2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第03講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

二、多選題9．（24-25高三上·山東菏澤·開學(xué)考試）記等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，若，則的可能取值為（

）A．-7 B．5 C．6 D．710．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．是遞增數(shù)列三、填空題11．（23-24高二下·陜西榆林·期末）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則．12．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，若，，則．四、解答題13．（22-23高二下·北京延慶·期中）在數(shù)列中，已知，．(1)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)若數(shù)列是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．B能力提升1．（23-24高二下·廣東佛山·期中）在當(dāng)前市場經(jīng)濟(jì)條件下，私營個體商店中的商品，所標(biāo)價(jià)格與其實(shí)際價(jià)值之間，存在著相當(dāng)大的差距，對顧客而言，總是希望通過“討價(jià)還價(jià)”來減少商品所標(biāo)價(jià)格與其實(shí)際價(jià)值的差距.設(shè)顧客第次的還價(jià)為，商家第次的討價(jià)為，有一種“對半討價(jià)還價(jià)”法如下：顧客第一次的還價(jià)為標(biāo)價(jià)的一半，即第一次還價(jià)，商家第一次的討價(jià)為與標(biāo)價(jià)的平均值，即；…，顧客第次的還價(jià)為上一次商家的討價(jià)與顧客的還價(jià)的平均值，即，商家第次討價(jià)為上一次商家的討價(jià)與顧客這一次的還價(jià)的平均值，即，現(xiàn)有一件衣服標(biāo)價(jià)1200元，若經(jīng)過次的“對半討價(jià)還價(jià)”，與相差不到2元，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（23-24高三上·重慶南岸·階段練習(xí)）等比數(shù)列的首項(xiàng)為4，公比為3，前n項(xiàng)的和為，若（n，），則的最小值為.3．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)，若不存在，請說明理由．C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）設(shè)任意一個無窮數(shù)列的前項(xiàng)之積為，若，，則稱是數(shù)列．(1)若是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，請判斷是否為數(shù)列？并說明理由；(2)證明：若的通項(xiàng)公式為，則不是數(shù)列；(3)設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比為，若是數(shù)列，求的值．第03講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前2項(xiàng)和為12，，則公比的值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【知識點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程組，解之即可求解.【詳解】由題意知，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，解得，.所以.故選：A2．（23-24高三下·廣西·階段練習(xí)）已知為等比數(shù)列，，，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】由等比數(shù)列基本量的計(jì)算依次求得，，進(jìn)一步即可得解.【詳解】由題得，，故，，故，即，，所以.故選：D.3．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)積，若，且（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】等比中項(xiàng)的應(yīng)用【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)，得，所以.故選:B.4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，是的兩個根，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)一元二次方程韋達(dá)定理得出，得出，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)，計(jì)算出結(jié)果；【詳解】若，是的兩個根，則，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，，.故選：C.5．（24-25高三上·安徽·開學(xué)考試）設(shè)公差的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、等比中項(xiàng)的應(yīng)用【分析】由題意可得，根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)楣畹牡炔顢?shù)列中，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以.故選：A.6．（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)【分析】根據(jù)已知條件算出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可計(jì)算.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以由，得，所以，又，即，所以，所?故選：B.7．（2024·山西太原·二模）已知，分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，其前項(xiàng)和分別是和，且，，，則（

）A．9 B．9或18 C．13 D．13或37【答案】B【知識點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時求出，即可求出，再由等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得，當(dāng)時根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出，從而求出，即可求出，再由等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由且，當(dāng)時，則，符合題意，則，又，所以，所以；當(dāng)時，則，即，解得（舍去）或，所以，則，又，所以，所以；綜上可得或.故選：B8．（23-24高二下·西藏拉薩·期末）遞增等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．72 D．144【答案】D【知識點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】設(shè)公比為，然后由已知條件列方程可求出，從而可求出.【詳解】設(shè)公比為，因?yàn)?，，所以，得，得，所以或（舍去），所以，所?故選：D二、多選題9．（24-25高三上·山東菏澤·開學(xué)考試）記等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，若，則的可能取值為（

）A．-7 B．5 C．6 D．7【答案】BD【知識點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】由題意結(jié)合等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得，結(jié)合即可求解.【詳解】，，又，而，或.故選：.10．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．是遞增數(shù)列【答案】ACD【知識點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、由定義判定等比數(shù)列、判斷數(shù)列的增減性【分析】由題中條件可得，判斷A；通過兩式相減的，變形可得出，判斷B；根據(jù)求和公式結(jié)合作差法比較大小判斷C，D；【詳解】對于A，由得，，所以．A正確；對于B，將與整體相減得，，所以，又，即，所以．因此不是等比數(shù)列，B錯誤；對于C,因?yàn)椋援?dāng)時，．當(dāng)時，．當(dāng)時，，因此,C正確；對于D，因?yàn)?，所以，所以，因此是遞增數(shù)列，D正確；故選:ACD．三、填空題11．（23-24高二下·陜西榆林·期末）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則．【答案】3【知識點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、對數(shù)的運(yùn)算【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)和對數(shù)運(yùn)算即可.【詳解】由題意得.故答案為：3.12．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，若，，則．【答案】【知識點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】根據(jù)等差和等比數(shù)列的性質(zhì)，再結(jié)合特殊角的正切值，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，而，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，則，，所以.故答案為：.四、解答題13．（22-23高二下·北京延慶·期中）在數(shù)列中，已知，．(1)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)若數(shù)列是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)，(2)，(3)【知識點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)，時，求解即可．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得，，所以，．（2）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得，，所以，．（3）由已知得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又因?yàn)?，所以．B能力提升1．（23-24高二下·廣東佛山·期中）在當(dāng)前市場經(jīng)濟(jì)條件下，私營個體商店中的商品，所標(biāo)價(jià)格與其實(shí)際價(jià)值之間，存在著相當(dāng)大的差距，對顧客而言，總是希望通過“討價(jià)還價(jià)”來減少商品所標(biāo)價(jià)格與其實(shí)際價(jià)值的差距.設(shè)顧客第次的還價(jià)為，商家第次的討價(jià)為，有一種“對半討價(jià)還價(jià)”法如下：顧客第一次的還價(jià)為標(biāo)價(jià)的一半，即第一次還價(jià)，商家第一次的討價(jià)為與標(biāo)價(jià)的平均值，即；…，顧客第次的還價(jià)為上一次商家的討價(jià)與顧客的還價(jià)的平均值，即，商家第次討價(jià)為上一次商家的討價(jià)與顧客這一次的還價(jià)的平均值，即，現(xiàn)有一件衣服標(biāo)價(jià)1200元，若經(jīng)過次的“對半討價(jià)還價(jià)”，與相差不到2元，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【知識點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列【分析】判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，由此列不等式，從而求得的最小值.【詳解】依題意可知，，則，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，由得，其中，解得，因此的最小值為.故選：B.當(dāng)時，，②聯(lián)立①②，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）由（1）知．所以，所以．設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．則，所以，即，又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，所以，化簡得，所以，又，所以，與已知矛盾，所以在數(shù)列中不存在不同的3項(xiàng)成等比數(shù)列．C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）設(shè)任意一個無窮數(shù)列的前項(xiàng)之積為，若，，則稱是數(shù)列．(1)若是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，請判斷是否為數(shù)列？并說明理由；(2)證明：若的通項(xiàng)公式為，則不是數(shù)列；(3)設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比為，若是數(shù)列，求的值．【答案】(1)是T數(shù)列，理由見解析(2)證明見解析(3)或．【知識點(diǎn)】數(shù)列新定義、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【分析】（1）由題知，再根據(jù)T數(shù)列的定義，即可作出判斷；（2）先假設(shè)是數(shù)列，從而有，再進(jìn)行驗(yàn)證，即可證明結(jié)果；（3）根據(jù)題設(shè)得到，取對數(shù)后可得，分類討論后可求.【詳解】（1）是T數(shù)列，理由：由題知，即，所以，，當(dāng)時，，所以是T數(shù)列．（2）假設(shè)是數(shù)列，則對任意正整數(shù)，總是中的某一項(xiàng)，，所以對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)滿足：，顯然時，存在，滿足，

取，得，所以，可以驗(yàn)證：當(dāng)，2，3，4時，都不成立，故不是T數(shù)列.（3）已知是等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比，所以，所以，由題意知對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，即對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，即對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，若，則，任意，這不可能成立；若，故對任意，總存在使得該等式成立，故必為整