2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第07講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題(知識(shí)+真題+5類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第07講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 2高頻考點(diǎn)一:分離雙參，構(gòu)造函數(shù) 2高頻考點(diǎn)二：糅合雙參（比值糅合） 4高頻考點(diǎn)三：糅合雙參（差值糅合） 6高頻考點(diǎn)四：變更主元法 7高頻考點(diǎn)五：利用對數(shù)平均不等式解決雙變量問題 8第四部分：新定義題 10第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、導(dǎo)數(shù)中求解雙變量問題的一般步驟：（1）先根據(jù)已知條件確定出變量滿足的條件；（2）將待求的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題，同時(shí)注意將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，具體有兩種可行的方法：①通過將所有涉及的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量（亦可）的函數(shù)問題；②通過的乘積關(guān)系，用表示（用表示亦可），將雙變量問題替換為（或）的單變量問題；（3）構(gòu)造關(guān)于或的新函數(shù)，同時(shí)根據(jù)已知條件確定出或的范圍即為新函數(shù)定義域，借助新函數(shù)的單調(diào)性和值域完成問題的分析求解.2、破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果第二部分：高考真題回顧1．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一:分離雙參，構(gòu)造函數(shù)典型例題例題1．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，證明：．例題2．（22-23高二下·福建龍巖·期中）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.練透核心考點(diǎn)1．（22-23高二下·河北邢臺(tái)·期末）已知函數(shù).(1)若為增函數(shù)，求；(2)若，有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，證明：.2．（2023·海南海口·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)設(shè).（ⅰ）證明：存在兩個(gè)零點(diǎn)，；（ⅱ）證明：的兩個(gè)零點(diǎn)，滿足.高頻考點(diǎn)二：糅合雙參（比值糅合）典型例題例題1．（23-24高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在不相等的實(shí)數(shù)，使得，證明：．例題2．（23-24高三下·甘肅·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若有2個(gè)極值點(diǎn)，求證：.例題3．（2024·四川·一模）已知函數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若有2個(gè)零點(diǎn)，證明：．練透核心考點(diǎn)1．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.2．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)，時(shí)，證明：.3．（22-23高三下·湖北咸寧·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若，使得，求證：．高頻考點(diǎn)三：糅合雙參（差值糅合）典型例題例題1．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為和，求的最小值.例題2．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）設(shè)函數(shù),(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求的最小值.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為和，求的最小值.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一上·四川成都·開學(xué)考試）已知，不等式恒成立，則x的取值范圍．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)．若不等式對于任意恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.高頻考點(diǎn)五：利用對數(shù)平均不等式解決雙變量問題典型例題例題1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.例題2．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；練透核心考點(diǎn)1．（2023·北京通州·三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明.2．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若存在，，使，求證：．第四部分：新定義題1．（2023·湖北·二模）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)，其中對任意的都有，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)設(shè)函數(shù)，其中b為實(shí)數(shù)．（i）求證：函數(shù)具有性質(zhì)；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)已知函數(shù)具有性質(zhì).給定，，設(shè)m為實(shí)數(shù)，，，且，，若，求m的取值范圍．第07講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 1第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 5高頻考點(diǎn)一:分離雙參，構(gòu)造函數(shù) 5高頻考點(diǎn)二：糅合雙參（比值糅合） 11高頻考點(diǎn)三：糅合雙參（差值糅合） 20高頻考點(diǎn)四：變更主元法 27高頻考點(diǎn)五：利用對數(shù)平均不等式解決雙變量問題 30第四部分：新定義題 36第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、導(dǎo)數(shù)中求解雙變量問題的一般步驟：（1）先根據(jù)已知條件確定出變量滿足的條件；（2）將待求的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題，同時(shí)注意將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，具體有兩種可行的方法：①通過將所有涉及的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量（亦可）的函數(shù)問題；②通過的乘積關(guān)系，用表示（用表示亦可），將雙變量問題替換為（或）的單變量問題；（3）構(gòu)造關(guān)于或的新函數(shù)，同時(shí)根據(jù)已知條件確定出或的范圍即為新函數(shù)定義域，借助新函數(shù)的單調(diào)性和值域完成問題的分析求解.2、破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果第二部分：高考真題回顧1．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)（?。┮娊馕?；（ⅱ）見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）（?。┯深}設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個(gè)不同的解可證明不等式成立，（ⅱ），，則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合零點(diǎn)滿足的方程進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)可證該不等式成立.【詳解】（1），當(dāng)，；當(dāng)，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.（2）（?。┮?yàn)檫^有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為，故，故方程有3個(gè)不同的根，該方程可整理為，設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，故且，整理得到：且，此時(shí)，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，故，故.（ⅱ）當(dāng)時(shí)，同（?。┲杏懻摽傻茫汗试谏蠟闇p函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，故且，整理得到：，因?yàn)?，故，又，設(shè)，，則方程即為：即為，記則為有三個(gè)不同的根，設(shè)，，要證：，即證，即證：，即證：，即證：，而且，故，故，故即證：，即證：即證：，記，則，設(shè)，則，所以，，故在上為增函數(shù)，故，所以，記，則，所以在為增函數(shù)，故，故即，故原不等式得證：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下的切線條數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點(diǎn)方程的解的個(gè)數(shù)問題，而復(fù)雜方程的零點(diǎn)性質(zhì)的討論，應(yīng)該根據(jù)零點(diǎn)的性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一:分離雙參，構(gòu)造函數(shù)典型例題例題1．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，證明：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及極值，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷，再通過構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及零點(diǎn)，求解不等式的解集；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為證明，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增，所以不可能有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以要滿足函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，只需，即，整理得，設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以在定義域上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為，所以的取值范圍為；（3）證明：由（2）知，，則，要證明，即證明，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，又，函?shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)需證明，當(dāng)，時(shí)，可得，因?yàn)椋醋C明，設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以在單調(diào)遞增，則，，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，即，命題得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，不等式，雙變量，零點(diǎn)偏移問題，本題第三問的關(guān)鍵是利用分析法轉(zhuǎn)化為證明，再根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，即可證明.例題2．（22-23高二下·福建龍巖·期中）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論和兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性；（2）首先結(jié)合（1）的結(jié)果，結(jié)合，將不等式轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，再根據(jù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，，恒成立，此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，由（1）知時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，所以只需證明，即有，下面證明，設(shè)，，設(shè)，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，而，，在上單調(diào)遞減，所以，即，命題得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及雙變量問題，不等式恒成立問題，第二問的關(guān)鍵是判斷，不等式轉(zhuǎn)化為證明，再通過構(gòu)造函數(shù)即可求解.練透核心考點(diǎn)1．（22-23高二下·河北邢臺(tái)·期末）已知函數(shù).(1)若為增函數(shù)，求；(2)若，有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，證明：.【答案】(1)2(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件找到函數(shù)的極值點(diǎn)，利用可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)列方程求解即可；（2）由已知得，構(gòu)造函數(shù)，使得，找到時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)，利用兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系建立不等式證明即可.【詳解】（1）恒成立，而，故是的最小值，即是函數(shù)的極小值點(diǎn)，令，則，故，則，即，檢驗(yàn)知符合題意，故.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，令，，令解得，由于，則，構(gòu)造函數(shù)，則，故為增函數(shù)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，故，即，所以，，故.【點(diǎn)睛】解決含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題通常用構(gòu)造函數(shù)的方法來解決.2．（2023·海南海口·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)設(shè).（?。┳C明：存在兩個(gè)零點(diǎn)，；（ⅱ）證明：的兩個(gè)零點(diǎn)，滿足.【答案】(1)(2)（i）證明見解析（ii）證明見解析【分析】（1）用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性即可求解；（2）（?。┣蟪龅膯握{(diào)區(qū)間，用零點(diǎn)存在性定理判斷每個(gè)單調(diào)區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（ⅱ）用的單調(diào)性把需證明的不等式轉(zhuǎn)化為即證，然后構(gòu)造函數(shù)證明即可.【詳解】（1），所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．（2）（?。┳C明：，，，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)有最小值．由，，下面證明，在上，對，只要足夠小，必存在，使得：實(shí)際上，當(dāng)時(shí)，，令，得，所以對，取，必有，即，所以在區(qū)間上，存在唯一的，，又，所以在區(qū)間上，存在唯一的，，綜上，存在兩個(gè)零點(diǎn)．（ⅱ）要證，需證，由，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，因此需證：，，，所以，，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，，即，結(jié)論得證，所以．【點(diǎn)睛】雙變量不等式證明問題，通常結(jié)合變量間的關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性等方法轉(zhuǎn)化為單變量不等式證明問題，同時(shí)注意構(gòu)造函數(shù)的技巧方法.高頻考點(diǎn)二：糅合雙參（比值糅合）典型例題例題1．（23-24高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在不相等的實(shí)數(shù)，使得，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)變化分類討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）多變量不等式的證明，由得，從而消變量，再由分析法只需證明不等式成立，將不等式變形為，利用整體換元法令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性從而證明不等式即可.【詳解】（1）由題得的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意，故，則．由，可得，即，可設(shè)，則，則．要證，即證，即證，即證，設(shè)，即證，設(shè)，可得，所以在上單調(diào)遞增，即，即，則．綜上可得．【點(diǎn)睛】比值代換，是處理雙變量問題的策略之一.通過比值代換，我們可以將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題來處理，達(dá)到消元的效果，在處理比值代換時(shí)，要注意一些常見的變換結(jié)構(gòu)，如以下的結(jié)構(gòu)變換方法：（1）引元：如設(shè)，消元，回代入已知等式解方程（組），進(jìn)而消元，將所求證不等式轉(zhuǎn)化為等形式，再構(gòu)造函數(shù)可得；（2）對數(shù)相加減：，；（3）齊次分式：等；（4）組合型：對數(shù)，分式，整式等形式加以組合，如等等.例題2．（23-24高三下·甘肅·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若有2個(gè)極值點(diǎn)，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將在上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為恒成立問題，通過參變分離求解最值即可；（2）通過是方程的兩個(gè)不同正根將證明轉(zhuǎn)化為，然后通過消參構(gòu)造函數(shù)來求解證明.【詳解】（1）法一：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以時(shí)，即，設(shè)，則，所以時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是；法二：因?yàn)?，所以，若，則在上單調(diào)遞增；若，令，則，時(shí)單調(diào)遞減；時(shí)單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增.綜上，的取值范圍是.（2）由（1）知是方程的兩個(gè)不同正根，所以，經(jīng)驗(yàn)證，分別是的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)，，下面證明.由，得，兩邊取對數(shù)，得，即，則，設(shè)，則，則要證，即證，即證.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，從而，于是成立，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于含雙變量的問題，通常經(jīng)過變形，產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)，然后通過換元令，將式子轉(zhuǎn)化為單變量的的問題，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)來解決問題.例題3．（2024·四川·一模）已知函數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若有2個(gè)零點(diǎn)，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，確定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得最值；（2）將代入原函數(shù)后做差變形，得到，令，然后構(gòu)造函數(shù)，證明不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)，函數(shù)，則，可知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得極小值，也即為最小值，所以的最小值為；（2）由已知，是的兩個(gè)零點(diǎn)，則，，兩式相減，得，整理得，欲證明，只需證明不等式，即證明，也即證明，不妨設(shè)，令，則，只需證明，即證明即可，令，則，又令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，所以，原不等式成立，故不等式得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于雙變量問題，我們可以盡量構(gòu)造等式進(jìn)行消元，轉(zhuǎn)化為單變量問題，如果在變形過程中產(chǎn)生，可以令達(dá)到消元的目的.練透核心考點(diǎn)1．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.【答案】(1)無最小值，最大值為(2)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后得，分別求出和的解集，從而可求解.（2）由有兩個(gè)極值點(diǎn)，從而要證，令，構(gòu)建函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解的最值，從而可求解證明.【詳解】（1）由題意得，則.令，解得；令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，無最小值，最大值為.（2），則，又有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，欲證，即證，原式等價(jià)于證明①.由，得，則②.由①②可知原問題等價(jià)于求證，即證.令，則，上式等價(jià)于求證.令，則，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，原不等式成立，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于極值點(diǎn)偏移問題，首先找到兩極值點(diǎn)的相應(yīng)關(guān)系,然后構(gòu)造商數(shù)或加數(shù)關(guān)系；通過要證明的不等式，將兩極值點(diǎn)變形后構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解出構(gòu)造函數(shù)的最值，從而證明不等式或等式成立.2．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)，時(shí)，證明：.【答案】(1)有極大值，極小值(2)證明見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值；（2）首先不等式變形為，再利用導(dǎo)數(shù)變形為，再轉(zhuǎn)化為證明，證法1，不等式變形為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；證法2，不等式變形為，再利用換元構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)最值，即可證明不等式.【詳解】（1）由題意，，，所以當(dāng)時(shí)，，，由解得：或，由解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有極大值，極小值.（2）由題意，，，要證，只需證，而，，所以只需證，即證①，下面給出兩種證明不等式①的方法：證法1：要證，只需證，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，顯然，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，即，?證法2：要證，只需證，即證，令，則，所以只需證當(dāng)時(shí)，，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以成立，即，故【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問的思路首先是變形不等式，根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最值，即可證明.3．（22-23高三下·湖北咸寧·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若，使得，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由題可得，其中，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得.（2）由題可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，再由導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，，得，即，令，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)得則，則在上單調(diào)遞增，于是，即，因此在上單調(diào)遞增，即在上有最大值，，則，所以m的取值范圍為.（2），由，得，整理為，令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，不妨令，即有，從而，于是，即，下面證明，即證，令，就證，只需證，設(shè)，求導(dǎo)得，則在上單調(diào)遞增，于是，因此當(dāng)時(shí)，成立，即，于是，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).高頻考點(diǎn)三：糅合雙參（差值糅合）典型例題例題1．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為和，求的最小值.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；（2）首先利用極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，得到，，并通過變形得到，利用換元構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求的最值，即可求解函數(shù)的最小值.【詳解】（1）若，，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），令，可得，由題意可得，是關(guān)于方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，由，有，所以，將代入上式，得，同理可得，所以，，①，令,①式化為，設(shè)，即，，記，則，記，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，在上單調(diào)遞增，所以，所以，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，的最大值為4，即的最大值為2，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，的最小值為，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是，并利用換元構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，第二個(gè)關(guān)鍵是求的最值.例題2．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）設(shè)函數(shù),(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求的最小值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，然后分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）由已知先得到，兩式相加相減可得和，令，代入，然后求導(dǎo)求其最小值.【詳解】（1）由已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減；令，得，函數(shù)單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）得若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則必有，令，得，令，則，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則必有一個(gè)小于，一個(gè)大于，所以，且，兩式相減可得，所以，兩式相加可得設(shè)，則，令，則，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于雙變量問題，我們需要通過換元轉(zhuǎn)化為單變量問題，本題就是利用兩式一加，一減，然后令達(dá)到消元的目的，常用的換元有等.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為和，求的最小值.【答案】(1)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出單調(diào)性；（2）由結(jié)合韋達(dá)定理得出，，進(jìn)而得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出其最小值即為的最小值.【詳解】（1）若，則.從而.令，得或.當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.綜上所述，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）.令，得.由題意，是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根.所以.由得.所以，將代入，得，同理可得：.所以.令，上式為.設(shè)，則.記，則.記時(shí)，單調(diào)遞增，所以.所以單調(diào)遞增，.所以在單調(diào)遞減.又.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值4，即得最大值為2.所以的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在問題（2）中，關(guān)鍵是由韋達(dá)定理得出，，從而構(gòu)造函數(shù)得出的最小值.2．（22-23高二下·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)記函數(shù)，且的最小值為.（i）求實(shí)數(shù)的值；（ii）若存在實(shí)數(shù)滿足，求的最小值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得斜率，進(jìn)而求得切點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式即可寫出切線方程；（2）（i）求導(dǎo)后，設(shè)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，從而確定最小值即可求解；（ii）由題意得，不妨令，設(shè)，則.記，求導(dǎo)后設(shè)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而得到，再結(jié)合單調(diào)性可得，進(jìn)而可解.【詳解】（1），則，又，所以切線方程為：，即.（2）（i），令，即，則且，所以有兩異號實(shí)數(shù)根，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以有唯一零點(diǎn).所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，在上遞增.所以，且.代入可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，故.（ii），即，則不妨令，設(shè)，則.記，則，令，即，則且，所以有兩異號實(shí)數(shù)根，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以有唯一零點(diǎn).且.所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，在上遞增，所以.其中，即，又在上單調(diào)遞減，且，得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以（當(dāng)時(shí)，有），所以的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：隱零點(diǎn)的處理思路：第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.高頻考點(diǎn)四：變更主元法典型例題例題1．（23-24高一上·云南·期末）若不等式對任意恒成立，則的取值范圍為．【答案】【分析】將問題化為對任意恒成立，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)求的取值范圍.【詳解】令，所以對任意恒成立，當(dāng)，即，只需，顯然滿足；當(dāng)，即，只需，可得；綜上，.故答案為：例題2．（20-21高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，若對任意的，總有，則的范圍是．【答案】【分析】把函數(shù)f(x)視為關(guān)于參數(shù)a的一次型函數(shù)，在端點(diǎn)-1，1處的函數(shù)值不小于0，建立不等式組求解即得.【詳解】令g(a)=x2·a-3x+1，則g(a)是一次型函數(shù)，它在閉區(qū)間上圖象為線段，則在閉區(qū)間上函數(shù)值不小于0，即對應(yīng)圖象不在x軸下方，只需端點(diǎn)不在x軸下方即可，，解得：或，解得：，所以有.答案為：【點(diǎn)睛】在參數(shù)范圍給定的含該參數(shù)的函數(shù)問題中，轉(zhuǎn)換“主”、“輔”變元的位置是解題的關(guān)鍵.例題3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（，為實(shí)數(shù)）(1)若函數(shù)圖象過點(diǎn)，對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)圖象過點(diǎn)，對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.（2）由對恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可.【詳解】（1）依題意，，即，由，恒成立，得，即，整理得，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，，由，得，即，依題意，對恒成立，令，則對，恒成立，于是，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一上·四川成都·開學(xué)考試）已知，不等式恒成立，則x的取值范圍．【答案】或【分析】根據(jù)給定的不等式，構(gòu)造一次型函數(shù)，再利用函數(shù)的圖象特征列出不等式組求解即得.【詳解】不等式等價(jià)于，令，依題意，，，于是，即，解，得或，解，得或，因此或，所以x的取值范圍是或.故答案為：或2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)．若不等式對于任意恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【答案】【分析】首先利用函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，接下來把a(bǔ)作為主元（變量），x作為參數(shù)，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解決，【詳解】∵是增函數(shù)，∴對于任意恒成立．，即對于任意恒成立．令．，為關(guān)于a的一次函數(shù)，在上是一條線段，由，得．高頻考點(diǎn)五：利用對數(shù)平均不等式解決雙變量問題典型例題例題1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【答案】證明見解析【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，從而只需證明，即可求解.【詳解】由題意得，令，則，，所以在上單調(diào)遞增，故至多有解；又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，有兩個(gè)解，令，，易得在上遞減，在上遞增，所以.此時(shí)，兩式相除，可得：.于是，欲證只需證明：，下證：因?yàn)?，不妨設(shè)，則只需證，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞減，故，即得證，綜上所述：即證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題通過構(gòu)造對數(shù)不等式證明極值點(diǎn)偏移問題.例題2．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)和分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由可得，是方程的兩不等實(shí)根，從而可將問題轉(zhuǎn)化為是方程的兩不等實(shí)根，即可得到和的范圍，原不等式等價(jià)于，即極值點(diǎn)偏移問題，根據(jù)對稱化構(gòu)造（解法1）或?qū)?shù)均值不等式（解法2）等方法即可證出．【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?由得：，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，，即是方程的兩不等實(shí)根，令，則，即是方程的兩不等實(shí)根.令，則，所以在上遞增，在上遞減，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.所以0，即0.令，要證，只需證，解法1（對稱化構(gòu)造）：令，則，令，則，所以在上遞增，，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（對數(shù)均值不等式）：先證，令，只需證，只需證，令，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)椋?，所以，即，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第二問解題關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，將問題變成熟悉的極值點(diǎn)偏移問題，從而根據(jù)對稱化構(gòu)造及對數(shù)均值不等式等方法證出．練透核心考點(diǎn)1．（2023·北京通州·三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明.【答案】(1)(2)(3)，證明見解析【分析】（1）切線方程的斜率為1，所以有，解方程即得