2025屆河北省保定市重點(diǎn)初中數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題含解析

2025屆河北省保定市重點(diǎn)初中數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為，焦距為，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.2．等比數(shù)列，，，成公差不為0的等差數(shù)列，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（）A. B.C. D.3．過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)的方程為（）A. B.C.或 D.或4．在空間直角坐標(biāo)系中，方程所表示的圖形是（）A圓 B.橢圓C.雙曲線(xiàn) D.球5．過(guò)點(diǎn)且平行于直線(xiàn)的直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，在上隨機(jī)任取一個(gè)數(shù)，則的概率為（）A. B.C. D.7．平面的法向量為，平面的法向量為，則下列命題正確的是（）A.，平行 B.，垂直C.，重合 D.，相交不垂直8．甲組數(shù)據(jù)為：5，12，16，21，25，37，乙組數(shù)據(jù)為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是（）A.極差 B.平均數(shù)C.中位數(shù) D.都不相同9．?dāng)?shù)列，，，，，中，有序?qū)崝?shù)對(duì)是（）A. B.C. D.10．已知直線(xiàn)和互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C.或 D.11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，.則使得的值為（）A. B.C. D.12．我們知道，償還銀行貸款時(shí)，“等額本金還款法”是一種很常見(jiàn)的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬(wàn)元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個(gè)月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則（）A.2192 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，B，則直線(xiàn)的一般式方程為_(kāi)__________.14．某射箭運(yùn)動(dòng)員在一次射箭訓(xùn)練中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：8，9，8，10，6，7，9，10，8，5，則命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為_(kāi)__________.15．已知，則正整數(shù)___________.16．在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____（結(jié)果用數(shù)值表示）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，滿(mǎn)足，，設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）已知數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面20．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若對(duì)恒成立．求正整數(shù)m的最大值21．（12分）在三棱柱中，側(cè)面正方形的中心為點(diǎn)平面，且，點(diǎn)滿(mǎn)足（1）若平面，求的值；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若平面與平面所成角的正弦值為，求的值22．（10分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓上，過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線(xiàn)，垂足為Q且.（1）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程；（2）直線(xiàn)與圓相切，且直線(xiàn)與曲線(xiàn)E相交于兩不同的點(diǎn)A、B，T為線(xiàn)段AB的中點(diǎn).線(xiàn)段OA、OB分別與圓O交于M、N兩點(diǎn)，記的面積分別為，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出、的值，即可得出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.【詳解】由已知可得，，則，因此，該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：B.2、C【解析】先設(shè)等比數(shù)列的公比為，結(jié)合條件可知，由等差中項(xiàng)可知，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求出，最后利用分組求和法，以及等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式，即可求出數(shù)列的前10項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成公差不為0的等差數(shù)列，則，，都不相等，，且，，，，即，解得：或（舍去），，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和：.故選：C.3、C【解析】設(shè)切線(xiàn)的方程為，然后利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑建立方程求解即可.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1，當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，即直線(xiàn)的方程為，不與圓相切，當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)的方程為，即所以，解得或所以切線(xiàn)的方程為或故選：C4、D【解析】方程表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，從而可知圖形的形狀【詳解】由，得，表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，所以方程所表示的圖形是以原點(diǎn)為球心，2為半徑的球，故選：D5、B【解析】根據(jù)平行設(shè)直線(xiàn)方程，代入點(diǎn)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)直線(xiàn)方程為，將點(diǎn)代入直線(xiàn)方程得到，解得.故直線(xiàn)方程為：.故選：B.6、A【解析】先解不等式，然后由區(qū)間長(zhǎng)度比可得.【詳解】解不等式，得，所以，即的概率為.故選：A7、B【解析】根據(jù)可判斷兩平面垂直.【詳解】因?yàn)椋?，所以，垂?故選：B.8、B【解析】由平均數(shù)、極差及中位數(shù)的定義依次求解即可比較【詳解】，，故甲、乙的平均數(shù)相同，甲、乙的極差分別為，，故不同，甲、乙的中位數(shù)分別為，，故不同，故選：9、A【解析】根據(jù)數(shù)列的概念，找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數(shù)列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序?qū)崝?shù)對(duì)是，故選：10、B【解析】由兩直線(xiàn)垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，求解即可.【詳解】由已知可得，解得.故選：B.11、B【解析】由，求得，得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，則，所以.故選：B.12、D【解析】計(jì)算出每月應(yīng)還的本金數(shù)，再計(jì)算第n個(gè)月已還多少本金，由此可計(jì)算出個(gè)月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】已知圓的圓心，點(diǎn)在以為直徑的圓上，兩圓相減就是直線(xiàn)的方程.【詳解】，圓心，點(diǎn)在以為直徑的圓上，，所以圓心是，以為直徑的圓的圓的方程是，直線(xiàn)是兩圓相交的公共弦所在直線(xiàn)，所以?xún)蓤A相減就是直線(xiàn)的方程，，所以直線(xiàn)的一般式方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)，那么以圓心和圓外一點(diǎn)連線(xiàn)段為直徑的圓與已知圓相減，就是切點(diǎn)所在直線(xiàn)方程，或是兩圓相交，兩圓相減，就是公共弦所在直線(xiàn)方程.14、【解析】直接利用求平均數(shù)的公式即可求解.【詳解】由已知得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故答案為：.15、6【解析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由題意，，得.故答案為：6.16、12【解析】通過(guò)二次展開(kāi)式就可以得到.【詳解】的展開(kāi)式中含含項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：12三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析，（3）【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列列出方程組求解首項(xiàng)、公比即可得解；（2）化簡(jiǎn)后得，可證明數(shù)列是等差數(shù)列，即可得出，再求出即可;（3）利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公比為，由條件可知，，所以；【小問(wèn)2詳解】，又，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差等差數(shù)列，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】，,兩式相減可得，，.18、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定的遞推公式結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”探求相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再利用裂項(xiàng)相消法求出，即可作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，，，則當(dāng)時(shí)，，于是得：，即，而當(dāng)時(shí)，，即有，因此，，，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，從而有，所以.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、菱形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可.【小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中，，且四邊形平行四邊形，又，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，故，即：，且平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】在直三棱柱中，平面，平面，則，且，，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所以，又在平行四邊形中，，則四邊形菱形，所以，且，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?20、（1）；（2）2021.【解析】（1）求出公比和首項(xiàng)即可.(2)利用錯(cuò)位相減法，求出，再作差求出遞增，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足：，所以，設(shè)的公比為q，可得，又，即，解得，所以；（2），，，上面兩式相減可得，化簡(jiǎn)可，因?yàn)椋赃f增，最小，且為所以，解得，則m的最大值為202121、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)連接ME，證明即可計(jì)算作答.(2)以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算點(diǎn)到平面的距離即可.(3)由(2)中空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求平面與平面所成角的余弦即可計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，因，即點(diǎn)在上，連接ME，如圖，因平面面，面面，則有，而為中點(diǎn)，于是得為的中點(diǎn)，所以.【小問(wèn)2詳解】在三棱柱中，面面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，又為正方形，即，而平面，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，依題意，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，又，則到平面的距離，所以點(diǎn)到平面的距離為.【小問(wèn)3詳解】因，則，，設(shè)面的法向量為，則，令，得，于是得，而平面與平面所成角的正弦值為，則，即，整理得，解得或，所以的值是或.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：空間向量求二面角時(shí)，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算.22、（1）；（2）.【解析】(1)設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，借助向量運(yùn)算表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓O的方程計(jì)算作答.(2)在直線(xiàn)的斜率存在時(shí)設(shè)出其方程，與軌跡E的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理表示出，再利用二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算得解，然后計(jì)算直線(xiàn)的斜率不存在的值作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因，則有，又點(diǎn)P在圓上，即，所以動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程是