西安市慶安初級(jí)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題含解析

西安市慶安初級(jí)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線，點(diǎn)F為其左焦點(diǎn)，點(diǎn)B，若BF所在直線與雙曲線的其中一條漸近線垂直，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．設(shè)，，，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.3．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.i B.-iC.1 D.-14．已知圓，圓，M，N分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則以的最小值為（）A B.C. D.5．若命題“或”與命題“非”都是真命題，則A.命題與命題都是真命題B.命題與命題都是假命題C.命題是真命題，命題是假命題D.命題是假命題，命題是真命題6．如圖，在正方體中，是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若到直線與直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所在的曲線是（）A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線7．某次射擊比賽中,某選手射擊一次擊中10環(huán)的概率是,連續(xù)兩次均擊中10環(huán)的概率是,已知某次擊中10環(huán),則隨后一次擊中10環(huán)的概率是A. B.C. D.8．設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，，為左、右焦點(diǎn)，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形9．若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.10．已知集合，，若，則＝（）A.{1，2，3} B.{1，2，3，4}C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}11．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的任意一點(diǎn)，為平面上點(diǎn)，則的最小值為A.3 B.2C.4 D.12．“”是“直線：與直線：平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________.14．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=3，AA1=4，P是側(cè)面BCC1B1上的動(dòng)點(diǎn)，且AP⊥BD1，記點(diǎn)P到平面ABCD的距離為d，則d的最大值為_(kāi)___________.15．已知，若共線，m+n＝__.16．曲線在點(diǎn)處的切線方程是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，在四面體ABCD中，，平面ABC，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，，（1）證明：；（2）求平面BCD和平面DCM夾角的余弦值20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C：，直線l：（1）若直線l與圓C相切于點(diǎn)N，求切點(diǎn)N的坐標(biāo)；（2）若，直線l上有且僅有一點(diǎn)A滿足：過(guò)點(diǎn)A作圓C的兩條切線AP、AQ，切點(diǎn)分別為P，Q，且使得四邊形APCQ為正方形，求m的值21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中點(diǎn)（1）證明：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成角的正切值為，求二面角的正弦值22．（10分）某校高三年級(jí)進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，全年級(jí)學(xué)生的成績(jī)都落在區(qū)間內(nèi)，其成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，若（1）求a，b的值；（2）若成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為36人，請(qǐng)估計(jì)該校高三學(xué)生的人數(shù)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)出雙曲線半焦距c，利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合垂直關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，則，直線BF的斜率為，雙曲線的漸近線為：，因直線BF與雙曲線的一條漸近線垂直，則有，即，于是得，而，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：C2、B【解析】利用特殊值法可判斷ACD的正誤，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判斷B的正誤.【詳解】對(duì)于A中，令，，，，滿足，，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)椋杂刹坏仁降目杉有?，可得，所以，故B正確；對(duì)于C中，令，，，，滿足，，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，令，，，，滿足，，但，故D錯(cuò)誤故選：B3、C【解析】先通過(guò)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z，進(jìn)而求出虛部.【詳解】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.4、A【解析】求出圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，易知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即：.故選：A.注意:9至12題為多選題5、D【解析】因?yàn)榉莗為真命題，所以p為假命題，又p或q為真命題，所以q為真命題，選D.6、D【解析】由到直線的距離等于到點(diǎn)的距離可得到直線的距離等于到點(diǎn)的距離，然后可得答案.【詳解】因?yàn)榈街本€的距離等于到點(diǎn)的距離，所以到直線的距離等于到點(diǎn)的距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線故選：D7、B【解析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式,得所求概率為，故選B.8、D【解析】根據(jù)橢圓方程求出，然后結(jié)合橢圓定義和已知條件求出并求出，進(jìn)而判斷答案.【詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯(lián)立方程解得，且，則6+2=8，即不構(gòu)成三角形.故選：D.9、A【解析】由和的分母異號(hào)可得【詳解】由題意，解得或故選：A10、D【解析】根據(jù)題意，解不等式求出集合，由，得，進(jìn)而求出，從而可求出集合，最后根據(jù)并集的運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解：由題可知，，而，即，解得：，又由于，得，因?yàn)?，則，所以，解得：，所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集的定義和并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】如圖，作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，由題意可得，顯然，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最??；因?yàn)?，，?zhǔn)線，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線上任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的和的最值問(wèn)題，熟記拋物線的定義與性質(zhì)即可，屬于常考題型.12、C【解析】根據(jù)兩直線平行求得的值，由此確定充分、必要條件.【詳解】由于，所以，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不符合題意，所以.所以“”是“直線：與直線：平行”的充要條件.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】由題意知，，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：14、##【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)之間的關(guān)系，以及坐標(biāo)的范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：設(shè)，則，，∵，∴，解得，因?yàn)?，所以c的最大值為，即點(diǎn)P到平面的距離d的最大值為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求出m,n，進(jìn)而求得答案.【詳解】由于，因?yàn)?，所以存在，使得，于是，則.故答案為：.16、x-y-2=0【解析】解：因?yàn)榍€在點(diǎn)（1,－1）處的切線方程是由點(diǎn)斜式可知為x-y-2=0三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)法可求得，即可證得原不等式成立.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，因此，.【小問(wèn)2詳解】證明：，因此，.故原不等式得證.18、（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性分類討論進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)存在性和任意性的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、（1）的結(jié)論、構(gòu)造函數(shù)法分類討論進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】,,①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，③當(dāng)吋，，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)吋，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】由題意可知：在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增由（1）可知：①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，則恒成立②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，則應(yīng)（舍）③當(dāng)時(shí)，，則應(yīng)有令，則，且在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又恒成立，則無(wú)解綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合存在性、任意性的定義進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明平面ABD即可；（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面BCD的一個(gè)法向量和平面DCM的一個(gè)法向量，然后由求解【小問(wèn)1詳解】證明：∵平面ABC，∴，又，，∴平面ABD，∴【小問(wèn)2詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，依題意，可得，設(shè)為平面BCD的一個(gè)法向量，則，不妨令，可得設(shè)為平面DCM的一個(gè)法向量，則，不妨令，可得，所以所以平面BCD和平面DCM的夾角的余弦值為20、（1）或（2）3.【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由切點(diǎn)和圓心連線與切線垂直以及切點(diǎn)在圓上建立關(guān)系式，求解切點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）由圓的方程可得圓心坐標(biāo)及半徑，由APCQ為正方形，可得|AC|＝可得圓心到直線的距離為，可得m的值【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為，則有，解得：或x0=-2+1y0=-2，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為或【小問(wèn)2詳解】解：圓C：的圓心（1，0），半徑r＝2，設(shè)，由題意可得，由四邊形APCQ為正方形，可得|AC|＝，即，由題意直線l⊥AC，圓C：（x﹣1）2+y2＝4，則圓心（1，0）到直線的距離，可得，m＞0，解得m＝3.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）依題意可得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，即可得證；（2）取的中點(diǎn)為，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，連接，即可得到為與底面所成角，令，，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：證明：在正中，為的中點(diǎn)，∴∵平面平面，平面平面，且．∴平面，又∵平面∴．又∵，且，平面．∴平面【小問(wèn)2詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)為，連接，在正中，，平面平面，平面平面，∴平面，連接，則為與底面所成角，即．不妨取，，，，∴以為原點(diǎn)建立如