北師大版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題6.3反比例函數(shù)k的幾何意義與面積之間的關(guān)系【十大題型】專題特訓(xùn)（學(xué)生版+教師版）

專題6.3反比例函數(shù)k的幾何意義與面積之間的關(guān)系【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由反比例函數(shù)的k的幾何意義求三角形的面積】 1【題型2由反比例函數(shù)的k的幾何意義求四邊形的面積】 3【題型3由反比例函數(shù)的k的幾何意義判斷面積的大小關(guān)系】 4【題型4由反比例函數(shù)的k的幾何意義求陰影部分圖形的面積】 6【題型5由三角形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 7【題型6由四邊形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 8【題型7由陰影部分圖形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 9【題型8由面積之間的關(guān)系求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 11【題型9由反比例函數(shù)k的幾何意義求坐標(biāo)】 13【題型10由直線分面積求參數(shù)的值】 14知識(shí)點(diǎn)：反比例函數(shù)的k的幾何意義由y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象上任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|.如圖①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq\f(1,2)|xy|＝eq\f(1,2)|k|.【題型1由反比例函數(shù)的k的幾何意義求三角形的面積】【例1】（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段OA與反比例函數(shù)y=6x(x>0)相交于點(diǎn)A，將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段OB，點(diǎn)B恰好落在雙曲線y=6x(x>0)上，則A．3 B．32 C．62【變式1-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y=?1x(x<0)與y=3xx>0的圖象上，且OA⊥OB．若【變式1-2】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函數(shù)y=4x在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則△OAC與【變式1-3】（23-24九年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）如圖所示：已知直線y=12x與雙曲線y=kx(k>0)交于(1)求k的值；(2)若雙曲線y=kx(k>0)上的一點(diǎn)C(3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)M使得MA+MC的值最小，若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)．不存在，請(qǐng)說明理由．【題型2由反比例函數(shù)的k的幾何意義求四邊形的面積】【例2】（2024·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A在函數(shù)y=2x(x>0)的圖像上，點(diǎn)B在函數(shù)y=3x(x>0)的圖像上，且AB∥x軸，A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】（23-24九年級(jí)·北京·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)A、B是函數(shù)y=x與y=1x的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，作AC⊥x軸于C，作BD⊥x軸于D，則四邊形A．S>2 B．S>1 C．S<1 D．S=2【變式2-2】（23-24九年級(jí)·上海·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y=1x上，點(diǎn)B在雙曲線y=3x上，且AB∥x軸，過點(diǎn)A、B分別向x軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)D、C，那么四邊形【變式2-3】（2024春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，反比例函數(shù)y=2x(x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC對(duì)角線OB的中點(diǎn)P，與AB、BC交于E、F兩點(diǎn)，則四邊形OEBF

【題型3由反比例函數(shù)的k的幾何意義判斷面積的大小關(guān)系】【例3】（2024九年級(jí)·河南·專題練習(xí)）小明在研究矩形面積S與矩形的邊長(zhǎng)x，y之間的關(guān)系時(shí)，得到下表數(shù)據(jù)：x0.511.5234612y12643210.5結(jié)果發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)據(jù)被墨水涂黑了．（1）被墨水涂黑的數(shù)據(jù)為．（2）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（其中x＞0），且y隨x的增大而．（3）如圖是小明畫出的y關(guān)于x的函數(shù)圖象，點(diǎn)B、E均在該函數(shù)的圖象上，其中矩形OABC的面積記為S1，矩形ODEF的面積記為S2，請(qǐng)判斷S1和S2的大小關(guān)系，并說明理由．（4）在（3）的條件下，DE交BC于點(diǎn)G，反比例函數(shù)y＝2x的圖象經(jīng)過點(diǎn)G交AB于點(diǎn)H，連接OG、OH，則四邊形OGBH的面積為【變式3-1】（23-24九年級(jí)·湖南株洲·期中）如圖：點(diǎn)P、Q是反比例函數(shù)y=kx圖象上的兩點(diǎn)，PA⊥y軸于點(diǎn)A，QN⊥x軸于點(diǎn)N，作PM⊥x軸于點(diǎn)M，QB⊥y軸于點(diǎn)B，連接PB、QM，△ABP的面積記為S1，△QMN的面積記為S2，則S1A．S1<S2 B．S1=【變式3-2】（2024·四川成都·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=kx的圖象上有三點(diǎn)A，B，C，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，連接OA，OB，OC，記△OAD，△OBE，△OCF的面積分別為S1，S2，S3，則S1，A．S1>S2>S3 B．【變式3-3】（2024·吉林長(zhǎng)春·二模）已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象上，點(diǎn)B、C在反比例函數(shù)y=1x(x>0)的圖象上，點(diǎn)P、Q為x、y軸上任意一點(diǎn)，則A．S△PAC>S△QAB B．S△PAC【題型4由反比例函數(shù)的k的幾何意義求陰影部分圖形的面積】【例4】（23-24九年級(jí)·江蘇南京·期末）如圖，點(diǎn)P，Q，R為反比例函數(shù)圖象上從左到右的三個(gè)點(diǎn)，分別過這三個(gè)點(diǎn)作x軸，y軸的垂線，與y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)C，B，A，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次記為S1，S2，A．4 B．5 C．6 D．7【變式4-1】（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A、B、C在雙曲線y=8x上，BD⊥x軸于點(diǎn)D，CE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F在x軸上，且AO=AF，則圖中陰影部分的面積之和為

【變式4-2】（2024九年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，點(diǎn)A、B在第一象限，且為反比例函數(shù)y=4x圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A橫坐標(biāo)的4倍，則圖中陰影部分的面積為【變式4-3】（2024·山東濟(jì)寧·二模）如圖，在反比例函數(shù)y=1x的圖象上有P1,P2,P3,…，A．1 B．2024 C．12024 D．【題型5由三角形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】【例5】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)y=kx的圖象與正比例函數(shù)y=x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在反比例函數(shù)第一象限的圖象上且坐標(biāo)為(m,4m)，若△BOC的面積為12，則k的值為【變式5-1】（23-24九年級(jí)·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的點(diǎn)，過點(diǎn)A、B分別作x軸、y軸的垂線交于點(diǎn)C，反比例函數(shù)y=kxk<0,x<0的圖像分別與AC、BC交于點(diǎn)D、E，連接OD、OE、DE

A．?92 B．?274 C．【變式5-2】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)y=mxm>0在第三象限的圖象是l1，y=nxn<0在第四象限的圖象是l2，點(diǎn)A、C在l1上，過A點(diǎn)作AB∥x軸交l2于B點(diǎn)，過C點(diǎn)作CD⊥y軸于D點(diǎn)，點(diǎn)P【變式5-3】（23-24九年級(jí)·江蘇無錫·期末）如圖，點(diǎn)A2,a在雙曲線y=?6xx>0上，過D?2,0作直線AD交雙曲線y=kxx>0于點(diǎn)B，過A作AC⊥x軸于C，連接

【題型6由四邊形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】【例6】（23-24九年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形OABC的邊OC在x軸的正半軸上，對(duì)角線AC、OB交于點(diǎn)D，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)D，若菱形OABC的面積為6，則kA．2 B．1 C．3 D．6【變式6-1】（23-24九年級(jí)·江蘇常州·期末）如圖，直線y=2x與反比例函數(shù)y=kxk≠0交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的平行線，點(diǎn)C是該平行線上的一點(diǎn)，連接AC，使得AC=AB，過點(diǎn)C作x軸的垂線交y=kxk≠0于點(diǎn)D，以BC、CD為邊作矩形BCDE【變式6-2】（23-24九年級(jí)·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=8xx>0【變式6-3】（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)Aa，?4a、B2a，?2b、C?a，4a、D?2a【題型7由陰影部分圖形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】【例7】（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A、B在x軸上，分別以O(shè)A，AB為邊，在x軸上方作正方形OACD，ABEF．反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象分別交邊CD，BE于點(diǎn)P，Q．作PM⊥x軸于點(diǎn)M，QN⊥y軸于點(diǎn)N．若OA=2AB，Q為BE的中點(diǎn)，且陰影部分面積等于6，則kA．6 B．12 C．24 D．48【變式7-1】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象上，過A，B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為C，D，連接OA,OB，若S1+S2=2（S1,S2【變式7-2】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形OBCD、矩形OAPE在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、B在x軸正半軸上，E、D在y軸正半軸上，頂點(diǎn)C、P在第一象限，M為BC的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=kx（x>0，k為常數(shù)，k≠0）的圖像恰好經(jīng)過點(diǎn)M、P，若陰影部分面積為8，則k的值為【變式7-3】（2024九年級(jí)·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，矩形DEFG的邊DE在BC上，AB=EF．反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過點(diǎn)BA．2 B．3 C．6 D．12【題型8由面積之間的關(guān)系求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】【例8】（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，平行四邊形ABCD中A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,?2)，B在x軸的負(fù)半軸上，C、D兩點(diǎn)落在反比例函數(shù)y=kx?1上，且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，四邊形AECD的面積是△ABE面積的3倍，則k的值為（A．3 B．4 C．5 D．6【變式8-1】（23-24九年級(jí)·浙江杭州·期末）如圖，過y=kxk≠0,x>0的圖象上點(diǎn)A，分別作x軸，y軸的平行線交y=?2x的圖象于B，D兩點(diǎn)，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標(biāo)軸分割成四個(gè)小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，A．52 B．53 C．4 【變式8-2】（23-24九年級(jí)·浙江金華·期中）如圖，四邊形OABC、BDEF是面積分別為S1、S2的正方形，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)F在BC上，點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，若S【變式8-3】（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖，點(diǎn)A3,6，B6,a是反比例函數(shù)y=mx的圖象上的兩點(diǎn)，連接(1)求a的值；(2)求△AOB的面積；(3)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為9,0，點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，若△POC的面積等于△AOB面積的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【題型9由反比例函數(shù)k的幾何意義求坐標(biāo)】【例9】（23-24九年級(jí)·浙江紹興·期末）如圖，平行于y軸的直尺（部分）與反比例函數(shù)y=mx(x>0)的圖像交于A，C兩點(diǎn)與x軸交于B，D兩點(diǎn)，連接AC，點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)直尺上的刻度分別為5，2，直尺的寬度BD=2，S△AOC=5【變式9-1】（23-24九年級(jí)·河南南陽·期末）如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(?2,0)，(0,3)，將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC，過點(diǎn)C作CD⊥OB，垂足為D，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)

(1)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求反比例函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，當(dāng)△PCD的面積為9時(shí)，求點(diǎn)【變式9-2】（23-24九年級(jí)·四川成都·期末）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=6x的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，連接AB，且AB∥x．點(diǎn)P(23,0)是x軸上一點(diǎn)，連接PA，PB，若PA=PB，S

【變式9-3】（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)D2,1在對(duì)角線OB上，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經(jīng)過C、D兩點(diǎn)．已知平行四邊形OABC的面積是6，則點(diǎn)A．4,83 B．4,2 C．5,2.5 【題型10由直線分面積求參數(shù)的值】【例10】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期中）如圖，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)y=kx的圖像交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），點(diǎn)C，D在反比例函數(shù)y=k?16x的圖像上，AC∥y軸，BD∥x軸，OD將四邊形ABDC的面積分成7：5的兩部分，則△OCD的面積為，【變式10-1】（23-24九年級(jí)·江蘇蘇州·期中）如圖，直線y=12x+m與反比例函數(shù)y=kxx>0交于點(diǎn)A2,4，與y軸交于點(diǎn)B，過雙曲線上的一點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，交直線y=12x+m于點(diǎn)【變式10-2】（23-24九年級(jí)·浙江紹興·期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)由12個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形所組成的圖形，反比例函數(shù)y=kxk≠0,x>0的圖象與圖形外側(cè)兩個(gè)交點(diǎn)記為A點(diǎn)，B點(diǎn)，若線段AB把該圖形分成面積為5:7的兩部分，則k【變式10-3】（2024·山東聊城·中考真題）如圖，直線y=px+3p≠0與反比例函數(shù)y=kxk>0在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)A2,q，與y軸交于點(diǎn)B，過雙曲線上的一點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，交直線y=px+3

(1)求k，p的值；(2)若OE將四邊形BOCE分成兩個(gè)面積相等的三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

專題6.3反比例函數(shù)k的幾何意義與面積之間的關(guān)系【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由反比例函數(shù)的k的幾何意義求三角形的面積】 1【題型2由反比例函數(shù)的k的幾何意義求四邊形的面積】 8【題型3由反比例函數(shù)的k的幾何意義判斷面積的大小關(guān)系】 11【題型4由反比例函數(shù)的k的幾何意義求陰影部分圖形的面積】 15【題型5由三角形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 20【題型6由四邊形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 24【題型7由陰影部分圖形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 29【題型8由面積之間的關(guān)系求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】 34【題型9由反比例函數(shù)k的幾何意義求坐標(biāo)】 39【題型10由直線分面積求參數(shù)的值】 45知識(shí)點(diǎn)：反比例函數(shù)的k的幾何意義由y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象上任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|.如圖①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq\f(1,2)|xy|＝eq\f(1,2)|k|.【題型1由反比例函數(shù)的k的幾何意義求三角形的面積】【例1】（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段OA與反比例函數(shù)y=6x(x>0)相交于點(diǎn)A，將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段OB，點(diǎn)B恰好落在雙曲線y=6xA．3 B．32 C．62【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，全等三角形的判定和性質(zhì)．過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過帶你B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，推出OE為反比例函數(shù)y=6x(x>0)圖象的對(duì)稱軸，通過證明△AOC≌△AOE，得出△BOD≌△BOE，△ABO【詳解】解：過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過帶你B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，由旋轉(zhuǎn)可知OA=OB,∠AOB=45°，∵OE⊥AB，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于OE對(duì)稱，∠AOE=∠BOE=22.5°，∴OE為反比例函數(shù)y=6∴∠COE=∠DOE=45°，∴∠AOC=∠COE?∠AOE=22.5°，∵∠ACO=∠AEO=90°,OA=OA,∠AOC=∠AOE=22.5°，∴△AOC≌△AOE，同理可得：△BOD≌△BOE，∴△ABO的面積=S故選：D．【變式1-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y=?1x(x<0)與y=3xx>0的圖象上，且OA⊥OB．若【答案】9【分析】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)k的幾何意義，勾股定理，利用了方程的思想，熟練掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是解本題的關(guān)鍵．過點(diǎn)A作AC⊥x軸，過B作BD⊥x軸，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形ACO與三角形ODB相似，由A、B分別在反比例函數(shù)y=?1x(x<0)與y=3xx>0的圖象上，利用反比例函數(shù)k的幾何意義求出三角形ACO與三角形ODB面積，進(jìn)而得到面積之比，利用面積比等于相似比的平方確定出相似比，即為OA與OB之比，設(shè)出OA=x，OB=3x，在直角三角形AOB中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到【詳解】解：過點(diǎn)A作AC⊥x軸，過B作BD⊥x軸，又∵OA⊥OB，∴∠AOC+∠BOD=90°,∠AOC+∠CAO=90°，∴∠BOD=∠CAO，又∵∠ACO=∠BDO=90°，∴△ACO∽△ODB，∵點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y=?1x(x<0)∴S△AOC=12×∴OA:OB=1:3在Rt△AOB中，設(shè)OA=x，則OB=∵AB=6，根據(jù)勾股定理得：AB2=O解得：x=3（負(fù)值舍去），∴OA=3,OB=33則S△AOB故答案為：93【變式1-2】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函數(shù)y=4x在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則△OAC與【答案】2【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，等腰三角形的性質(zhì)，面積公式，平方差公式，根據(jù)△OAC和△BAD都是等腰直角三角形可得出OC=AC、AD=BD，設(shè)OC=a，BD=b，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為a+b,a?b，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出a2?b2=4【詳解】∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴OC=AC，AD=BD，設(shè)OC=a，BD=b，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為a+b,a?b，∵反比例函數(shù)y=4x在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)∴a+ba?b∴S△OAC故答案為：2．【變式1-3】（23-24九年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）如圖所示：已知直線y=12x與雙曲線y=kx(k>0)交于(1)求k的值；(2)若雙曲線y=kx(k>0)上的一點(diǎn)C(3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)M使得MA+MC的值最小，若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)．不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)k=8(2)S(3)存在，M點(diǎn)坐標(biāo)為0,34【分析】（1）利用一次函數(shù)求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再將其代入雙曲線y=k（2）利用反比例函數(shù)求出點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，F(xiàn)A，EC的延長(zhǎng)線相加于點(diǎn)D，連接OC，AC，結(jié)合k的幾何意義根據(jù)S△OAC（3）根據(jù)點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上使得MA+MC的值最小分以下兩種情況討論，①當(dāng)M點(diǎn)在x軸上時(shí)，②當(dāng)M點(diǎn)在y軸上時(shí)，根據(jù)以上兩種情況結(jié)合軸對(duì)稱性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)情況分析求解，即可解題．【詳解】（1）解：∵直線y=12x與雙曲線y=kx(k>0)交于將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入y=12x∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=kx(k>0)解得：k=8，故k的值為8；（2）解：由（1）可知：雙曲線解析式為y=8∵點(diǎn)C在雙曲線y=8x上，點(diǎn)將點(diǎn)C的縱坐標(biāo)代入y=8x得：解得：x=1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為1,8，如圖，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，F(xiàn)A，EC的延長(zhǎng)線相加于點(diǎn)D，連接OC，AC，∴S=4×8?=32?4?4?9=15；（3）解：存在，理由如下：①當(dāng)M點(diǎn)在x軸上時(shí)，如圖，作C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′，交x軸于點(diǎn)M根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，CM=C∴MA+MC=MA+MC根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知AC′即為MA+MC的最小值，與x軸的交點(diǎn)即為∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為1,8，∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為1,?8設(shè)直線AC′的解析式為將A、C′坐標(biāo)代入得：?8=k1∴直線AC′的解析式為令y=0，代入y=103x?解得：x=17∴M點(diǎn)坐標(biāo)為175此時(shí)最小值為=4?1②當(dāng)M點(diǎn)在y軸上時(shí)，如圖，作C點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C″，連接AC″，交y軸于點(diǎn)M根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，CM=C∴MA+MC=MA+MC根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知AC″即為MA+MC的最小值，與y軸的交點(diǎn)即為∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為1,8，∴點(diǎn)C″的坐標(biāo)為?1,8設(shè)直線AC″的解析式為將A、C″坐標(biāo)代入得：8=?m+n2=4m+n，解得：∴直線AC″的解析式為令x=0，代入y=?65x+∴M點(diǎn)坐標(biāo)為0,34此時(shí)最小值為4+12+8?2綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為0,34【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對(duì)稱性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，割補(bǔ)法求面積，k的幾何意義，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)情況，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【題型2由反比例函數(shù)的k的幾何意義求四邊形的面積】【例2】（2024·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A在函數(shù)y=2x(x>0)的圖像上，點(diǎn)B在函數(shù)y=3x(x>0)的圖像上，且AB∥x軸，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用．熟練掌握反比例函數(shù)中k的幾何意義，是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)D，根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義得到S△ADO=12×2=1，S【詳解】解：延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)D，

∵AB∥∴DA⊥y軸，∵點(diǎn)A在函數(shù)y=2∴S△ADO∵BC⊥x軸于點(diǎn)C，DB⊥y軸，點(diǎn)B在函數(shù)y=3∴S矩形∴四邊形ABCO的面積等于S矩形故選：B．【變式2-1】（23-24九年級(jí)·北京·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)A、B是函數(shù)y=x與y=1x的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，作AC⊥x軸于C，作BD⊥x軸于D，則四邊形A．S>2 B．S>1 C．S<1 D．S=2【答案】D【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的幾何意義和三角形的面積公式根據(jù)函數(shù)的解析式得到各線段的長(zhǎng)度，將四邊形ABCD分為四個(gè)小三角形即可求出面積【詳解】解：根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知，OB=OA,OD=OC，∴S△AOC、S∴四邊形ABCD的面積為S=S故選：D.【變式2-2】（23-24九年級(jí)·上海·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y=1x上，點(diǎn)B在雙曲線y=3x上，且AB∥x軸，過點(diǎn)A、B分別向x軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)D、C，那么四邊形【答案】2【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)關(guān)系k的幾何意義，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出矩形EODA的面積為1，矩形BCOE的面積是3，則矩形ABCD的面積為3?1=2．【詳解】解：過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，AB∥x則點(diǎn)E、A、B在同一直線上，∵點(diǎn)A在雙曲線y=1x上，點(diǎn)B在雙曲線∴矩形EODA的面積為1，矩形BCOE的面積是3，∴矩形ABCD的面積為3?1=2，故答案為：2．【變式2-3】（2024春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，反比例函數(shù)y=2x(x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC對(duì)角線OB的中點(diǎn)P，與AB、BC交于E、F兩點(diǎn)，則四邊形OEBF

【答案】6【分析】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為m，n，根據(jù)矩形性質(zhì)求得A，B的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得【詳解】解：∵四邊形OABC是矩形，∴BC⊥y軸，BA⊥x軸，∵E,F在反比例函數(shù)圖象上，∴S設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為m，n，而點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖像上，則又∵矩形OABC對(duì)角線OB的中點(diǎn)為P，∴B2m，2n，A∵S∴S四邊形故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，矩形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)求解是解題的關(guān)鍵．【題型3由反比例函數(shù)的k的幾何意義判斷面積的大小關(guān)系】【例3】（2024九年級(jí)·河南·專題練習(xí)）小明在研究矩形面積S與矩形的邊長(zhǎng)x，y之間的關(guān)系時(shí)，得到下表數(shù)據(jù)：x0.511.5234612y12643210.5結(jié)果發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)據(jù)被墨水涂黑了．（1）被墨水涂黑的數(shù)據(jù)為．（2）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（其中x＞0），且y隨x的增大而．（3）如圖是小明畫出的y關(guān)于x的函數(shù)圖象，點(diǎn)B、E均在該函數(shù)的圖象上，其中矩形OABC的面積記為S1，矩形ODEF的面積記為S2，請(qǐng)判斷S1和S2的大小關(guān)系，并說明理由．（4）在（3）的條件下，DE交BC于點(diǎn)G，反比例函數(shù)y＝2x的圖象經(jīng)過點(diǎn)G交AB于點(diǎn)H，連接OG、OH，則四邊形OGBH的面積為【答案】（1）1.5；（2）y＝6x；減少；（3）S1＝S2【分析】（1）由表格直接可得；（2）在表格中發(fā)現(xiàn)xy=6，故得到y(tǒng)=6x（3）由反比例函數(shù)k的幾何意義可知S1=OA?OC=k=6，S2=OD?OF=k=6；（4）根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，得到S四邊形OCBA=6，S△OCG=1，S△OAH=1；【詳解】（1）從表格可以看出s=6，∴墨水蓋住的數(shù)據(jù)是6÷4=1.5；故答案為1.5；（2）由xy=6，得到y(tǒng)＝6x∴y是x的反比例函數(shù)，k=6＞0，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減少；故答案為y=6x（3）S1＝S2．

S1＝OA?OC＝k＝6，S2＝OD?OF＝k＝6，∴S1＝S2；（4）∵點(diǎn)B在y＝6x∴S四邊形OCBA=6，∵點(diǎn)G、H在y＝2xS△OCG=1，S△OAH=1，∴S四邊形OGBH=S四邊形OCBA-S△OCG-S△OAH=6-1-1=4；故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，k的幾何意義；理解反比例函數(shù)|k|與面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24九年級(jí)·湖南株洲·期中）如圖：點(diǎn)P、Q是反比例函數(shù)y=kx圖象上的兩點(diǎn)，PA⊥y軸于點(diǎn)A，QN⊥x軸于點(diǎn)N，作PM⊥x軸于點(diǎn)M，QB⊥y軸于點(diǎn)B，連接PB、QM，△ABP的面積記為S1，△QMN的面積記為S2，則S1A．S1<S2 B．S1=【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|，這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．設(shè)P(a,b)，Q(m,n)，根據(jù)三角形的面積公式和k的幾何意義，即可求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)P(a,b)，Q(m,n)，則S1S2∵點(diǎn)P，Q在反比例函數(shù)的圖象上，∴ab=mn=k，∴S故選：B．【變式3-2】（2024·四川成都·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=kx的圖象上有三點(diǎn)A，B，C，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，連接OA，OB，OC，記△OAD，△OBE，△OCF的面積分別為S1，S2，S3，則S1，A．S1>S2>S3 B．【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求解．【詳解】解：由函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得，S1，S2，S3均為|k|2∴S1=S2=S3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)和系數(shù)k的幾何意義．【變式3-3】（2024·吉林長(zhǎng)春·二模）已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象上，點(diǎn)B、C在反比例函數(shù)y=1x(x>0)的圖象上，點(diǎn)P、Q為x、y軸上任意一點(diǎn)，則A．S△PAC>S△QAB B．S△PAC【答案】D【分析】如下圖，在反比例函數(shù)y=1x(x>0)上取點(diǎn)C【詳解】如下圖，在反比例函數(shù)y=1x(x>0)上取點(diǎn)C則由圖形可知：S∵點(diǎn)C、P可任意選取，則△APC的面積可任意變化同理，△ABQ的面積可任意變化故選：D【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是判斷出三角形的面積是始終變化的．【題型4由反比例函數(shù)的k的幾何意義求陰影部分圖形的面積】【例4】（23-24九年級(jí)·江蘇南京·期末）如圖，點(diǎn)P，Q，R為反比例函數(shù)圖象上從左到右的三個(gè)點(diǎn)，分別過這三個(gè)點(diǎn)作x軸，y軸的垂線，與y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)C，B，A，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次記為S1，S2，A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．由OA:AB:BC=1:2:3，得S1=k6，S4=26k=13k，S1【詳解】解：如圖所示，∵OA:AB:BC=1:2:3，S2∴S1=∴S∴S∴MN平分矩形OBQE，∴S2=∴13∴k=6，∴S∵S∴S故選：B．【變式4-1】（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A、B、C在雙曲線y=8x上，BD⊥x軸于點(diǎn)D，CE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F在x軸上，且AO=AF，則圖中陰影部分的面積之和為

【答案】16【分析】過A作AG垂直于x軸，交x軸于點(diǎn)G，由AO=AF，利用三線合一得到G為OF的中點(diǎn)，根據(jù)等底同高得到三角形AOG的面積等于三角形AFG的面積，再由A，B及C三點(diǎn)都在反比例函數(shù)圖象上，根據(jù)反比例的性質(zhì)得到△BOD，△COE及△AOG的面積都相等，都為k2，由反比例解析式中的k【詳解】解：過A作AG⊥x軸，交x軸于點(diǎn)G，如圖所示：

∵AO=AF，AG⊥OF，∴G為OF的中點(diǎn)，即OG=FG，∴S△OAG又∵A，B及C點(diǎn)都在反比例函數(shù)y=8x上，BD⊥x軸，∴S△OAG∴S△OAG則S陰影故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)來解答本題關(guān)鍵．【變式4-2】（2024九年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖，點(diǎn)A、B在第一象限，且為反比例函數(shù)y=4x圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A橫坐標(biāo)的4倍，則圖中陰影部分的面積為【答案】15【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4a，根據(jù)S△AOB=S△AOE+S四邊形AEFB?【詳解】解：過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4a，∵點(diǎn)A、B在第一象限，且為反比例函數(shù)y=4∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為a,4a，點(diǎn)B的坐標(biāo)為∴AE=4∴S==∵點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D，∴S△COD∴圖中陰影部分的面積為S△COD故答案為：15．【變式4-3】（2024·山東濟(jì)寧·二模）如圖，在反比例函數(shù)y=1x的圖象上有P1,P2,P3,…，A．1 B．2024 C．12024 D．【答案】D【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．將面積為S2,S3…,【詳解】解：∵P1∴陰影矩形的一邊長(zhǎng)都為1，如圖：記P1D⊥y軸于點(diǎn)D，P1C⊥x軸于點(diǎn)C，P2024A⊥x軸于點(diǎn)將面積為S2,S3…,把x=2024代入y=1x得：y=1∴S矩形根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義，可得：S矩形OCP1故選D．【題型5由三角形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】【例5】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)y=kx的圖象與正比例函數(shù)y=x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在反比例函數(shù)第一象限的圖象上且坐標(biāo)為(m,4m)，若△BOC的面積為12，則k的值為【答案】16【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，連接AC,作AE⊥x軸于E,CD⊥x軸于F,則S△COD=S△AOE=12|k|，根據(jù)題意求得【詳解】連接AC,作AE⊥x軸于E,CD⊥x軸于F,則S△COD∴S△AOC∵反比例函數(shù)y=kx的圖象與正比例函數(shù)y=x的圖象交于∴A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OA=OB，∴S設(shè)A(a,a),∴k=4m?m=a?a，∴a=2m，∴A(2m,2m)，∴S梯形AEDC解得m=2，m=?2（舍去）∴k=4m?m=16，故答案為:16．【變式5-1】（23-24九年級(jí)·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的點(diǎn)，過點(diǎn)A、B分別作x軸、y軸的垂線交于點(diǎn)C，反比例函數(shù)y=kxk<0,x<0的圖像分別與AC、BC交于點(diǎn)D、E，連接OD、OE、DE

A．?92 B．?274 C．【答案】C【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．設(shè)BE=a，則CE=3a，用a表示出E，D的坐標(biāo)，利用面積求出ab即可解答．【詳解】解：設(shè)BE=a，OB=AC=b，則CE=3a，∴BC=4a，∴E(?a,b)，D?4a,∴CD=3∴12解得ab=24∴k=?ab=?24故選：C．【變式5-2】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)y=mxm>0在第三象限的圖象是l1，y=nxn<0在第四象限的圖象是l2，點(diǎn)A、C在l1上，過A點(diǎn)作AB∥x軸交l2于B點(diǎn)，過C點(diǎn)作CD⊥y軸于D點(diǎn)，點(diǎn)P【答案】?6【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，設(shè)點(diǎn)Aa,b，得到S△ABP=12?n+m=5，設(shè)設(shè)點(diǎn)C【詳解】解：設(shè)點(diǎn)Aa,b，則rs=m∵AB∥x軸，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是b，∵點(diǎn)B在l2∴點(diǎn)Bn∴AB=nb?a，點(diǎn)P到AB∵S△ABP∴12設(shè)點(diǎn)Cr,s，則rs=m∵過C點(diǎn)作CD⊥y軸于D點(diǎn)，∴CD=?r，點(diǎn)P到CD的距離為?s，∴S△PCD即m=4，∴12∴n=?6故答案為：?6【變式5-3】（23-24九年級(jí)·江蘇無錫·期末）如圖，點(diǎn)A2,a在雙曲線y=?6xx>0上，過D?2,0作直線AD交雙曲線y=kxx>0于點(diǎn)B，過A作AC⊥x軸于C，連接

【答案】?【分析】本題考查已知圖形的面積求k值，先求出A點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求出AD的解析式，設(shè)Bn,?34n?3【詳解】解：點(diǎn)A2,a在雙曲線y=?∴2a=?6，∴a=?3，∴A(2,?3)設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，則：2m+n=?3?2m+n=0∴m=?3∴y=?3設(shè)Bn,?∵S△ACB∴12∴n=8∴?3∴B8∴k=?7故答案為：?28【題型6由四邊形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】【例6】（23-24九年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形OABC的邊OC在x軸的正半軸上，對(duì)角線AC、OB交于點(diǎn)D，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)D，若菱形OABC的面積為6，則kA．2 B．1 C．3 D．6【答案】A【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用，設(shè)Am,km，Cn,0，中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出【詳解】解：設(shè)Am,km∵菱形OABC，∴AD=CD，S△AOC∴Dm+n∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，∴m+n2∴n=3m，∴C3m,0∴S△AOC∴k=2；故選：A．【變式6-1】（23-24九年級(jí)·江蘇常州·期末）如圖，直線y=2x與反比例函數(shù)y=kxk≠0交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的平行線，點(diǎn)C是該平行線上的一點(diǎn)，連接AC，使得AC=AB，過點(diǎn)C作x軸的垂線交y=kxk≠0于點(diǎn)D，以BC、CD為邊作矩形BCDE【答案】6【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，求得S矩形作AM⊥BC于M，交ED于點(diǎn)N，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BM=CM，即可求得S矩形BENM=16，由反比例函數(shù)的對(duì)稱性得出OA=OB，BJ=JM，求得S【詳解】解：作AM⊥BC于M，交ED于點(diǎn)N，∵AB=AC，∴BM=CM，∵S矩形∴S矩形∵直線y=2x與反比例函數(shù)y=kx(k≠0)交于A、B∴OA=OB，BJ=JM，∴S矩形∴EQ=1∵S矩形∴S矩形∴S矩形∴k=S故答案為：6．【變式6-2】（23-24九年級(jí)·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=8xx>0【答案】?2【分析】過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)得出△ABE與△COD的面積相等，△AOE與△CBD的面積相等，再由反比例函數(shù)k的幾何意義得出S△ABE=S△COD=【詳解】解：過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，∴∠AEB=∠CDO=90°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠ABE=∠COD，AB=CO，∴△ABE≌△COD(AAS∴△ABE與△COD的面積相等，同理可得△AOE與△CBD的面積相等，∵若?OABC的面積為10，∴S△ABE∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=8∴S△ABE∴S△AOE∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=k∴k=2∵y=k∴k=?2故答案為：?2．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)Aa，?4a、B2a，?2b、C?a，4a、D?2a【答案】?【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．分兩種情況：若A、B在第四象限內(nèi)，點(diǎn)C、D在第二象限內(nèi)，即a>0時(shí)，若A、B在第二象限內(nèi)，點(diǎn)C、D在第四象限內(nèi)，即a<0時(shí)，分別求出a值，再根據(jù)k=?4a【詳解】解：∵Aa，?4a、B2a，?2b、∴a?∴k=?4a2<0∴函數(shù)y=k若A、B在第四象限內(nèi)，點(diǎn)C、D在第二象限內(nèi)，即a>0時(shí)，過點(diǎn)A、C分別作x軸的平行線EH、GF，過點(diǎn)B、D分別作y軸的平行線EF、GH，EH與EF相交于E，GF與EF相交于F，EH與GH相交于H，GF與GH相交于G，如圖，∵Aa，?4a、B2a∴S=4a×8a?=12∵S∴12∴a1=3∴a=若A、B在第二象限內(nèi)，點(diǎn)C、D在第四象限內(nèi)，即a<0時(shí)，同理可求得a=?綜上，a=±∴k=?4a故答案為：?4【題型7由陰影部分圖形的面積求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】【例7】（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A、B在x軸上，分別以O(shè)A，AB為邊，在x軸上方作正方形OACD，ABEF．反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象分別交邊CD，BE于點(diǎn)P，Q．作PM⊥x軸于點(diǎn)M，QN⊥y軸于點(diǎn)N．若OA=2AB，Q為BE的中點(diǎn)，且陰影部分面積等于6，則kA．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】設(shè)OA=4a，則AB=2a，從而可得A4a,0、B6a,0，由正方形的性質(zhì)可得C4a,4a，由QN⊥y軸，點(diǎn)P在CD上，可得Pk4a,4a，由于Q為BE的中點(diǎn)，BE⊥x軸，可得BQ=12AB=a，則Q6a,a，由于點(diǎn)Q在反比例函數(shù)【詳解】解：設(shè)OA=4a，∵OA=2AB，∴AB=2a，∴OB=AB+OA=6a，∴B6a,0在正方形ABEF中，AB=BE=2a，∵Q為BE的中點(diǎn)，∴BQ=1∴Q6a,a∵Q在反比例函數(shù)y=k∴k=6a×a=6a∵四邊形OACD是正方形，∴C4a,4a∵P在CD上，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4a，∵P點(diǎn)在反比例函數(shù)y=k∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=k∴Pk設(shè)PM、NQ交于點(diǎn)H，∵∠HMO=∠HNO=∠NOM=90°，∴四邊形OMHN是矩形，∴NH=k4a，∴S?OMHN∴k=24，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)及矩形得判定及其面積公式，讀懂題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象上，過A，B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為C，D，連接OA,OB，若S1+S2=2（S1,S2【答案】?4【分析】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵；利用S△ACO=S【詳解】解：由題意，知△ACO和△BDO都是直角三角形，∴S△ACO∵S∴k∴k由圖，可知k<0，∴k=?4故答案為：?4【變式7-2】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形OBCD、矩形OAPE在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、B在x軸正半軸上，E、D在y軸正半軸上，頂點(diǎn)C、P在第一象限，M為BC的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=kx（x>0，k為常數(shù)，k≠0）的圖像恰好經(jīng)過點(diǎn)M、P，若陰影部分面積為8，則k的值為【答案】8【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，中點(diǎn)坐標(biāo)，矩形的性質(zhì)，求出矩形的面積是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意，可設(shè)出點(diǎn)P、M的坐標(biāo)，然后利用反比例函數(shù)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)即可求得k的值．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=kx的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)M、設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則縱坐標(biāo)為ka，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為b，則縱坐標(biāo)為k在矩形OBCD和矩形OAPE中，BC⊥x軸，AP⊥x軸，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為b，則縱坐標(biāo)為2kb∵A、B在x軸正半軸上，E、D在y軸正半軸上，頂點(diǎn)C、P在第一象限，陰影部分面積為8，∴PA=a，PE=ka，OB=b，∴陰影面積=S解得：k=8，故答案為：8.【變式7-3】（2024九年級(jí)·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，矩形DEFG的邊DE在BC上，AB=EF．反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過點(diǎn)BA．2 B．3 C．6 D．12【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)中k值的幾何意義，全等三角形的性質(zhì)和判定，不規(guī)則圖形面積，掌握理解k值的幾何意義，把不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積是解題關(guān)鍵．轉(zhuǎn)化陰影部分面積為△BCO的面積，與k值的幾何意義結(jié)合，根據(jù)圖象的位置確定k值的正負(fù)即可．【詳解】解：設(shè)OF與BC的交點(diǎn)為Q，，設(shè)OA=a，AB=EF=b，∴∠FQE=∠OQC，∵四邊形OABC和四邊形DEFG是矩形，∴∠BCO=∠DEF=90°，∵AB=EF，AB=CO，∴EF=CO．∴△CQO≌∴S△CQO∵陰影部分面積為，S陰∴12∴ab=12，∵點(diǎn)Ba,b∴b=k∴k=ab=12．故選：D．【題型8由面積之間的關(guān)系求反比例函數(shù)的比例系數(shù)】【例8】（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，平行四邊形ABCD中A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,?2)，B在x軸的負(fù)半軸上，C、D兩點(diǎn)落在反比例函數(shù)y=kx?1上，且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，四邊形AECD的面積是△ABE面積的3倍，則k的值為（A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】先根據(jù)四邊形AECD的面積是三角形ABE面積的3倍，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得出E是BC的中點(diǎn)，B、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，設(shè)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則B點(diǎn)橫坐標(biāo)為?m．再由平行四邊形ABCD中A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,?2)，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，求出m=1.5．設(shè)D(3,n)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出C(1.5,2n)，再利用平行四邊形的性質(zhì)求出n=2，D(3,2)，那么k=3×2=6．【詳解】解：∵四邊形AECD的面積是△ABE面積的3倍，∴S∴E是BC的中點(diǎn)，∵E在y軸上，橫坐標(biāo)是0，∴B、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，設(shè)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則B點(diǎn)橫坐標(biāo)為?m，∵平行四邊形ABCD中A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,?2)，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，∴xC?x解得m=1.5，設(shè)D(3,n)，∵C、D兩點(diǎn)落在反比例函數(shù)y=kx∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)為3n1.5∴C(1.5,2n)，∵A(0,?2)，B(?1.5,0)，C(1.5,2n)，D(3,n)，且四邊形ABCD是平行四邊形，∴yC?∴n=2，∴D(3,2)，∴k=3×2=6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的定義，平行四邊形的性質(zhì)，求出B、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（23-24九年級(jí)·浙江杭州·期末）如圖，過y=kxk≠0,x>0的圖象上點(diǎn)A，分別作x軸，y軸的平行線交y=?2x的圖象于B，D兩點(diǎn)，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標(biāo)軸分割成四個(gè)小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，A．52 B．53 C．4 【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)Aa,b，則B?2b,b，Da,?2a，【詳解】解：依題意，設(shè)Aa,b，則B?2b∵點(diǎn)A在y=k則S1同理∵B，D兩點(diǎn)在y=?2則S∵S∴S3又∵S3故ab=8∴k=8故選：D．【變式8-2】（23-24九年級(jí)·浙江金華·期中）如圖，四邊形OABC、BDEF是面積分別為S1、S2的正方形，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)F在BC上，點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，若S【答案】4【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，根據(jù)已知條件得出點(diǎn)D、E、F的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．設(shè)正方形OABC、BDEF的邊長(zhǎng)分別為a，b，則可表示出D(a,a+b)，F(xiàn)(a?b,a)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出Ea?b,ka?b，利用點(diǎn)E【詳解】解：設(shè)正方形OABC、BDEF的邊長(zhǎng)分別為a，b，則Da,a+b，F(xiàn)a?b,a，∵點(diǎn)E與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同，∴ka?b∴a2∵S1∴k=4．故答案為：4．【變式8-3】（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖，點(diǎn)A3,6，B6,a是反比例函數(shù)y=mx的圖象上的兩點(diǎn)，連接(1)求a的值；(2)求△AOB的面積；(3)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為9,0，點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，若△POC的面積等于△AOB面積的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)a=3(2)△AOB的面積為27(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,9或?2,?9【分析】（1）將點(diǎn)A3,6，代入y=mx，求出m，將點(diǎn)B（2）由反比例函數(shù)的幾何意義得S△AOD=S△BOE，由（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為p,18p，作PE⊥x軸，用含p的代數(shù)式表示出PE的長(zhǎng)度，代入本題考查了求反比函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的幾何意義，求特殊圖形的面積，解題的關(guān)鍵是：熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A3,6，B6,a是反比例函數(shù)∴6=m3，解得：∴反比例函數(shù)解析式為：y=18∴a=186，解得：故答案為：a=3，（2）解：過點(diǎn)A，B，作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為D，E，由（1）可知，點(diǎn)A3,6，B6,3是反比例函數(shù)∴AC=6，OD=3，BD=3,OE=6，S△AOD∵S四邊形∴S△AOB故答案為：△AOB的面積為272（3）解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為p,18p，過點(diǎn)P，作PE⊥x軸，垂足為∴PE=18p?0∴S△POC即：12×9×18p=3×∴P2,9或P故答案為：點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,9或?2,?9．【題型9由反比例函數(shù)k的幾何意義求坐標(biāo)】【例9】（23-24九年級(jí)·浙江紹興·期末）如圖，平行于y軸的直尺（部分）與反比例函數(shù)y=mx(x>0)的圖像交于A，C兩點(diǎn)與x軸交于B，D兩點(diǎn)，連接AC，點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)直尺上的刻度分別為5，2，直尺的寬度BD=2，S△AOC=5【答案】(6，2)【分析】首先根據(jù)點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)直尺上的刻度分別為5、2，AB=3．BD=2，即可求得A的坐標(biāo)(m3，3)，C的坐標(biāo)(m3+2，3mm+6)【詳解】解：∵直尺平行于y軸，A、B對(duì)應(yīng)直尺的刻度為5、2，且AB=3，則B的坐標(biāo)為(m3，0)，則D的坐標(biāo)為(∴C(m3+2∵S又∵S∴S∴(3+3m∴m=12，∴C的坐標(biāo)為(6,2)故答案為：(6,2)．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義；熟練運(yùn)用幾何圖形的面積的和差計(jì)算不規(guī)則的圖形的面積．【變式9-1】（23-24九年級(jí)·河南南陽·期末）如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(?2,0)，(0,3)，將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC，過點(diǎn)C作CD⊥OB，垂足為D，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)

(1)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求反比例函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，當(dāng)△PCD的面積為9時(shí)，求點(diǎn)【答案】(1)C(3,1)，y=3(2)(7,37)【分析】（1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明△ABO?△BCD(ASA)，進(jìn)而可推算出點(diǎn)（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,3m)，利用S△PCD=【詳解】（1）解：根據(jù)線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC可知：AB=BC，∠ABO+∠CBD=∠ABC=90°，又∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠OBC又∵CD⊥OB∴∠CDB=∠AOB=90°∴△ABO?△BCD(ASA∴CD=OB=3，BD=AO=2，∴OD=OB?BD=1，∴C(3,1)．∵C(3,1)在y=kx上，∴反比例函數(shù)解析式為：y=3（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,3∵S∴32×m?1m1=7，∴這樣的P點(diǎn)坐標(biāo)為(7,37)【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，利用面積求符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式9-2】（23-24九年級(jí)·四川成都·期末）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=6x的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，連接AB，且AB∥x．點(diǎn)P(23,0)是x軸上一點(diǎn)，連接PA，PB，若PA=PB，S

【答案】0【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為t,6t，由AB∥x軸，得點(diǎn)Bkt6，6t，根據(jù)S△PAB=4，得12×6t?kt6×6【詳解】∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=6∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為t,6∵AB∥∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為6t∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=k∴6t解得：x=kt∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為kt6∴AB=t?kt∵S△PAB∴12解得：k=?2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為?t∵點(diǎn)P(2∴PAPB∵PA=PB，∴t?整理得：t?2∴t?2由?23=由?23=當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為?2，設(shè)直線PB的解析式為y=ax+b，將B?2323解得：a=?9∴直線PB的表達(dá)式為：y=?9當(dāng)x=0時(shí)，y=∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0故答案為：0【變式9-3】（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)D2,1在對(duì)角線OB上，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經(jīng)過C、D兩點(diǎn)．已知平行四邊形OABC的面積是6，則點(diǎn)A．4,83 B．4,2 C．5,2.5 【答案】B【分析】利用點(diǎn)D坐標(biāo)求出反比例函數(shù)和正比例函數(shù)解析式，再設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，利用平行四邊形的性質(zhì)和正比