2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第04講冪函數(shù)與二次函數(shù)(知識+真題+15類高頻考點)(精講)(學(xué)生版+解析)

第04講冪函數(shù)與二次函數(shù)目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 2高頻考點一：冪函數(shù)的定義 2角度1：求冪函數(shù)的值 2角度2：求冪函數(shù)的解析式 3角度3：由冪函數(shù)求參數(shù) 3高頻考點二：冪函數(shù)的值域 4高頻考點三：冪函數(shù)圖象 4角度1：判斷冪函數(shù)圖象 4角度2：冪函數(shù)圖象過定點問題 5高頻考點四：冪函數(shù)單調(diào)性 7角度1：判斷冪函數(shù)的單調(diào)性 7角度2：由冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 7角度3：由冪函數(shù)單調(diào)性解不等式 7高頻考點五：冪函數(shù)的奇偶性 8高頻考點六：二次函數(shù) 9角度1：二次函數(shù)值域問題 9角度2：求二次函數(shù)解析式 9角度3：由二次函數(shù)單調(diào)性（區(qū)間）求參數(shù) 10角度4：根據(jù)二次函數(shù)最值（值域）求參數(shù) 10角度5：動軸定范圍，定軸動范圍的最值問題 11第四部分：新定義題（解答題） 12第一部分：基礎(chǔ)知識1、冪函數(shù)（1）冪函數(shù)定義一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．（2）五種常見冪函數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點（3）冪函數(shù)性質(zhì)（高頻考點）冪函數(shù)，在①當時，在單調(diào)遞增；②當時，在單調(diào)遞減；2、二次函數(shù)形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).第二部分：高考真題回顧1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：冪函數(shù)的定義角度1：求冪函數(shù)的值典型例題例題1．（2024下·河南·高一信陽高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是冪函數(shù)，則（

）A．3 B． C．6 D．例題2．（2024上·河北承德·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象過點，則.角度2：求冪函數(shù)的解析式典型例題例題1．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則．例題2．（2024上·河北保定·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象過點，則.角度3：由冪函數(shù)求參數(shù)典型例題例題1．（2024上·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（

）A． B． C． D．例題2．（2024上·安徽阜陽·高一阜陽市第三中學(xué)?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則（

）A． B．或 C．或 D．練透核心考點1．（2024上·河南商丘·高一?？计谀┤羰嵌x域為的冪函數(shù)，則．2．（2024上·安徽淮南·高一深圳市高級中學(xué)校聯(lián)考期末）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則.3．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．4．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象過點，則等于.高頻考點二：冪函數(shù)的值域典型例題例題1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列函數(shù)中，值域為的是（

）A． B．C． D．例題2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；(3)求函數(shù)的值域．練透核心考點1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．2．（2024下·河北承德·高二承德縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的值域為．高頻考點三：冪函數(shù)圖象角度1：判斷冪函數(shù)圖象典型例題例題1．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)與在同一平面直角坐標系中的圖象不可能為（

）A．

B．

C．

D．

例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）給定一組函數(shù)解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①角度2：冪函數(shù)圖象過定點問題典型例題例題1．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ袇卿林袑W(xué)校考期末）下列命題中正確的是（）A．當時，函數(shù)的圖象是一條直線B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過，兩點C．冪函數(shù)圖象不可能在第四象限內(nèi)D．若冪函數(shù)為奇函數(shù)，則是定義域內(nèi)的嚴格增函數(shù)例題2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，的圖象恒過定點A，若點A在一次函數(shù)的圖象上，其中m，，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．4練透核心考點1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且2．（多選）（2024上·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)與在同一直角坐標系中的圖象不可能為（

）A． B．C． D．3．（多選）（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過函數(shù)（且）的圖象所過的定點，則冪函數(shù)具有的特性是（

）A．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 B．圖象過點C．是奇函數(shù) D．定義域是高頻考點四：冪函數(shù)單調(diào)性角度1：判斷冪函數(shù)的單調(diào)性典型例題例題1．（2023上·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．例題2．（2023上·湖南常德·高一湖南省桃源縣第一中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．角度2：由冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)典型例題例題1．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則的值為（

）A．或3 B．1或 C． D．3例題2．（2023上·廣東佛山·高一佛山市順德區(qū)樂從中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)單調(diào)遞減，則實數(shù).角度3：由冪函數(shù)單調(diào)性解不等式典型例題例題1．（2023上·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上單調(diào)遞減，求滿足的a的取值范圍.例題2．（2023上·廣西欽州·高一?？计谥校┮阎莾绾瘮?shù).(1)求、的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.練透核心考點1．（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·河北滄州·高一統(tǒng)考期中）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù).3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上是增函數(shù).(1)求的解析式；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.4．（2023上·湖南長沙·高一長沙一中?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．(1)求的解析式；(2)求關(guān)于x的不等式的解集．高頻考點五：冪函數(shù)的奇偶性典型例題例題1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要例題2．（2024上·上海虹口·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，若冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)．練透核心考點1．（多選）（2024上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．為偶函數(shù)C．為單調(diào)遞增函數(shù) D．的值域為例題1．（2024下·云南紅河·高一蒙自一中?？奸_學(xué)考試）已知二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．角度4：根據(jù)二次函數(shù)最值（值域）求參數(shù)典型例題例題1．（2024上·廣東中山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上的值域是，則的最大值是（

）A．3 B．6 C．4 D．8例題2．（2024上·江西九江·高一江西省廬山市第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)二次函數(shù)的值域是，則的最小值是.角度5：動軸定范圍，定軸動范圍的最值問題典型例題例題1．（2023上·北京·高一北京市第十二中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)若對任意，都有，則的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，求的最小值.例題2．（2023上·廣東惠州·高一?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間的最大值.練透核心考點1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024上·山東日照·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當時，求的值域；(2)若的最大值為9，求a的值．4．（2024上·江西·高一校聯(lián)考期末）已知是二次函數(shù)，且，.(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最大值.5．（2024上·河南周口·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱，(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的值.第四部分：新定義題（解答題）1．（2024上·湖北·高一校聯(lián)考期末）對于函數(shù)，若的圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，則稱為定義域上的“G函數(shù)”．(1)試判斷，（）是否為“G函數(shù)”，簡要說明理由；(2)若是定義在區(qū)間上的“G函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍；(3)試討論在上是否為“G函數(shù)”？并說明理由．第04講冪函數(shù)與二次函數(shù)目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：冪函數(shù)的定義 3角度1：求冪函數(shù)的值 3角度2：求冪函數(shù)的解析式 3角度3：由冪函數(shù)求參數(shù) 4高頻考點二：冪函數(shù)的值域 6高頻考點三：冪函數(shù)圖象 8角度1：判斷冪函數(shù)圖象 8角度2：冪函數(shù)圖象過定點問題 10高頻考點四：冪函數(shù)單調(diào)性 13角度1：判斷冪函數(shù)的單調(diào)性 13角度2：由冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 14角度3：由冪函數(shù)單調(diào)性解不等式 15高頻考點五：冪函數(shù)的奇偶性 18高頻考點六：二次函數(shù) 20角度1：二次函數(shù)值域問題 20角度2：求二次函數(shù)解析式 21角度3：由二次函數(shù)單調(diào)性（區(qū)間）求參數(shù) 22角度4：根據(jù)二次函數(shù)最值（值域）求參數(shù) 23角度5：動軸定范圍，定軸動范圍的最值問題 23第四部分：新定義題（解答題） 28第一部分：基礎(chǔ)知識1、冪函數(shù)（1）冪函數(shù)定義一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．（2）五種常見冪函數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點（3）冪函數(shù)性質(zhì)（高頻考點）冪函數(shù)，在①當時，在單調(diào)遞增；②當時，在單調(diào)遞減；2、二次函數(shù)形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).第二部分：高考真題回顧1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：冪函數(shù)的定義角度1：求冪函數(shù)的值典型例題例題1．（2024下·河南·高一信陽高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是冪函數(shù)，則（

）A．3 B． C．6 D．【答案】D【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果即可.【詳解】由題知，解得，且，解得.故選：D例題2．（2024上·河北承德·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象過點，則.【答案】16【分析】由題意可求出冪函數(shù)的解析式，再代入求值，即可求得答案【詳解】設(shè)，因為冪函數(shù)的圖象過點，故，所以，故答案為：16角度2：求冪函數(shù)的解析式典型例題例題1．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和過點，求解解析式.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)，則，又由過點，所以，故，所以.故答案為：.例題2．（2024上·河北保定·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象過點，則.【答案】4【分析】利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，進一步計算即可.【詳解】設(shè)，因為，所以,則，故答案為：4.角度3：由冪函數(shù)求參數(shù)典型例題例題1．（2024上·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由冪函數(shù)的定義即可得解.【詳解】由題意得冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得或（舍）.故選：D.例題2．（2024上·安徽阜陽·高一阜陽市第三中學(xué)?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則（

）A． B．或 C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念求出，再由函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限得出即可．【詳解】解：因為是冪函數(shù)，所以，解得或，當時，，顯然其圖象不經(jīng)過第二象限，滿足題意；當時，，其圖象經(jīng)過第二象限，不滿足題意；綜上，．故選：D．練透核心考點1．（2024上·河南商丘·高一?？计谀┤羰嵌x域為的冪函數(shù)，則．【答案】2【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因為為冪函數(shù)，則有，解得，又因為函數(shù)的定義域為，所以．故答案為：22．（2024上·安徽淮南·高一深圳市高級中學(xué)校聯(lián)考期末）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出值，再根據(jù)在上單調(diào)遞減求值即可.【詳解】因為為冪函數(shù)，所以；解得或，又因為在上遞減，所以，故.故答案為：3．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出值，再根據(jù)在上單調(diào)遞減求得值.【詳解】因為為冪函數(shù)，所以；解得或，又因為在上遞減，所以，故．故答案為：4．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象過點，則等于.【答案】2【分析】首先求冪函數(shù)的解析式，再代入求值.【詳解】設(shè)，，得，即，所以.故答案為：2高頻考點二：冪函數(shù)的值域典型例題例題1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列函數(shù)中，值域為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、冪函數(shù)的性質(zhì)、以及基本不等式可直接求得選項中各函數(shù)的值域進行判斷即可.【詳解】由已知值域為，故A錯誤；時，等號成立，所以的值域是，B錯誤；因為定義域為，，函數(shù)值域為，故C正確；，，，所以，故D錯誤.故選：C.例題2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；(3)求函數(shù)的值域．【答案】(1)或或(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】（1）依題意可得，求出的取值范圍，再根據(jù)，即可得到，再代入求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）中的解析式及冪函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論；（3）根據(jù)（1）中的解析式及冪函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論；【詳解】（1）解：依題意，即，解得，因為，所以或或，所以或或（2）解：若定義域為，則為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；若定義域為，則為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若定義域為，則為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減；（3）若，則為奇函數(shù)，當時，所以時，所以函數(shù)的值域為；若，則為偶函數(shù)，當時，所以時，所以函數(shù)的值域為；若，則為奇函數(shù)，當時，所以時，所以函數(shù)的值域為；練透核心考點1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)和分段函數(shù)的性質(zhì)，逐個選項進行判斷即可得到答案.【詳解】對于A：函數(shù)的定義域為，值域也為，不符合題意；對于B：函數(shù)的定義域和值域都為，不符合題意；對于C：的定義域和值域都為，不符合題意；對于D：的定義域為；當時，；當時，；所以值域為，定義域和值域不相同，符合題意；故選：D．2．（2024下·河北承德·高二承德縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的值域為．【答案】/【分析】分別求出各段函數(shù)的值域再求并集即可【詳解】當時，在上單調(diào)遞減，所以；當時，在上單調(diào)遞減，所以；所以函數(shù)的值域為，故答案為：高頻考點三：冪函數(shù)圖象角度1：判斷冪函數(shù)圖象典型例題例題1．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)與在同一平面直角坐標系中的圖象不可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】對B選項，根據(jù)確定，二次函數(shù)開口向下，不滿足，其他選項滿足類冪函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)，得到答案.【詳解】，當時，二次函數(shù)對稱軸為，對選項A：根據(jù)確定，二次函數(shù)開口向下，對稱軸在軸右邊，滿足；對選項B：根據(jù)確定，二次函數(shù)開口向下，不滿足；對選項C：根據(jù)確定，二次函數(shù)開口向上，對稱軸在軸左邊，滿足；對選項D：取，則，，滿足圖像；故選：B例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）給定一組函數(shù)解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象的性質(zhì)判斷各圖象對應(yīng)解析式的形式，即可得答案.【詳解】圖象（1）關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（2）關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（4）關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，故滿足；圖象（5）關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，故滿足；圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨增大遞減，故滿足；圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨增大遞增，故滿足；故圖象對應(yīng)解析式順序為⑥④③②⑦①⑤.故選：C角度2：冪函數(shù)圖象過定點問題典型例題例題1．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ袇卿林袑W(xué)?？计谀┫铝忻}中正確的是（）A．當時，函數(shù)的圖象是一條直線B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過，兩點C．冪函數(shù)圖象不可能在第四象限內(nèi)D．若冪函數(shù)為奇函數(shù)，則是定義域內(nèi)的嚴格增函數(shù)【答案】C【分析】由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷即可.【詳解】對A，當時，函數(shù)的圖象是一條直線除去點，所以A項不正確；對B，冪函數(shù)的冪指數(shù)小于0時，圖象不經(jīng)過，所以B項不正確；對C，冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限內(nèi)，所以C項正確；對D，當時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是嚴格的增函數(shù)，所以D項不正確；故選：C.例題2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，的圖象恒過定點A，若點A在一次函數(shù)的圖象上，其中m，，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】D【分析】求出定點A的坐標，并求出的關(guān)系，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【詳解】依題意，，則，因此，當且僅當時取等號，所以當時，取得最小值4.故選：D練透核心考點1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出；根據(jù)函數(shù)的奇偶性及，互質(zhì)可判斷出為偶數(shù)，為奇數(shù).【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞減，所以0，因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，所以選項D正確，故選：D.2．（多選）（2024上·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)與在同一直角坐標系中的圖象不可能為（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】結(jié)合二次函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析各選項即可得解.【詳解】因為，，對于A，當時，，其圖象開口向下，對稱軸為，，其圖象關(guān)于原點對稱，且在上單調(diào)遞減，故A滿足要求；對于B，當開口向上時，，此時在上單調(diào)遞增，故B不滿足要求；對于C，當時，，其圖象開口向上，對稱軸為，，其圖象在上單調(diào)遞增，且越來越緩，故C滿足要求；對于D，當開口向上時，，此時其對稱軸為，故D不滿足要求.故選：BD.3．（多選）（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過函數(shù)（且）的圖象所過的定點，則冪函數(shù)具有的特性是（

）A．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 B．圖象過點C．是奇函數(shù) D．定義域是【答案】BC【分析】求出函數(shù)的圖象所過定點的坐標，代入函數(shù)的解析式，求出的值，再利用冪函數(shù)的基本性質(zhì)逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】由，即，可得，故函數(shù)（且）的圖象過定點，則，解得，則，定義域為，且為奇函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，但在定義域內(nèi)不單調(diào)遞減.因為，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以選項B、C正確.故選：BC.高頻考點四：冪函數(shù)單調(diào)性角度1：判斷冪函數(shù)的單調(diào)性典型例題例題1．（2023上·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用定義判斷函數(shù)的奇偶性可對A、C判斷；利用函數(shù)奇偶性的判斷并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可對B、D判斷.【詳解】對A、C：由，定義域為，所以不是奇函數(shù)，故A錯誤；定義域為，，所以是偶函數(shù)，故C錯誤；對B、D：，定義域為，，所以為奇函數(shù)，當時，，且在上單調(diào)遞減，故B正確；，定義域為，且，所以為奇函數(shù)，且在定義域上為增函數(shù)，故D錯誤；故選：B.例題2．（2023上·湖南常德·高一湖南省桃源縣第一中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：由，得，即，解得，所以的定義域為，令，在上遞增，在上遞減，又，在上遞減，所以在上遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：C角度2：由冪函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)典型例題例題1．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則的值為（

）A．或3 B．1或 C． D．3【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為是冪函數(shù)，則，則或，當，，不符合題意，當，，則在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意，則；故選：D.例題2．（2023上·廣東佛山·高一佛山市順德區(qū)樂從中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)單調(diào)遞減，則實數(shù).【答案】【分析】由冪函數(shù)的定義及性質(zhì)列方程求解.【詳解】因為冪函數(shù)單調(diào)遞減，所以，解得.故答案為：角度3：由冪函數(shù)單調(diào)性解不等式典型例題例題1．（2023上·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上單調(diào)遞減，求滿足的a的取值范圍.【答案】【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)求得，利用冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即.又，所以或.又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以是偶數(shù)，所以，即.則原不等式可化為.因為函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以，解得.故實數(shù)a的取值范圍是.例題2．（2023上·廣西欽州·高一?？计谥校┮阎莾绾瘮?shù).(1)求、的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值；（2）分析的定義域和單調(diào)性，然后列出關(guān)于的不等式組，由此求解出結(jié)果.【詳解】（1）因為是冪函數(shù)，所以，解得；（2）由（1）可知，定義域為，且，所以是上的單調(diào)遞增函數(shù)，又因為，所以，解得，所以的取值范圍是.練透核心考點1．（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由解析式直接判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可得解.【詳解】對于A，是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故A正確；對于B，是在其定義域上單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，故B錯誤；對于C，，故在其定義域上不單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D，是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：AD.2．（2023上·河北滄州·高一統(tǒng)考期中）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù).【答案】6【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義及性質(zhì)求解即可.【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)可知，，解得或，因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.故答案為：63．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上是增函數(shù).(1)求的解析式；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用冪函數(shù)的定義與單調(diào)性可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，解出的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2）分析函數(shù)的定義域與單調(diào)性，根據(jù)可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為函數(shù)為冪函數(shù)，則，即，即，解得或，又因為函數(shù)在上是增函數(shù)，則，解得，所以，，故.（2）由（1）可知，，該函數(shù)的定義域為，對任意的，，則函數(shù)為上的奇函數(shù)，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，則該函數(shù)在上也為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.4．（2023上·湖南長沙·高一長沙一中?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．(1)求的解析式；(2)求關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）取，再驗證單調(diào)性得到答案.（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域得到不等式，解得答案.【詳解】（1）冪函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故，解得或，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不滿足；當時，在上單調(diào)遞增，滿足；故.（2）在上單調(diào)遞增，，故，解得或，即.高頻考點五：冪函數(shù)的奇偶性典型例題例題1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，求出，可得函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；函數(shù)為奇函數(shù)，求出，故必要性不成立，可得答案.【詳解】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則，解得：，當時，，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；“函數(shù)為奇函數(shù)”，則，即，解得：，故必要性不成立，故選：A．例題2．（2024上·上海虹口·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，若冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)．【答案】【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)來解答即可.【詳解】，若冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則，又冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，則.故答案為：.練透核心考點1．（多選）（2024上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．為偶函數(shù)C．為單調(diào)遞增函數(shù) D．的值域為【答案】AC【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得，進而可得，由冪函數(shù)的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】由為冪函數(shù)可得，解得，所以，故A正確，C正確；由于，故為奇函數(shù)，故B錯誤；的值域為，D錯誤，故選：AC.2．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)．若是奇函數(shù)，則的值為．【答案】3【分析】由冪函數(shù)的定義結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意，解得或，又是奇函數(shù)，當時，不滿足題意；當時，滿足題意.故答案為：3.高頻考點六：二次函數(shù)角度1：二次函數(shù)值域問題典型例題例題1．（2024上·江西·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則在區(qū)間的值域為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由二次函數(shù)的單調(diào)性計算即可得.【詳解】，則在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，，故在區(qū)間的值域為.故選：C.例題2．（2024上·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足，且的圖象經(jīng)過點.(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指數(shù)和對數(shù)的互化公式，代入點的坐標即可求解；（2）利用換元法直接求解函數(shù)值域即可.【詳解】（1）因為，所以.又因為的圖象經(jīng)過點，所以，解得，故的解析式為.（2）當時，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當時，取得最小值，又，所以的值域為.角度2：求二次函數(shù)解析式典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象過點，且最小值為．(1)求函數(shù)的解析式；【答案】(1)(2)1或3【分析】（1）先根據(jù)題意設(shè)出二次函數(shù)的兩點式形式，再由條件得到其頂點坐標，代入即可得解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，分類討論、與三種情況下在的單調(diào)情況，從而得到關(guān)于的方程，解之即可.【詳解】（1）由題意設(shè)函數(shù)的解析式為，由已知可得二次函數(shù)的頂點坐標為，代入得，解得，所以二次函數(shù)解析式為，即．例題2．（2024上·青海西寧·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，已知函數(shù)過點，且函數(shù)的對稱軸為.(1)求函數(shù)的表達式；(2)若，函數(shù)的最大值為，最小值為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)函數(shù)過點及二次函數(shù)的對稱軸，得到方程組，解得、即可求出函數(shù)解析式；（2）將函數(shù)配成頂點式，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值.【詳解】（1）解：依題意，解得，所以；（2）解：由（1）可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，，即、，所以.角度3：由二次函數(shù)單調(diào)性（區(qū)間）求參數(shù)典型例題例題1．（2024下·云南紅河·高一蒙自一中?？奸_學(xué)考試）已知二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】二次函數(shù)的對稱軸為，欲使得時是單調(diào)的，則對稱軸必須在區(qū)間之外，即或者.故選：A.例題2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】冪函數(shù)為偶函數(shù)，解得，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，列不等式求實數(shù)a的取值范圍.【詳解】為冪函數(shù)，則，解得或，時，；時，.為偶函數(shù)，則.函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則或，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：D.角度4：根據(jù)二次函數(shù)最值（值域）求參數(shù)典型例題例題1．（2024上·廣東中山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上的值域是，則的最大值是（

）A．3 B．6 C．4 D．8【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像特點，要使得區(qū)間長度最大，則對稱軸兩邊（能取到對稱軸的前提下）距離越大，區(qū)間長度越大【詳解】，因為值域為，所以要取到最小值1，必須取到對稱軸，又對稱軸兩邊距離越大，則區(qū)間長度越大，令，得或，所以當時，故選：B例題2．（2024上·江西九江·高一江西省廬山市第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)二次函數(shù)的值域是，則的最小值是.【答案】2【分析】由二次函數(shù)值域確定參數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】根據(jù)題意知，，，即，所以，當且僅當即時等號成立.所以的最小值是2.故答案為：2.角度5：動軸定范圍，定軸動范圍的最值問題典型例題例題1．（2023上·北京·高一北京市第十二中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)若對任意，都有，則的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)條件列出等量關(guān)系，由此求解出的值，則解析式可知；（2）根據(jù)區(qū)間與對稱軸的關(guān)系列出不等式，由此求解出的取值范圍；（3）分析對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求解出.【詳解】（1）因為，所以，化簡得，且不恒為，所以，所以，所以；（2）因為的對稱軸為，又在區(qū)間上不單調(diào)，所以，所以，所以的取值范圍為；（3）的對稱軸為，當時，即時，在上單調(diào)遞增，所以；當時，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；當時，即時，在上單調(diào)遞減，所以，綜上可知，.例題2．（2023上·廣東惠州·高一?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，，.(