數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的詮釋學(xué)模式探索

［摘要］在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，聯(lián)系數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)實際，對現(xiàn)行雙循環(huán)詮釋學(xué)模式進行分析和探索，并結(jié)合教科書、數(shù)學(xué)史、學(xué)生實際水平、教學(xué)現(xiàn)實條件四個因素，提出了一種數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的多向循環(huán)詮釋學(xué)模式。這種詮釋學(xué)模式比較全面地考慮了數(shù)學(xué)教學(xué)各環(huán)節(jié)要素之間的相互聯(lián)系，能夠更好地探索數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的恰當角度和方式，在實踐中更好地指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價值。［關(guān)鍵詞］

數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)教學(xué)；詮釋學(xué)模式；探索一、前言第八屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（HPM）學(xué)術(shù)研討會，于2019年5月10—12日在上海交通大學(xué)閔行校區(qū)舉行，該屆HPM學(xué)術(shù)研討會暨第十屆中國數(shù)學(xué)會數(shù)學(xué)史分會學(xué)術(shù)年會同期舉行，該屆HPM學(xué)術(shù)研討會的報告內(nèi)容涉及張奠宙先生紀念、HPM理論探討、HPM教學(xué)實踐、教育取向的歷史研究、HPM與大學(xué)數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育6個主題，顯示了現(xiàn)階段國內(nèi)HPM研究的特點：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的實踐案例增多；數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究范圍拓廣；數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究學(xué)段廣泛[1]。該屆HPM學(xué)術(shù)研討會的報告匯集國內(nèi)研究的最新成果，集中反映了當前研究的特點，具有一定的參考價值，為未來的HPM研究提供了啟示和方向。1972年HPM成立以后，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的研究是HPM研究的重要領(lǐng)域，其中教育取向的數(shù)學(xué)史研究、基于歷史發(fā)生原理的教學(xué)法研究和數(shù)學(xué)史融入課堂的教學(xué)實驗研究一直是HPM研究的熱門話題。2000年以來，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)一直是歷屆HPM大會的主題之一，研究者不僅在經(jīng)驗層面描述數(shù)學(xué)史的融入，更多地在理論層面和應(yīng)用理論指導(dǎo)教學(xué)實踐層面研究有關(guān)的歷史模塊，課堂設(shè)計、教學(xué)案例和課堂實驗，研究成果對數(shù)學(xué)教學(xué)實踐有了更強的指導(dǎo)性和適用性[2]。但是，對數(shù)學(xué)教師而言，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式并不是一個很容易解決的問題。縱觀歷史上重要數(shù)學(xué)思想、理論及其方法等產(chǎn)生和發(fā)展過程有著自己的特殊歷史背景和規(guī)律，有啟發(fā)的思想并不能幫助教師解決如何有效地構(gòu)造教學(xué)環(huán)節(jié)中的實踐問題[3]。事實上，縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，數(shù)學(xué)始終是知識不斷交替更新、總結(jié)歸納、來源于實踐并應(yīng)用于實踐及其服務(wù)于人類社會發(fā)展的系統(tǒng)化動態(tài)過程，并一直持續(xù)著，不斷前進。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若要體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的積極促進作用，需要把數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的整體框架之中，綜合考慮數(shù)學(xué)史與諸多教育要素之間的關(guān)系，恰當?shù)貙?shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育中的各個教學(xué)環(huán)節(jié)。在這樣的背景下，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的有效方式、途徑及其策略，將是首先急需解決的一個問題，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)模式的研究就成為一個特別值得關(guān)注的課題。二、數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的研究現(xiàn)狀盡管不少研究者和數(shù)學(xué)教育組織對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)給予了充分的肯定，也有一些研究者對此提出一些理論和實踐上的質(zhì)疑[4]。（一）從理論上對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)疑針對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，Radford[5]，Ungurn[6]和Fried[7]等學(xué)者指出，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教育與已經(jīng)發(fā)生的數(shù)學(xué)史及其產(chǎn)生的歷史方法等之間，對數(shù)學(xué)教學(xué)的方法和理念等有可能產(chǎn)生不協(xié)調(diào)。簡單地說，一方面，不同層次的數(shù)學(xué)課程（含中小學(xué)、大學(xué)、高職和民族預(yù)科等）的課程目標為今后的數(shù)學(xué)進一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。當使用數(shù)學(xué)史來輔助實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標及價值定位，并制定數(shù)學(xué)教學(xué)實踐和過程，就不可避免產(chǎn)生一種“時空錯置”現(xiàn)象；另一方面，數(shù)學(xué)史學(xué)家致力于挖掘古代數(shù)學(xué)家事跡和數(shù)學(xué)理論方法的特征及其產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想和理論方法對于哲學(xué)和文化情景的依賴?？梢?，數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)史研究之間的目標和方法都不完全相同，認為在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生進入數(shù)學(xué)發(fā)展的深邃歷史情景和過程中，來感知現(xiàn)在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，這一教學(xué)設(shè)計理念在付諸實施時似乎感覺有點困難，甚至浪費時間。（二）從實踐上對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)疑針對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，Tzanakis和Arcavi[8]等研究學(xué)者認為，現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)實際上還不完全滿足引入數(shù)學(xué)史的條件。主要表現(xiàn)在以下四點：第一，缺乏時間。數(shù)學(xué)教師都感受到在開展數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，抽取一定的時間（即使占用全部教學(xué)時間比例很低）來完成教學(xué)活動，以達到良好的教學(xué)效果的目的，還存在一定的困難。第二，缺乏資源。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師并沒有完整、豐富和系統(tǒng)的數(shù)學(xué)史書籍及其參考資料給予使用。第三，缺乏學(xué)習(xí)和培訓(xùn)。沒有長期、中期或者短期安排、計劃和規(guī)劃，對數(shù)學(xué)教師進行充分的系統(tǒng)性和科學(xué)性的數(shù)學(xué)史知識體系學(xué)習(xí)和培訓(xùn)及其對教學(xué)經(jīng)驗的交流和學(xué)術(shù)研討。第四，缺乏良好的教學(xué)現(xiàn)實條件，包括缺乏與數(shù)學(xué)氛圍相適應(yīng)的教學(xué)環(huán)境，全方位呈現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)素材和各個環(huán)節(jié)要素的教學(xué)設(shè)施，客觀科學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)評價體系等。除此之外，對不同層次數(shù)學(xué)課程（含中小學(xué)、大學(xué)、高職和民族預(yù)科等）進行教學(xué)，應(yīng)根據(jù)各自規(guī)定的課程教學(xué)大綱、課程教學(xué)目標和課程規(guī)劃等，要求必須在規(guī)定的教學(xué)時間內(nèi)和相應(yīng)的教學(xué)條件下完成相應(yīng)的教學(xué)任務(wù)。從實際的教學(xué)實踐和教學(xué)經(jīng)驗中，還可以認識到，教師要完成數(shù)學(xué)課程所規(guī)定的教學(xué)任務(wù)，不能一味地填鴨式逐一講解全部的知識點。客觀上，應(yīng)用數(shù)學(xué)各種史料，可以對數(shù)學(xué)中的概念、定義、相關(guān)理論和方法等，能夠提供一定的歷史背景、文化環(huán)境等，對數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的促進作用，具有極高的教育價值。數(shù)學(xué)從來不是某個人、某個文明、某個國家和地區(qū)的專利，不同文化都對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生過影響，數(shù)學(xué)在不同時空的歷史演進，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標[9]。這與數(shù)學(xué)課程目標的實現(xiàn)并無根本上的沖突，兩種應(yīng)該是相得益彰、互相促進的。但是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不能忽略這樣一類問題：數(shù)學(xué)史的內(nèi)容與數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容在教學(xué)時間上如何分配，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的模式怎樣處理，等等，這在實際開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動時將是難以選擇的。首先，數(shù)學(xué)史能夠發(fā)揮積極教育價值，占用比較多的教學(xué)時間是不可取的。其次，同樣在數(shù)學(xué)教學(xué)中，完全不使用數(shù)學(xué)史或者象征性粗糙式使用數(shù)學(xué)史，僅僅在數(shù)學(xué)教學(xué)中對數(shù)學(xué)史料的使用流于形式，會導(dǎo)致數(shù)學(xué)史對教學(xué)的積極教育價值得不到充分發(fā)揮。在客觀上，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育建立和制定的理論體系、實施方案及其所依據(jù)的理念、形式和方式，都存在一定的差異性。將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)之間進行相互融合并不容易，可能存在一定的距離。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的運用還存在一些因素的制約，主要包含教師對數(shù)學(xué)史內(nèi)涵理解上的局限性，教師可支配的數(shù)學(xué)史素材不全面、不系統(tǒng)，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史料會受到學(xué)生實際水平和數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)實條件限制，等等。諸如此類因素，很大程度上限制了教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中高水平的發(fā)揮。余慶純和汪曉勤采用德爾菲法、文本分析法開展質(zhì)性研究，對2012—2018年20個高中HPM課例分析發(fā)現(xiàn)，在HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)史的教育價值功能仍體現(xiàn)不足[10]，探究其原因，存在上述因素制約了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)中教育價值的發(fā)揮。三、雙循環(huán)詮釋學(xué)模式1994年，德國教授H.N.Jahnke在第18屆PME大會報告中指出：數(shù)學(xué)是一種文化，回歸源頭能使我們獲得對思想過程的重要認識，更加清晰地理解現(xiàn)在問題[11]。Jahnk的報告內(nèi)容主要闡述了下列觀念：（1）數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性不僅僅是為了激發(fā)學(xué)習(xí)動機和學(xué)習(xí)興趣等外在目標，而應(yīng)該是把數(shù)學(xué)發(fā)展過程中同時期和不同時期數(shù)學(xué)文化聯(lián)系起來，使數(shù)學(xué)史成為支持數(shù)學(xué)教育中教與學(xué)的必要組成部分。（2）同時期的數(shù)學(xué)史包含數(shù)學(xué)課程教學(xué)對話和教學(xué)活動的自然情景，對相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念、定義等能夠產(chǎn)生一定的共鳴，不同時期的數(shù)學(xué)史可以展現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，能夠感受到由簡單到復(fù)雜、由直觀到抽象及其數(shù)學(xué)來源于實踐并最終應(yīng)用于實踐等變化方程。（3）在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過對數(shù)學(xué)假設(shè)、理論、特征的理解、詮釋和融入，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，在一定的社會文化背景下掌握數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)意義、思維模式及其發(fā)生發(fā)展形式，不僅實現(xiàn)了數(shù)學(xué)認知的發(fā)展，還實現(xiàn)了更重要的元數(shù)學(xué)認識的發(fā)展[2]?；谶@種對數(shù)學(xué)教育的認知觀念，形成了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的一種模式，稱之為雙循環(huán)詮釋學(xué)模式[12]，如圖1所示?！鰣D1雙循環(huán)的詮釋學(xué)模式這種詮釋學(xué)模式不僅要考慮數(shù)學(xué)史，還需要考慮其他數(shù)學(xué)教學(xué)要素，比如教學(xué)內(nèi)容、教科書、課程標準、教學(xué)理論和教學(xué)方式等。首先，在數(shù)學(xué)教學(xué)準備開展之前，可以反復(fù)向自己提出類似這樣的問題：有沒有必要引入數(shù)學(xué)史？數(shù)學(xué)史和教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系在哪里？數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的貢獻和價值是什么？等等。對于這類問題，數(shù)學(xué)教師在實施數(shù)學(xué)教學(xué)活動之前的準備階段需作出詮釋，即教師對數(shù)學(xué)史及其與數(shù)學(xué)教學(xué)的聯(lián)系的理解和思考。其次，教師帶著自己的詮釋必須經(jīng)過兩個循環(huán)過程，即C1循環(huán)過程和C2循環(huán)過程，尋找C1循環(huán)過程與C2循環(huán)過程之間的聯(lián)系，著眼于評估數(shù)學(xué)史在此教學(xué)過程中能否發(fā)揮積極作用、如何發(fā)揮作用及其作用發(fā)揮的程度怎么樣，來決定是否有必要將數(shù)學(xué)史融入此數(shù)學(xué)教學(xué)過程。若有必要，需要制定出數(shù)學(xué)史與具體的教學(xué)內(nèi)容結(jié)合的方式及其數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)的形式，并對教學(xué)效果進行預(yù)期的評估。C1循環(huán)過程：主要包含教師對教材編寫者的意圖、課程標準、教學(xué)目標和教科書知識等進行一定程度的理解和分析，再結(jié)合課程目標、教學(xué)任務(wù)和教學(xué)環(huán)境等，教師反復(fù)思考此教學(xué)內(nèi)容是否有必要融入數(shù)學(xué)史來開展數(shù)學(xué)教學(xué)過程。C2循環(huán)過程：主要包含教師對古代數(shù)學(xué)家事跡及其歷史背景、相對應(yīng)的數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)內(nèi)容等進行一定程度的認識和理解，反復(fù)思考和挖掘與相應(yīng)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)的具體數(shù)學(xué)史內(nèi)容，比如數(shù)學(xué)史實、數(shù)學(xué)趣事及其歷史上數(shù)學(xué)理論和方法的產(chǎn)生過程等，可以融入數(shù)學(xué)教學(xué)中。雖然教師結(jié)合現(xiàn)有的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)史知識體系，可以在一定程度上獨立去詮釋C1循環(huán)過程和C2循環(huán)過程，形成一定的教學(xué)方式。但事實上，在數(shù)學(xué)教學(xué)展開之前必須思考一個關(guān)鍵性問題：在C1循環(huán)過程和C2循環(huán)過程之間，如何去探索一個恰當?shù)慕Y(jié)合程度？四、多向循環(huán)詮釋學(xué)模式（一）詮釋學(xué)模式的探索利用雙循環(huán)詮釋學(xué)模式，在開展數(shù)學(xué)教學(xué)時，經(jīng)過C1循環(huán)和C2循環(huán)過程后，教師只能根據(jù)教材的編寫、課程標準、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標，對數(shù)學(xué)思想和方法產(chǎn)生和發(fā)展的歷史過程及其特征等進行詮釋，進而挖掘可以在教學(xué)中使用的數(shù)學(xué)史知識內(nèi)容，尋找數(shù)學(xué)史與教學(xué)內(nèi)容恰當?shù)慕Y(jié)合角度。但是，并沒有考慮學(xué)生的實際情況和現(xiàn)有的知識水平及其數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)實條件（數(shù)學(xué)氛圍、教學(xué)環(huán)境、教學(xué)設(shè)施、教學(xué)評價體系等）等與數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)的因素。數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)該是以學(xué)生為中心展開的，在探索數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)模式時，更應(yīng)該把有利于教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)放在衡量教學(xué)優(yōu)劣的主體地位，故應(yīng)對學(xué)生的實際情況、知識水平和結(jié)構(gòu)引起重視。除此之外，還應(yīng)該考察數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)實條件，包括數(shù)學(xué)氛圍、教學(xué)環(huán)境、教學(xué)設(shè)施和教學(xué)評價體系等，和其他有益于數(shù)學(xué)教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史的方式和途徑。（二）多向循環(huán)詮釋學(xué)模式的實踐為了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)能夠取得較好的教學(xué)效果，有必要對雙循環(huán)詮釋學(xué)模式適當?shù)剡M行改進，使之更好地在實踐上指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)?，F(xiàn)在針對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的模式，提出一種新的多向循環(huán)詮釋學(xué)模式，如圖2所示。■圖2多向循環(huán)的詮釋學(xué)模式多向循環(huán)詮釋學(xué)模式描述如下：1.此多向循環(huán)詮釋學(xué)模式并不局限于滿足雙循環(huán)詮釋學(xué)模式中C1和C2兩個循環(huán)過程，即針對數(shù)學(xué)教科書和數(shù)學(xué)史兩方面，增加了關(guān)于學(xué)生實際水平和教學(xué)現(xiàn)實條件兩個循環(huán)。在此改進的詮釋學(xué)模式中，只要是將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于提高教學(xué)和學(xué)習(xí)效率的方式和途徑，都可以加入循環(huán)中去，這樣就可以把影響數(shù)學(xué)教學(xué)效果的若干要素盡量充分地予以考慮，綜合衡量，探索數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的最佳結(jié)合角度，這樣的結(jié)合角度更加符合客觀實際，形成恰當和相適應(yīng)的方式，使數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式更符合學(xué)生的認知水平，凸顯教師的教學(xué)效果，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價值。2.多向循環(huán)詮釋學(xué)模式強調(diào)開展數(shù)學(xué)教學(xué)之前的準備階段，必須考慮學(xué)生的認知水平和知識結(jié)構(gòu)，也要考查學(xué)生目前所掌握的有關(guān)數(shù)學(xué)史知識水平，評估對新知識及相應(yīng)的數(shù)學(xué)史是否感興趣或感興趣的程度如何及接受數(shù)學(xué)史的方式，和學(xué)生可能面臨的問題等，并嘗試結(jié)合目前的學(xué)習(xí)特點對效果作一個預(yù)期的評估，并及時進行修正。上述問題如何去做才能更好地解決？可以在教學(xué)活動開展之前，進行一個與教學(xué)活動相關(guān)的調(diào)查問卷，了解學(xué)生目前的狀況及對新知識的前期反應(yīng)情況。除了調(diào)查問卷，教師可以通過對不同層次的學(xué)生進行訪談等方式了解學(xué)生目前的實際情況。3.多向循環(huán)詮釋學(xué)模式也重視對數(shù)學(xué)現(xiàn)實條件這一因素的思考?？陀^上，數(shù)學(xué)現(xiàn)實條件能夠?qū)?shù)學(xué)教學(xué)活動的開展產(chǎn)生不可估量的影響，同時為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了一個先決條件，營造了良好的學(xué)習(xí)氛圍，故在某種程度上可以直接影響教師的教學(xué)效果和學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。這里考慮的教學(xué)現(xiàn)實條件包含數(shù)學(xué)氛圍、教學(xué)環(huán)境、教學(xué)設(shè)施、教學(xué)評價體系等，在客觀上是不可否認的。這些教學(xué)現(xiàn)實條件現(xiàn)有的狀況