吉林省延邊朝鮮族自治州延吉市第二中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

吉林省延邊朝鮮族自治州延吉市第二中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀(jì)念阿基米德發(fā)現(xiàn)球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（）A. B.C. D.2．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)3．如圖，在三棱錐中，是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.4．已知正三棱柱中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．點(diǎn)分別為橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓與兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.32 B.16C.8 D.46．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則、、、中，最大的是（）A. B.C. D.7．?dāng)?shù)列1，-3，5，-7，9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為A. B.C. D.8．（）A.-2 B.0C.2 D.39．在四棱錐中，四邊形為菱形，平面，是中點(diǎn)，下列敘述正確的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面10．兩圓x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直線的方程為（）A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝011．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契，以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，，，，，，，，…，在實(shí)際生活中很多花朵的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則等于（）A. B.C. D.12．某手機(jī)上網(wǎng)套餐資費(fèi)：每月流量500M以下（包含500M），按20元計(jì)費(fèi)；超過500M，但沒超過1000M（包含1000M）時(shí)，超出部分按0.15元/M計(jì)費(fèi)；超過1000M時(shí)，超出部分按0.2元/M計(jì)費(fèi)，流量消費(fèi)累計(jì)的總流量達(dá)到封頂值（15GB）則暫停當(dāng)月上網(wǎng)服務(wù).若小明使用該上網(wǎng)套餐一個(gè)月的費(fèi)用是100元，則他的上網(wǎng)流量是（）A.800M B.900MC.1025M D.1250M二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)到直線的距離為______.14．已知雙曲線C：的兩焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C上一點(diǎn)，若，則=___________.15．若函數(shù)在處有極值，則的值為___________.16．已知數(shù)列滿足，且，則______，數(shù)列的通項(xiàng)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，.（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使不等式成立的最大整數(shù)m的值.18．（12分）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且滿足（1）求證：平面；（2）已知，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小19．（12分）已知等比數(shù)列的公比，且，的等差中項(xiàng)為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上（1）求拋物線的方程（2）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)，且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程21．（12分）已知函數(shù)，.（1）令，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）令，求函數(shù)的最小值.22．（10分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且（1）證明：；（2）求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球的體積與表面積，圓柱的體積與表面積，從而得出答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為所以球的體積為,表面積為.圓柱的體積為：,所以其體積之比為：圓柱的側(cè)面積為：,圓柱的表面積為：所以其表面積之比為：故選：C2、C【解析】求導(dǎo)得，再解不等式即得解.【詳解】由得，根據(jù)題意得，解得故選：C3、A【解析】根據(jù)給定幾何體利用空間向量基底結(jié)合向量運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】在三棱錐中，是線段的中點(diǎn)，所以：.故選：A4、A【解析】根據(jù)異面直線所成角的定義，取中點(diǎn)為，則為異面直線和所成角或其補(bǔ)角，再解三角形即可求出【詳解】如圖所示：設(shè)中點(diǎn)為，則在三角形中，為中點(diǎn)，為中位線，所以有，，所以為異面直線和所成角或其補(bǔ)角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故選：A.5、B【解析】由題意結(jié)合橢圓的定義可得，而的周長(zhǎng)等于，從而可得答案【詳解】解：由得，由題意得，所以的周長(zhǎng)等于，故選：B6、C【解析】求出的表達(dá)式，解不等式可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，所以，，令可得.因此，當(dāng)時(shí)，最大.故選：C.7、C【解析】觀察，奇偶相間排列，偶數(shù)位置為負(fù)，所以為，數(shù)字是奇數(shù)，滿足2n-1,所以可求得通項(xiàng)公式.【詳解】由符號(hào)來(lái)看，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以符號(hào)滿足，由數(shù)值1，3，5，7，9…顯然滿足奇數(shù)，所以滿足2n-1,所以通項(xiàng)公式為，選C.【點(diǎn)睛】本題考查觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是培養(yǎng)對(duì)數(shù)字的敏銳性，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】根據(jù)定積分公式直接計(jì)算即可求得結(jié)果【詳解】由故選：C9、D【解析】利用反證法可判斷A選項(xiàng)；利用面面垂直的性質(zhì)可判斷BC選項(xiàng)；利用面面垂直的判定可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，平面，平面，平面，若平面，因?yàn)?，則平面平面，事實(shí)上，平面與平面相交，假設(shè)不成立，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，平面，平面，則，，，平面，而過作平面的垂線，有且只有一條，故與平面不垂直，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，則，，，則平面，若平面平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，而過點(diǎn)作平面的垂線，有且只有一條，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四邊形為菱形，、不一定垂直，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，平面，平面，，，平面，因?yàn)槠矫?，因此，平面平面平面，D對(duì).故選：D.10、C【解析】?jī)蓤A方程相減得出公共弦所在直線的方程.【詳解】?jī)蓤A方程相減得，即x﹣2y+6＝0則公共弦所在直線的方程為x﹣2y+6＝0故選：C11、A【解析】利用可化簡(jiǎn)得，由此可得.【詳解】由得：，，即.故選：A.12、C【解析】根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得小明的上網(wǎng)流量.【詳解】顯然小明上網(wǎng)流量超過了1000M但遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒達(dá)到封頂值，假設(shè)超出部分為M，由得.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.14、18或2##2或18【解析】先由雙曲線的方程求出，再利用雙曲線的定義列方程求解即可【詳解】由，得，則，因?yàn)殡p曲線C：的兩焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C上一點(diǎn)，所以，即，所以或，因?yàn)?，所以或都符合題意，故答案為：18或215、2或6【解析】由解析式得到導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合是函數(shù)極值點(diǎn)，即可求的值.【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值，所以，即，解得2或6.經(jīng)檢驗(yàn)，2或6滿足題意.故答案為：2或6.16、①.②.【解析】判斷出是等差數(shù)列，由此求得，利用累加法求得.【詳解】依題意，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，，當(dāng)時(shí)，，，也符合上式，所以.故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)給定的遞推公式變形，再構(gòu)造常數(shù)列求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和，由單調(diào)性求出最大整數(shù)m值作答.【小問1詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即，整理得：，于是得，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是.【小問2詳解】由（1）得，，數(shù)列是遞增數(shù)列，因此，，于是有，則，不等式成立，則，，于是得，所以使不等式成立的最大整數(shù)m的值是505.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）分別證明出和，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的平面角.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，所以面.因?yàn)槊?所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且滿足．所以，所以.因?yàn)?，所以，?所以.因?yàn)?面,面,所以平面.【小問2詳解】∵面，∴直線與底面所成角為，即.因?yàn)?，所以由?）知，，因，所以，.如圖示，以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,所以，設(shè)，由得，，即.則.設(shè)平面BDC1的一個(gè)法向量為，則，不妨令，則.因?yàn)槊?，所以面的一個(gè)法向量為記二面角的平面角為，由圖知，為銳角.所以,即.所以二面角的大小為.19、（1）；（2）【解析】（1）將題目的條件寫成的形式并求解，寫出等比等比數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.小問1詳解】由題意可得，，∴，∵，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】，∴①，②，①-②可得，∴.20、（1）（2）的方程為、、【解析】（1）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得，進(jìn)而求得拋物線的方程.（2）結(jié)合圖象以及判別式求得直線的方程.【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且開口向上，直線與軸的交點(diǎn)為，則，所以，拋物線的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).那個(gè)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，解得或.所以直線的方程為或.綜上所述，的方程為、、.21、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是方程的解的個(gè)數(shù)，顯然是方程的一個(gè)解，再對(duì)a分類討論，即得函數(shù)的零點(diǎn)；（2）令，可得，得，再對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱軸分三種情況討論得解.【詳解】（1）由，可知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是方程的解的個(gè)數(shù)，顯然是方程的一個(gè)解；當(dāng)時(shí),方程可化為，得，由函數(shù)單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，有下列幾種情況如下:①當(dāng)時(shí)，方程沒有根，可得函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，方程的根為，可得函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)且時(shí)，方程的根為，由，可得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和；由上知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為；當(dāng)且時(shí)，數(shù)的零點(diǎn)為和.（2）令，可得，由，，可得，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，①當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)的最小值為；②當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)的最小值為；③當(dāng)，即，此時(shí)函數(shù)最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的最值問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.22、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由題可得，，兩式子相減可得，即，然后驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，命題成立即可；（2）通過求解數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和即可得到其對(duì)應(yīng)前n項(xiàng)和的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）由條件，對(duì)任意，有，因而對(duì)任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對(duì)一切，（2）由（1）知，，所以，于是數(shù)列是首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以