2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第03講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(知識(shí)+真題+6類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第03講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 3高頻考點(diǎn)一：公式的基本應(yīng)用 3高頻考點(diǎn)二：公式的逆用及變形 4高頻考點(diǎn)三：輔助角公式的運(yùn)用 5高頻考點(diǎn)四：二倍角 5高頻考點(diǎn)五：拼湊角 6高頻考點(diǎn)六：降冪公式 7第四部分：新定義題 8第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式①兩角和與差的正弦公式②兩角和與差的余弦公式③兩角和與差的正切公式2、二倍角公式①②；；③3、降冪公式4、輔助角公式：(其中)5、常用結(jié)論①兩角和與差的正切公式的變形：②③④第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知，則（

）．A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅱ卷）若，則（

）A． B．C． D．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：公式的基本應(yīng)用典型例題例題1．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．例題2．（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．例題3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知tanα＝，tanβ＝－，則tan(2α＋β)的值為（

）A．－ B．－C．1 D．例題4．（多選）（23-24高一下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算下列各式，結(jié)果為的是（

）A． B．C． D．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）計(jì)算的值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）的值等于（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）計(jì)算.4．（23-24高一上·山西呂梁·期末）已知，，則.高頻考點(diǎn)二：公式的逆用及變形典型例題例題1．（23-24高一上·廣西賀州·期末）設(shè)，，，則有（

）A． B． C． D．例題2．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（

）A． B． C． D．例題3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，若，則的值是．例題4．（23-24高一上·湖南衡陽(yáng)·期末）計(jì)算求值(1)已知，求的值．(2)練透核心考點(diǎn)1．（2024·山西呂梁·一模）的值為（

）A． B． C．2 D．42．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）（

）A．1 B． C．3 D．3．（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）（

）A． B．C．1 D．4．（21-22高一·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）計(jì)算：＝.例題3．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知，則．例題4．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，則的值為.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·江西·期末）已知角的終邊上有一點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．高頻考點(diǎn)五：拼湊角典型例題例題1．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．例題2．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）設(shè)為銳角，若，則的值為（

）A． B． C． D．例題3．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知是銳角，，則的值為.例題4．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）已知，且．求：(1)的值；(2)的值．練透核心考點(diǎn)1．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·山東煙臺(tái)·一模）若，則（

）A． B． C． D．3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）若，則.高頻考點(diǎn)六：降冪公式典型例題例題1．（23-24高二上·寧夏石嘴山·期中）已知，則（

）A． B． C． D．例題2．（23-24高一下·廣東深圳·期中）計(jì)算：（

）A． B． C． D．例題3．（2024·吉林白山·一模）化簡(jiǎn)．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三上·陜西漢中·期中）已知，函數(shù)在單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（22-23高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）的值是（

）A． B． C． D．13．（2023·吉林·三模）化簡(jiǎn)=（

）A． B． C． D．第四部分：新定義題1．（2023·上海楊浦·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果對(duì)任意的、均成立，則稱是“平緩函數(shù)”.(1)若，試判斷和是否為“平緩函數(shù)”?并說(shuō)明理由;(參考公式:時(shí)，恒成立)(2)若函數(shù)是“平緩函數(shù)”，且是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對(duì)任意的、，均有;(3)設(shè)為定義在上函數(shù)，且存在正常數(shù)使得函數(shù)為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列滿足:，試證明:對(duì)任意的正整數(shù).第03講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 4高頻考點(diǎn)一：公式的基本應(yīng)用 4高頻考點(diǎn)二：公式的逆用及變形 6高頻考點(diǎn)三：輔助角公式的運(yùn)用 9高頻考點(diǎn)四：二倍角 11高頻考點(diǎn)五：拼湊角 14高頻考點(diǎn)六：降冪公式 17第四部分：新定義題 20第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式①兩角和與差的正弦公式②兩角和與差的余弦公式③兩角和與差的正切公式2、二倍角公式①②；；③3、降冪公式4、輔助角公式：(其中)5、常用結(jié)論①兩角和與差的正切公式的變形：②③④第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?，而，因此，則，所以.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．（3）“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍．2．（2022·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅱ卷）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：公式的基本應(yīng)用典型例題例題1．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】。故選：A例題2．（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用誘導(dǎo)公式變形，再利用兩角差的正弦公式計(jì)算.【詳解】.故選：D.例題3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知tanα＝，tanβ＝－，則tan(2α＋β)的值為（

）A．－ B．－C．1 D．【答案】C【詳解】因?yàn)閠anα＝，tanβ＝－，所以tan（α＋β）＝＝＝＝，所以tan（2α＋β）＝tan[α＋（α＋β）]＝＝＝1.【考查意圖】利用和差倍角公式化簡(jiǎn)求值．例題4．（多選）（23-24高一下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算下列各式，結(jié)果為的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】對(duì)于A，利用三角函數(shù)的特殊值即可求解；對(duì)于B，D，利用兩角和的正切公式即可求解；對(duì)于C，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式即可求解.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，由，得，故D正確.故選：BCD.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）計(jì)算的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩角和的正弦公式，即可求解.【詳解】由.故選：A.2．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式即可求解.【詳解】原式故選：C.3．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）計(jì)算.【答案】/【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】.故答案為：4．（23-24高一上·山西呂梁·期末）已知，，則.【答案】【分析】利用兩角和正切公式直接求解即可.【詳解】.故答案為：高頻考點(diǎn)二：公式的逆用及變形典型例題例題1．（23-24高一上·廣西賀州·期末）設(shè)，，，則有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由兩角差的正弦公式求，由二倍角的正切公式求，由二倍角的正弦公式求，即可根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大?。驹斀狻?，，，正弦函數(shù)在是單調(diào)遞增的，．又．故選：A．例題2．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切和角公式得到，整理后得到答案.【詳解】，，．故選：C例題3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，若，則的值是．【答案】/【分析】根據(jù)題意由兩角和的正切公式可得，即可得，求出結(jié)果.【詳解】由，得，即，又，所以，則，所以.故答案為：例題4．（23-24高一上·湖南衡陽(yáng)·期末）計(jì)算求值(1)已知，求的值．(2)【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用正弦二倍角公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合齊次式相關(guān)概念化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意進(jìn)行通分，根據(jù)正弦二倍角公式、兩角和的余弦公式、誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】（1）原式（2）原式練透核心考點(diǎn)1．（2024·山西呂梁·一模）的值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】先把正切化為弦，再分別應(yīng)用配角公式和正弦的二倍角公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選：D.2．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】由利用兩角和的正切公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B3．（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）（

）A． B．C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩角差的正切公式，利用特殊角的三角函數(shù)值，即可求解.【詳解】由兩角差的正切公式，可得.故選：A.4．（21-22高一·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）計(jì)算：＝.【答案】【分析】由題意由兩角差的正切公式即可得解.【詳解】由題意．故答案為：．高頻考點(diǎn)三：輔助角公式的運(yùn)用典型例題例題1．（23-24高一下·上海奉賢·階段練習(xí)）函數(shù)的值域是．【答案】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用整體法求值域.【詳解】，又，.的值域?yàn)?例題2．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）化簡(jiǎn).【答案】【分析】根據(jù)題意，利用兩角差的正弦公式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】由.故答案為：.例題3．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）把化成的形式【答案】【分析】根據(jù)給定條件，逆用和角的正弦公式化簡(jiǎn)即得.【詳解】依題意，.故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）函數(shù)的最大值為.【答案】5【分析】借助輔助角公式計(jì)算即可得.【詳解】，其中，由，故的最大值為5.故答案為：5.2．（2023·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，若函數(shù)的最大值為2，則.【答案】【分析】由輔助角公式得函數(shù)最大值，進(jìn)而列方程即可求解.【詳解】由題意，其中，所以，又因?yàn)?，所?故答案為：.3．（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知，函數(shù)的最小正周期為，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】先用輔助角公式化簡(jiǎn)，然后利用周期公式求解.【詳解】，故，所以.故答案為：.高頻考點(diǎn)四：二倍角典型例題例題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系以及正弦的二倍角公式，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.例題2．（2024·貴州畢節(jié)·二模）若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判斷，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后由二倍角余弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，解得或（舍去），又，解得或，又，所以，所以，所?故選：B例題3．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知，則．【答案】/【分析】利用余弦函數(shù)的二倍角公式即可得解；【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，解得或（舍去?故答案為：.例題4．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，則的值為.【答案】/【分析】利用正余弦的齊次式法求得，再利用正切的倍角公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，等式左邊分子、分母同時(shí)除以得，，解得，所以.故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知同分化簡(jiǎn)得出.進(jìn)而根據(jù)二倍角的正切公式，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，所以，.故選：A.2．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)后利用周期的計(jì)算公式即可求解.【詳解】，故最小正周期為.故選：B3．（23-24高三上·江西·期末）已知角的終邊上有一點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合二倍角公式即可求解.【詳解】由題意可得，故，故選：B4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助三角函數(shù)定義及二倍角的正切公式計(jì)算即可得.【詳解】由，故，則.故選：D.高頻考點(diǎn)五：拼湊角典型例題例題1．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式可得結(jié)果.【詳解】，故選：D.例題2．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）設(shè)為銳角，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)求出，根據(jù)即可求解.【詳解】因?yàn)闉殇J角，則，因?yàn)?，所以，所?故選：D.例題3．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知是銳角，，則的值為.【答案】【分析】先由已知結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值確定，再由正弦展開(kāi)式結(jié)合拆角計(jì)算得到最后結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以，即，又，所以，所以，所以，故答案為?例題4．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）已知，且．求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由的范圍求出的范圍，再利用平方關(guān)系及兩角和的余弦公式求值即得.（2）由兩角差的余弦公式求出即可求出的值.【詳解】（1）由，得，由，，得，，所以.（2）由（1）知，，而，所以.練透核心考點(diǎn)1．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平方關(guān)系求出，再根據(jù)結(jié)合兩角和的余弦公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，則.故選：A.2．（2024·山東煙臺(tái)·一模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由可得，故，故選：C3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)閟in（15°－）＝，所以cos（30°－α）＝cos2（15°－）＝1－2sin2（15°－）＝1－2×＝.4．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）若，則.【答案】/0.28【分析】令，代入，利用三角公式變形計(jì)算即可.【詳解】令，則，所以.故答案為：.高頻考點(diǎn)六：降冪公式典型例題例題1．（23-24高二上·寧夏石嘴山·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，又，所以，令，因?yàn)?/p>