2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第03講函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與周期性(知識(shí)+真題+10類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第03講函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與周期性目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 4高頻考點(diǎn)一：函數(shù)奇偶性 4角度1：判斷函數(shù)奇偶性 4角度2：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式 4角度3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 5角度4：由函數(shù)奇偶性求參數(shù) 5角度5：奇偶性+單調(diào)性解不等式 5高頻考點(diǎn)二：函數(shù)周期性及其應(yīng)用 6角度1：由函數(shù)周期性求函數(shù)值 6角度2：由函數(shù)周期性求解析式 7高頻考點(diǎn)三：函數(shù)的對(duì)稱性 8角度1：由函數(shù)對(duì)稱性求解析式 8角度2：由函數(shù)對(duì)稱性求函數(shù)值或參數(shù) 8角度3：對(duì)稱性+奇偶性+周期性的綜合應(yīng)用 8第四部分：新定義題（解答題） 9第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、函數(shù)的奇偶性（1）函數(shù)奇偶性定義奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）．（2）常用結(jié)論與技巧：①對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)判斷奇偶性常用或來(lái)判斷奇偶性.②，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)③若是定義在區(qū)間上奇函數(shù)，且，則（注意：反之不成立）2、函數(shù)對(duì)稱性（異號(hào)對(duì)稱）（1）軸對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則①；②；③（2）點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則①②③（2）點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則①②③3、函數(shù)周期性（同號(hào)周期）（1）周期函數(shù)定義對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的周期，則（）也是這個(gè)函數(shù)的周期.（2）最小正周期如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做的最小正周期（若不特別說(shuō)明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期.（3）函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧設(shè)函數(shù)，.①若，則函數(shù)的周期；②若，則函數(shù)的周期；③若，則函數(shù)的周期；④若，則函數(shù)的周期；⑤，則函數(shù)的周期第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國(guó)·（乙卷理））已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．22．（多選）（2023·全國(guó)·（新課標(biāo)Ⅰ卷））已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)3．（2023·全國(guó)·（甲卷理））若為偶函數(shù)，則．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：函數(shù)奇偶性角度1：判斷函數(shù)奇偶性典型例題例題1．（2024上·廣東·高一校聯(lián)考期末）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．例題2．（2024上·云南昆明·高一期末）下列四個(gè)函數(shù)中在定義域內(nèi)為非奇非偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）（1）（2）（3）（4）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)例題3．（2024上·廣東·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．角度2：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式典型例題例題1．（2024上·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，.例題2．（2024上·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解析式為.角度3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用典型例題例題1．（2024上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知且，則的值是（

）A． B． C．1 D．3例題2．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函數(shù)，若，則.例題3．（2024上·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值為.角度4：由函數(shù)奇偶性求參數(shù)典型例題例題1．（2024上·山西長(zhǎng)治·高一校聯(lián)考期末）若為奇函數(shù)，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2例題2．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則．例題3．（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則.角度5：奇偶性+單調(diào)性解不等式典型例題例題1．（2024上·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，恒成立.若，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．例題2．（2024上·山東威海·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為.例題3．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？计谀┰谏蠞M足，且在上是遞減函數(shù)，若，則的取值范圍是.練透核心考點(diǎn)1．（2024上·湖南婁底·高一校考期末）已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）已知為奇函數(shù)，則（

）A．3 B． C．0 D．3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知為奇函數(shù)，則（

）A． B．2 C．1 D．4．（2024下·西藏·高一開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．25．（2024上·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知是奇函數(shù)，則（

）A．－1 B．1 C．－2 D．26．（2024下·四川·高三四川省西充中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是．練透核心考點(diǎn)1．（2023·湖南岳陽(yáng)·校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，則．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，，則.3．（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，＝．4．（2022上·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是定義在上周期為的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，.高頻考點(diǎn)三：函數(shù)的對(duì)稱性角度1：由函數(shù)對(duì)稱性求解析式典型例題例題1．（2021下·江西九江·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．例題2．（2022上·安徽合肥·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在R上的函數(shù)的對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，，則的解析式是．角度2：由函數(shù)對(duì)稱性求函數(shù)值或參數(shù)典型例題例題1．（2023·陜西咸陽(yáng)·咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┖瘮?shù)為偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，則．例題2．（2023下·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則．角度3：對(duì)稱性+奇偶性+周期性的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（多選）（2024下·河南·高一信陽(yáng)高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域均為是偶函數(shù)，且，若，則（

）A．B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．D．例題2．（多選）（2024下·海南省直轄縣級(jí)單位·高三嘉積中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．練透核心考點(diǎn)1．（2023上·湖北荊州·高一荊州中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，若，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024上·重慶·高一重慶一中?？计谀┮阎x在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，（其中為待定常數(shù)），則.3．（多選）（2024下·重慶·高三重慶一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)，，，，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．D．函數(shù)有8個(gè)不同零點(diǎn)4．（2024·陜西西安·西安中學(xué)?？家荒＃┖瘮?shù)是定義在上的函數(shù)，且為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.第四部分：新定義題（解答題）1．（2024上·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）若存在實(shí)數(shù)、使得，則稱函數(shù)為函數(shù)，的“函數(shù)”．(1)若函數(shù)為函數(shù)、的“函數(shù)”，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，求函數(shù)、的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，，是否存在實(shí)數(shù)、使得函數(shù)為函數(shù)、的“函數(shù)”，且同時(shí)滿足：①是偶函數(shù)；②的值域?yàn)椋舸嬖冢蟪?、的值；若不存在，?qǐng)說(shuō)明理由．注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．第03講函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與周期性目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 5高頻考點(diǎn)一：函數(shù)奇偶性 5角度1：判斷函數(shù)奇偶性 5角度2：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式 7角度3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 8角度4：由函數(shù)奇偶性求參數(shù) 9角度5：奇偶性+單調(diào)性解不等式 10高頻考點(diǎn)二：函數(shù)周期性及其應(yīng)用 14角度1：由函數(shù)周期性求函數(shù)值 14角度2：由函數(shù)周期性求解析式 15高頻考點(diǎn)三：函數(shù)的對(duì)稱性 18角度1：由函數(shù)對(duì)稱性求解析式 18角度2：由函數(shù)對(duì)稱性求函數(shù)值或參數(shù) 19角度3：對(duì)稱性+奇偶性+周期性的綜合應(yīng)用 20第四部分：新定義題（解答題） 23第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、函數(shù)的奇偶性（1）函數(shù)奇偶性定義奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）．（2）常用結(jié)論與技巧：①對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)判斷奇偶性常用或來(lái)判斷奇偶性.②，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)③若是定義在區(qū)間上奇函數(shù)，且，則（注意：反之不成立）2、函數(shù)對(duì)稱性（異號(hào)對(duì)稱）（1）軸對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則①；②；③（2）點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則①②③（2）點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則①②③3、函數(shù)周期性（同號(hào)周期）（1）周期函數(shù)定義對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的周期，則（）也是這個(gè)函數(shù)的周期.（2）最小正周期如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做的最小正周期（若不特別說(shuō)明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期.（3）函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧設(shè)函數(shù)，.①若，則函數(shù)的周期；②若，則函數(shù)的周期；③若，則函數(shù)的周期；④若，則函數(shù)的周期；⑤，則函數(shù)的周期第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國(guó)·（乙卷理））已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，則，即，解得.故選：D.2．（多選）（2023·全國(guó)·（新課標(biāo)Ⅰ卷））已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)【答案】ABC【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對(duì)于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】方法一：因?yàn)?，?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對(duì)于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無(wú)極值，故錯(cuò)誤.方法二：因?yàn)?，?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯(cuò)誤.故選：.3．（2023·全國(guó)·（甲卷理））若為偶函數(shù)，則．【答案】2【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，即，則，故，此時(shí)，所以，又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，所以.故答案為：2.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：函數(shù)奇偶性角度1：判斷函數(shù)奇偶性典型例題例題1．（2024上·廣東·高一校聯(lián)考期末）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)；對(duì)于B，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，所以不是奇函?shù)；對(duì)于C，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)；對(duì)于D，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)；故選：.例題2．（2024上·云南昆明·高一期末）下列四個(gè)函數(shù)中在定義域內(nèi)為非奇非偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）（1）（2）（3）（4）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)題意，依次分析4個(gè)函數(shù)，求出定義域，根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義作出判斷.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，且，故是偶函?shù)，錯(cuò)誤；（2）的定義域?yàn)镽，，且，故是非奇非偶函數(shù)，正確；（3）定義域?yàn)?，故為非奇非偶函?shù)，正確；（4）的定義域?yàn)镽，且，且，故為非奇非偶函數(shù)，正確.故選：C．例題3．（2024上·廣東·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷對(duì)定義域內(nèi)任意的是否都有即可.【詳解】對(duì)于A，定義域?yàn)?，與不恒等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，定義域?yàn)?，與不恒等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，定義域?yàn)椋c不恒等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，解得或，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，是偶函數(shù)，故D正確.故選：D.角度2：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式典型例題例題1．（2024上·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，.【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：例題2．（2024上·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解析式為.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，求出時(shí)的函數(shù)解析式，求出答案.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.綜上，故答案為：角度3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用典型例題例題1．（2024上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知且，則的值是（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【分析】令，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】令，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，由，得，所以，所以.故選：C.例題2．（2024上·云南昆明·高一昆明一中?？计谀┮阎瘮?shù)，若，則.【答案】【分析】從函數(shù)解析式不難看出前兩項(xiàng)構(gòu)成的函數(shù)為奇函數(shù)，故可將其設(shè)成，證明其奇偶性，再利用奇函數(shù)特征代入計(jì)算即得.【詳解】令，，由,可得函數(shù)為奇函數(shù)，則由得，故.故答案為：.例題3．（2024上·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值為.【答案】【分析】由題意先得，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)得，檢驗(yàn)后相加即可求解.【詳解】由題意首先，解得，即函數(shù)是上的偶函數(shù)，由，解得，此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.故答案為：.角度4：由函數(shù)奇偶性求參數(shù)典型例題例題1．（2024上·山西長(zhǎng)治·高一校聯(lián)考期末）若為奇函數(shù)，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，列出方程，即可求得的值.【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，滿足，符合題意，所以.故選：D.例題2．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則．【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)是上的偶函數(shù)，利用特殊值可得答案.【詳解】若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則有，即，解得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)是上的偶函數(shù)，符合題意，則.故答案為：1.例題3．（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則.【答案】/0.5【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，故，變形后得到，求出答案.【詳解】為奇函數(shù)，故，即，即，故，解得.故答案為：角度5：奇偶性+單調(diào)性解不等式典型例題例題1．（2024上·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，恒成立.若，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義及利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性綜合解出該抽象函數(shù)不等式即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.易得，所以由得;由得，故不等式的解集是.故選:D.例題2．（2024上·山東威海·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為.【答案】【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，又在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，則，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知.故答案為：例題3．（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學(xué)校校考期末）在上滿足，且在上是遞減函數(shù)，若，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，結(jié)合函數(shù)的定義域求得的取值范圍.【詳解】∵，∴.∵，∴.∴，解得，∴的取值范圍是.故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（2024上·湖南婁底·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在的奇函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)求出的值，由函數(shù)有意義的條件求出的取值范圍，即可求的取值范圍.【詳解】函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，則有，解得，即，有意義，，解得，所以有，此時(shí)，滿足在上為奇函數(shù)，由，所以.故選：C.2．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）已知為奇函數(shù)，則（

）A．3 B． C．0 D．【答案】B【分析】確定函數(shù)的定義域，根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可求得a的值，驗(yàn)證后即可確定答案.【詳解】由題意可得，即，且，且，由于為奇函數(shù)，故其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故，此時(shí)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，滿足，即為奇函數(shù)，符合題意，故，故選：B3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知為奇函數(shù)，則（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)在區(qū)間上的解析式，對(duì)比系數(shù)求得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，通過(guò)對(duì)比系數(shù)得.故選：A4．（2024下·西藏·高一開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】利用偶函數(shù)的定義可計(jì)算的值，再根據(jù)解析式計(jì)算函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以且，則，所以，則.故選：D．5．（2024上·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知是奇函數(shù)，則（

）A．－1 B．1 C．－2 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用，求得的值，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，整理得，解得，所以．故選：B.6．（2024下·四川·高三四川省西充中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)椋?，故函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，由可得，所以，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.7．（2024上·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）已知偶函數(shù)，則不等式的解集是．【答案】【分析】由時(shí)，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是有，即，求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以不等式轉(zhuǎn)化為，則，解得．故答案為：高頻考點(diǎn)二：函數(shù)周期性及其應(yīng)用角度1：由函數(shù)周期性求函數(shù)值典型例題例題1．（2023上·安徽·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足，若，則（

）A．-5 B．-3 C．3 D．5【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的周期，利用周期求函數(shù)值.【詳解】由，，可知，函數(shù)的周期，.故選：C例題2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則．【答案】1【分析】依題意可得，從而得到是以為周期的周期函數(shù)，再根據(jù)所給函數(shù)解析式及函數(shù)的周期性、奇偶性計(jì)算可得.【詳解】，，是的一個(gè)周期，又當(dāng)時(shí)，，．故答案為：例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則．【答案】512．【分析】根據(jù)得，由可依次遞推得到.【詳解】，，，，，，，，，．故答案為：512．角度2：由函數(shù)周期性求解析式典型例題例題1．（2022上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出時(shí)的解析式，再求出函數(shù)的周期為4，故得到時(shí)，【詳解】由題意知，則，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，且是定義在上的奇函數(shù)，所以時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，.故選：B.例題2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）函數(shù)的周期為，且當(dāng)時(shí)，，則，的解析式為．【答案】/【分析】由求出的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的周期性可求得在上的解析式.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，則，故當(dāng)時(shí)，.故答案為：.例題3．（2023下·甘肅白銀·高二校考期末）若定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題可得，再結(jié)合條件可求；（2）由題可求當(dāng)時(shí)，，再結(jié)合函數(shù)的周期性即求.【詳解】（1）∵定義在上的奇函數(shù)滿足，∴，，∴，即函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，又時(shí)，∴，（2）∵當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴.練透核心考點(diǎn)1．（2023·湖南岳陽(yáng)·校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，則．【答案】0【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)可得，再根據(jù)函數(shù)的周期性即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)椋院瘮?shù)是以為周期的周期函數(shù)，所以.故答案為：.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，，則.【答案】【分析】利用條件與函數(shù)的奇偶性，推得函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，進(jìn)而可得的值．【詳解】由題意，函數(shù)滿足，即，又由函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，又，則.故答案為：.3．（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，＝．【答案】【分析】利用函數(shù)的周期性和奇偶性，可得，結(jié)合的范圍以及已知條件，即可求得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．因?yàn)槭侵芷跒?的奇函數(shù)，所以，故答案為：4．（2022上·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是定義在上周期為的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，.【答案】【分析】根據(jù)周期性求函數(shù)解析式即可.【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，,是定義在上周期為的函數(shù)所以，，故答案為：高頻考點(diǎn)三：函數(shù)的對(duì)稱性角度1：由函數(shù)對(duì)稱性求解析式典型例題例題1．（2021下·江西九江·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設(shè)出函數(shù)圖像上任意點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，代入函數(shù)的解析式即可求解．【詳解】解：設(shè)函數(shù)圖像上的點(diǎn)為，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式可得：，故，故選：D．例題2．（2022上·安徽合肥·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在R上的函數(shù)的對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，，則的解析式是．【答案】【分析】依題意得到，再代入化簡(jiǎn)，進(jìn)而即可得到的解析式．【詳解】由是定義在R上的函數(shù)的對(duì)稱軸，則，又當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，即，則，所以的解析式是．故答案為：．角度2：由函數(shù)對(duì)稱性求函數(shù)值或參數(shù)典型例題例題1．（2023·陜西咸陽(yáng)·咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┖瘮?shù)為偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，則．【答案】4【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求出，利用奇偶性求得，再利用函數(shù)的奇偶性以及對(duì)稱性即可求得的值，即得答案.【詳解】由于函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，故，又為偶函數(shù)，故，則，故答案為：4例題2．（2023下·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則．【答案】【分析】由題目條件得到關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，從而得到，求出，得到.【詳解】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以，即．故答案為：角度3：對(duì)稱性+奇偶性+周期性的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（多選）（2024下·河南·高一信陽(yáng)高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域均為是偶函數(shù)，且，若，則（

）A．B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．D．【答案】ABC【分析】利用抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則，所以，所以.當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以1，所以，故A正確；由，得，兩式相減得，所以，又，所以，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；，所以是以6為周期的周期函數(shù)，所以，故C正確；，D不正確.故選:ABC例題2．（多選）（2024下·海南省直轄縣級(jí)單位·高三嘉積中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件，賦值計(jì)算判斷AB