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知曲線方程為，則過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為.例題2．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)，點(diǎn)在曲線上.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程.例題3．（23-24高二下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行．(1)求在上的最值；(2)求經(jīng)過點(diǎn)，并與曲線相切的直線的方程．練透核心考點(diǎn)1．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）曲線過點(diǎn)的切線方程為.2．（2024高二下·上?！ｎ}練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)求函數(shù)過點(diǎn)的切線；3．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知曲線，求(1)曲線過點(diǎn)的切線方程；(2)曲線平行于直線的切線方程.高頻考點(diǎn)五：已知切線方程（或斜率）求參數(shù)典型例題例題1．（2024·福建漳州·一模）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A．3 B． C．0 D．1例題2．（22-23高三上·全國·階段練習(xí)）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則的最大值為（

）A． B． C． D．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．22．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若直線與曲線相切，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．高頻考點(diǎn)六：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象典型例題例題1．（23-24高二下·湖北黃岡·期中）函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．例題2．（23-24高二下·北京懷柔·期中）如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線是，方程為，則

（

）

A． B． C． D．例題3．（多選）（23-24高二下·全國·課時(shí)練習(xí)）如圖顯示物體甲、乙在時(shí)間到范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說法正確的是（

）A．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度B．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度等于乙的平均速度C．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度D．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是（

）

A． B．C． D．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·湖南·期中）已知函數(shù)，．若經(jīng)過點(diǎn)存在一條直線l與曲線和都相切，則（

）A．-1 B．1 C．2 D．32．（23-24高二下·河南洛陽·階段練習(xí)）若曲線與曲線：=有公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．+ B．- C．+ D．3．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若這兩個(gè)函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則．高頻考點(diǎn)八：與切線有關(guān)的轉(zhuǎn)化問題典型例題例題1．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例題2．（2024·陜西西安·二模）若，，則的最小值為（

）A． B．6 C．8 D．12例題3．（2024·安徽合肥·一模）已知點(diǎn)，定義為的“鏡像距離”.若點(diǎn)在曲線上，且的最小值為2，則實(shí)數(shù)的值為.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·四川巴中·階段練習(xí)）實(shí)數(shù)滿足，,的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段長度的最小值為（

）A． B．1 C． D．3．（23-24高三上·貴州黔東南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上，則的最小值為.高頻考點(diǎn)九：已知切線條數(shù)求參數(shù)典型例題例題1．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．例題2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）過點(diǎn)可以做三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題3．（多選）（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，若過點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）若過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·遼寧·期末）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍為.第四部分：典型易錯(cuò)題型備注：求導(dǎo)時(shí)分子公式記錯(cuò)1．（22-23高二·全國·隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；備注：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)容易誤用求導(dǎo)法則1．（23-24高二上·全國·課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（

）A．B．C．D．2．（22-23高二下·寧夏銀川·階段練習(xí)）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．備注：求切線時(shí)“過型”容易誤把已知點(diǎn)直接當(dāng)切點(diǎn)1．（23-24高二下·重慶渝北·階段練習(xí)）已知函數(shù)，過點(diǎn)作該函數(shù)曲線的切線，則該切線方程為（

）．A． B．C． D．2．（23-24高三下·山東德州·開學(xué)考試）過點(diǎn)與曲線相切的直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.第01講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4高頻考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念 4高頻考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 5高頻考點(diǎn)三：求切線方程（在型） 8高頻考點(diǎn)四：求切線方程（過型） 10高頻考點(diǎn)五：已知切線方程（或斜率）求參數(shù) 14高頻考點(diǎn)六：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象 16高頻考點(diǎn)七：公切線問題 19高頻考點(diǎn)八：與切線有關(guān)的轉(zhuǎn)化問題 23高頻考點(diǎn)九：已知切線條數(shù)求參數(shù) 27第四部分：典型易錯(cuò)題型 31備注：求導(dǎo)時(shí)分子公式記錯(cuò) 31備注：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)容易誤用求導(dǎo)法則 32備注：求切線時(shí)“過型”容易誤把已知點(diǎn)直接當(dāng)切點(diǎn) 33第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、平均變化率（1）變化率事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值.（2）平均變化率一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：.（3）如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：①作差：求出和②作商：對(duì)所求得的差作商，即.2、導(dǎo)數(shù)的概念（1）定義：函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作.（2）定義法求導(dǎo)數(shù)步驟：求函數(shù)的增量：；求平均變化率：；求極限，得導(dǎo)數(shù)：.3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即.4、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)(為常數(shù))()()(，)5、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若，存在，則有（1）（2）（3）6、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對(duì)的導(dǎo)數(shù)等于對(duì)的導(dǎo)數(shù)與對(duì)的導(dǎo)數(shù)的乘積．7、曲線的切線問題（1）在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點(diǎn).第二步：計(jì)算切線斜率.第三步：計(jì)算切線方程.切線過切點(diǎn)，切線斜率。根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.（2）過型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：過點(diǎn)（無論該點(diǎn)是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；計(jì)算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·甲卷文）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由切點(diǎn)設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.【詳解】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)?，所以，所以所以所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：C第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念典型例題例題1．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（）A．2 B．1 C． D．4【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的極限定義計(jì)算可得.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可知，.故選：D.例題2．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則等于（

）A．1 B．C． D．0【答案】B【分析】利用求導(dǎo)法則結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義求解即可.【詳解】由得，所以，所以故選：B練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二上·浙江金華·期末）如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可直接得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，故選：A.2．（23-24高二上·云南昭通·期末）設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A．2 B．1 C． D．6【答案】B【分析】由導(dǎo)數(shù)的概念求解.【詳解】由已知有，則.故選：B高頻考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算典型例題例題1．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可得.【詳解】.故選：B.例題2．（多選）（23-24高二下·河南·開學(xué)考試）下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則依次判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式可得，故B正確；對(duì)于，故C正確；對(duì)于，故D正確.故選：BCD.例題3．（23-24高二下·湖北黃岡·階段練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)(3)；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則運(yùn)算即可．【詳解】（1）=（2）因?yàn)閥=ln=，所以··=.（3）練透核心考點(diǎn)1．（多選）（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【分析】根據(jù)簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：，則，故A正確；對(duì)于B：，則，故B正確；對(duì)于C：，則，故C正確；對(duì)于D：，則，故D錯(cuò)誤；故選：ABC2．（多選）（23-24高二下·河北·開學(xué)考試）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A．若，則 B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式依次判定選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤．故選：AC高頻考點(diǎn)三：求切線方程（在型）典型例題例題1．（23-24高二下·廣西·開學(xué)考試）曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．故選：B例題2．（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程的斜率為．【答案】【分析】求導(dǎo)后借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.【詳解】，則.故答案為：.例題3．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則.【答案】6【分析】求導(dǎo)得切線斜率，利用直線平行求解即可.【詳解】由題意知，所以，解得.故答案為：6.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知、為實(shí)數(shù)，函數(shù)在處的切線方程為，則的值.【答案】21【分析】求導(dǎo)，點(diǎn)斜式得到直線方程，對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等得.【詳解】由，得，則，又，則切線方程為，即，得故答案為：21.2．（23-24高二上·福建南平·期末）已知函數(shù)在處的切線為，則直線的方程為.【答案】【分析】分別求得即可代入求解.【詳解】因?yàn)?，，從而，所以函?shù)在處的切線為的方程為：，即.故答案為：.3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處切線方程為．【答案】【分析】求導(dǎo)，求出斜率，寫出切線方程.【詳解】由已知，則，又，所以切線方程為，即.故答案為：.高頻考點(diǎn)四：求切線方程（過型）典型例題例題1．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知曲線方程為，則過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為.【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義以及幾何意義得切線斜率，由此即可得解.【詳解】因?yàn)?，又點(diǎn)在曲線上，所以，∴所求切線的斜率，故所求切線的方程為，即.故答案為：例題2．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)，點(diǎn)在曲線上.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由已知條件求出的值，求出的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出的值，即可得出所求切線的方程.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)，點(diǎn)在曲線，則，所以，，所以，，則，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，解得或，當(dāng)時(shí)，所求切線方程為；當(dāng)時(shí)，所求切線方程為.綜上所述，曲線過點(diǎn)的切線方程為或.例題3．（23-24高二下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行．(1)求在上的最值；(2)求經(jīng)過點(diǎn)，并與曲線相切的直線的方程．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得，然后求得的極值，即可得到最值；（2）根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，則，且函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行，則，即，所以.所以，則，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以時(shí)，有極小值，即最小值，則，又，，，所以.（2）由（1）可知，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率，所以切線方程為，將點(diǎn)代入，可得，解得，則切線方程為，即.練透核心考點(diǎn)1．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）曲線過點(diǎn)的切線方程為.【答案】或【分析】先利用導(dǎo)數(shù)的定義求出，設(shè)切線的切點(diǎn)是，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率為，再由切線過點(diǎn)和，表示出切線的斜率，從而列方程可求出，則可求出斜率，進(jìn)而可求出切線方程.【詳解】，因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，所以設(shè)切線的切點(diǎn)是，則切線的斜率，又切線過點(diǎn)和，所以，所以，化簡得，因?yàn)?，所以?所以，或，所以所求切線方程是或，即或.故答案為：或.2．（2024高二下·上?！ｎ}練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)求函數(shù)過點(diǎn)的切線；【答案】(1)(2)或【分析】（1）由題意對(duì)求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性，由此即可求解；（2）由題意設(shè)出切點(diǎn)，表示出切線方程（含參），從而，，由此可求得，，進(jìn)一步即可得解.【詳解】（1）由題意得，的定義域?yàn)?，，令，解得，或（舍去）；，解得，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.（2）設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率，所以，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，又，解得或，所以直線方程為或3．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知曲線，求(1)曲線過點(diǎn)的切線方程；(2)曲線平行于直線的切線方程.【答案】(1)或.(2)或【分析】（1）設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，代入點(diǎn)，即可求得切線方程.（2）設(shè)出切點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)求得切點(diǎn)處切線的斜率與已知直線斜率相等，進(jìn)而求出切點(diǎn)，寫出切線方程.【詳解】（1）因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)得，則，則切線方程為，因?yàn)榍芯€過，代入切向方程得：化簡得，則或所以曲線過點(diǎn)的切線方程為：或.（2）直線的斜率為，設(shè)切點(diǎn)為，則由（1）知切線方程為，則由切線與直線平行得，即或，所以切線方程為或，即或高頻考點(diǎn)五：已知切線方程（或斜率）求參數(shù)典型例題例題1．（2024·福建漳州·一模）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A．3 B． C．0 D．1【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，由題意可得：，解得，所以.故選：C.例題2．（22-23高三上·全國·階段練習(xí)）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】由已知，所以，，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選:C．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，即，則不可能同時(shí)為負(fù)數(shù)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，綜上所述，的最大值為.故選：A.2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若直線與曲線相切，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【答案】1【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，再利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，由，即可得到方程的解，從而得解.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)函數(shù)，則，所以在定義域上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以方程的解為，則所求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．故答案為：高頻考點(diǎn)六：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象典型例題例題1．（23-24高二下·湖北黃岡·期中）函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知函數(shù)的圖象，先判斷它的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)圖象斜率的變化，從而求解．【詳解】觀察函數(shù)的圖象知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，隨著逐漸增大，函數(shù)圖象由陡逐漸變緩，，，，而（即點(diǎn)B）處切線的傾斜角比（即點(diǎn)A）處的傾斜角小，且均為銳角，，又是割線AB的斜率，顯然，所以.故選：B例題2．（23-24高二下·北京懷柔·期中）如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線是，方程為，則

（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知為處切線的斜率.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，所以.故選：A例題3．（多選）（23-24高二下·全國·課時(shí)練習(xí)）如圖顯示物體甲、乙在時(shí)間到范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說法正確的是（

）A．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度B．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度等于乙的平均速度C．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度D．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度【答案】BC【分析】根據(jù)平均速度的公式結(jié)合條件即可判斷.【詳解】在0到范圍內(nèi)，甲、乙的平均速度都為，故A錯(cuò)誤,B正確；在到范圍內(nèi)，甲的平均速度為，乙的平均速度為，因?yàn)?，，所以，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和割線的斜率可得三者之間的大小關(guān)系.【詳解】

設(shè)，由圖可得，而，故，故選：C.2．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可知切點(diǎn)坐標(biāo)，由切線方程得到，利用導(dǎo)數(shù)的概念解出即可.【詳解】依題意可知切點(diǎn)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，，即又即故選：D.3．（22-23高二下·上海黃浦·期末）已知在區(qū)間上，如圖所示的圖像中，有可能表示函數(shù)的圖像.

【答案】①【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖形即可得解.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以在上，切線的斜率始終大于，僅①滿足．故答案為：①.高頻考點(diǎn)七：公切線問題典型例題例題1．（23-24高二下·安徽合肥·期中）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線也是拋物線的切線，則（

）A．1 B．3 C．6 D．2【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)與拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率，根據(jù)已知兩切線相同即可得出答案.【詳解】，則，則在點(diǎn)處的切線的斜率為，，則，則在點(diǎn)處的切線的斜率為，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線也是拋物線的切線，則，即，故選：C.例題2．（23-24高二下·安徽六安·階段練習(xí)）曲線與曲線的公切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】畫出圖象，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】畫出以及四個(gè)選項(xiàng)中直線的圖象如下圖所示，由圖可知A選項(xiàng)符合.故選：A例題3．（23-24高二下·遼寧沈陽·期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則．【答案】5【分析】由直線是曲線的切線求解，可得切線方程，再設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)，由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率，且切點(diǎn)處的函數(shù)值相等列式求解n，則答案可求．【詳解】由，得，由，解得，則直線與曲線相切于點(diǎn)，∴，得，∴直線是曲線的切線，由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則，且，聯(lián)立可得，解得，所以．∴．故答案為：5．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·湖南·期中）已知函數(shù)，．若經(jīng)過點(diǎn)存在一條直線l與曲線和都相切，則（

）A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】先求得在處的切線方程，然后與聯(lián)立，由求解【詳解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲線在處的切線方程為，由得，由，解得．故選：B2．（23-24高二下·河南洛陽·階段練習(xí)）若曲線與曲線：=有公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．+ B．- C．+ D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩曲線在切點(diǎn)的切線方程，可得，整理得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)在曲線上的切點(diǎn)為，則切線斜率為，在曲線上的切點(diǎn)為，切線斜率為，所以切線方程分別為、，即、，有，整理得，設(shè)，則，令，令，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上，如圖，由圖可知，即k的最大值為.故選：C.3．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若這兩個(gè)函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則．【答案】/【分析】先根據(jù)和在公共點(diǎn)處有相同的切線得出在處兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等,再由在上,列方程組求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)樵诠颤c(diǎn)處有相同的切線，所以即，所以故答案為：高頻考點(diǎn)八：與切線有關(guān)的轉(zhuǎn)化問題典型例題例題1．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】將的最小值轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)與函數(shù)上的點(diǎn)間距離最小值的平方，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線，從而得解.【詳解】由已知，則，即為直線上的點(diǎn)，為函數(shù)上的點(diǎn)，則，設(shè)與相切，由，則，可得，所以切點(diǎn)為，則，則切點(diǎn)到直線的距離為，所以最小值為2.故選：B.例題2．（2024·陜西西安·二模）若，，則的最小值為（

）A． B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】設(shè)函數(shù)和，轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線的距離為平方，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)函數(shù)，直線，設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為可得，可得，解得，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)楸硎军c(diǎn)到直線的距離為平方，所以的最小值為.故選：C.例題3．（2024·安徽合肥·一模）已知點(diǎn)，定義為的“鏡像距離”.若點(diǎn)在曲線上，且的最小值為2，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】/【分析】依題意求出的反函數(shù)，將“鏡像距離”轉(zhuǎn)化成一對(duì)反函數(shù)圖象上兩點(diǎn)之間的距離，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出切線方程即可求得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)可得，即；所以的反函數(shù)為；由點(diǎn)在曲線上可知點(diǎn)在其反函數(shù)上，所以相當(dāng)于上的點(diǎn)到曲線上點(diǎn)的距離，即，利用反函數(shù)性質(zhì)可得與關(guān)于對(duì)稱，所以可得當(dāng)與垂直時(shí)，取得最小值為2，因此兩點(diǎn)到的距離都為1，過點(diǎn)的切線平行于直線，斜率為1，即，可得，即；點(diǎn)到的距離，解得；當(dāng)時(shí)，與相交，不合題意；因此.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用反函數(shù)性質(zhì)將“鏡像距離”問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象上兩點(diǎn)距離的最值問題，再由切線方程可解得參數(shù)值.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·四川巴中·階段練習(xí)）實(shí)數(shù)滿足，,的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)指對(duì)結(jié)構(gòu)調(diào)整變形已知方程，再構(gòu)造函數(shù)，得到函數(shù)零點(diǎn)為0，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)與，則表示曲線上的點(diǎn)到直線的距離的平方.【詳解】化簡已知得，，即，令，原式化簡為，令，則，所以在R上單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，所以，此方程有唯一根為0，即，即，分別設(shè)與，則表示曲線上的點(diǎn)到直線的距離的平方，下面求上與平行的切線，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，解得：，所以切點(diǎn)為，所以到直線距離為：，此距離即為曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值，所以的最小值為2.故選：C.2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段長度的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】由圓的對(duì)稱性可得，只需考慮圓心到函數(shù)圖象上一點(diǎn)的距離的最小值.設(shè)圖象上一點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，利用導(dǎo)數(shù)解得，從而可求解.【詳解】由圓的對(duì)稱性可得只需考慮圓心到函數(shù)圖象上一點(diǎn)的距離的最小值．設(shè)圖象上一點(diǎn)，令圖象上一點(diǎn)的切線為由的導(dǎo)數(shù)為，即切線的斜率為，當(dāng)時(shí)，圓心到函數(shù)圖象上一點(diǎn)的距離最小，此時(shí)，即有，由，可得，遞增，又，所以，，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，且為，則線段的長度的最小值為，故選：A．3．（23-24高三上·貴州黔東南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率，利用兩點(diǎn)間距離，兩直線位置關(guān)系，結(jié)合圖象，可得答案.【詳解】

由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，在處的切線方程為，整理可得：；由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，在處的切線方程為，整理可得；由直線的斜率，易知：直線分別與兩條切線垂直..故答案為：.高頻考點(diǎn)九：已知切線條數(shù)求參數(shù)典型例題例題1．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由切點(diǎn)坐標(biāo)求出切線方程，代入坐標(biāo)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，變形后轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)造新函數(shù)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的圖象后可得.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，因此切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，，設(shè)，函數(shù)定義域是，則直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，結(jié)合圖象可知，即.故選：A.

例題2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）過點(diǎn)可以做三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程，過點(diǎn)，代入化簡得，將問題轉(zhuǎn)化為該方程有三個(gè)不等實(shí)根，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴，∴M處的切線斜率，則過點(diǎn)P的切線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡得，∵過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，∴方程有三個(gè)不等實(shí)根.令，求導(dǎo)得到，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，如圖所示，故，即.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程，關(guān)鍵點(diǎn)在于將問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，根據(jù)方程的根的個(gè)數(shù)，求解參數(shù)的取值范圍，考查導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.例題3．