2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版必修3

PAGE其次章統(tǒng)計(jì)2．2用樣本估計(jì)總體2．2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成果的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是 ()A．85、85、85 B．87、85、86C．87、85、85 D．87、85、90解析：從小到大列出全部數(shù)學(xué)成果：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，視察知眾數(shù)和中位數(shù)均為85，計(jì)算得平均數(shù)為87.答案：C2．甲、乙兩人在一次射擊競賽中各射靶5次，兩人成果的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則 ()A．甲的成果的平均數(shù)小于乙的成果的平均數(shù)B．甲的成果的中位數(shù)等于乙的成果的中位數(shù)C．甲的成果的方差小于乙的成果的方差D．甲的成果的極差小于乙的成果的極差解析：由題意可知，甲的成果為4，5，6，7，8，乙的成果為5，5，5，6，9.所以甲、乙的成果的平均數(shù)均為6，A錯(cuò)；甲、乙的成果的中位數(shù)分別為6，5，B錯(cuò)；甲、乙的成果的方差分別為eq\f(1,5)×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，eq\f(1,5)×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝eq\f(12,5)，C對(duì)；甲、乙的成果的極差均為4，D錯(cuò)．答案：C3．已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn是我省一般職工n(n≥3，n∈N*)個(gè)人的年收入，設(shè)這n個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，平均數(shù)為y，方差為z，假如再加上世界首富的年收入xn＋1，則這n＋1個(gè)數(shù)據(jù)中，下列說法正確的是 ()A．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)肯定變大，方差可能不變B．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大C．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變D．年收入平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變解析：插入大的極端值，平均數(shù)增加，中位數(shù)可能不變，方差也因?yàn)閿?shù)據(jù)更加分散而變大．答案：B4．為比較甲、乙兩地某月14時(shí)的氣溫狀況，隨機(jī)選取該月中的5天，將這5天中14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖．考慮以下結(jié)論：①甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫；②甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該月14時(shí)的平均氣溫；③甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；④甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差．其中依據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號(hào)為 ()A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：甲地該月14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)分布在26和31之間，且數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，而乙地該月14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)分布在28和32之間，且數(shù)據(jù)波動(dòng)較小，可以推斷結(jié)論①④正確，故選B.答案：B5．某市要對(duì)兩千多名出租車司機(jī)的年齡進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出100名司機(jī)，已知抽到的司機(jī)年齡都在[20，45]歲之間，依據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機(jī)的年齡狀況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個(gè)殘缺的頻率分布直方圖估計(jì)該市出租車司機(jī)年齡的中位數(shù)大約是 ()A．31.6歲 B．32.6歲C．33.6歲 D．36.6歲解析：依據(jù)所給的信息可知，在區(qū)間[25，30)上的數(shù)據(jù)的頻率為1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.故中位數(shù)在第3組，且中位數(shù)的估計(jì)為30＋(35－30)×eq\f(5,7)≈33.6(歲)．答案：C6．已知樣本9，10，11，x，y的平均數(shù)是10，標(biāo)準(zhǔn)差是eq\r(2)，則xy＝__________．解析：由平均數(shù)是10，得x＋y＝20，由標(biāo)準(zhǔn)差是eq\r(2)，得eq\r(\f(1,5)[（9－10）2＋（10－10）2＋（11－10）2＋（x－10）2＋（y－10）2])＝eq\r(2)，所以(x－10)2＋(y－10)2＝8，所以xy＝96.答案：967．甲、乙兩人在相同的條件下練習(xí)射擊，每人打5發(fā)子彈，命中的環(huán)數(shù)如下：甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9.則兩人的射擊成果較穩(wěn)定的是__________．解析：由題意求平均數(shù)可得x甲＝x乙＝8，seq\o\al(2,甲)＝1.2，seq\o\al(2,乙)＝1.6，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲穩(wěn)定．答案：甲8．若a1，a2，…，a20，這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x，方差為0.20，則數(shù)據(jù)a1，a2，…，a20，x這21個(gè)數(shù)據(jù)的方差約為__________．解析：這21個(gè)數(shù)的平均數(shù)仍為x，從而方差為eq\f(1,21)×[20×0.2＋(x－x)2]≈0.19.答案：0.199．下面是某快餐店全部工作人員一周的收入表：老板大廚二廚選購 員雜工服務(wù)生會(huì)計(jì)3000元450元350元400元320元320元410元(1)計(jì)算全部人員的周平均收入；(2)這個(gè)平均收入能反映打工人員的周收入的一般水平嗎？為什么？(3)去掉老板的收入后，再計(jì)算平均收入，這能代表打工人員的周收入的水平嗎？解析：(1)周平均收入eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)(3000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．(2)這個(gè)平均收入不能反映打工人員的周收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因?yàn)槔习迨杖胩厥飧?，這是一個(gè)異樣值，對(duì)平均收入產(chǎn)生了較大的影響，并且他不是打工人員．(3)去掉老板的收入后的周平均收入x2＝eq\f(1,6)(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)，這能代表打工人員的周收入水平．10．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)頻數(shù)62638228(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)依據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？解析：(1)(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100，方差的估計(jì)值為104.(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于該估計(jì)值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定．[B組實(shí)力提升]11．如圖，樣本A和B分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))A和eq\o(x,\s\up6(－))B，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sA和sB，則 ()A.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sB B.eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sBC.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB D.eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB解析：樣本A數(shù)據(jù)均小于或等于10，樣本B數(shù)據(jù)均大于或等于10，故eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B.又樣本B波動(dòng)范圍較小，故sA>sB.答案：B12．某市有15個(gè)旅游景點(diǎn)，經(jīng)計(jì)算，黃金周期間各個(gè)景點(diǎn)的旅游人數(shù)平均為20萬，標(biāo)準(zhǔn)差為s，后來經(jīng)核實(shí)，發(fā)覺甲、乙兩處景點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的人數(shù)有誤，甲景點(diǎn)實(shí)際為20萬，被誤統(tǒng)計(jì)為15萬，乙景點(diǎn)實(shí)際為18萬，被統(tǒng)計(jì)成23萬；更正后重新計(jì)算，得到標(biāo)準(zhǔn)差為s1，則s與s1的大小關(guān)系為 ()A．s＝s1 B．s＜s1C．s＞s1 D．不能確定解析：由已知，兩次統(tǒng)計(jì)所得的旅游人數(shù)總數(shù)沒有變，即兩次統(tǒng)計(jì)的各景點(diǎn)旅游人數(shù)的平均數(shù)是相同的，設(shè)為x，則s＝eq\r(\f(1,15)[（15－\o(x,\s\up6(－))）2＋（23－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x3－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（x15－\o(x,\s\up6(－))）2])，s1＝eq\r(\f(1,15)[（20－\o(x,\s\up6(－))）2＋（18－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x3－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（x15－\o(x,\s\up6(－))）2]).若比較s與s1的大小，只需比較(15－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq\o(x,\s\up6(－)))2與(20－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq\o(x,\s\up6(－)))2的大小即可．而(15－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝754－76eq\o(x,\s\up6(－))＋2eq\o(x,\s\up6(－))2，(20－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝724－76eq\o(x,\s\up6(－))＋2eq\o(x,\s\up6(－))2，所以(15－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq\o(x,\s\up6(－)))2＞(20－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq\o(x,\s\up6(－)))2.從而s＞s1.答案：C13．若40個(gè)數(shù)據(jù)的平方和是56，平均數(shù)是eq\f(\r(2),2)，則這組數(shù)據(jù)的方差是__________，標(biāo)準(zhǔn)差是__________．解析：設(shè)這40個(gè)數(shù)據(jù)為xi(i＝1，2，…，40)，平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－)).則s2＝eq\f(1,40)×[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x40－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,40)[xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)＋40eq\o(x,\s\up6(－))2－2eq\o(x,\s\up6(－))(x1＋x2＋…＋x40)]＝eq\f(1,40)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(56＋40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)－2×\f(\r(2),2)×40×\f(\r(2),2)))＝eq\f(1,40)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(56－40×\f(1,2)))＝0.9.∴s＝eq\r(0.9)＝eq\r(\f(9,10))＝eq\f(3\r(10),10).答案：0.9eq\f(3\r(10),10)14．為了考察某校各班參與課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參與該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為__________．解析：設(shè)樣本數(shù)據(jù)為：x1，x2，x3，x4，x5，平均數(shù)＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)÷5＝7；方差s2＝[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]÷5＝4.從而有x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝35，①(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.②若樣本數(shù)據(jù)中的最大值為11，不妨設(shè)x5＝11，則②式變?yōu)椋?x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＝4，由于樣本數(shù)據(jù)互不相同，這是不行能成立的；若樣本數(shù)據(jù)為4，6，7，8，10，代入驗(yàn)證知①②式均成立，此時(shí)樣本數(shù)據(jù)中的最大值為10.答案：1015．為了愛護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在運(yùn)用一段時(shí)間后必需更換．已知某校運(yùn)用的100只日光燈在必需換掉前的運(yùn)用天數(shù)如下表：天數(shù)151～180181～210211～240241～270271～300301～330331～360361～390燈管數(shù)1111820251672(1)試估計(jì)這種日光燈的平均運(yùn)用壽命；(2)若定期更換，可選擇多長時(shí)間統(tǒng)一更換合適？解析：(1)各組的組中值分別為165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得這種日光燈的平均運(yùn)用壽命約為165