新高考數(shù)學(xué)題型全歸納之排列組合專題05分堆問題(原卷版+解析)

專題5分堆問題例1．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，以下說法正確的是（）A．每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為54B．每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為C．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為D．每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是【解析】①每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為，即選項(xiàng)錯(cuò)誤，②每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤，③如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為：（），即選項(xiàng)C錯(cuò)誤，④分兩種情況：第一種，安排一人當(dāng)司機(jī)，從丙、丁、戊選一人當(dāng)司機(jī)有,從余下四人中安排三個(gè)崗位，故有；第二種情況，安排兩人當(dāng)司機(jī)，從丙、丁、戊選兩人當(dāng)司機(jī)有,從余下三人中安排三個(gè)崗位，故有；所以每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是，即選項(xiàng)D正確，故選：D．例2．我省5名醫(yī)學(xué)專家馳援湖北武漢抗擊新冠肺炎疫情現(xiàn)把專家全部分配到A，B，C三個(gè)集中醫(yī)療點(diǎn)，每個(gè)醫(yī)療點(diǎn)至少要分配1人，其中甲專家不去A醫(yī)療點(diǎn)，則不同分配種數(shù)為（）A．116 B．100 C．124 D．90【解析】根據(jù)已知條件，完成這件事情可分2步進(jìn)行：第一步：將5名醫(yī)學(xué)專家分為3組①若分為3,1,1的三組，有種分組方法；②若分為2,2,1的三組，有種分組方法，故有種分組方法．第二步：將分好的三組分別派到三個(gè)醫(yī)療點(diǎn)，甲專家不去醫(yī)療點(diǎn)，可分配到醫(yī)療點(diǎn)中的一個(gè)，有種分配方法，再將剩余的2組分配到其余的2個(gè)醫(yī)療點(diǎn)，有種分配方法，則有種分配方法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有種分配方法．故選：B．例3．現(xiàn)有位萌娃參加一項(xiàng)“尋寶貝，互助行”的游戲活動(dòng)，寶貝的藏匿地點(diǎn)有遠(yuǎn)、近兩處，其中亮亮的年齡比較小，要么不參與此項(xiàng)活動(dòng)，但同時(shí)必須有另--位萌娃留下陪同；要么參與尋找近處的寶貝.所有參與尋找寶貝任務(wù)的萌娃被平均分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處，那么不同的尋找方案有（）A．種 B．種 C．種 D．種【解析】(1)若亮亮不參與游戲，可以分三步完成萌娃的分配：①安排一位萌娃陪同亮亮，有5種選擇：②從剩下的4個(gè)萌娃選擇2個(gè)去近處，有種選擇；③最后剩下的2個(gè)去遠(yuǎn)處，完成分配，所以有種方案．(2)若亮亮參與游戲，可以分兩步完成萌娃的分配：①?gòu)?個(gè)萌娃選擇2個(gè)和亮亮去近處，有種選擇；②剩下的3個(gè)萌娃去遠(yuǎn)處，完成分配，所以有種方案．綜上，不同的尋找方案有種．故選：B．例4．2019年4月，北京世界園藝博覽會(huì)開幕，為了保障園藝博覽會(huì)安全順利地進(jìn)行，某部門將5個(gè)安保小組全部安排到指定的三個(gè)不同區(qū)域內(nèi)值勤，則每個(gè)區(qū)域至少有一個(gè)安保小組的排法有（）A．150種 B．240種 C．300種 D．360種【解析】根據(jù)題意，三個(gè)區(qū)域至少有一個(gè)安保小組，所以可以把5個(gè)安保小組分成三組，有兩種分法：按照1、1、3分組或按照1、2、2分組；若按照1、1、3分組,共有種分組方法；若按照1、2、2分組,共有種分組方法，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有60+90=150種分組方法.故選：A.例5．有6本不同的書，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）A．分給甲?乙?丙三人，每人各2本，有90種分法；B．分給甲?乙?丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有90種分法；C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，有180種分法；D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有2160種分法；【解析】對(duì)，先從6本書中分給甲2本，有種方法；再?gòu)钠溆嗟?本書中分給乙2本，有種方法；最后的2本書給丙，有種方法.所以不同的分配方法有種，故正確；對(duì)，先把6本書分成3堆:4本、1本、1本，有種方法；再分給甲?乙?丙三人，所以不同的分配方法有種，故正確；對(duì)，6本不同的書先分給甲乙每人各2本，有種方法；其余2本分給丙丁，有種方法.所以不同的分配方法有種，故正確；對(duì)，先把6本不同的書分成4堆:2本、2本、1本、1本，有種方法；再分給甲乙丙丁四人，所以不同的分配方法有種，故錯(cuò)誤.故選：.例6．將四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1、2、3號(hào)的盒子中，不允許有空盒子的放法有多少種？下列結(jié)論正確的有（）.A． B． C． D．18【解析】根據(jù)題意，四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1?3號(hào)的盒子中，且沒有空盒，則三個(gè)盒子中有1個(gè)中放2個(gè)球，剩下的2個(gè)盒子中各放1個(gè)，有2種解法：（1）分2步進(jìn)行分析：①先將四個(gè)不同的小球分成3組，有種分組方法；②將分好的3組全排列，對(duì)應(yīng)放到3個(gè)盒子中，有種放法；則沒有空盒的放法有種；（2）分2步進(jìn)行分析：①在4個(gè)小球中任選2個(gè)，在3個(gè)盒子中任選1個(gè)，將選出的2個(gè)小球放入選出的小盒中，有種情況；②將剩下的2個(gè)小球全排列，放入剩下的2個(gè)小盒中，有種放法；則沒有空盒的放法有種；故選：BC．例7．江夏一中高二年級(jí)計(jì)劃假期開展歷史類班級(jí)研學(xué)活動(dòng)，共有6個(gè)名額，分配到歷史類5個(gè)班級(jí)(每個(gè)班至少0個(gè)名額，所有名額全部分完).（1）共有多少種分配方案？（2）6名學(xué)生確定后，分成A、B、C、D四個(gè)小組，每小組至少一人，共有多少種方法？（3）6名學(xué)生來到武漢火車站.火車站共設(shè)有3個(gè)“安檢”入口，每個(gè)入口每次只能進(jìn)1個(gè)旅客，求6人進(jìn)站的不同方案種數(shù).【解析】（1）由題意得：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，∴方程又等價(jià)于不定方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，利用隔板原理得：方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，∴共有種分配方案.（2））先把6名學(xué)生按人數(shù)分成沒有區(qū)別的4組，有2類：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2人，再把每一類中的人數(shù)分到A、B、C、D四個(gè)小組.第一種分法：1人，1人，1人，3人，有種方法；第二種分法：1人，1人，2人，2人，有種方法.共有種方法.（3）每名學(xué)生有3種進(jìn)站方法，分步乘法計(jì)數(shù)原理得6人進(jìn)站有種不同的方案.例8．從6名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中選出5人組成一個(gè)醫(yī)療小組，請(qǐng)解答下列問題：（1）如果這個(gè)醫(yī)療小組中男女醫(yī)生都不能少于2人，共有多少種不同的建組方案？（用數(shù)字作答）（2）男醫(yī)生甲要擔(dān)任醫(yī)療小組組長(zhǎng)，所以必選，而且醫(yī)療小組必須男女醫(yī)生都有，共有多少種不同的建組方案？（3）男醫(yī)生甲與女醫(yī)生乙不被同時(shí)選中的概率.（化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)）【解析】(1)由題可能的情況有男醫(yī)生3人女醫(yī)生2人和男醫(yī)生2人女醫(yī)生3人,共種不同的建組方案.(2)由題,除開男醫(yī)生甲后不考慮必須男女醫(yī)生都有的建組方案共種,其中只有男醫(yī)生的情況數(shù)有,不可能存在只有女醫(yī)生的情況.故共有種不同的建組方案.(3)由題,男醫(yī)生甲與女醫(yī)生乙被同時(shí)選中的概率為.故男醫(yī)生甲與女醫(yī)生乙不被同時(shí)選中的概率為.例9．現(xiàn)有本書和位同學(xué)，將書全部分給這三位同學(xué).（1）若本書完全相同，每個(gè)同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？（2）若本書都不相同，共有多少種分法？（3）若本書都不相同，每個(gè)同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？【解析】（1）根據(jù)題意，若本書完全相同，將本書排成一排，中間有個(gè)空位可用，在個(gè)空位中任選個(gè)，插入擋板，有種情況，即有種不同的分法；（2）根據(jù)題意，若本書都不相同，每本書可以分給人中任意1人，都有3種分法，則5本不同的書有種；（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將本書分成組，若分成1、1、3的三組，有種分組方法，若分成1、2、2的三組，有種分組方法，則有種分組方法；②將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)名學(xué)生，有種情況，則有種分法.例10．有6本不同的書，在下列不同的條件下，各有多少種不同的分法？（1）分給甲?乙?丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本；（2）分成三組，一組4本，另外兩組各1本；（3）甲得1本，乙得1本，丙得4本.【解析】（1）先將6本不同的書分成1本，2本，3本共3組，有種，再將3組分配給3人有種，故共有種；（2）只需從6本中選4本一組，其余2本為2組，即種；（3）分步處理，先從從6本中選4本給丙，其余2本分給甲乙各一本，即種.例11．（1）3個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，一共有多少種不同的放法？（2）3個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，恰有2個(gè)空盒的放法共有多少種？【解析】（1）根據(jù)題意，3個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，每個(gè)小球有4種放法，則3個(gè)小球有種不同的放法；（2）根據(jù)題意，分2步分析：①將3個(gè)小球分成2組，有種分組方法，②在4個(gè)盒子中任選2個(gè)，分別放入分好組的兩組小球，有種選法，則恰有2個(gè)空盒的放法有種．例12．現(xiàn)有大小相同的只球，其中只不同的紅球，只不同的白球，只不同的黑球．（1）將這只球排成一列且相同顏色的球必須排在一起，有多少種排列的方法?（請(qǐng)用數(shù)字作答）（2）將這只球分成三堆，三堆的球數(shù)分別為：，共有多少種分堆的方法?（請(qǐng)用數(shù)字作答）（3）現(xiàn)取只球，求各種顏色的球都必須取到的概率．（請(qǐng)用數(shù)字作答）【解析】（1）只球排成一列且相同顏色的球必須排在一起，共有種方法；（2）將這只球分成三堆，三堆的球數(shù)分別為：，共有種分法；（3）當(dāng)取出個(gè)紅球，個(gè)的白球，個(gè)的黑球時(shí)，；當(dāng)取出個(gè)紅球，個(gè)白球，個(gè)黑球時(shí)，；當(dāng)取出個(gè)紅球，個(gè)白球，個(gè)黑球時(shí)，；.故各種顏色的球都必須取到的概率為．例13．現(xiàn)有7名師范大學(xué)應(yīng)屆畢業(yè)的免費(fèi)師范生將被分配到育才中學(xué)、星云中學(xué)和明月灣中學(xué)任教.（1）若4人被分到育才中學(xué)，2人被分到星云中學(xué)，1人被分到明月灣中學(xué)，則有多少種不同的分配方案？（2）一所學(xué)校去4個(gè)人，另一所學(xué)校去2個(gè)人，剩下的一個(gè)學(xué)校去1個(gè)人，有多少種不同的分配方案？【解析】（1）根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①、在7人中選出4人，將其分到育才中學(xué)，有種選法；②、在剩余3人中選出2人，將其分到星云中學(xué)，有種選法；③、將剩下的1人分到明月灣中學(xué)，有1種情況，則一共有種分配方案；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、將7人分成3組，人數(shù)依次為4、2、1，有種分組方法，②、將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)3個(gè)學(xué)校，有種情況，則一共有種分配方案.例14．如圖，從左到右有5個(gè)空格.（1）若向這5個(gè)格子填入0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)，要求每個(gè)數(shù)都要用到，且第三個(gè)格子不能填0，則一共有多少不同的填法？（2）若給這5個(gè)空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現(xiàn)有紅黃藍(lán)3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂法？（3）若向這5個(gè)格子放入7個(gè)不同的小球，要求每個(gè)格子里都有球，問有多少種不同的放法？【解析】（1）利用排除法：種.（2）根據(jù)乘法原理得到：共有種涂法.（3）若分成的組，則共有種分法；若分成的組，則共有種分法，故共有種放法.例15．學(xué)校安排5名學(xué)生到3家公司實(shí)習(xí)，要求每個(gè)公司至少有1名學(xué)生，則有__________種不同的排法.【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先將5名學(xué)生分成3組，若分成1、1、3的三組，有種分組方法，若分成1、2、2的三組，有種分組方法，則有種分組方法；②再將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)三個(gè)公司，有種情況，則有種不同的安排方式.故答案為：150.例16．現(xiàn)有7名志愿者，其中只會(huì)俄語(yǔ)的有3人，既會(huì)俄語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)的有4人.從中選出4人擔(dān)任“一帶一路”峰會(huì)開幕式翻譯工作，2人擔(dān)任英語(yǔ)翻譯，2人擔(dān)任俄語(yǔ)翻譯，共有_______種不同的選法．【解析】因?yàn)橛⒄Z(yǔ)翻譯只能從多面手中選，所以有（1）當(dāng)選出的多面手2人從事英語(yǔ)翻譯，沒人從事俄語(yǔ)翻譯，所以有種選法；（2）當(dāng)選出的多面手2人從事英語(yǔ)翻譯，1人從事俄語(yǔ)翻譯，所以有種選法；（3）當(dāng)選出的多面手2人從事英語(yǔ)翻譯，2人從事俄語(yǔ)翻譯，所以有種選法；共有18+36+6=60種選法．例17．從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是_________（用數(shù)字作答）．【解析】3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有C33C41C51＝20種，1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有C31C43C51＝60種，1名骨科、1名腦外科和3名內(nèi)科醫(yī)生，有C31C41C53＝120種，2名骨