人教版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)專題13.1垂直平分線中的幾何綜合(壓軸題專項(xiàng)講練)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題13.1垂直平分線中的幾何綜合思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無(wú)法解決問題時(shí)可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時(shí)可采用間接證明。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來(lái)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.二、線段垂直平分線的判定到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.（這樣的點(diǎn)需要找兩個(gè)）典例分析典例分析【典例1】如圖，△ABC的兩條高CD與AE交于點(diǎn)O，AB=BC=8，OC=6．

（1）求證：BD=BE；（2）連結(jié)BO，試說明：BO是AC的垂直平分線；（3）F是射線AB上一點(diǎn)，且BF=CO，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△COP與△FBQ全等時(shí)，求t的值．【思路點(diǎn)撥】（1）證明△AEB≌△CDB，即可得到（2）先證明△ADO≌△CEO，得到OA=OC，進(jìn)而得到點(diǎn)O在AC的垂直平分線上，再根據(jù)AB=BC得到點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，即可得到BO是AC的垂直平分線；（3）當(dāng)點(diǎn)F在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，根據(jù)△COP≌△FBQ得到BF=OC，∠COP=∠EOD=180°?∠DBE=∠FBQ，根據(jù)△COP≌△FBQ得到OP=BQ，進(jìn)而得到t=8?3t，求得t=2；當(dāng)點(diǎn)F在AB之間時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，根據(jù)△COP≌△FBQ得到BF=OC，∠COP=∠EOD=180°?∠DBE=∠FBQ，根據(jù)△COP≌△FBQ得到OP=CQ，進(jìn)而得到【解題過程】（1）證明：∵CD、AE是高，∴∠AEB=∠CDB=90°，在△AEB與△CDB中，∠AEB=∠CDB∴△AEB≌∴BE=BD；（2）證明：∵AB=BC，BE=BD，∴AB?BD=BC?BE，∴AD=CE，∵CD、AE是高，∴∠ADO=∠CEO=90°．在△ADO與△CEO中，∠AOD=∠COE∠ADO=∠CEO∴△ADO≌△CEOAAS∴OA=OC，∴點(diǎn)O在AC的垂直平分線上．∵AB=BC，∴點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，∴BO是AC的垂直平分線；（3）解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，P、Q分別運(yùn)動(dòng)到如圖位置，△COP≌△FBQ．∵BF=OC，∠COP=∠EOD=180°?∠DBE=∠FBQ，∴當(dāng)△COP≌△FBQ時(shí)，∵OP=t，CQ=8?3t，∴t=8?3t，解得t=2．②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AB之間時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，P、Q分別運(yùn)動(dòng)到如圖位置，△COP≌△FBQ．∵BF=OC，∠COP=∠EOD=180°?∠DBE=∠FBQ，∴當(dāng)△COP≌△FBQ時(shí)，∵OP=t，CQ=3t?8，∴t=3t?8，解得t=4．綜上所述，t=2或4．學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（22-23八年級(jí)上·山東聊城·期末）如圖，線段AB，BC的垂直平分線l1，l2相交于點(diǎn)O．若∠OEB＝46°，則A．92° B．88° C．46° D．86°2．（23-24八年級(jí)上·北京朝陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=2AC,AD是∠BAC的角平分線，延長(zhǎng)AC至E，使得CE=AC，連接DE,BE．下列判斷：①BD=ED；②BD=2CD；③ED平分∠CEB；④△ABD的面積A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3．（23-24八年級(jí)上·北京朝陽(yáng)·期中）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，AB邊上，將∠A沿EF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，連接GE，GF．有下面四個(gè)結(jié)論：①AF=GF；②直線EF是線段AG的垂直平分線；③∠B+∠C+∠D+∠G=360°；④∠BFG=∠DEG+2∠A．所有正確結(jié)論的序號(hào)為(

)A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④4．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＞AC，MN是邊BC的垂直平分線，交AB于G，過點(diǎn)F作FE⊥AB于點(diǎn)E，AF平分∠DAB交MN于F，連接BF，CF．下列結(jié)論：①FB=FC②FB+FC＞AB+AC③AB?AC=2AE④

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④5．（22-23八年級(jí)上·河北唐山·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④6．（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AC=BC，點(diǎn)M，N分別在AC，AB上，將△AMN沿直線MN翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上（不含端點(diǎn)B，C），下列結(jié)論：①直線MN垂直平分AD；②AD=CD；③∠CDM=∠BND；④若M是AC中點(diǎn)，則AD⊥BC．其中一定正確的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④7．（22-23八年級(jí)上·重慶巴南·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AC=AD，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接AE，∠CAD=2∠BAE，下列結(jié)論：①∠ACB=∠ADE；②AC⊥DE；③若CD∥AB，則AE⊥AD；④DE?BE=BE+CEA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．（22-23七年級(jí)下·廣西南寧·期末）如圖，在△ABC中，D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC于點(diǎn)F，AC=6，BC=9，則BF的長(zhǎng)為．

9．（23-24八年級(jí)上·河北唐山·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分別為BC，AC邊上的高，AD，BE相交于點(diǎn)F，連接CF，則下列結(jié)論：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若BF=2EC，則△FDC周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)．其中正確的有10．（22-23八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，連接BF交AD于E，過F作MN⊥FB交BA延長(zhǎng)線于M，交BC于N，若點(diǎn)M恰在BN的垂直平分線上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，則S△ABE＝．11．（23-24八年級(jí)上·福建莆田·開學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分線AP和∠MCB的平分線CF相交于點(diǎn)D，AD交CB于點(diǎn)P，CF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥CF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交FG于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠CDA=45°；②AF?CG=CA；③DE=DC；④CF=2CD+EG；其中正確的有

12．（2023·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：

（1）如圖1，在BC上求作點(diǎn)D，使S△ABD（2）如圖2，若點(diǎn)D在AB邊上，在BC上求作點(diǎn)E，使S△BDE13．（2023·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）尺規(guī)作圖：保留作圖痕跡，不要求寫作法．

（1）過點(diǎn)A作一條直線，使其平分△ABC的面積．（2）在BC上求作一點(diǎn)E，使△ACE與△ACD面積相等．（3）過點(diǎn)D作一條直線，使其平分△ABC的面積．14．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分邊AC和邊BC，交邊AB于M，N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)F．（1）若AB=5，則△CMN的周長(zhǎng)為；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度數(shù)．15．（22-23八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分

（1）若∠ADB=48°，求∠A的度數(shù)；（2）若AB=5cm，△ABC與△ABD的周長(zhǎng)之差為8cm，且△ADB的面積為10cm16．（22-23八年級(jí)上·福建福州·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）在AC的右側(cè)作△DCF，使點(diǎn)F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，連接BD交AC于點(diǎn)P．若AC＝2BC＝4，求PC的長(zhǎng)．17．（23-24八年級(jí)上·四川成都·開學(xué)考試）如圖：在△ABC中，∠BAC=110°，AC=AB，射線AD、AE的夾角為55°，過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，直線BF交AE于點(diǎn)G，連接CG．

（1）如圖1，若射線AD、AE都在∠BAC的內(nèi)部，且點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于AD對(duì)稱，求證：CG=（2）如圖2，若射線AD在∠BAC的內(nèi)部，射線AE在∠BAC的外部，其他條件不變，求證：CG+2GF=BG；（3）如圖3，若射線AD、AE都在∠BAC的外部，其他條件不變，若CG=145GF，AF=3，S18．（23-24八年級(jí)上·遼寧·期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，射線AD，AE的夾角為12α，過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，直線BF交AE于點(diǎn)G，連接（1）如圖1，射線AD，AE都在∠BAC內(nèi)部．①若α=120°，∠CAE=20°，則∠CBG=°；②作點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)H，在圖1中找出與線段GH相等的線段，并證明．（2）如圖2，射線AD在∠BAC的內(nèi)部，射線AE在∠BAC的外部，其它條件不變，探究線段BF，專題13.1垂直平分線中的幾何綜合思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無(wú)法解決問題時(shí)可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時(shí)可采用間接證明。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來(lái)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.二、線段垂直平分線的判定到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.（這樣的點(diǎn)需要找兩個(gè)）典例分析典例分析【典例1】如圖，△ABC的兩條高CD與AE交于點(diǎn)O，AB=BC=8，OC=6．

（1）求證：BD=BE；（2）連結(jié)BO，試說明：BO是AC的垂直平分線；（3）F是射線AB上一點(diǎn)，且BF=CO，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△COP與△FBQ全等時(shí)，求t的值．【思路點(diǎn)撥】（1）證明△AEB≌△CDB，即可得到（2）先證明△ADO≌△CEO，得到OA=OC，進(jìn)而得到點(diǎn)O在AC的垂直平分線上，再根據(jù)AB=BC得到點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，即可得到BO是AC的垂直平分線；（3）當(dāng)點(diǎn)F在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，根據(jù)△COP≌△FBQ得到BF=OC，∠COP=∠EOD=180°?∠DBE=∠FBQ，根據(jù)△COP≌△FBQ得到OP=BQ，進(jìn)而得到t=8?3t，求得t=2；當(dāng)點(diǎn)F在AB之間時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，根據(jù)△COP≌△FBQ得到BF=OC，∠COP=∠EOD=180°?∠DBE=∠FBQ，根據(jù)△COP≌△FBQ得到OP=CQ，進(jìn)而得到【解題過程】（1）證明：∵CD、AE是高，∴∠AEB=∠CDB=90°，在△AEB與△CDB中，∠AEB=∠CDB∴△AEB≌∴BE=BD；（2）證明：∵AB=BC，BE=BD，∴AB?BD=BC?BE，∴AD=CE，∵CD、AE是高，∴∠ADO=∠CEO=90°．在△ADO與△CEO中，∠AOD=∠COE∠ADO=∠CEO∴△ADO≌△CEOAAS∴OA=OC，∴點(diǎn)O在AC的垂直平分線上．∵AB=BC，∴點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，∴BO是AC的垂直平分線；（3）解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，P、Q分別運(yùn)動(dòng)到如圖位置，△COP≌△FBQ．∵BF=OC，∠COP=∠EOD=180°?∠DBE=∠FBQ，∴當(dāng)△COP≌△FBQ時(shí)，∵OP=t，CQ=8?3t，∴t=8?3t，解得t=2．②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AB之間時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，P、Q分別運(yùn)動(dòng)到如圖位置，△COP≌△FBQ．∵BF=OC，∠COP=∠EOD=180°?∠DBE=∠FBQ，∴當(dāng)△COP≌△FBQ時(shí)，∵OP=t，CQ=3t?8，∴t=3t?8，解得t=4．綜上所述，t=2或4．學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（22-23八年級(jí)上·山東聊城·期末）如圖，線段AB，BC的垂直平分線l1，l2相交于點(diǎn)O．若∠OEB＝46°，則A．92° B．88° C．46° D．86°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到∠AOC=2∠ABC，再利用垂直的定義結(jié)合直角三角形兩銳角互余得到∠ABC=90°?∠OEB=90°?46°=44°，計(jì)算即可．【解題過程】解：如圖，連接BO并延長(zhǎng)至點(diǎn)P，l1與線段AB交于F∵l1，l2是AB、∴OA=OB，OB=OC，∠ODE=∠OFA=90°，∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO∴∠AOP=2∠ABO，∠COP=2∠CBO，∴∠AOC=∠AOP+∠COP=2∠ABO+∠CBO∵∠OEB＝46°，∴∠ABC=90°?∠OEB=90°?46°=44°，∴∠AOC=2∠ABC=2×44°=88°，故選：B2．（23-24八年級(jí)上·北京朝陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=2AC,AD是∠BAC的角平分線，延長(zhǎng)AC至E，使得CE=AC，連接DE,BE．下列判斷：①BD=ED；②BD=2CD；③ED平分∠CEB；④△ABD的面積A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【思路點(diǎn)撥】利用三角形的角平分線，中線和垂直平分線進(jìn)行判斷即可，【解題過程】解：如圖，延長(zhǎng)AD交BE于點(diǎn)F，過D作DG⊥AE于點(diǎn)G，∵AB=2AC，CE=AC，∴AB=AE，又∵AD是∠BAC的平分線，∴AF垂直平分BE，∴BD=ED，故①正確；∵AC=CE，∴S△ACD=S∴S△ACB?S△ACD=由題意可知DF與DG不一定相等，則③不一定成立；∵AC=CE，AF垂直平分BE，∴S△ABD∴BD=2CD，故②正確；綜上①②④正確；故選：B．3．（23-24八年級(jí)上·北京朝陽(yáng)·期中）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，AB邊上，將∠A沿EF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，連接GE，GF．有下面四個(gè)結(jié)論：①AF=GF；②直線EF是線段AG的垂直平分線；③∠B+∠C+∠D+∠G=360°；④∠BFG=∠DEG+2∠A．所有正確結(jié)論的序號(hào)為(

)A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】本題考查翻折變換，線段垂直平分線的判定，多邊形內(nèi)角和公式，三角形外角性質(zhì)，掌握翻折不變性，以及相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由翻折不變性，可判斷①正確；由翻折不變性，可得AF=GF，AE=GE，可判斷②正確；由多邊形內(nèi)角和公式和翻折不變性，可判斷③正確；由三角形外角性質(zhì)和翻折不變性，可判斷④正確；即可解答．【解題過程】解：∵GF是由AF翻折得到的，∴AF=GF，故①正確；∵GF是由AF翻折得到的，GE是由AE翻折得到的，∴AF=GF，AE=GE，∴點(diǎn)E，點(diǎn)F都在AG的垂直平分線上，∴直線EF是線段AG的垂直平分線，故②正確；∵∠G是由∠A翻折得到的，∴∠G=∠A∵∠B+∠C+∠D+∠A=360°∴∠B+∠C+∠D+∠G=360°故③正確；設(shè)AD與GF交于點(diǎn)H，∵∠G是由∠A翻折得到的，∴∠G=∠A∵∠BFG=∠FHA+∠A=∠DEG+∠G+∠A∴∠BFG=∠DEG+2∠A故④正確；綜上，正確的有：①②③④，故選：D．4．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＞AC，MN是邊BC的垂直平分線，交AB于G，過點(diǎn)F作FE⊥AB于點(diǎn)E，AF平分∠DAB交MN于F，連接BF，CF．下列結(jié)論：①FB=FC②FB+FC＞AB+AC③AB?AC=2AE④

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到FB=FC；過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，證明△FBE≌△FCH，得到BE=CH，結(jié)合AF平分∠DAB，得到FE=FH，繼而AE=AH，可證明AB?AC=2AE；利用斜邊大于直角邊，證明FB+FC>AB+AC；利用等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理證明．【解題過程】解：∵M(jìn)N是邊BC的垂直平分線，∴FB=FC；故①正確；過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，∵AF平分∠DAB，F(xiàn)E⊥AB，F(xiàn)H⊥AC，∴FE=FH，∵FA=FAFE=FH∴△FAH≌△FAEHL∴AE=AH，∵FB=FCFE=FH∴△FBE≌△FCHHL∴∠FBE=∠FCH，BE=CH，∴AB?AC=BE+AE?CH?AH故③正確；∵FB＞∴FB+FC＞∴FB+FC＞∴FB+FC＞故②正確；∵∠BFC=180°?∠FBC?∠FCB，∠BAC=180°?∠ABC?∠ACB，∴∠BAC=180°?∠FBC+∠FBE?∠FCB?∠FCH=180°?∠FBC?∠FCB，∴∠BFC=∠BAC，故④正確；故選D．5．（22-23八年級(jí)上·河北唐山·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂直定義可得∠ADB=∠ADC=90°，再利用∠ABC=45°，得到AD=BD，從而可證明△BDF≌△ADC，進(jìn)而得到FD=CD，即可判斷①；根據(jù)AB≠BC，BE⊥AC，即可判斷②，根據(jù)三角形面積公式和它們有一條公共邊可得S△ABFS△AFC=BDCD，即可判斷③，若BF=2EC，根據(jù)△BDF≌△ADC可以得到BF=AC，從而可得E是【解題過程】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BAD=90°?∠ABD=45°，∴AD=BD，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC+∠C=90°，∵∠EBC+∠BFD=90°，∴∠BFD=∠C，∴△BDF≌△ADC(AAS∴DF=CD，∴∠FCD=∠DFC=45°，故①正確；∵AB≠BC，BE⊥AC，∴AE≠EC，故②不正確；∵S△ABF∴S∵△BDF≌△ADC，∴BF=AC∵BF=2EC，∴AC=2EC，∴E為AC的中點(diǎn)，∵BE⊥AC，∴BE為線段AC的垂直平分線，∴BA=BC，故④正確，所以，正確結(jié)論的序號(hào)是：①③④，故選：D．6．（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AC=BC，點(diǎn)M，N分別在AC，AB上，將△AMN沿直線MN翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上（不含端點(diǎn)B，C），下列結(jié)論：①直線MN垂直平分AD；②AD=CD；③∠CDM=∠BND；④若M是AC中點(diǎn)，則AD⊥BC．其中一定正確的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)將△AMN沿直線MN翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上（不含端點(diǎn)B，C），證明直線MN垂直平分AD，故①正確；②證明∠C與∠CAD不一定相等，得到AD與CD不一定相等，故②錯(cuò)誤；③先由①得，直線MN垂直平分AD，則AN=DN，AM=DM，再根據(jù)”等邊對(duì)等角“證明∠NAD=∠NDA，∠MAD=∠MDA，則∠AMD=180°?2∠MAD，再根據(jù)∠AMD是△CDM的一個(gè)外角，∠BND是△NAD的一個(gè)外角，證明∠AMD=∠C+∠CDM，∠BND=∠NAD+∠NDA=2∠NAD，進(jìn)一步證明∠CDM=180°?2∠MAD?∠C，根據(jù)AC=BC，得到∠CAB=∠B，則∠C=180°?2∠CAB，然后根據(jù)∠CAB=∠MAD+∠NAD，證明∠CDM=2∠NAD，從而得到∠CDM=∠BND，故③正確；④先根據(jù)M是AC的中點(diǎn)，證明AM=CM，再由①得，直線MN垂直平分AD，則AM=DM，再證明AM=DM=CM，最后證明∠ADC=90°，即AD⊥BC，故④正確．【解題過程】解：①∵將△AMN沿直線MN翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上（不含端點(diǎn)B，C），∴直線MN垂直平分AD，故①正確；②∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，∴∠C=180°?∠B?∠CAB=180°?2∠CAB又∵∠CAD=∠CAB?∠BAD，∴180°?2∠CAB與∠CAB?∠BAD不一定相等，∴∠C與∠CAD不一定相等，∴AD與CD不一定相等，故②錯(cuò)誤；③由①得，直線MN垂直平分AD，∴AN=DN，AM=DM，∴∠NAD=∠NDA，∠MAD=∠MDA，∴∠AMD=180°?∠MAD?∠MDA=180°?2∠MAD∵∠AMD是△CDM的一個(gè)外角，∠BND是△NAD的一個(gè)外角，∴∠AMD=∠C+∠CDM，∠BND=∠NAD+∠NDA=2∠NAD∴∠C+∠CDM=180°?2∠MAD，∴∠CDM=180°?2∠MAD?∠C，∴AC=BC，∴∠CAB=∠B，∴∠C=180°?∠B?∠CAB=180°?2∠CAB又∵∠CAB=∠MAD+∠NAD，∴∠C=180°?2∠CDM=180°?2∠MAD?即∠CDM=2∠NAD，又∵∠BND=2∠NAD(已證)，∴∠CDM=∠BND，故③正確；④∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴AM=CM，∵AM=DM，∴AM=DM=CM，∴∠MAD=∠MDA，∠MDC=∠C，又∠MAD+∠MDA+∠MDC+∠C=180°，∴∠MDA+∠MDC=90°，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，故④正確；綜上所述，一定正確的有①③④，故選：D．7．（22-23八年級(jí)上·重慶巴南·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AC=AD，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接AE，∠CAD=2∠BAE，下列結(jié)論：①∠ACB=∠ADE；②AC⊥DE；③若CD∥AB，則AE⊥AD；④DE?BE=BE+CEA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】延長(zhǎng)EB至G，使BE＝BG，從而得到∠GAE＝∠CAD，進(jìn)一步證明∠GAC＝∠EAD，且AE＝AG，利用SAS證明△GAC≌△EAD，則∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以①是正確的，通過線段的等量代換運(yùn)算推導(dǎo)出④是正確的，設(shè)∠BAE＝x，則∠DAC＝2x，因?yàn)椤窘忸}過程】解：如圖，延長(zhǎng)EB至G，使BE＝BG，設(shè)AC與DE交于點(diǎn)∵∠ABC＝∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝∴∠BAE=1∵∠BAE=1∴∠GAE＝∴∠GAE+∠EAC＝∴∠GAC＝在△GAC與AG=AE∠GAC=∠DAE∴△GAC≌△EAD（∴∠G＝∴①是正確的；∵AG＝∴∠G＝∴AE平分∠BED，當(dāng)∠BAE＝∠EAC時(shí)，∠AME＝當(dāng)∠BAE≠∠EAC時(shí)，∠AME≠∠ABE，則無(wú)法說明AC⊥DE，∴②是不正確的；設(shè)∠BAE＝x，則∴∠ACD＝∵AB∥CD，∴∠BAC＝∴∠CAE＝∴∠DAE＝∴AE⊥AD，∴③是正確的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝∵CG＝∴DE=CE+2BE，∴DE?BE=BE+CE∴④是正確的，故選：C．8．（22-23七年級(jí)下·廣西南寧·期末）如圖，在△ABC中，D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC于點(diǎn)F，AC=6，BC=9，則BF的長(zhǎng)為．

【思路點(diǎn)撥】連接AE，過點(diǎn)E作EN⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于N，由∠ACE+∠BCE=180°，可得∠BCE=∠NCE；由D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，則可得AE=BE；證明△EFC≌△ENC，再證明△BEF≌△AEN即可求得結(jié)果．【解題過程】解：連接AE，過點(diǎn)E作EN⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于N，如圖，∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ACE+∠ECN=180°，∴∠BCE=∠NCE；∵D為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，∴AE=BE；∵EF⊥BC，EN⊥AC，∴∠EFC=∠ENC=90°，∵EC=EC，∴△EFC≌△ENC，∴EF=EN,CF=CN；∵EF⊥BC,EN⊥AC，AE=BE，EF=EN，∴△BEF≌△AEN，∴BF=AN，∴BC?CF=AC+CN，即9?CF=6+CN，∴CF=3∴BF=BC?CF=9?故答案為：1529．（23-24八年級(jí)上·河北唐山·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分別為BC，AC邊上的高，AD，BE相交于點(diǎn)F，連接CF，則下列結(jié)論：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若BF=2EC，則△FDC周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)．其中正確的有【思路點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)CF交AB于H，先利用“ASA”證明△DBF≌△DAC，得出BF=AC，DF=DC，可判斷①符合題意；由∠FDC=90°，得出∠DFC=∠FCD=45°，再由三角形外角的性質(zhì)，可判斷②不符合題意；由∠ABC=45°，∠FCD=45°，得出∠BHC=180°?∠ABC?∠FCD=90°，得出CF⊥AB，可判斷③符合題意；由BF=2EC，BF=AC，可證明BE垂直平分AC，得出AF=CF，BA=BC，得出△FDC的周長(zhǎng)=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，可判斷④符合題意；即可得出答案．【解題過程】解：如圖，延長(zhǎng)CF交AB于H，∵AD，BE分別為BC，AC邊上的高，∴∠BDF=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BAD=180°?∠ABC?∠ADB=45°，∴∠BAD=∠ABD，∴AD=BD，∵∠DAC+∠ACB=∠DBF+∠ACB=90°，∴∠DAC=∠DBF，在△DBF和△DAC中，∠DBF=∠DACDB=DA∴△DBF≌△DAC(ASA∴BF=AC，DF=DC，故①符合題意；∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DFC>∠DAC，∴∠FCD>∠DAC，故②不符合題意；∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠BHC=180°?∠ABC?∠FCD=90°，∴CF⊥AB，故③符合題意；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周長(zhǎng)=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，故④符合題意．故答案為：①③④．10．（22-23八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，連接BF交AD于E，過F作MN⊥FB交BA延長(zhǎng)線于M，交BC于N，若點(diǎn)M恰在BN的垂直平分線上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，則S△ABE＝．【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)F作FG⊥BN于點(diǎn)G，根據(jù)已知條件證明△ABD≌△BFG，可得BD＝FG，AD＝BG，再證明△BDE≌△FGN可得DE＝GN，根據(jù)DE：BN＝1：7，可得GN：BN＝1：7，設(shè)ED＝x，DE：BG＝1：6，可得AD＝BG＝6x，AE＝5x，然后根據(jù)S△ABD＝15，進(jìn)而可得S△ABE．【解題過程】解：如圖，過點(diǎn)F作FG⊥BN于點(diǎn)G，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°，∵M(jìn)N⊥FB，∴∠FBN+∠FNB＝90°，∵點(diǎn)M恰在BN的垂直平分線上，∴MB＝MN，∴∠ABN＝∠FNB，∴∠ABN+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠FBN，∵∠AFB＝∠FBC+∠C＝∠BAD+∠DAC＝∠BAF，∴BA＝BF，在△ABD和△BFG中，{∠ADB=∠BGF∴△ABD≌△BFG（AAS），∴BD＝FG，AD＝BG，∵∠BED+∠EBD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠BED＝∠ABD＝∠BFG=∠FNG，在△BDE和△FGN中，{∠BDE=∠FGN∴△BDE≌△FGN（AAS），∴DE＝GN，∵DE：BN＝1：7，∴GN：BN＝1：7，設(shè)ED＝x，∴DE：BG＝1：6，∴AD＝BG＝6x，∴AE＝AD﹣ED＝6x﹣x＝5x，∵S△ABD＝15，∴S△ABE＝56S△ABD故答案為：25211．（23-24八年級(jí)上·福建莆田·開學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分線AP和∠MCB的平分線CF相交于點(diǎn)D，AD交CB于點(diǎn)P，CF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥CF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交FG于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠CDA=45°；②AF?CG=CA；③DE=DC；④CF=2CD+EG；其中正確的有

【思路點(diǎn)撥】①利用角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，求解即可；②③延長(zhǎng)GD與AC交于點(diǎn)I，利用全等三角形的判定與性質(zhì)求解即可；④在DF上截取DM=CD，利用垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，求解即可．【解題過程】解：設(shè)∠GCD=x，∠DAC=y，

∵CD平分∠MCB，AP平分∠CAB，∴∠BCD=∠MCD，∠CAD=由三角形外角的性質(zhì)可得：∠MCD=x=y+∠ADC∴∠ADC=1延長(zhǎng)GD與AC交于點(diǎn)I，如下圖：∵DE⊥CF∴∠CDG=∠CDI=90°∵CF平分∠GCI∴∠GCD=∠ICD又∵CD=CD，∴△GCD≌△ICD∴CG=CI∵∠ADC=45°∴∠ADI=∠ADF=135°又∵∠FAD=∠IAD，AD=AD∴△AFD≌△AID∴AF=AI∴AF?CG=CA②正確；同理可得：△ACD≌△AED∴DE=DC，③正確；在DF上截取DM=CD，則DE是CM的垂直平分線，如下圖：

∴CE=EM∵△AFD≌△AID∴∠I=∠DFE，AF=AI又∵∠CDI=∠EDF=90°∴∠DCG=∠DEF∵∠ECG=∠GCD?45°，∠MEF=∠DEF?45°∴∠MEF=∠ECG∵△ACD≌△AED∴AC=AE∴EF=CI又∵CI=CG∴EF=CG又∵EM=CE∴△EMF≌△CEG∴FM=GE∴CF=2CD+EG④正確故答案為：①②③④12．（2023·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：

（1）如圖1，在BC上求作點(diǎn)D，使S△ABD（2）如圖2，若點(diǎn)D在AB邊上，在BC上求作點(diǎn)E，使S△BDE【思路點(diǎn)撥】（1）作BC的垂直平分線與BC的交點(diǎn)即為所求；（2）如圖：由題意得，只要作S△BDE=12S【解題過程】（1）解：如圖：

作BC的垂直平分線與BC交于D點(diǎn)，∴BD=CD，∵△ABD與△ACD高相同，∴S如圖1：點(diǎn)D即為所求；（2）如圖：

由題意得，只要作S△BDE作BC的垂直平分線交BC于P點(diǎn)，由第（1）問得，S△ABP故只要作S△BDE連接D、P，要使得S△BDE=S根據(jù)“夾在平行線之間的垂線段相等”，即，高相等，只要作AE∥DP，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，作∠BAE=∠BDP，交BC于E點(diǎn)，如圖2：點(diǎn)E即為所求．13．（2023·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）尺規(guī)作圖：保留作圖痕跡，不要求寫作法．

（1）過點(diǎn)A作一條直線，使其平分△ABC的面積．（2）在BC上求作一點(diǎn)E，使△ACE與△ACD面積相等．（3）過點(diǎn)D作一條直線，使其平分△ABC的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）作出線段BC的垂直平分線，垂足為T，作直線AT即可；（2）作∠BDE=∠A，DE交BC與點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求；（3）根據(jù)（1）的方法作出中線AT，連接DT，根據(jù)（2）的方法作AF∥DT，AF交BC與點(diǎn)F，作直線【解題過程】（1）解：如圖直線AT即為所求；

（2）解：如圖，點(diǎn)E即為所求；

∵∠BAC=∠BDE，∴AC∥∴S△ACD

（3）解：如圖，直線DF即為所求．

理由如下，

∵AT是△ABC的中線，∴S△ABT∵AF∥∴S△DTA∴12∴直線DF平分△ABC的面積．14．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，DM，EN分別垂直平分邊AC和邊BC，交邊AB于M，N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)F．（1）若AB=5，則△CMN的周長(zhǎng)為；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】本題考查垂直平分線，三角形內(nèi)角和的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，即可．（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，則AM=CM，CN=BN，根據(jù)AB=AM+MN+BN=5，△CMN的周長(zhǎng)為：CM+MN+CN，即可；（2）垂直平分線的性質(zhì)，則∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，根據(jù)三角形內(nèi)角和，則∠NMF+∠MNF=110°，再根據(jù)對(duì)頂角相等，則∠AMD+∠ENB=110°，根據(jù)三角形內(nèi)角和，則∠A=90°?∠AMD，∠B=90°?∠ENB，最后根據(jù)∠A+∠ACM+∠MCN+∠BCN+∠B=180°，即可．【解題過程】（1）∵DM，EN分別垂直平分邊AC和邊BC，∴AM=CM，CN=BN，∵AB=5，∴AB=AM+MN+BN=5，∵△CMN的周長(zhǎng)為：CM+MN+CN，∴C△CMN故答案為：5．（2）∵DM，EN分別垂直平分邊AC和邊BC，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∵∠MFN=70°，∴∠NMF+∠MNF=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠ENB=∠MNF，∴∠AMD+∠ENB=110°，∵∠A=90°?∠AMD，∠B=90°?∠ENB，∴∠A+∠B=180°?∠AMD+∠ENB∴∠A+∠ACB+∠B=180°，∴∠A+∠ACM+∠MCN+∠BCN+∠B=180°，∴∠MCN=180°?2∠A+∠B15．（22-23八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分

（1）若∠ADB=48°，求∠A的度數(shù)；（2）若AB=5cm，△ABC與△ABD的周長(zhǎng)之差為8cm，且△ADB的面積為10cm【思路點(diǎn)撥】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)易求出∠DBC=∠C=24°，再根據(jù)角平分線的定義即得出∠ABD=∠DBC=24°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合△ABC與△ABD的周長(zhǎng)之差為8cm，即可求出BC=8cm．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H．由△ADB的面積為10cm2，AB=5cm，可求出DH=4【解題過程】（1）解：∵DE垂直平分BC，∴BD=CD，∴∠DBC=∠C．∵∠ADB=∠DBC+∠C=48°，∴∠DBC=∠C=24°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=24°，∴∠A=180°?∠ABD?∠ADB=108°；（2）解：∵DE垂直平分BC，∴BE=CE=12BC，DE=BC∵C△ABC?C△ABD=8∴AB+BC+AC?AB+BD+AD∴AB+BC+AC?AB+CD+AD∴AB+BC+AC?AB+AC=8cm過點(diǎn)D作DH⊥AB于H．

∵△ADB的面積為10cm2，且S△ADB∴10=1∴DH=4cm∵BD平分∠ABC，∴DE=DH=4cm∴S△DBC16．（22-23八年級(jí)上·福建福州·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）在AC的右側(cè)作△DCF，使點(diǎn)F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，連接BD交AC于點(diǎn)P．若AC＝2BC＝4，求PC的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）在CA上截取CF＝CB，然后分別以C、F為圓心，AB、AC為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)為D，從而得到滿足條件的△DCF；（2）先利用全等三角形的性質(zhì)得到DF＝AC＝4，CF＝CB＝2，∠DFC＝∠ACB＝90°，作FP的垂直平分線交PD于N，連接FN，作NH⊥DF于H，如圖，證明MN＝12DF＝BC，再證明△PMN≌△PCB，所以PC＝PM，從而得到PC＝13【解題過程】（1）解：如圖，△DCF為所作；（2）解：如圖2，∵△DCF≌△ABC，∴DF＝AC＝4，CF＝CB＝2，∠DFC＝∠ACB＝90°，∴DF∥BC，作FP的垂直平分線交PD于N，連接FN，作NH⊥DF于H，如圖，∴NP＝NF，MP＝MF，∴∠NPF＝∠NFP，∴∠NDF＝∠NFD，∴ND＝NF，∴FH＝DH∵FH＝MN，∴MN＝FH＝DH＝2，∴MN＝BC，∵M(jìn)N∥DF，∴MN∥BC，∴∠PMN＝∠PCB，在△PMN和△PCB中，∠MPN=∠CPB∠PMN=∠PCB∴△PMN≌△PCB（AAS），∴PC＝PM，而PM＝MF，∴PC＝13CF＝217．（23-24八年級(jí)上·四川成都·開學(xué)考試）如圖：在△ABC中，∠BAC=110°，AC=AB，射線AD、AE的夾角為55°，過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，直線BF交AE于點(diǎn)G，連接CG．

（1）如圖1，若射線AD、AE都在∠BAC的內(nèi)部，且點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于AD對(duì)稱，求證：CG=（2）如圖