江西省等三省十校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題含解析

江西省等三省十校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.52．已知直線l和拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則p的值為（）A. B.1C. D.23．設(shè),則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4．在正方體中中，，若點(diǎn)P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動，，且點(diǎn)P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.5．定義焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線為一對相關(guān)曲線.已知，是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，Р是這對相關(guān)曲線在第一象限的交點(diǎn)，則點(diǎn)Р與以為直徑的圓的位置關(guān)系是（）A.在圓外 B.在圓上C.在圓內(nèi) D.不確定6．命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)E在上，滿足，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，記分別為，則（）A. B.C. D.8．已知點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.9．已知實(shí)數(shù)a，b，c，若a＞b，則下列不等式成立的是（）A B.C. D.10．已知圓的方程為，圓的方程為，其中．那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系不可能為（）A.外離 B.外切C.內(nèi)含 D.內(nèi)切11．在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形12．為迎接第24屆冬季奧運(yùn)會，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個(gè)項(xiàng)目的志愿者，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人，每人只能安排到1個(gè)項(xiàng)目，則所有排法的總數(shù)為（）A.60 B.120C.150 D.240二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．阿基米德（公元前287—公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，橢圓的面積為_________14．定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”.（1）設(shè)，則在上的“新駐點(diǎn)”為___________；（2）如果函數(shù)與的“新駐點(diǎn)”分別為、，那么和的大小關(guān)系是___________.15．展開式中的系數(shù)是___________.16．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則__.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+2，x=2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求f(x)在區(qū)間(-1，4]上的最大值和最小值.18．（12分）在復(fù)數(shù)集C內(nèi)方程有六個(gè)根分別為（1）解出這六個(gè)根；（2）在復(fù)平面內(nèi)，這六個(gè)根對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)；求多邊形ABCDEF的面積19．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，中國一直踐行創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色、開放、共享的發(fā)展理念，著力促進(jìn)經(jīng)濟(jì)實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展，決心走綠色、低碳、可持續(xù)發(fā)展之路．新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向工業(yè)部表示，到2025年我國新能源汽車銷量占總銷量將達(dá)20%以上.2021年，某集團(tuán)以20億元收購某品牌新能源汽車制造企業(yè)，并計(jì)劃投資30億元來發(fā)展該品牌.2021年該品牌汽車的銷售量為10萬輛，每輛車的平均銷售利潤為3000元．據(jù)專家預(yù)測，以后每年銷售量比上一年增加10萬輛，每輛車的平均銷售利潤比上一年減少10%（1）若把2021年看作第一年，則第n年的銷售利潤為多少億元？（2）到2027年年底，該集團(tuán)能否通過該品牌汽車實(shí)現(xiàn)盈利？（實(shí)現(xiàn)盈利即銷售利潤超過總投資，參考數(shù)據(jù)：，，）20．（12分）已知橢圓的離心率為，長軸長為，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，，且以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的斜率；（3）點(diǎn)是以長軸為直徑的圓上一點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線交直線于點(diǎn)，求證：過點(diǎn)且垂直于的直線過定點(diǎn)21．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)滿足，且的面積為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線．設(shè)直線交軸于，交軸于，且點(diǎn)，求的軌跡方程22．（10分）在所有棱長均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求證:（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的極值的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為，根據(jù)函數(shù)的極值的定義可知在該點(diǎn)處的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號相反，可得為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè).故選：C.2、B【解析】由垂直關(guān)系得出直線l方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及數(shù)量積公式得出p的值.【詳解】，，即聯(lián)立直線和拋物線方程得設(shè)，則解得故選：B3、B【解析】,，所以是必要不充分條件，故選B.考點(diǎn)：1.指、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.充分條件與必要條件.4、A【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，先由，且點(diǎn)P到底面的距離為3，確定點(diǎn)P的位置，然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以，因?yàn)?所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，點(diǎn)P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P到底面的距離為3，所以，所以，因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A5、A【解析】設(shè)橢圓的長軸長為，橢圓的焦距為，雙曲線的實(shí)軸長為，根據(jù)題意可得，設(shè)，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義將分別用表示，設(shè)，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式將點(diǎn)的坐標(biāo)用表示，從而可判斷出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.【詳解】解：設(shè)橢圓的長軸長為，橢圓的焦距為，雙曲線的實(shí)軸長為，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，則，所以，以為直徑的圓的方程為，設(shè)，則有，所以，設(shè)，，所以①，②，則①②得，所以，所以，將代入②得，所以，，則點(diǎn)到圓心的距離為，所以點(diǎn)Р在以為直徑的圓外.故選：A.6、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義寫出逆否命題即得【詳解】解：以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為原命題的逆否命題，即“若，則”的逆否命題是“若，則”故選：C7、B【解析】利用空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合三棱錐用表示出即可.【詳解】由題設(shè)，，，，.故選：B8、C【解析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合對稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，所以,因此，故選：C9、C【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析即可得出答案.【詳解】解：對于A，因?yàn)閍＞b，若，則，故A錯(cuò)誤；對于B，若，則，故B錯(cuò)誤；對于C，若a＞b，又，所以，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：C.10、C【解析】求出圓心距的取值范圍，然后利用圓心距與半徑的和差關(guān)系判斷.【詳解】由兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，，；則，所以兩圓不可能內(nèi)含.故選：C.11、B【解析】利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡已知條件，由此判斷出三角形的形狀.【詳解】由，得，得，由于，所以，所以.故選：B12、C【解析】結(jié)合排列組合的知識，分兩種情況求解.【詳解】當(dāng)分組為1人,1人,3人時(shí)，有種，當(dāng)分組為1人，2人，2人時(shí)有種，所以共有種排法.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用基本不等式得出取得最大值時(shí)的條件結(jié)合可知，再利用點(diǎn)在橢圓方程上，故可求得、的值,進(jìn)而求出橢圓的面積.詳解】由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，由可知，∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，，則橢圓的面積為.故答案為：.14、①.②.【解析】（1）根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義求得，結(jié)合可得出結(jié)果；（2）求出的值，利用零點(diǎn)存在定理判斷所在的區(qū)間，進(jìn)而可得出與的大小關(guān)系.詳解】（1），，根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義得，即，可得，，解得，所以，函數(shù)在上的“新駐點(diǎn)”為；（2），則，根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義得，即.，則，由“新駐點(diǎn)”的定義得，即，構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，，，，由零點(diǎn)存在定理可知，，.故答案為：（1）；（2）.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，是新定義的題型，關(guān)鍵是理解“新駐點(diǎn)”的定義.15、【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，可知展開式中含的項(xiàng)，以及展開式中含的項(xiàng)，再根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】解：由題意可得，展開式中含的項(xiàng)為，而展開式中含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.故答案為：.16、【解析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，，則，故答案為：33.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值為18，最小值為.【解析】（1）解方程即得解；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析即得解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幱袠O值，所以，即，所以.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，符合題意.所以.【小問2詳解】解：由（1）可知，所以，令，得，當(dāng)時(shí)，由得，；由得，或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，又.所以的最小值為，又，所以的最大值為，所以在的最大值為18，最小值為.18、（1）（2）【解析】（1）原式可因式分解為，令，設(shè)可求解出的兩個(gè)虛根，同理可求解的兩個(gè)虛根，即得解；（2）六個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的圖形為正六邊形，邊長為1，計(jì)算即可【小問1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)故，所以解得：，即當(dāng)時(shí)，設(shè)故所以解得：，即故：【小問2詳解】六個(gè)根對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，其中在復(fù)平面中描出這六個(gè)點(diǎn)如圖所示：六個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的圖形為正六邊形，邊長為1故19、（1）億元（2）該集團(tuán)能通過該品牌汽車實(shí)現(xiàn)盈利【解析】（1）由題意可求得第n年的銷售量，第n年每輛車的平均銷售利潤，從而可求出第n年的銷售利潤，（2）利用錯(cuò)位相減法求出到2027年年底銷售利潤總和，再與總投資額比較即可【小問1詳解】設(shè)第n年的銷售量為萬輛，則該汽車的年銷售量構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為10的等差數(shù)列，所以，設(shè)第n年每輛車的平均銷售利潤為元，則每輛汽車的平均銷售利潤構(gòu)成首項(xiàng)為3000，公比為0.9的等比數(shù)列，所以，記第n年的銷售利潤為，則萬元；即第n年的銷售利潤為億元【小問2詳解】到2027年年底，設(shè)銷售利潤總和為S億元，則①，②，①﹣②得億元，而總投資為億元，因?yàn)?，則到2027年年底，該集團(tuán)能通過該品牌汽車實(shí)現(xiàn)盈利20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由題意中離心率和長軸長可求出，即可求出橢圓方程.（2）設(shè)出與的坐標(biāo)即直線的方程，把直線與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立寫出韋達(dá)定理，由題意以為直徑圓經(jīng)過原點(diǎn)可得，化簡即可求出直線的斜率.（3）由題意可得圓的方程，設(shè)，由和直線的方程化簡，即可得到答案.【小問1詳解】，，橢圓C的方程為.【小問2詳解】由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為.設(shè).把直線的方程與橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立得：..由以為直徑圓經(jīng)過原點(diǎn)知，..經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以.【小問3詳解】由題意可得圓的方程為，設(shè)，由得.①.當(dāng)時(shí)，，直線的方程為.直線過橢圓的右焦點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線的斜率為且過，②把①代入②中得.故直線過橢圓的右焦點(diǎn).綜上所述，直線過橢圓的右焦點(diǎn).21、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由橢圓關(guān)系可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）將與橢圓方程聯(lián)立可得，得，結(jié)合韋達(dá)定理可確定點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得方程，進(jìn)而得到，化簡整理即可得到所求軌跡方程.【小問1詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知：；，即，，，解得：，，解得：（舍）或，，橢圓的方程為：；【小問2詳解】由得：，，整理可得：；，解得：，，則，令，解得：；令，解得：；，即，又，，則的軌跡方程為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查動點(diǎn)軌跡方程的求解問題，解題基本思路是能夠利用變量表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)之間關(guān)系，化簡整理消掉變量得到所求軌跡方程；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略題目中的限制條