2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第07講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

A． B．C． D．8．（22-23高三上·河北衡水·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，函數(shù)，若，不等式成立，則實數(shù)的取值范圍A． B．C． D．二、多選題9．（23-24高三上·河南商丘·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．，， D．，，10．（22-23高二下·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)，，若，，則的取值可能是（

）A． B． C． D．三、填空題11．（23-24高三上·山東德州·階段練習(xí)）若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是．12．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)當(dāng)時，若對于區(qū)間上的任意兩個不相等的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍.四、解答題13．（22-23高三上·山東泰安·期末）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的曲線上點處的切線方程；(2)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(3)若有兩個極值點其中，求的最小值.14．（22-23·陜西·模擬預(yù)測）已知，函數(shù).（1）若曲線與曲線在它們的交點處的切線互相垂直,求的值；（2）設(shè),若對任意的,且,都有，求的取值范圍．15．（22-23·遼寧·一模）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，存在實數(shù)，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.16．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中參數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，存在實數(shù)，使得不等式成立，求a的取值范圍．C綜合素養(yǎng)1．（23-24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）對于函數(shù)、、，如果存在實數(shù)使得，那么稱為、的生成函數(shù).（1）下面給出兩組函數(shù)，是否分別為、的生成函數(shù)？并說明理由；第一組：，，；第二組：，，；（2）設(shè)，，取，生成函數(shù)圖象的最低點坐標為.若對于任意正實數(shù)，且，試問是否存在最大的常數(shù)，使恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由.第07講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題(分層精練）B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）B能力提升1．（22-23高三上·山東·階段練習(xí)）已知函數(shù)，對任意，存在，使，則的最小值為（

）．A．1 B．C． D．【答案】D【分析】令，將都用表示，從而可將構(gòu)造出關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】解：由題意，令，則，，所以，，，令，所以，令，得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有最小值，即的最小值為.故選：D．2．（22-23高三上·山東煙臺·期中）若對任意正實數(shù)x，y都有，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將不等式變式為，設(shè)后轉(zhuǎn)化為恒成立，只需求函數(shù)的最大值即可.【詳解】因為，所以，設(shè)，則，，令恒成立，故單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；.故所以，得到.故選:A.3．（22-23高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則可取（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】探討函數(shù)在上單調(diào)性，由已知可得，再構(gòu)造函數(shù)并求出其最小值即可判斷作答.【詳解】依題意，由得，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由得，則，由得：，又，于是得，，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，且，，，且，，故即，顯然選項A符合要求，選項B，C，D都不符合要求.故選：A4．（22-23高三下·安徽安慶·階段練習(xí)）已知，都是正整數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得，構(gòu)造函數(shù)求解即可.【詳解】因為，所以，令，所以，故在上單調(diào)遞增，由已知得，故，因為，都是正整數(shù)，即.故選：A.5．（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期末）若實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意將原不等式化簡為，令，可知原不等式等價于，再令，則原不等式等價于；再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性，進而可得，由此可知只有當(dāng)時，即時才滿足，據(jù)此即可求出的值，進而求出結(jié)果.【詳解】∵∴，即

∴，設(shè)，則有，即，∴，令，則，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；∴，即，要使成立等價于成立，只有當(dāng)時，即時才滿足，∴∴，∴.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是對原不等式的變形，將其變形成，再進行換元、構(gòu)造輔助函數(shù)，借助函數(shù)的最值和唯一性求解.6．（22-23高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，且，則的最小值為A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意得到，由，得到，所以，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可.【詳解】由題可知當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，設(shè)，則必有，所以，所以，所以，設(shè)，則，則時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為.故選：C【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題，將一個變量由另一個變量表示，構(gòu)造新的函數(shù)即可求解，注意變量的范圍，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.7．（22-23湖南長沙·二模）已知函數(shù)滿足對于任意，存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)在定義域單調(diào)遞增，原不等式成立可轉(zhuǎn)化為，通過研究函數(shù)的最值建立不等式求解即可得a的取值范圍.【詳解】由函數(shù)在定義域單調(diào)遞增，對于任意，存在，使得成立，即任意，存在，使得成立，即滿足，令，對稱軸方程為，在可得令，求導(dǎo)可得，，可得，在，，單調(diào)遞增，所以在，，即，解得，故選C.【點睛】本題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題，考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識點，解題的關(guān)鍵是將含有量詞的不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，再借助導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)求解最值建立不等式即可，屬于中等題.8．（22-23高三上·河北衡水·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，函數(shù)，若，不等式成立，則實數(shù)的取值范圍A． B．C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，又，因此當(dāng)時，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，最小值為－8，，令，得或，由易得是極小值點，是極大值點，，，由題意，．故選C．考點：不等式恒成立，函數(shù)的值域．【名題點睛】本題考查不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是命題中量詞的理解與命題的轉(zhuǎn)化，若，不等式成立，即在上，函數(shù)的最小值大于或等于的最大值．函數(shù)是三次函數(shù)，可由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求得最大值，而函數(shù)是分段函數(shù)，由分段函數(shù)的定義可在每一個區(qū)間（分為有三個區(qū)間）上的值域，然后求出并集，得值域．二、多選題9．（23-24高三上·河南商丘·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．，， D．，，【答案】AC【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，可判斷AB；構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，利用單調(diào)性可判斷CD.【詳解】，即，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，故A正確，B錯誤；令，則，因為在上單調(diào)遞增，又，所以所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，，所以，故C正確，D錯誤.故選：AC.10．（22-23高二下·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)，，若，，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由已知條件可推得，即有，結(jié)合目標式化簡可得，令，利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性并確定區(qū)間最小值，即為的最小值，根據(jù)最小值進行選擇即可.【詳解】由題意，，得，∴，即，又，得∵在上單調(diào)遞增，∴綜上知：，∴，令，，則∴，得；，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴，A：因為，所以本選項不符合題意；B：因為，所以本選項符合題意；C：顯然符合題意；D：因為，所以本選項不符合題意，故選：BC【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)條件的函數(shù)關(guān)系確定參數(shù)的等量關(guān)系，結(jié)合目標式化簡并構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而確定區(qū)間最小值.三、填空題11．（23-24高三上·山東德州·階段練習(xí)）若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的取值集合，再借助集合的包含關(guān)系列式求解作答.【詳解】由，得，令，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取最大值，最大值為0；又，，如下圖，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的值域為，由對任意的，總存在唯一的，使得成立，得，因此，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.12．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)當(dāng)時，若對于區(qū)間上的任意兩個不相等的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】求出的單調(diào)性，將絕對值去掉后得，構(gòu)造新函數(shù)，這樣就知道了函數(shù)的單調(diào)性，分離參量求導(dǎo)，得實數(shù)的取值范圍【詳解】不妨設(shè).因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，即.又因為在上也單調(diào)遞增，所以.所以不等式即為，即，設(shè)，即，則，因此在上單調(diào)遞減.于是在上恒成立，即在上恒成立.令，則，即在上單調(diào)遞增，因此在上的最小值為，所以，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題13．（22-23高三上·山東泰安·期末）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的曲線上點處的切線方程；(2)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(3)若有兩個極值點其中，求的最小值.【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，得到結(jié)果；（2）對函數(shù)求導(dǎo)分情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負，從而得到單調(diào)區(qū)間；（3）構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的變化趨勢，進而得到函數(shù)最值．【詳解】（1）當(dāng)時，所以，，又，過切點的切線方程為，即：.（2）由題意得：，,令,①當(dāng),即，則恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時，即，令,即，解得：或令，解得：綜上，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（3）由（2）知，，，由題意知，是方程的兩根,，，，令當(dāng)時，,所以，在上單調(diào)遞減，即的最小值為.14．（22-23·陜西·模擬預(yù)測）已知，函數(shù).（1）若曲線與曲線在它們的交點處的切線互相垂直,求的值；（2）設(shè),若對任意的,且,都有，求的取值范圍．【答案】（１）,或；（２）．【詳解】試題分析：（１）由得可得的值，由在上得，則在上可得等式，求得的值；（２）本題可轉(zhuǎn)化為在上是增函數(shù)，求轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，可得的取值范圍．試題解析：（1）,依題意有,且,可得,解得,或.（2）.不妨設(shè),等價于.設(shè),則對任意的,且,都有,等價于在上是增函數(shù).,可得,依題意有,對任意,有恒成立.由,可得.考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；構(gòu)造函數(shù)．15．（22-23·遼寧·一模）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，存在實數(shù)，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）0；（2）或．【詳解】試題分析：（1）求導(dǎo)得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號即可求出的單調(diào)區(qū)間（2）如果存在，使得成立，那么由題設(shè)得，求導(dǎo)得由于含有參數(shù)，故分情況討論，分別求出的最大值和最小值如何分類呢？由得，又由于故以0、1為界分類當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增以上兩種情況都很容易求得的范圍當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，【分析】（1）求導(dǎo)，對分類討論求解單調(diào)區(qū)間；（2）不等式成立，轉(zhuǎn)化為，然后求解函數(shù)的最大與最小值列出不等式求解．【詳解】（1），（1）當(dāng)時，，，的減區(qū)間是．（2）當(dāng)時，，的減區(qū)間是．（3）當(dāng)時，，，的增區(qū)間是，，的減區(qū)間是．綜上，當(dāng)時，減區(qū)間是；當(dāng)時，增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2），，因為存在實數(shù)，使得不等式成立，，，，,，，單減，，，單增．．，，，．C綜合素養(yǎng)1．（23-24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）對于函數(shù)、、，如果存在實數(shù)使得，那么稱為、的生成函數(shù).（1）下面給出兩組函數(shù)，是否分別為、的生成函數(shù)？并說明理由；第一組：，，；第二組：，，；（2）設(shè)，，取，生成函數(shù)圖象的最低點坐標為.若對于任意正實數(shù)，且，試問是否存在最大的常數(shù)，使恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）第一組：是，理由見解析；第二組：不是，理由見解析；（2）存在，289.【解析】（1）根據(jù)新函數(shù)定義：存在實數(shù)使得，判定第一組和第二組是否為生成函數(shù)即可；（2）根據(jù)新函數(shù)定義求出函數(shù)解析式，結(jié)合條件和，得到函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化成求在上的最值問題.【詳解】解：（1）第一組：是、的生成函數(shù)，因為存在使，第二組