人教版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊22.4拱橋問題-二次函數(shù)的應(yīng)用(壓軸題專項(xiàng)講練)(學(xué)生版+解析)

專題22.4拱橋問題——二次函數(shù)的應(yīng)用典例分析典例分析【典例1】根據(jù)下列素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)跳繩的方案素材1參加跳長繩比賽時(shí)，各隊(duì)跳繩6人，搖繩2人，共計(jì)8人，他們在同一平面內(nèi)站成一路縱隊(duì)．圖2是長繩甩到最高處時(shí)的示意圖，可以近似的看作一條拋物線．搖繩的兩名隊(duì)員水平間距AB為5米，他們的手到地面的高度AC=BD=1米，繩子最高點(diǎn)距離地面2米．

素材2某隊(duì)的6名跳繩隊(duì)員中，男女生各3名，男生身高均在1.70－1.80米，女生身高一人為1.7米高，兩人都為1.65米，為保證安全，跳繩隊(duì)員之間的距離至少0.5米．問題解決任務(wù)1確定長繩在最高點(diǎn)時(shí)的形狀在圖2中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2探究站隊(duì)的方式若將最高的男生站在搖繩隊(duì)員的中點(diǎn)，長繩能否順利甩過所有隊(duì)員的頭頂？任務(wù)3設(shè)計(jì)位置方案為了更順利的完成跳繩，現(xiàn)按中間高兩邊低的方式站隊(duì)，請(qǐng)?jiān)谀闼⒌淖鴺?biāo)系中，求出左邊第一位隊(duì)員橫坐標(biāo)的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練的建立坐標(biāo)系求解函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵；任務(wù)一：以左邊搖繩人與地面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，地面所在直線為x軸，，建立直角坐標(biāo)系，如圖：再利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；任務(wù)二：如圖，6名同學(xué)，以直線x=5任務(wù)三：如圖，設(shè)置戰(zhàn)隊(duì)方式如下：由高往左右兩側(cè)對(duì)稱排列，再計(jì)算當(dāng)x=2.25或x=2.75時(shí)，當(dāng)x=1.75或x=3.25時(shí)，當(dāng)x=1.25或x=3.75時(shí)，得到站隊(duì)方式符合要求，再求解左邊第一個(gè)的橫坐標(biāo)是取值范圍即可．【解題過程】解：任務(wù)一：以左邊搖繩人與地面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，地面所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖：由已知可得，(0,1)，(5,1)在拋物線上，且拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.5,2，設(shè)拋物線解析式為y=ax?∴254解得a=?4∴拋物線的函數(shù)解析式為y=?4任務(wù)二：∵y=?4∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=5如圖，6名同學(xué)，以直線x=5對(duì)稱軸兩側(cè)的2位男同學(xué)所在位置橫坐標(biāo)分布是2，3，∴有1個(gè)1.65米的女生的橫坐標(biāo)為1或4，當(dāng)x=2時(shí)或x=3時(shí)，y=?4當(dāng)x=1.5或x=3.5時(shí)，y=?當(dāng)x=1或x=4時(shí)，y=?4∴繩子能順利的甩過男隊(duì)員的頭頂，繩子不能順利的甩過女隊(duì)員的頭頂；∴繩子不能順利的甩過所有隊(duì)員的頭頂；任務(wù)三：如圖，設(shè)置戰(zhàn)隊(duì)方式如下：由高往左右兩側(cè)排列，當(dāng)x=2.25或x=2.75時(shí)，y=?4當(dāng)x=1.75或x=3.25時(shí)，y=?4當(dāng)x=1.25或x=3.75時(shí)，y=?4∴站隊(duì)方式符合要求，當(dāng)y=1.65時(shí)，則?4∴x1=10+∴左邊第一個(gè)隊(duì)員的橫坐標(biāo)的范圍為：10?35學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，一座拱橋的輪廓是拋物線型，橋高10米，拱高8米，跨度24米，相鄰兩支柱間的距離均為6米，則支柱MN的長度為（

）A．6米 B．5米 C．4.5米 D．4米2．（23-24九年級(jí)上·山東濱州·階段練習(xí)）已知某拋物線形拱橋下的拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m，那么下列說法中正確的是（A．若以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，則這條拋物線的解析式是y=?B．若以水面所在直線為x軸，以水面的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則過條批物線的解析式是y=?C．水面上升1m后，水面寬為D．水面下降2m后，水面寬為3．（23-24九年級(jí)上·河北秦皇島·期末）某水利工程公司開挖的池塘，截面呈拋物線形，蓄水之后在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：m），某學(xué)習(xí)小組探究之后得出如下結(jié)論，其中正確的為（

）A．水面寬度為30B．拋物線的解析式為y=C．最大水深為3.2D．若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最大水深減少為原來的14．（2024·天津南開·一模）如圖，是拋物線形拱橋，當(dāng)拱橋頂端C離水面2m時(shí)，水面AB的寬度為4m有下列結(jié)論：①當(dāng)水面寬度為5m時(shí)，水面下降了1.125②當(dāng)水面下降1m時(shí)，水面寬度為2③當(dāng)水面下降2m時(shí)，水面寬度增加了(4其中，正確的是（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（2023·吉林長春·二模）如圖，三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，左右兩個(gè)拋物線形是全等的，正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB為20m，頂點(diǎn)M距水面6m（即MO=6m），小孔頂點(diǎn)N距水面4.5m（即NC=4.56．（23-24九年級(jí)上·吉林長春·期末）如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)與水平橋面相交于A、B兩點(diǎn)，橋拱最高點(diǎn)C到AB的距離為10m，AB=40m，D、E為橋拱底部的兩點(diǎn)，且DE∥AB，點(diǎn)E到直線AB的距離為10m7．（23-24九年級(jí)下·吉林長春·開學(xué)考試）某單位要對(duì)拱形大門進(jìn)行粉刷，如圖是大門示意圖，門柱AD和BC高均為0.75米，門寬AB為9米，上方門拱可以近似的看作拋物線的一部分，最高點(diǎn)到地面AB的最大高度為4.8米，工人師傅站在傾斜木板AM上，木板點(diǎn)M一端恰好落在門拱上且到點(diǎn)A的水平距離AN為7.5米，工人師傅能刷到的最大垂直高度為2.4米，則在MA上方區(qū)域中，工人師傅刷不到的最大水平寬度為米．8．（2024·河南南陽·三模）如圖，是某景區(qū)步行街修建的一個(gè)橫斷面為拋物線的拱形大門，點(diǎn)M為頂點(diǎn)，其高為9米，寬OE為18米，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OE所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．矩形ABCD是安裝的一個(gè)“光帶”，且點(diǎn)A，D在拋物線上，點(diǎn)B，C在OE上．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）求所需的三根“光帶”AB，AD，DC的長度之和的最大值，并寫出此時(shí)OB的長．9．（22-23九年級(jí)上·浙江湖州·期中）如圖，要修建一條截面為拋物線型的隧道，線段OE表示水平的路面，根據(jù)設(shè)計(jì)要求：OE=10m，該拋物線的頂點(diǎn)P到OE的距離為9（1）請(qǐng)建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上同一高度處安裝照明燈（即在該拋物線上的點(diǎn)A，B處分別安裝照明燈）．若要求A，B處的照明燈水平距離為5m10．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）上杭縣東門大橋改建工程項(xiàng)目，于2023年列入上杭縣“為民辦實(shí)事”的16個(gè)重點(diǎn)工程項(xiàng)目之一，該項(xiàng)目全長937.6米，橋梁全長290米，從穩(wěn)定性角度考慮．通過橋梁專家設(shè)計(jì)論證，橋梁部分按“中承式飛燕提藍(lán)拱橋雙向6車道”橋型方案設(shè)計(jì)．如下圖，該“飛燕提藍(lán)拱橋”設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)為55m（1）建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拱橋拋物線的解析式；（2）請(qǐng)問每側(cè)橋拱需要幾條吊桿？（參考數(shù)據(jù)：2≈1414.11．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）如圖，一座拋物線型拱橋，橋面CD與水面平行，在正常水位時(shí)橋下水面寬OA為30米，拱橋B處為警戒水位標(biāo)識(shí)，點(diǎn)B到OC的水平距離和它到水面OA的距離都為5米．（1）按如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求在正常水位時(shí)橋面CD距離水面的高度；（3）一貨船載長方體貨箱高出水面2米（船高不計(jì)），若要使貨船在警戒水位時(shí)能安全通過該拱橋，則貨箱最寬應(yīng)為多少米？12．（2024·貴州六盤水·一模）如圖①，桐梓隧道位于遵義市桐梓縣境內(nèi)，是貴州省高速公路第一長隧道．如圖②是桐梓隧道的部分截面，圖③是其截面簡化示意圖，由矩形ABCD和拋物線的一部分CED構(gòu)成，矩形ABCD的邊AB=12m，AD=2m，拋物線的最高點(diǎn)E離地面8m．以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)、AB所在直線為x（1）求拋物線的解析式，并注明自變量的取值范圍；（2）為了行駛安全，現(xiàn)要在隧道洞口處貼上黃黑立面標(biāo)記．已知將該拋物線向上平移1m所掃過的區(qū)域即為貼黃黑立面標(biāo)記的區(qū)域，則貼黃黑立面標(biāo)記的區(qū)域的面積為m（3）該隧道為單向雙車道，且規(guī)定車輛必須在距離隧道邊緣大于等于2m范圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于113．（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，在跳繩時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似看作拋物線，拋物線解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為?0.1．已知甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為6.5米，距地面均為1米．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中建立直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）現(xiàn)有一身高為1.75米的同學(xué)也想?yún)⒓舆@個(gè)活動(dòng)，請(qǐng)問他在跳繩時(shí)，頭頂與用繩之間的最大豎直距離為多少（假定當(dāng)繩用到最高處時(shí)，學(xué)生雙腳處于落地狀態(tài)）；（3）若參加跳繩的學(xué)生身高均為1.75米，為保證安全，要求相鄰學(xué)生之間的安全距離不小于0.4米，問跳繩時(shí)，甩繩內(nèi)部最多可容納多少名學(xué)生？14．（2024九年級(jí)下·吉林·專題練習(xí)）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)如何設(shè)計(jì)拱橋上救生圈的懸掛方案？素材1圖1是一座拋物線形拱橋，以拋物線兩個(gè)水平最低點(diǎn)連線為x軸，拋物線離地面的最高點(diǎn)的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示．某時(shí)測得水面寬20m，拱頂離水面最大距離為10m，拋物線拱形最高點(diǎn)與x軸的距離為5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1m素材2為方便救助溺水者，擬在圖1的橋拱上方欄桿處懸掛救生圈，如圖3，救生圈懸掛點(diǎn)為了方便懸掛，救生圈懸掛點(diǎn)距離拋物線拱面上方1m，且相鄰兩救生圈懸掛點(diǎn)的水平間距為4m．為美觀，放置后救生圈關(guān)于y軸成軸對(duì)稱分布．（懸掛救生圈的柱子大小忽略不計(jì)）任務(wù)1確定橋拱形狀根據(jù)圖2，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2擬定設(shè)計(jì)方案求符合懸掛條件的救生圈個(gè)數(shù)，并求出最右側(cè)一個(gè)救生圈懸掛點(diǎn)的坐標(biāo)．任務(wù)3探究救生繩長度當(dāng)水位達(dá)到最高時(shí)，上游個(gè)落水者順流而下到達(dá)拋物線拱形橋面的瞬間，若要確保救助者把拱橋上任何一處懸掛點(diǎn)的救生圈拋出都能拋到落水者身邊，求救生繩至少需要多長．（救生圈大小忽略不計(jì)，結(jié)果保留整數(shù)）問題解決（1）任務(wù)1：確定橋拱形狀根據(jù)圖2，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）任務(wù)2：擬定設(shè)計(jì)方案求符合懸掛條件的救生圈個(gè)數(shù)，并求出最右側(cè)一個(gè)救生圈懸掛點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）任務(wù)3：探究救生繩長度當(dāng)水位達(dá)到最高時(shí)，上游一個(gè)落水者順流而下到達(dá)拋物線拱形橋面的瞬間，若要確保救助者把拱橋上任何一處懸掛點(diǎn)的救生圈拋出都能拋到落水者身邊，求救生繩至少需要多長．（救生圈大小忽略不計(jì)，結(jié)果保留整數(shù)）15．（2024·河北邯鄲·三模）如圖某橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA=8m，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4

（1）按如圖所示的坐標(biāo)系，求該橋拱OBA的函數(shù)表達(dá)式；（2）要保證高2.26米的小船能夠通過此橋（船頂與橋拱的距離不小于0.3米），求小船的最大寬度是多少？（3）如圖，橋拱所在的函數(shù)圖象的拋物線的x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象．現(xiàn)將新函數(shù)圖象向右平移m（m>0）個(gè)單位長度，使得平移后的函數(shù)圖象在9≤x≤10之間，且y隨x的增大而減小，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．16．（2024·貴州畢節(jié)·三模）如圖①，是一間學(xué)校體育場的遮陽蓬截面圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計(jì)了一個(gè)遮陽蓬截面模型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點(diǎn)在C處，對(duì)稱軸OC與橫梁AB相互垂直，且CO=5，AB=10．（1）建立如圖②平面直角坐標(biāo)系，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若為了使遮陽蓬更加牢固，在遮陽蓬內(nèi)部設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形框架（如圖②所示），且DE:EF=4:3，求EF的長；（3）根據(jù)（1）中求解得到的函數(shù)表達(dá)式，若當(dāng)p≤x≤p+1時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為1，求p的值．17．（2024·山東青島·二模）某農(nóng)場有一個(gè)花卉大棚，是利用部分墻體建造的．其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在墻體OA上，另一端固定在墻體BC上，其橫截面有2根支架DE，F(xiàn)G，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖1所示，其中支架DE=BC=3米，OF=DF=BD=2米，兩種支架各用了200根．為增加棚內(nèi)空間，農(nóng)場決定將圖1中棚頂向上調(diào)整，支架總數(shù)不變，對(duì)應(yīng)支架的長度變化情況如圖2所示，調(diào)整后C與E上升相同的高度，其橫截面頂部仍為拋物線型，若增加的支架單價(jià)為60元/米（接口忽略不計(jì)），經(jīng)費(fèi)預(yù)算為40000元．（1）分別以O(shè)B和OA所在的直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系．①求出改造前的頂部拋物線的函數(shù)解析式；②求出改造前大棚的最大高度；（2）只考慮經(jīng)費(fèi)情況下，求出CC'的最大值．18．（23-24九年級(jí)下·湖北武漢·期中）有一座橫截面由矩形和拋物線構(gòu)成的拱橋，拋物線上方是路面，拋物線下方是水面，如圖所示，并建立平面直角坐標(biāo)系，已如水面寬OA是16m；當(dāng)水面上升158m（1）求該拋物線的解析式；（2）一艘橫截面為矩形的貨船，最寬處為10m，露出水面的高度為3.5（3）現(xiàn)需要在拱橋的拋物線上點(diǎn)B處安裝一個(gè)矩形BCDE燈帶來美化橋面，點(diǎn)C在拋物線上且BC與水面平行，D，E在路面上，路面到水面的垂直距離為10米．為了美觀，點(diǎn)B距離水面不能低于7.5m，求矩形BCDE燈帶的周長l19．（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖①是位于安順的壩陵河大橋．某興趣小組受到該橋的啟示，設(shè)計(jì)了一座橋的模型，它的兩橋塔AD，BC

之間的懸索DPC是拋物線型(如圖②所示)，懸索上設(shè)置有若干條

垂直于水平線AB的吊索，圖中，AD=BC=10cm，AB=32cm，懸索上最低點(diǎn)P到AB的垂直距離PO=2cm．(懸索DPC（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，從拋物線的頂點(diǎn)P開始，每相隔2cm有一條吊索，當(dāng)?shù)跛鞲叨却笥诨虻扔?（3）若拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)E(m,y1)，F(xiàn)(m+2,y2)，拋物線在E，F(xiàn)之間的部分為圖象G(包括E，F(xiàn)

兩點(diǎn))，圖象G上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為t20．（2024·遼寧大連·一模）【發(fā)現(xiàn)問題】美麗的大連星海灣跨海大橋，是大連一張亮麗的名片，晚上大橋的燈光秀璀璨奪目．小明通過查閱得知，星海灣大橋（XinghaiBayBridge）是中國遼寧省大連市境內(nèi)連接甘井子區(qū)與西崗區(qū)的跨海通道，位于黃海水域上．大連星海灣跨海大橋全長6千米，主橋?yàn)殡p塔三跨地錨式、雙層通車懸索橋．主橋長820米，主橋主跨（兩個(gè)主塔間的距離L）460米，邊跨180米，跨徑布置為180+460+180=820m．如圖是大橋的主跨，主跨懸索矢跨比（S：L）約為320【提出問題】星海大橋主跨上的吊桿的高度與它距最低點(diǎn)的水平距離有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【分析問題】小明了解到，大橋主跨上連接兩座主塔之間的懸索可以看成是拋物線的一部分，結(jié)合二次函數(shù)相關(guān)內(nèi)容和查閱到的相關(guān)數(shù)據(jù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就可以求出這條拋物線表示的二次函數(shù)，便可解決問題．【解決問題】小明利用查閱到的相關(guān)數(shù)據(jù)，為解題方便，小明以拋物線的頂點(diǎn)（大橋主跨上懸索的最低點(diǎn)）為原點(diǎn)，以主跨的中軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖3）．（1）請(qǐng)直接寫出以下問題的答案：①右側(cè)懸索最高點(diǎn)B的坐標(biāo)；②y與x的函數(shù)解析式；③最長的吊桿的長度；（2）某游客在遠(yuǎn)處海灘正對(duì)大橋主跨的位置，看到一個(gè)由多輛彩車組成的150米的車隊(duì)，車隊(duì)以50米/分的速度通過大橋主跨，彩車高于橋梁部分均為6.9米．在彩車通過大橋主跨過程中，該游客在懸索上方能看到彩車的時(shí)間是否超過6分鐘；（3）如圖3，燈光秀中一個(gè)射燈光源C（?70，?21），位于懸索最低點(diǎn)左下方，即距懸索最低點(diǎn)的水平距離為70米的地方，它所發(fā)出的射線狀光線，剛好經(jīng)過右側(cè)懸索的最高點(diǎn)B，現(xiàn)在想在這個(gè)光源的水平右側(cè)再放置一個(gè)同樣的平行光源，應(yīng)該在什么范圍內(nèi)放置，才能保證該光源所射出的光線照到右側(cè)懸索上?專題22.4拱橋問題——二次函數(shù)的應(yīng)用典例分析典例分析【典例1】根據(jù)下列素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)跳繩的方案素材1參加跳長繩比賽時(shí)，各隊(duì)跳繩6人，搖繩2人，共計(jì)8人，他們在同一平面內(nèi)站成一路縱隊(duì)．圖2是長繩甩到最高處時(shí)的示意圖，可以近似的看作一條拋物線．搖繩的兩名隊(duì)員水平間距AB為5米，他們的手到地面的高度AC=BD=1米，繩子最高點(diǎn)距離地面2米．

素材2某隊(duì)的6名跳繩隊(duì)員中，男女生各3名，男生身高均在1.70－1.80米，女生身高一人為1.7米高，兩人都為1.65米，為保證安全，跳繩隊(duì)員之間的距離至少0.5米．問題解決任務(wù)1確定長繩在最高點(diǎn)時(shí)的形狀在圖2中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2探究站隊(duì)的方式若將最高的男生站在搖繩隊(duì)員的中點(diǎn)，長繩能否順利甩過所有隊(duì)員的頭頂？任務(wù)3設(shè)計(jì)位置方案為了更順利的完成跳繩，現(xiàn)按中間高兩邊低的方式站隊(duì)，請(qǐng)?jiān)谀闼⒌淖鴺?biāo)系中，求出左邊第一位隊(duì)員橫坐標(biāo)的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練的建立坐標(biāo)系求解函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵；任務(wù)一：以左邊搖繩人與地面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，地面所在直線為x軸，，建立直角坐標(biāo)系，如圖：再利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；任務(wù)二：如圖，6名同學(xué)，以直線x=5任務(wù)三：如圖，設(shè)置戰(zhàn)隊(duì)方式如下：由高往左右兩側(cè)對(duì)稱排列，再計(jì)算當(dāng)x=2.25或x=2.75時(shí)，當(dāng)x=1.75或x=3.25時(shí)，當(dāng)x=1.25或x=3.75時(shí)，得到站隊(duì)方式符合要求，再求解左邊第一個(gè)的橫坐標(biāo)是取值范圍即可．【解題過程】解：任務(wù)一：以左邊搖繩人與地面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，地面所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖：由已知可得，(0,1)，(5,1)在拋物線上，且拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.5,2，設(shè)拋物線解析式為y=ax?∴254解得a=?4∴拋物線的函數(shù)解析式為y=?4任務(wù)二：∵y=?4∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=5如圖，6名同學(xué)，以直線x=5對(duì)稱軸兩側(cè)的2位男同學(xué)所在位置橫坐標(biāo)分布是2，3，∴有1個(gè)1.65米的女生的橫坐標(biāo)為1或4，當(dāng)x=2時(shí)或x=3時(shí)，y=?4當(dāng)x=1.5或x=3.5時(shí)，y=?當(dāng)x=1或x=4時(shí)，y=?4∴繩子能順利的甩過男隊(duì)員的頭頂，繩子不能順利的甩過女隊(duì)員的頭頂；∴繩子不能順利的甩過所有隊(duì)員的頭頂；任務(wù)三：如圖，設(shè)置戰(zhàn)隊(duì)方式如下：由高往左右兩側(cè)排列，當(dāng)x=2.25或x=2.75時(shí)，y=?4當(dāng)x=1.75或x=3.25時(shí)，y=?4當(dāng)x=1.25或x=3.75時(shí)，y=?4∴站隊(duì)方式符合要求，當(dāng)y=1.65時(shí)，則?4∴x1=10+∴左邊第一個(gè)隊(duì)員的橫坐標(biāo)的范圍為：10?35學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，一座拱橋的輪廓是拋物線型，橋高10米，拱高8米，跨度24米，相鄰兩支柱間的距離均為6米，則支柱MN的長度為（

）A．6米 B．5米 C．4.5米 D．4米【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，設(shè)拱橋兩端分別為A、B，頂端為C，以AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A?12，0，B12，0，C0設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，求出解析式為y=?118【解題過程】解：設(shè)拱橋兩端分別為A、B，頂端為C，以AB所在直線為x軸，線段AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖所示，，由題意得：A?12，0，B12，0，C0設(shè)拋物線的解析式為y=ax將A?12，0，Ba×?12解得：a=?1∴拋物線解析式為：y=?1當(dāng)x=6時(shí)，y=?1∴MN=10?6=4（米），故選：D．2．（23-24九年級(jí)上·山東濱州·階段練習(xí)）已知某拋物線形拱橋下的拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m，那么下列說法中正確的是（A．若以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，則這條拋物線的解析式是y=?B．若以水面所在直線為x軸，以水面的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則過條批物線的解析式是y=?C．水面上升1m后，水面寬為D．水面下降2m后，水面寬為【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，用等定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，然后分析即可求解解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題求解．【解題過程】解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)拱橋的拋物線解析式為y=ax∵拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4∴圖中點(diǎn)坐標(biāo)為?2,2，代入得：4a=?2，解得a=?1∴拋物線的解析式為y=?1B、∵以水面所在直線為x軸，以水面的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，水面寬4m∴拋物線過點(diǎn)?2,0，代入y=?1?1C、水面上升1m后，即當(dāng)y=?1時(shí)，?解得x1=2∴水面寬為x1D、水面下降2m后，即當(dāng)y=?4時(shí)，?解得x1=22∴水面寬為x1故選：C．3．（23-24九年級(jí)上·河北秦皇島·期末）某水利工程公司開挖的池塘，截面呈拋物線形，蓄水之后在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：m），某學(xué)習(xí)小組探究之后得出如下結(jié)論，其中正確的為（

）A．水面寬度為30B．拋物線的解析式為y=C．最大水深為3.2D．若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最大水深減少為原來的1【思路點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，計(jì)算較為復(fù)雜，在計(jì)算時(shí)需要理清楚實(shí)際數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的位置．能夠正確計(jì)算和分析實(shí)際情況是解題的關(guān)鍵．利用建立的坐標(biāo)系得到拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過待定系數(shù)法求出拋物線解析式，對(duì)照選項(xiàng)即可．【解題過程】解：設(shè)解析式為y=ax將拋物線上點(diǎn)A(?15,0),B(15,0),P(0,?5)，帶入拋物線解析式中得0=(?15)解得a=1解析式為y=1選項(xiàng)A中，AB=30，CD=24m，水面寬度為24選項(xiàng)B中，解析式為y=1選項(xiàng)C中，池塘水深最深處為點(diǎn)P(0,?5)，水面CD,yC=145×12選項(xiàng)D中，若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，由拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱可知，拋物線上點(diǎn)橫坐標(biāo)±6，帶入解析式算得y=145×62?5=45?5=?故選：C．4．（2024·天津南開·一模）如圖，是拋物線形拱橋，當(dāng)拱橋頂端C離水面2m時(shí)，水面AB的寬度為4m有下列結(jié)論：①當(dāng)水面寬度為5m時(shí)，水面下降了1.125②當(dāng)水面下降1m時(shí)，水面寬度為2③當(dāng)水面下降2m時(shí)，水面寬度增加了(4其中，正確的是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用——搭橋問題．根據(jù)已知條件建立適當(dāng)坐標(biāo)系，從而得出二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．建立直角坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O在AB上，AB所在直線為x軸，y軸過拋物線頂點(diǎn)C，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式，設(shè)水面AB下降到A'B'位置，當(dāng)水面寬5米時(shí)，設(shè)B'2.5,n；當(dāng)水面下降1m時(shí)，設(shè)B'【解題過程】解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)O在AB上，AB所在直線為x軸，y軸過拋物線頂點(diǎn)C，根據(jù)題意得，AB=4，OC=2，由對(duì)稱性知OA=OB=1∴A?2，0，B設(shè)拋物線解析式為y=axB2，0解得，a=?1∴y=?1設(shè)水面AB下降到A'當(dāng)水面寬5米時(shí)，設(shè)B'則n=?1∴水面下降了1.125m當(dāng)水面下降1m設(shè)B'm,?1m>0解得，m=6∴水面寬度為26當(dāng)水面下降2m設(shè)B't,?2t>0解得t=22∴水面寬度為42∴水面寬度增加了(42故選D．5．（2023·吉林長春·二模）如圖，三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，左右兩個(gè)拋物線形是全等的，正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB為20m，頂點(diǎn)M距水面6m（即MO=6m），小孔頂點(diǎn)N距水面4.5m（即NC=4.5【思路點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，由函數(shù)值求自變量的值的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可以得到A、B、M的坐標(biāo)，設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，待定系數(shù)求解函數(shù)式．根據(jù)NC的長度，得出函數(shù)的y坐標(biāo)，代入解析式，即可得出【解題過程】解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意得，M點(diǎn)坐標(biāo)為0,6，A點(diǎn)坐標(biāo)為?10,0，B點(diǎn)坐標(biāo)為10,0，設(shè)中間大拋物線的函數(shù)式為y=ax代入三點(diǎn)的坐標(biāo)得到c=6100a?10b+c=0解得a=?3∴函數(shù)式為y=?3∵NC=4.5米，∴令y=4.5米，代入解析式得4.5=?解得：x1=5，∴可得EF=x故答案為：10．6．（23-24九年級(jí)上·吉林長春·期末）如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)與水平橋面相交于A、B兩點(diǎn)，橋拱最高點(diǎn)C到AB的距離為10m，AB=40m，D、E為橋拱底部的兩點(diǎn)，且DE∥AB，點(diǎn)E到直線AB的距離為10m【思路點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是正確地建立平面直角坐標(biāo)系，此題難度較大．首先建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)H，求出OC的長，然后設(shè)該拋物線的解析式為：y=ax2+k，根據(jù)題干條件求出a和k的值，再令y=0，求出x的值，即可求出D【解題過程】解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖：設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)H，∵AB=40∴AH=BH=20由題可知：OH=10∴OC=10+10=20設(shè)該拋物線的解析式為：y=ax∵頂點(diǎn)坐標(biāo)C(0,20)，∴y=a代入點(diǎn)(20,10),∴10=400a+20,∴400a=?10,∴a=?∴拋物線∶y=?1當(dāng)y=0時(shí)，0=?1∴∴x=±20∴E(20∴OE=OD=20∴DE=OD+OE=20故答案為：4027．（23-24九年級(jí)下·吉林長春·開學(xué)考試）某單位要對(duì)拱形大門進(jìn)行粉刷，如圖是大門示意圖，門柱AD和BC高均為0.75米，門寬AB為9米，上方門拱可以近似的看作拋物線的一部分，最高點(diǎn)到地面AB的最大高度為4.8米，工人師傅站在傾斜木板AM上，木板點(diǎn)M一端恰好落在門拱上且到點(diǎn)A的水平距離AN為7.5米，工人師傅能刷到的最大垂直高度為2.4米，則在MA上方區(qū)域中，工人師傅刷不到的最大水平寬度為米．【思路點(diǎn)撥】本題主要考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)、應(yīng)用等知識(shí)．先根據(jù)題意建立如圖所示坐標(biāo)系，然后利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式，然后求出點(diǎn)M坐標(biāo)，再求出直線OM的解析式，設(shè)工人能夠刷到的最大高度點(diǎn)為E，過E作x軸的垂線交直線OM于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為m,?0.2(m?4.5)2+4.8，則F(m,0.4m)，求出EF，再根據(jù)EF=2.4【解題過程】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：由題意知，拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4.5,4.8)，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x?4.5)∵AD=0.75，∴D(0,0.75)∴將點(diǎn)D代入拋物線解析式得，0.75=4.5解得a=?0.2，∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為y=?0.2(x?4.5)將x=7.5代入y=?0.2(x?4.5)2+4.8∴點(diǎn)M坐標(biāo)為(7.5,3)，∴設(shè)直線OM的解析式為y=kx(k≠0)，將點(diǎn)M(7.5,3)代入y=kx得，7.5k=3，∴k=0.4，∴直線OM的解析式為y=0.4x，設(shè)工人能夠刷到的最大高度點(diǎn)為E，過E作x軸的垂線交直線OM于點(diǎn)F，∵設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為m,?0.2(m?4.5)2+4.8∴EF=?0.2(m?4.5)∵師傅能刷到的最大垂直高度是2.4米，∴當(dāng)EF=2.4時(shí)，即?0.2(m?3.5)解得m1=1.5，∵5.5?1.5=4米，∴工人師傅刷不到的最大水平寬度為4米，故答案為：4．8．（2024·河南南陽·三模）如圖，是某景區(qū)步行街修建的一個(gè)橫斷面為拋物線的拱形大門，點(diǎn)M為頂點(diǎn)，其高為9米，寬OE為18米，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OE所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．矩形ABCD是安裝的一個(gè)“光帶”，且點(diǎn)A，D在拋物線上，點(diǎn)B，C在OE上．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）求所需的三根“光帶”AB，AD，DC的長度之和的最大值，并寫出此時(shí)OB的長．【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,?19m2+2m)，用m的值表示出AB，AD正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【解題過程】（1）解：由題意知，頂點(diǎn)M(9,9)，E(18,0)，可設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?9)∵拋物線過原點(diǎn)O(0,0)，∴a(0?9)解得a=?1∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?1（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,?19m2+2m)根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性質(zhì)，可得OB=CE=m，故BC=AD=18?2m，∴AB+AD+DC=?19m∵?2∴當(dāng)OB=m=92米時(shí)，三根“光帶”長度之和的最大值為9．（22-23九年級(jí)上·浙江湖州·期中）如圖，要修建一條截面為拋物線型的隧道，線段OE表示水平的路面，根據(jù)設(shè)計(jì)要求：OE=10m，該拋物線的頂點(diǎn)P到OE的距離為9（1）請(qǐng)建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上同一高度處安裝照明燈（即在該拋物線上的點(diǎn)A，B處分別安裝照明燈）．若要求A，B處的照明燈水平距離為5m【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E所在直線為x軸，以過點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，根據(jù)E10,0（2）先根據(jù)題意得到點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離，即可得到點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，再求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)即可得到答案．【解題過程】（1）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E所在直線為x軸，以過點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．由題意，得點(diǎn)E10,0，頂點(diǎn)P設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax?5把E10,0代入，得0=a解得a=?9∴滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?9（2）解：∵點(diǎn)A，B在同一高度，∴點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱軸直線x=5對(duì)稱，∵A，B處的照明燈水平距離為5m∴可知點(diǎn)A距離對(duì)稱軸52∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為52在y=?925x?52∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為274即照明燈的高度為27410．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）上杭縣東門大橋改建工程項(xiàng)目，于2023年列入上杭縣“為民辦實(shí)事”的16個(gè)重點(diǎn)工程項(xiàng)目之一，該項(xiàng)目全長937.6米，橋梁全長290米，從穩(wěn)定性角度考慮．通過橋梁專家設(shè)計(jì)論證，橋梁部分按“中承式飛燕提藍(lán)拱橋雙向6車道”橋型方案設(shè)計(jì)．如下圖，該“飛燕提藍(lán)拱橋”設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)為55m（1）建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拱橋拋物線的解析式；（2）請(qǐng)問每側(cè)橋拱需要幾條吊桿？（參考數(shù)據(jù)：2≈1414.【思路點(diǎn)撥】該題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是理解題意．（1）如圖，以其中一個(gè)橋墩為原點(diǎn)，正常水位水平面為x軸，建立直角坐標(biāo)系．得出C180,0，D（2）根據(jù)題意得出點(diǎn)F,G的縱坐標(biāo)為15，結(jié)合（1）將y=15代入即可求出F12.06,15【解題過程】（1）解：如圖示，以其中一個(gè)橋墩為原點(diǎn)，正常水位水平面為x軸，建立直角坐標(biāo)系．則有另一橋墩C180,0，拱橋頂點(diǎn)D90,60，橋面設(shè)橋拱拋物線解析式為y=a(x?90)把點(diǎn)C180,0坐標(biāo)代入求得a=?所以拱橋拋物線的解析式為y=?1（2）解：因橋面距離水面15米，所以點(diǎn)F,G的縱坐標(biāo)為15，當(dāng)y=15時(shí)，15=?1解得x1x2所以，F(xiàn)12.06,15∴FG=167.94?12.06=155.88∵155.88÷5=31.176，故單側(cè)需32根吊桿．11．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）如圖，一座拋物線型拱橋，橋面CD與水面平行，在正常水位時(shí)橋下水面寬OA為30米，拱橋B處為警戒水位標(biāo)識(shí)，點(diǎn)B到OC的水平距離和它到水面OA的距離都為5米．（1）按如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求在正常水位時(shí)橋面CD距離水面的高度；（3）一貨船載長方體貨箱高出水面2米（船高不計(jì)），若要使貨船在警戒水位時(shí)能安全通過該拱橋，則貨箱最寬應(yīng)為多少米？【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)拋物線表達(dá)式為y=ax2+bx，將點(diǎn)B5,5、（2）由題意知，y=?125x2+65（3）當(dāng)y=7時(shí)，?125x2+65【解題過程】（1）解：設(shè)拋物線表達(dá)式為y=ax將點(diǎn)B5,5、A30,0代入得解得a=?∴拋物線的表達(dá)式為y=?1（2）解：由題意知，y=?1∵?1∴當(dāng)x=15時(shí)，y取得最大值，最大值為9．∴在正常水位時(shí)橋面CD距離水面的高度為9米．（3）解：根據(jù)題意，當(dāng)y=7時(shí)，?1解得x1=15+52∴貨箱最寬為15+52∴若要使貨船在警戒水位時(shí)能安全通過該拱橋，則貨箱最寬應(yīng)為10212．（2024·貴州六盤水·一模）如圖①，桐梓隧道位于遵義市桐梓縣境內(nèi)，是貴州省高速公路第一長隧道．如圖②是桐梓隧道的部分截面，圖③是其截面簡化示意圖，由矩形ABCD和拋物線的一部分CED構(gòu)成，矩形ABCD的邊AB=12m，AD=2m，拋物線的最高點(diǎn)E離地面8m．以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)、AB所在直線為x（1）求拋物線的解析式，并注明自變量的取值范圍；（2）為了行駛安全，現(xiàn)要在隧道洞口處貼上黃黑立面標(biāo)記．已知將該拋物線向上平移1m所掃過的區(qū)域即為貼黃黑立面標(biāo)記的區(qū)域，則貼黃黑立面標(biāo)記的區(qū)域的面積為m（3）該隧道為單向雙車道，且規(guī)定車輛必須在距離隧道邊緣大于等于2m范圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于1【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意得，頂點(diǎn)E(0,8)，從而可設(shè)拋物線為y=ax2+8，又AB=12m，AD=2m，則D(6,2)，?6≤x≤6（2）依據(jù)題意，由貼黃黑立面標(biāo)記的區(qū)域+拋物線CED面積=拋物線CED面積+矩形C'D'（3）依據(jù)題意，由車輛必須在距離隧道邊緣大于等于2m范圍內(nèi)行駛，從而可令x=4，則y=?16【解題過程】（1）解：由題意得，頂點(diǎn)E(0,8)，∴可設(shè)拋物線為y=ax又∵AB=12m，AD=2∴D(6,2)，?6≤x≤6．∴2=36a+8．∴a=?1∴所求拋物線的解析式為y=?1（2）解：由題意，如圖，將該拋物線向上平移1m所掃過的區(qū)域即為貼黃黑立面標(biāo)記的區(qū)域+拋物線CED面積=拋物線CED面積+矩形C'∴貼黃黑立面標(biāo)記的區(qū)域的面積為1×12=12(m故答案為：12；（3）解：由題意，∵車輛必須在距離隧道邊緣大于等于2m∴可令x=4，則y=?1又163∴該隧道車輛的限制高度為5米．13．（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，在跳繩時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似看作拋物線，拋物線解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為?0.1．已知甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為6.5米，距地面均為1米．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中建立直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）現(xiàn)有一身高為1.75米的同學(xué)也想?yún)⒓舆@個(gè)活動(dòng)，請(qǐng)問他在跳繩時(shí)，頭頂與用繩之間的最大豎直距離為多少（假定當(dāng)繩用到最高處時(shí)，學(xué)生雙腳處于落地狀態(tài)）；（3）若參加跳繩的學(xué)生身高均為1.75米，為保證安全，要求相鄰學(xué)生之間的安全距離不小于0.4米，問跳繩時(shí)，甩繩內(nèi)部最多可容納多少名學(xué)生？【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．熟練掌握建立適當(dāng)坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．（1）以甲所在的地面為原點(diǎn)，地面所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?0.1x2+bx+c，代入0,1和6.5,1，求出b（2）求出y=?0.1x（3）解方程?0.1x【解題過程】（1）以甲所在的地面為原點(diǎn)，地面所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?0.1x由題意可知，0,1和6.5,1都在該拋物線上，∴c=1?0.1×解得，b=0.65c=1故拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=?0.1x（2）∵y=?0.1x∴當(dāng)x=3.25時(shí)，y最大值∴2.05625?1.75=0.30625(米)，故他在跳繩時(shí)，頭頂與甩繩之間的最大豎直距離為0.30625米；（3）在y=?0.1x令y=1.75，得?0.1x解得，x1=5，∴5?1.5÷0.4=8.75取8，得8+1=9，故甩繩內(nèi)部最多可容納9名學(xué)生．14．（2024九年級(jí)下·吉林·專題練習(xí)）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)如何設(shè)計(jì)拱橋上救生圈的懸掛方案？素材1圖1是一座拋物線形拱橋，以拋物線兩個(gè)水平最低點(diǎn)連線為x軸，拋物線離地面的最高點(diǎn)的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示．某時(shí)測得水面寬20m，拱頂離水面最大距離為10m，拋物線拱形最高點(diǎn)與x軸的距離為5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1m素材2為方便救助溺水者，擬在圖1的橋拱上方欄桿處懸掛救生圈，如圖3，救生圈懸掛點(diǎn)為了方便懸掛，救生圈懸掛點(diǎn)距離拋物線拱面上方1m，且相鄰兩救生圈懸掛點(diǎn)的水平間距為4m．為美觀，放置后救生圈關(guān)于y軸成軸對(duì)稱分布．（懸掛救生圈的柱子大小忽略不計(jì)）任務(wù)1確定橋拱形狀根據(jù)圖2，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2擬定設(shè)計(jì)方案求符合懸掛條件的救生圈個(gè)數(shù)，并求出最右側(cè)一個(gè)救生圈懸掛點(diǎn)的坐標(biāo)．任務(wù)3探究救生繩長度當(dāng)水位達(dá)到最高時(shí)，上游個(gè)落水者順流而下到達(dá)拋物線拱形橋面的瞬間，若要確保救助者把拱橋上任何一處懸掛點(diǎn)的救生圈拋出都能拋到落水者身邊，求救生繩至少需要多長．（救生圈大小忽略不計(jì)，結(jié)果保留整數(shù)）問題解決（1）任務(wù)1：確定橋拱形狀根據(jù)圖2，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）任務(wù)2：擬定設(shè)計(jì)方案求符合懸掛條件的救生圈個(gè)數(shù)，并求出最右側(cè)一個(gè)救生圈懸掛點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）任務(wù)3：探究救生繩長度當(dāng)水位達(dá)到最高時(shí)，上游一個(gè)落水者順流而下到達(dá)拋物線拱形橋面的瞬間，若要確保救助者把拱橋上任何一處懸掛點(diǎn)的救生圈拋出都能拋到落水者身邊，求救生繩至少需要多長．（救生圈大小忽略不計(jì)，結(jié)果保留整數(shù)）【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理：（1）如圖，知拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)解析式為y=ax2+k(a≠0)（2）拋物線y=?120x2+5，得與橫軸交點(diǎn)F?10,0，相鄰兩救生圈懸掛點(diǎn)的水平間距為（3）如圖，當(dāng)水位達(dá)到最高時(shí)，水位線為y=?4，當(dāng)x=?10時(shí)，E?10,1，EN=5，MN=10，勾股定理求得Rt△EMN中，【解題過程】（1）如圖，知拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)解析式為y=ax2+k(a≠0)，拋物線經(jīng)過10,0，0,5，得∴y=?1（2）解：在y=?120x2+5，當(dāng)y=0，?∴點(diǎn)F

如題，相鄰兩救生圈懸掛點(diǎn)的水平間距為4m，且關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，∵(10?2)÷4=2∴左側(cè)可掛3個(gè)，由對(duì)稱性只看右面，右面可掛3個(gè)，則此時(shí)最中間的兩個(gè)救生圈的水平距離為10+10?4?4?4?4=4m∴橋面一共可以掛6個(gè)救生圈，最右側(cè)位于點(diǎn)G上方1m處，即該點(diǎn)的坐標(biāo)為10,1．（3）解：如圖，當(dāng)水位達(dá)到最高時(shí)，水位線為y=?(10?5?1)=?4，救生圈懸掛點(diǎn)距離拋物線拱面上方1m，當(dāng)x=?10時(shí)，E?10,1，EN=1??4=5Rt△EMN中，EM=∴繩長至少需21m．15．（2024·河北邯鄲·三模）如圖某橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA=8m，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4

（1）按如圖所示的坐標(biāo)系，求該橋拱OBA的函數(shù)表達(dá)式；（2）要保證高2.26米的小船能夠通過此橋（船頂與橋拱的距離不小于0.3米），求小船的最大寬度是多少？（3）如圖，橋拱所在的函數(shù)圖象的拋物線的x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象．現(xiàn)將新函數(shù)圖象向右平移m（m>0）個(gè)單位長度，使得平移后的函數(shù)圖象在9≤x≤10之間，且y隨x的增大而減小，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）先求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可得解；（2）二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=?14x2+2x（3）根據(jù)平移規(guī)律得到點(diǎn)O平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為m,0，對(duì)稱軸平移后的對(duì)稱軸為x=4+m，點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為8+m,0，從而得m≤x≤4+m或x≥8+m上，滿足y隨x的增大而減小，解不等式組即可得解．【解題過程】（1）解：∵OA=8，且點(diǎn)A在x軸上，∴A8,0根據(jù)拋物線的特點(diǎn)確定拋物線的對(duì)稱軸為直線x=0+8∴點(diǎn)B4,4設(shè)拋物線的解析式為y=ax?42+40=a0?4解得a=?1∴此二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=?1（2）解：∵二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=?1∴令y=2.26+0.3=2.56得：2.56=?1解得：x1=6.4，∴小船的最大寬度為：6.4?1.6=4.8米．（3）解：根據(jù)平移規(guī)律得到點(diǎn)O平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為m,0，對(duì)稱軸平移后的對(duì)稱軸為x=4+m，點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為8+m,0，根據(jù)圖像性質(zhì)，得到函數(shù)在m≤x≤4+m或x≥8+m上，滿足y隨x的增大而減小，∴m≤94+m≥10或8≤8+m≤9解得6≤n≤9或0<m≤1，故m的取值范圍是6≤n≤9或0<m≤1．16．（2024·貴州畢節(jié)·三模）如圖①，是一間學(xué)校體育場的遮陽蓬截面圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計(jì)了一個(gè)遮陽蓬截面模型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點(diǎn)在C處，對(duì)稱軸OC與橫梁AB相互垂直，且CO=5，AB=10．（1）建立如圖②平面直角坐標(biāo)系，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若為了使遮陽蓬更加牢固，在遮陽蓬內(nèi)部設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形框架（如圖②所示），且DE:EF=4:3，求EF的長；（3）根據(jù)（1）中求解得到的函數(shù)表達(dá)式，若當(dāng)p≤x≤p+1時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為1，求p的值．【思路點(diǎn)撥】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的最值，矩形的性質(zhì)，正確地求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）由CO=5，AB=10，得到C(0,5)，A(?5,0)，B(5,0)，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+5，把B(5,0)代入得25a+5=0（2）設(shè)DE=4a，EF=3a，得到F(2a,3a)，把F(2a,3a)代入y=?15x（3）a=?15<0，對(duì)稱軸為直線x=0，當(dāng)x<0時(shí)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)p<0，當(dāng)x>0時(shí)，y隨著x【解題過程】（1）解：∵CO=5，AB=10，∴C(0,5)，A(?5,0)，B(5,0)，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax把B(5,0)代入得25a+5=0，解得a=?1∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?1（2）解：∵四邊形DEFG是矩形，∴∠FEO=90°，∵DE:EF=4:3，∴設(shè)DE=4a，EF=3a，∴F(2a,3a)，把F(2a,3a)代入y=?15x解得a=5∴EF=15（3）解：∵a=?15<0∴當(dāng)x<0時(shí)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)p<0，∴當(dāng)p≤x≤p+1時(shí)，y隨著x的增大而增大，∴函數(shù)的最大值y=?15(p+1)∵函數(shù)的最大值與最小值的差為1，?1∴p=?3；當(dāng)x>0時(shí)，y隨著x的增大而減小，當(dāng)p>0，∴當(dāng)p≤x≤p+1時(shí)，y隨著x的增大而減小，∴函數(shù)的最小值y=?15(p+1)∵函數(shù)的最大值與最小值的差為1，∴?1∴p=2，綜上所述，p的值為?3或2．17．（2024·山東青島·二模）某農(nóng)場有一個(gè)花卉大棚，是利用部分墻體建造的．其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在墻體OA上，另一端固定在墻體BC上，其橫截面有2根支架DE，F(xiàn)G，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖1所示，其中支架DE=BC=3米，OF=DF=BD=2米，兩種支架各用了200根．為增加棚內(nèi)空間，農(nóng)場決定將圖1中棚頂向上調(diào)整，支架總數(shù)不變，對(duì)應(yīng)支架的長度變化情況如圖2所示，調(diào)整后C與E上升相同的高度，其橫截面頂部仍為拋物線型，若增加的支架單價(jià)為60元/米（接口忽略不計(jì)），經(jīng)費(fèi)預(yù)算為40000元．（1）分別以O(shè)B和OA所在的直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系．①求出改造前的頂部拋物線的函數(shù)解析式；②求出改造前大棚的最大高度；（2）只考慮經(jīng)費(fèi)情況下，求出CC'的最大值．【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱性，一元一次函數(shù)的增減性，是解題的關(guān)鍵．（1）①設(shè)改造前的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，根據(jù)所建立的平面直角坐標(biāo)系得到A(0,1)，E(4,3)，C(6,3)，然后代入解析式得到關(guān)于a、b（2）求出G2,73，設(shè)改造后拋物線解析式為y2=ax2+bx+1，根據(jù)對(duì)稱軸x=?b2a=5，得到y(tǒng)2=ax2?10ax+1，根據(jù)x=2時(shí)，求出G'2,?16a+1，得到【解題過程】（1）①設(shè)改造前的拋物線解析式為y=ax由題意可知，A(0,1)，E(4,3)，C(6,3)在拋物線上，∴c=116a+4b+c=3解得，a=?1∴y=?1②∵y=?112x2+∴x=5時(shí)，y最大（2）y=?112x2+∴G2,設(shè)改造后拋物線解析式為y2∵對(duì)稱軸x=?b∴b=?10a，∴y2當(dāng)x=2時(shí)，y2∴G'∴G'當(dāng)x=4時(shí)，y2∴E'∵E(4,3)，∴E'∴CC∵經(jīng)費(fèi)預(yù)算為40000元，∴?16a?4解得，a≥?1∵?24<0，∴CC'隨∴a=?16時(shí)，CC答：CC18．（23-24九年級(jí)下·湖北武漢·期中）有一座橫截面由矩形和拋物線構(gòu)成的拱橋，拋物線上方是路面，拋物線下方是水面，如圖所示，并建立平面直角坐標(biāo)系，已如水面寬OA是16m；當(dāng)水面上升158m（1）求該拋物線的解析式；（2）一艘橫截面為矩形的貨船，最寬處為10m，露出水面的高度為3.5（3）現(xiàn)需要在拱橋的拋物線上點(diǎn)B處安裝一個(gè)矩形BCDE燈帶來美化橋面，點(diǎn)C在拋物線上且BC與水面平行，D，E在路面上，路面到水面的垂直距離為10米．為了美觀，點(diǎn)B距離水面不能低于7.5m，求矩形BCDE燈帶的周長l【思路點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)實(shí)際應(yīng)用問題，一次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，當(dāng)水面上升158m時(shí)，水面寬減少了2m，則拋物線經(jīng)過(1,15（2）因?yàn)閽佄锞€拱橋的對(duì)稱軸為x=8，船露出水面的高度為3.5m，故當(dāng)水面與拱橋的距離不低于3.5米時(shí)，船能安全通過．當(dāng)y=3.5時(shí)，?18x2+2x=3.5，求得（3）將y=7.5代入y=?18x2+2x中，得：7.5=?18x2+2x，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,7.5)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(10,7.5)，則EB的長為10?7.5=2.5米，BC的長為10?6=4米，則矩形BCDE的周長l=(2.5+4)×2=6.5×2=13（米），故此時(shí)矩形BCDE的周長小于13米，再求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8,8)，則線段【解題過程】（1）解：由圖象可知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，故設(shè)拋物線的解析式為y=axOA是16m，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(16,0)將(16,0)代入y=a得：0=256a+16b，?16b=256a，得到b=?16a，拋物線的解析式為y=ax水面上升158m，即縱坐標(biāo)為此時(shí)水面寬減少了2m由于拋物線是軸對(duì)稱圖形，所以水面寬減少了2m意味著對(duì)稱軸的左右兩側(cè)各減少了1m，即點(diǎn)O處的水面向右移動(dòng)了1所以拋物線經(jīng)過點(diǎn)1,15將(1,158)得：158解得a=?18，所以該拋物線的解析式為y=?1（2）能．貨船露出水面的高度為3.5m即y=3.5=7將y=72代入得7228=?xx2(x?14)(x?2)=0，解得x1=2，所以當(dāng)y=3.5時(shí)，拱橋?qū)挾葹?4?2=12m12>10，所以貨船能正常通過拱橋；（3）當(dāng)點(diǎn)B距水面7.5m如圖，作直線y=7.5，與拋物線交于B、C兩點(diǎn)．將y=7.5代入y=?1得：7.5=?18x2+2x(x?6)(x?10)=0，解得x1=6，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,7.5)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(10,7.5)，此時(shí)EB的長為10?7.5=2.5米，BC的長為10?6=4米，則矩形BCDE的周長l=(2.5+4)×2=6.5×2=13（米)．點(diǎn)B距水面高于7.5m時(shí)：此時(shí)點(diǎn)B位于拋物線上BC部分，顯然這時(shí)的矩形要比點(diǎn)B距水面7.5m時(shí)的矩形小，故此時(shí)矩形當(dāng)點(diǎn)B位于拋物線頂點(diǎn)位置時(shí)：此時(shí)不存在矩形ABCD，僅有線段BE，由(6,.7.5)和(10,7.5)可知y=?1將x=8代入y=?18x所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8,8)，因此當(dāng)B在拋物線的頂點(diǎn)處時(shí)，線段BE的長為10?8=2m，故矩形BCDE綜上，矩形BCDE燈帶的周長l的范圍為：4<l≤13．19．（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖①是位于安順的壩陵河大橋．某興趣小組受到該橋的啟示，設(shè)計(jì)了一座橋的模型，它的兩橋塔AD，BC

之間的懸索DPC是拋物線型(如圖②所示)，懸索上設(shè)置有若干條

垂直于水平線AB的吊索，圖中，AD