陜西省榆林市榆陽區(qū)二中2025屆高二數(shù)學第一學期期末質量檢測模擬試題含解析

陜西省榆林市榆陽區(qū)二中2025屆高二數(shù)學第一學期期末質量檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是等差數(shù)列的前項和，，，則的最小值為（）A. B.C. D.2．斗笠，用竹篾夾油紙或竹葉粽絲等編織，是人們遮陽光和雨的工具.某斗笠的三視圖如圖所示（單位：），若該斗笠水平放置，雨水垂直下落，則該斗笠被雨水打濕的面積為（）A. B.C. D.3．函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列滿足，且，那（）A.19 B.31C.52 D.1045．某一電子集成塊有三個元件a，b，c并聯(lián)構成，三個元件是否有故障相互獨立．已知至少1個元件正常工作，該集成塊就能正常運行．若每個元件能正常工作的概率均為，則在該集成塊能夠正常工作的情況下，有且僅有一個元件出現(xiàn)故障的概率為（）A. B.C. D.6．過拋物線C：的準線上任意一點作拋物線的切線，切點為，若在軸上存在定點，使得恒成立，則點的坐標為（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，設，，則當時，n的最大值是（）A.8 B.9C.10 D.118．若直線與直線平行，則（）A. B.C. D.9．已知等比數(shù)列的前項和為，若公比，則＝（）A. B.C. D.10．已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點，O為坐標原點，AB的中點為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.11．過雙曲線的左焦點作x軸的垂線交曲線C于點P，為右焦點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.函數(shù)在上是減函數(shù)C.是函數(shù)的極小值點D.是函數(shù)的極大值點二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，橢圓的左、右焦點分別為，過橢圓上的點作軸的垂線，垂足為，若四邊形為菱形，則該橢圓的離心率為_________.14．已知等差數(shù)列滿足，公差，則當?shù)那皀項和最大時，___________15．從雙曲線上一點作軸的垂線，垂足為，則線段中點的軌跡方程為___________.16．已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）圓的圓心為，且與直線相切，求：（1）求圓的方程；（2）過的直線與圓交于，兩點，如果，求直線的方程18．（12分）設，為雙曲線：（，）的左、右頂點，直線過右焦點且與雙曲線的右支交于，兩點，當直線垂直于軸時，△為等腰直角三角形（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點到右焦點點距離的最小值為3，①求雙曲線方程；②已知直線，分別交直線于，兩點，當直線傾斜角變化時，以為直徑的圓是否過軸上的定點，若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由19．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：數(shù)列的前項和.20．（12分）（1）已知：函數(shù)有零點；：所有的非負整數(shù)都是自然數(shù).若為假，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知：；：.若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知動點M到點F（0，）的距離與它到直線的距離相等（1）求動點M的軌跡C的方程；（2）過點P（，－1）作C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，求直線AB的方程22．（10分）如圖，在正四棱柱中，，，點在棱上，且平面（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)，可得，再根據(jù)，得，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，又，所以，所以的最小值為.故選：C.2、A【解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，則所求面積積為圓錐的側面積與圓環(huán)的面積之和【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，所以該斗笠被雨水打濕的面積為，故選：A3、A【解析】先求定義域，再由導數(shù)小于零即可求得函數(shù)的單調遞減區(qū)間.【詳解】由得，所以函數(shù)的定義域為，又，因為，所以由得，解得，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.故選：A.4、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結合等比數(shù)列的通項公式進行求解即可.【詳解】因為，所以有，因此數(shù)列是公比的等比數(shù)列，因為，所以，故選：D5、A【解析】記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現(xiàn)故障，進而結合對立事件的概率公式得，再根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】解：記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現(xiàn)故障，則為該集成塊不能正常工作，所以，，所以故選：A6、D【解析】設切點，點，聯(lián)立直線的方程和拋物線C的準線方程可得，將問題轉化為對任意點恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設切點，點由題意，拋物線C的準線，且由，得，則直線的方程為，即，聯(lián)立令，得由題意知，對任意點恒成立，也就是對任意點恒成立因為，，則，即對任意實數(shù)恒成立，所以，即，所以，故選：D【點睛】一般表示拋物線的切線方程時可將拋物線方程轉化為函數(shù)解析式，可利用導數(shù)的幾何意義求解切線斜率，再代入計算.7、B【解析】先求出數(shù)列和的通項公式，然后利用分組求和求出，再對進行賦值即可求解.【詳解】解：因為數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列所以因為是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列所以由得：當時，即當時，當時，所以n的最大值是.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用分組求和求出，再通過賦值法即可求出使不等式成立的的最大值.8、D【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關于實數(shù)的等式，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】由于直線與直線平行，則，解得.故選：D.9、A【解析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項公式與前項和公式直接計算即可.【詳解】由已知可得.故選：A.10、B【解析】這是中點弦問題，注意斜率與橢圓a,b之間的關系.【詳解】如圖：依題意，假設斜率為1的直線方程為：，聯(lián)立方程：，解得：，代入得，故P點坐標為，由題意，OP的斜率為，即，化簡得：，，，；故選：B.11、D【解析】由題知是等腰直角三角形，，又根據(jù)通徑的結論知，結合可列出關于的二次齊次式，即可求解離心率.【詳解】由題知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故選：D.12、A【解析】根據(jù)圖象，結合導函數(shù)的正負性、極值的定義逐一判斷即可.【詳解】由圖象可知，當時，；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，可知B錯誤，A正確；是極大值點，沒有極小值，和不是函數(shù)的極值點，可知C，D錯誤故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意可得，利用推出，進而得出結果.【詳解】由題意知，，將代入方程中，得，因為，所以，整理，得，又，所以，由，解得.故答案為：14、3【解析】根據(jù)公式求出前n項和，再利用二次函數(shù)的性質.【詳解】因為等差數(shù)列，，所以，當時，取到最大值.故答案為：3.15、.【解析】根據(jù)題意，設，進而根據(jù)中點坐標公式及點P已知雙曲線上求得答案.【詳解】由題意，設，則，則，即，因為，則，即的軌跡方程為.16、m≥6【解析】分別求出p，q成立的等價條件，利用p是q的充分條件，轉為當0＜x≤1時，m大于等于的最大值，求出最值即可確定m的取值范圍【詳解】由，得0＜x≤1，即p：0＜x≤1由4x+2x﹣m≤0得4x+2x≤m因為，要使p是q的充分條件，則當0＜x≤1時，m大于等于的最大值，令，則在上單調遞增，故當時取到最大值6，所以m≥6故答案為：m≥6【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應用,考查函數(shù)的最值，考查轉化的思想，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】由點到直線的距離公式求得圓的半徑，則圓的方程可求；當直線的斜率不存在時，求得弦長為，滿足題意；當直線的斜率不存在時，設出直線方程，求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理列式求，則直線方程可求【小問1詳解】由題意得：圓的半徑為，則圓的方程為；【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，直線方程為，得，符合題意；當直線的斜率存在時，設直線方程為，即圓心到直線的距離，則，解得直線的方程為直線的方程為或18、（1）；（2）①；②定點有兩個，【解析】（1）由雙曲線方程有、、，根據(jù)已知條件有，即可求離心率.（2）①由題設有，結合（1）求雙曲線參數(shù)，寫出雙曲線方程即可；②由題設可設為，，，聯(lián)立雙曲線方程結合韋達定理求，，，，再由、的方程求，坐標，若在為直徑的圓上點，由結合向量垂直的坐標表示列方程，進而求出定點坐標.【小問1詳解】由題設，若，且，又△為等腰直角三角形，∴，即，則又，可得.【小問2詳解】由題設，，由（1）有，則，即，①由上可知：雙曲線方程為.②由①知：，且直線的斜率不為0，設為，，，聯(lián)立直線與雙曲線得：，∴，，則，∴，∴直線為；直線為；∴，，若在為直徑的圓上點，∴，且，∴，令，則，∴，即，∴或，即過定點.【點睛】關鍵點點睛：第二問的②，設直線為，聯(lián)立直線與雙曲線，應用韋達定理求，，，，進而根據(jù)、的方程求，坐標，再由圓的性質及向量垂直的坐標表示求定點坐標.19、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項法可求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，則，解得，因此，.【小問2詳解】證明：，因此，.故原不等式得證.20、（1）；（2）.【解析】(1)易知為真命題，根據(jù)且命題的真假可知為假命題，結合函數(shù)零點與對應方程的根之間的關系得出，解不等式即可；(2)根據(jù)一元二次不等式的解法可得和，結合必要不充分條件的概念可得，利用集合與集合之間的關系即可得出答案.【詳解】解：（1）對于：所有的非負整數(shù)都是自然數(shù)，顯然正確.因為為假，所以為假.所以“函數(shù)沒有零點”為真，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.（2）對于：，解得或.對于，不等式的解集為，因為是的必要不充分條件，所以所以或，所以或，所以實數(shù)的取值范圍是.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義或者直接列式化簡即可求出；（2）方法一：設切線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，由即可求出的值，從而得出點的坐標，即可求出直線方程【小問1詳解】設M（x，y），則解得．所以該拋物線的方程為【小問2詳解】［方法一］：依題意，切線的斜率存在，設切線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，得，令，得或．從而或，解得或，所以切點A（－1，），B（2，2），直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為，整理得．［方法二］：由可得，所以，設切點為（），則切線的斜率，又切線過點P（，－1），所以，整理得，解得或，所以切點的坐標為A（－1，），B（2，2），所以直線AB的斜率為，所以直線AB的方程