2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第04講正弦定理和余弦定理(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

A． B． C． D．8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，分別是角所對(duì)的邊，的平分線交于點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．16 B．32 C．64 D．128二、多選題9．（23-24高一下·廣東珠海·階段練習(xí)）已知中，，．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若是銳角三角形，則B．若是鈍角三角形，則C．若是直角三角形，則D．的最大值是10．（23-24高一下·山東濱州·階段練習(xí)）在中，由以下各條件分別能得出為等邊三角形的有（

）A．已知且B．已知且C．已知且D．已知且，三、填空題11．（23-24高一下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，已知．則角；若，則的值為12．（23-24高一下·上海閔行·階段練習(xí)）在銳角中，若，且，則的取值范圍是.四、解答題13．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）在中，已知，為上一點(diǎn)，，且.(1)求的值；(2)求的面積.14．（23-24高一下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，向量，且．(1)求角的大??；(2)若，①求面積的最大值；②求的取值范圍．B能力提升1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，又的面積，且，則（

）A．64 B．84 C．-69 D．-892．（23-24高一下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）已知的三個(gè)角的對(duì)邊分別為，且是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習(xí)）在中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024高三·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，則=；若，則面積的最大值為．5．（2024·河北滄州·一模）已知在四邊形中，為銳角三角形，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，．(1)求；(2)求四邊形面積的最大值．C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（22-23高一下·重慶沙坪壩·期中）在中，對(duì)應(yīng)的邊分別為，(1)求；(2)奧古斯丁.路易斯.柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法國(guó)著名數(shù)學(xué)家.柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來(lái)命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)在，在（1）的條件下，若是內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)作垂線，垂足分別為，借助于三維分式型柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.求的最小值.第04講正弦定理和余弦定理(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）在中，，，，則角B的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.【詳解】在中，，，，由正定理得：，由于，所以故選：A2．（23-24高一下·甘肅金昌·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理求出答案.【詳解】由余弦定理得，因?yàn)?，所?故選：C.3．（19-20高一下·四川·期末）已知在△ABC中，角A，B所對(duì)的邊分別是a和b，若acosB＝bcosA，則△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用正弦定理邊角互化，再結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解.【詳解】由正弦定理得，acosB＝bcosA?sinAcosB＝sinBcosA?sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC為等腰三角形．故選：A.4．（23-24高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）在中，其中三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，并且所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，則（

）A．2∶3∶4 B．4∶9∶16 C．4∶3∶2 D．16∶9∶4【答案】A【分析】運(yùn)用正弦定理邊化角即可.【詳解】由正弦定理得，，，（為三角形外接圓半徑），所以，又，所以.故選：A.5．（23-24高一下·重慶榮昌·階段練習(xí)）在中，，，且的面積為，則的周長(zhǎng)為（

）A．15 B．12 C．16 D．20【答案】A【分析】由面積公式求出，由余弦定理求出，即可得解.【詳解】因?yàn)?，，且的面積為，所以，解得，由余弦定理，所以，則.故選：A6．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，其內(nèi)容為：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開(kāi)平方得積.”把以上文字寫(xiě)成公式，即（其中S為面積，a，b，c為的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊）.若，且，則利用“三斜求積”公式可得的面積（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意利用正、余弦定理求，代入題中公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，解得，又因?yàn)?，由正弦定理可得，且，即，解得，所?故選：B.7．（23-24高一下·廣東珠?！るA段練習(xí)）在銳角中，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式與余弦定理求得，再由條件與銳角三角形角的特征進(jìn)一步縮小的取值范圍，得到，從而得解.【詳解】由得，在中，由余弦定理，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則；當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，，所以，即，所以，因?yàn)殇J角中，，則，故，而，則，所以；綜上，.故選：B．8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，分別是角所對(duì)的邊，的平分線交于點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】B【分析】由題中等式以及正弦定理進(jìn)行角化邊運(yùn)算可得邊的關(guān)系，由余弦定理可求出，結(jié)合角平分線由三角形面積公式建立等量關(guān)系，結(jié)合均值不等式可得出最小值.【詳解】由及正弦定理知，，．在中，由余弦定理知，，，．，，即，得，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立，.故選：B二、多選題9．（23-24高一下·廣東珠?！るA段練習(xí)）已知中，，．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若是銳角三角形，則B．若是鈍角三角形，則C．若是直角三角形，則D．的最大值是【答案】AD【分析】利用正弦定理判斷A、C、D，當(dāng)為鈍角時(shí)即可判斷B.【詳解】對(duì)于A：由正弦定理可得，由于是銳角三角形，所以且，故，故，進(jìn)而，故A正確；對(duì)于B：若為鈍角，則，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若為直角，則，由正弦定理，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，由于，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，且，故D正確，故選：AD10．（23-24高一下·山東濱州·階段練習(xí)）在中，由以下各條件分別能得出為等邊三角形的有（

）A．已知且B．已知且C．已知且D．已知且，【答案】ACD【分析】利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合正弦函數(shù)的倍角公式與性質(zhì)，逐一分析判斷三角形的形狀，從而得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，，又，所以，所以，所以，所以，則為等邊三角形，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以或，?dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)為等邊三角形；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為等腰三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榍?，所?則，即，又，所以，則為等邊三角形，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，由正弦定理得，即，所以，又是的?nèi)角，所以或，所以或，因?yàn)?，由正弦定理得，則，當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)為等邊三角形；當(dāng)時(shí)，，所以，不滿(mǎn)足題意；綜上，為等邊三角形，故D正確.故選：ACD.三、填空題11．（23-24高一下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，已知．則角；若，則的值為【答案】//【分析】利用正弦定理計(jì)算可得第一空，利用余弦定理可得第二空.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋裕?）在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得，所以．故答案為：；.12．（23-24高一下·上海閔行·階段練習(xí)）在銳角中，若，且，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出銳角，利用正余弦定理求出，再利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換及正弦函數(shù)性質(zhì)求解即得.【詳解】由，得，而是銳角，則，由余弦定理得，由正弦定理及，得，即，因此，在銳角中，，令，，由正弦定理得，因此，由，得，則，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求三角形周長(zhǎng)范圍問(wèn)題，時(shí)常利用三角形正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，再借助三角函數(shù)的性質(zhì)求解.四、解答題13．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）在中，已知，為上一點(diǎn)，，且.(1)求的值；(2)求的面積.【答案】(1)2；(2).【分析】（1）中，由正弦定理得，在中，，可求的值；（2）中，由余弦定理解得，勾股定理求出，由求的面積.【詳解】（1），，則，在中，，所以.在中，，，所以.故.（2）在中，由余弦定理可得，即，解得，，則.故的面積為.14．（23-24高一下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，向量，且．(1)求角的大??；(2)若，①求面積的最大值；②求的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出，由正弦定理即可得出，根據(jù)余弦定理即可求出，從而求得；（2）①首先得，進(jìn)一步由余弦定理以及基本不等式得的最大值即可求解；②根據(jù)即可求出的外接圓直徑為2，根據(jù)正弦定理即可得出，而，從而得出，從而求出的范圍，即得出的范圍．【詳解】（1）；；由正弦定理得，；；，且；；（2）①，根據(jù)余弦定理得：，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即面積的最大值為，②；外接圓直徑；半徑，，；；，的取值范圍是．B能力提升1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，又的面積，且，則（

）A．64 B．84 C．-69 D．-89【答案】C【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式整理可求得關(guān)系，再由三角形面積公式和余弦定理求得三邊，再由數(shù)量積運(yùn)算得到結(jié)果【詳解】解法一：由，得，則，即，即，又，即；又，得；綜上．則，即．由，平方知所以.解法二：.故選：．2．（23-24高一下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）已知的三個(gè)角的對(duì)邊分別為，且是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理計(jì)算先得，確定為直角三角形，再利用平面向量數(shù)量積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理可知，所以，即為直角三角形，.設(shè)，則，則，顯然時(shí)，.故選：D3．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習(xí)）在中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件求得，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，①因?yàn)?，且，所以，由正弦定理可得，②又，所以，③由①，②，③解得，由余弦定理，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，(1)求；(2)求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理解出邊長(zhǎng)即可，注意判斷為銳角三角形；（2）作垂直于，表示出四邊形的面積等于兩三角形面積和，再由正弦函數(shù)的最值求出面積的最大值.【詳解】（1）由余弦定理可得，化簡(jiǎn)為，解得或，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，與為銳角三角形不符合，故.（2）作垂直于，設(shè)，則，當(dāng)，四邊形面積最大，最大面積為.C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（22-23高一下·重慶沙坪壩·期中）在中，對(duì)應(yīng)的邊分別為，(1)求；(2)奧古斯丁.路易斯.柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法國(guó)著名數(shù)學(xué)家.柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來(lái)命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)在，在（1）的條件下，若是內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)作垂線，垂足分別為，借助于三維分式型柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先用正弦定理角化邊，然