2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章基本初等函數(shù)Ⅰ2.2.2第2課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版必修1

PAGE第2課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.駕馭對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)進(jìn)行同底對(duì)數(shù)和不同底對(duì)數(shù)大小的比較．2.了解反函數(shù)的概念，知道互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)之間的聯(lián)系及兩個(gè)圖象的特征.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展邏輯推理應(yīng)用直觀想象授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第50頁探究一對(duì)數(shù)值的大小比較[閱讀教材P72例8]比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。?1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1題型：比較大小[例1]比較下列各組數(shù)的大?。?1)log3.10.5與log3.10.2(2)logeq\f(1,2)8與logeq\f(1,2)4；(3)log56與log65；(4)loga3.2與loga3.7(a＞0，且a≠1)．[解析](1)因?yàn)閥＝log3.1x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以log3.10.5＞log3.1(2)因?yàn)閥＝logeq\f(1,2)x在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以logeq\f(1,2)8＜logeq\f(1,2)4.(或logeq\f(1,2)8＝－3，logeq\f(1,2)4＝－2，則由－3＜－2知logeq\f(1,2)8＜logeq\f(1,2)4)(3)因?yàn)閘og56＞log55＝1，log65＜log66＝1.所以log56＞log65.(4)當(dāng)a＞1時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以loga3.2＜loga3.7；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以loga3.2＞loga3.7.方法技巧對(duì)數(shù)值大小比較的兩種狀況(1)假如同底，可干脆利用單調(diào)性求解．假如底數(shù)為字母，則要分類探討．(2)假如不同底，一種方法是化為同底的，另一種方法是找尋中間變量．①假如不同底同真數(shù)，可利用圖象的凹凸與底數(shù)的大小關(guān)系解決，或利用換底公式化為同底的再進(jìn)行比較．②若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助中間量1,0，－1等進(jìn)行比較．跟蹤探究1.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，則()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．c>a>b解析：因?yàn)閍＝log23.6>1,0<c＝log43.6<1,1>c＝log43.6>b＝log43.2，故選B.答案：B探究二解對(duì)數(shù)不等式[例2](1)已知logaeq\f(1,2)>1，求a的取值范圍；(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范圍．[解析](1)由logaeq\f(1,2)>1，得logaeq\f(1,2)>logaa.①當(dāng)a>1時(shí)，有a<eq\f(1,2)，此時(shí)無解；②當(dāng)0<a<1時(shí)，有eq\f(1,2)<a，從而eq\f(1,2)<a<1.∴a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)∵函數(shù)y＝log0.7x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴由log0.7(2x)<log0.7(x－1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x>0，,x－1>0，,2x>x－1，))解得x>1.∴x的取值范圍為(1，＋∞)．方法技巧常見的對(duì)數(shù)不等式的三種類型(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，假如a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種狀況探討．(2)形如logax>b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．(3)形如logax>logbx的不等式，可利用圖象求解．跟蹤探究2.若－1<logaeq\f(3,4)<1(a>0，且a≠1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：∵－1<logaeq\f(3,4)<1，∴l(xiāng)ogaeq\f(1,a)<logaeq\f(3,4)<logaa.當(dāng)a>1時(shí)，eq\f(1,a)<eq\f(3,4)<a，則a>eq\f(4,3)；當(dāng)0<a<1時(shí)，eq\f(1,a)>eq\f(3,4)>a，則0<a<eq\f(3,4).故實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)).探究三對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用[例3](1)已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的減函數(shù)，則a的取值范圍為()A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．[2，＋∞)(2)函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)的值域是__________．[解析](1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是減函數(shù)，且y＝2－ax在[0,1]上是減函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＞f1，,a>1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga2＞loga2－a，,a>1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,2－a>0，))∴1＜a＜2.(2)f(x)＝logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)＝logeq\f(1,2)[(x＋1)2＋2]，因?yàn)?x＋1)2＋2≥2，所以logeq\f(1,2)[(x＋1)2＋2]≤logeq\f(1,2)2＝－1，所以函數(shù)f(x)的值域是(－∞，－1]．[答案](1)B(2)(－∞，－1]延長(zhǎng)探究1.求本例(2)的函數(shù)f(x)在[－3,1]上的值域．解析：∵x∈[－3,1]，∴2≤x2＋2x＋3≤6，∴l(xiāng)ogeq\f(1,2)6≤logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)≤logeq\f(1,2)2，即－log26≤f(x)≤－1，∴f(x)的值域?yàn)閇－log26，－1]．2．若本例(2)中的函數(shù)在(－∞，a]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．解析：由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)g(x)＝x2＋2x＋3在(－∞，a]上單調(diào)遞減，所以a≤－1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－1]．方法技巧1.已知對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，要結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，留意函數(shù)的定義域求解；若是分段函數(shù)，則需留意兩段函數(shù)最值的大小關(guān)系．2．求對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域一般是先求真數(shù)的范圍，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第51頁[課后小結(jié)]1．比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小及解對(duì)數(shù)不等式問題，其依據(jù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．若對(duì)數(shù)的底數(shù)是字母且范圍不明確，一般要分a>1和0<a<1兩類分別求解．2．解決與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的問題時(shí)要樹立“定義域優(yōu)先”的原則，同時(shí)留意數(shù)形結(jié)合思想和分類探討思想在解決問題中的應(yīng)用．[素養(yǎng)培優(yōu)]換元法在求函數(shù)值域中的應(yīng)用設(shè)函數(shù)f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，eq\f(1,4)≤x≤4.若t＝log2x.(1)求t的取值范圍．(2)求f(x)的值域．思路探究：(1)利用函數(shù)的單調(diào)性求解；(2)利用t＝log2x，eq\f(1,4)≤x≤4，將所求函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題求解．解析：(1)因?yàn)閠＝log2x，eq\f(1,4)≤x≤4，所以log2eq\f(1,4)≤t≤log24，即－2≤t≤2.(2)函數(shù)f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，即f(x)＝(log2x)2＋3log2x＋2，又t＝log2x，則y＝t2＋3t＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(3,2))