2024年中職高考數(shù)學(xué)計(jì)算訓(xùn)練 專題12 空間幾何體的基本計(jì)算（含答案解析）

2024年中職高考數(shù)學(xué)計(jì)算訓(xùn)練專題12空間幾何體的基本計(jì)算一、單選題1．某玻璃制品廠需要生產(chǎn)一種如圖1所示的玻璃杯，該玻璃杯造型可以近似看成是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓臺(tái)得到，其近似模型的直觀圖如圖2所示（圖中數(shù)據(jù)單位為cm），則該玻璃杯所用玻璃的體積（單位：）為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用柱體體積公式、臺(tái)體體積公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，該玻璃杯所用玻璃的體積為.故選：A2．牛皮鼓，又稱堂鼓、喜慶鼓，多用于江南祠堂內(nèi)婚嫁迎娶和迎新年等．牛皮鼓的制作工藝考究，有數(shù)十道工序，包括處理牛皮、創(chuàng)制鼓腔、蒙皮、拉皮、釘釘，每道工序都考驗(yàn)著手藝人的技藝和耐心．如圖所示的牛皮鼓的鼓面直徑為，鼓身高度為，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圓的最大直徑為，若將該牛皮鼓看成由兩個(gè)相同的圓臺(tái)拼接而成，忽略鼓面與鼓身的厚度，則該牛皮鼓的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺(tái)體積公式直接計(jì)算求解即可.【詳解】依題意可得，該牛皮鼓的體積可視為兩個(gè)相同的圓臺(tái)（上底面半徑為，下底面半徑為，高為）的體積之和，所以該牛皮鼓的體積為．故選：C3．從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱上各取一點(diǎn)、、，過(guò)此三點(diǎn)作長(zhǎng)方體的截面，那么截去的幾何體是（

）A．三棱柱 B．三棱錐 C．四棱柱 D．四棱錐【答案】B【分析】畫(huà)出圖形觀察即可.【詳解】如圖所示，

截去的立體圖形有四個(gè)面，四個(gè)頂點(diǎn)，六條邊，所以該幾何體為三棱錐.故選：B.4．已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的形狀先求出圓錐的母線，然后求出半徑，再由圓錐的體積公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)母線長(zhǎng)為，依題意得，，解得，于是圓錐的高為，根據(jù)圓錐的體積公式，其體積為：.故選：B

5．底面半徑為1的圓錐的側(cè)面展開(kāi)扇形面積是它的底面積的兩倍，則母線長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積和底面積的關(guān)系列方程，從而求得母線長(zhǎng).【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，依題意，圓錐的底面半徑，則.故選：C6．水果盤逐漸成為了很多家庭中常見(jiàn)的一種生活用品，它環(huán)保又美觀，受到了大眾的喜愛(ài)，而且水果盤逐漸由簡(jiǎn)單的盛物品變成帶有擺飾風(fēng)格的裝飾品．水果盤的造型多樣，如圖所示的水果盤可以近似看成一個(gè)正六棱臺(tái)，厚度忽略不計(jì)，它的上端是棱長(zhǎng)為的正六邊形開(kāi)口，下端是棱長(zhǎng)為的正六邊形的封閉底面，側(cè)面是6個(gè)封閉的等腰梯形，水果盤的高為，則該水果盤的容積為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)臺(tái)體的體積公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：正六棱臺(tái)的上底面面積為，下底面面積，所以正六棱臺(tái)的體積為，即該水果盤的容積為.故選：B.7．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，若，則該四棱錐的體積為（

）

A．48 B．18 C．16 D．8【答案】C【分析】由棱錐的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意可得：該四棱錐的體積為，故選：C.8．如圖，已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為，則圓錐的母線長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由圓錐的底面周長(zhǎng)與側(cè)面展開(kāi)圖的半圓弧相等，結(jié)合弧長(zhǎng)公式列方程即可求母線長(zhǎng).【詳解】由題設(shè)母線長(zhǎng)為，則，可得.故選：D.9．已知圓柱的底面半徑是3，高是4，那么圓柱的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圓柱的側(cè)面積公式直接可得.【詳解】由題意設(shè)底面半徑為，母線為，圓柱的側(cè)面積為.故選：C.10．如圖，圓柱的底面半徑是2，高是3，則這個(gè)圓柱的體積是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)圓柱的體積公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由圓柱的體積公式可得，該圓柱的體積為：.故選：D11．如圖，圓錐的底面直徑和高均是2，過(guò)的中點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下幾何體的體積是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓錐和圓柱的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，圓柱底面半徑為，則，，剩下幾何體的體積．故選：D12．已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是2，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】借助于側(cè)面展開(kāi)圖分析運(yùn)算.【詳解】如圖，將側(cè)面和側(cè)面展開(kāi)成一個(gè)平面，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.

13．一個(gè)圓柱的體積是36，它的底面積是18，它的高是（

）A． B．2 C．6 D．18【答案】B【分析】根據(jù)柱體的體積公式求解.【詳解】設(shè)圓柱的高為，根據(jù)圓柱的體積公式，，解得.故選：B14．長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，長(zhǎng)?寬?高分別為，那么這個(gè)球體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體特征求出外接球半徑，結(jié)合球體的體積公式求解答案.【詳解】長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即外接球的直徑長(zhǎng)為，所以外接球半徑為，所以這個(gè)球體的體積.故選：D15．若圓錐的底面半徑為1，體積為，則該圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓錐體積計(jì)算圓錐的高，得到展開(kāi)圖的扇形半徑，結(jié)合扇形面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】圓錐底面半徑為1，則底面的面積為，周長(zhǎng)，設(shè)圓錐的為，則圓錐的體積為，得，如下圖，，，所以,即展開(kāi)圖中的扇形半徑為2，所以該圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為.

故選：A16．通用技術(shù)結(jié)業(yè)課程上，老師帶領(lǐng)大家設(shè)計(jì)一個(gè)圓臺(tái)狀的器皿材料的厚度忽略不計(jì)，該器皿下底面半徑為3cm，上底面半徑為18cm，容積為，則該器皿的高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積計(jì)算可得圓臺(tái)的高.【詳解】由題意得，，解得.故選:C.17．如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論不正確的是（

）

A．圈柱的側(cè)面積為B．圓柱的側(cè)面積與球面面積相等C．圓錐的側(cè)面積為D．三個(gè)幾何體的表面積中，球的表面積最小【答案】D【分析】根據(jù)圓柱、圓錐、球體的表面積公式即可求解.【詳解】對(duì)A，圓柱的側(cè)面積等于,正確；對(duì)B，球面面積為，所以圓柱的側(cè)面積與球面面積相等，B正確；對(duì)C，圓錐的母線長(zhǎng)為,所以圓錐的側(cè)面積為,C正確；對(duì)D，圓柱的表面積,圓錐的表面積,球的表面積為,所以圓錐的表面積最小，D錯(cuò)誤；故選:D.二、多選題18．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，若點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．直線平面B．三棱錐與三棱錐的體積之和為C．的周長(zhǎng)的最小值為D．當(dāng)點(diǎn)M是的中點(diǎn)時(shí)，CM與平面所成角最大【答案】ABD【分析】根據(jù)面面平行、線面平行的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式、線面角的定義、正方體展開(kāi)圖逐一判斷即可.【詳解】A：如下圖所示：因?yàn)槭钦襟w，所以，而平面，平面，所以平面，同理由是正方體可得，同理可證明平面，而平面，所以平面平面，而平面，所以直線平面，因此本選項(xiàng)正確；

B：如下圖所示：過(guò)作，交、于、，過(guò)作，交于，因?yàn)槭钦叫?，所以可得，，因此本選項(xiàng)正確；

C：將平面與平面展成同一平面，如下圖所示：

當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，作，交延長(zhǎng)線于，則，，，所以的周長(zhǎng)的最小值為，因此本選項(xiàng)不正確；D：當(dāng)點(diǎn)M是的中點(diǎn)時(shí)，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，而平面，所以平面，CM與平面所成角為，因此本選項(xiàng)正確，故選：ABD三、雙空題19．圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，則其側(cè)面積等于，體積為．【答案】【分析】根據(jù)題意，由條件可得母線長(zhǎng)，然后結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式以及體積公式，即可得到結(jié)果.【詳解】

底面周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)，所以該圓錐的側(cè)面積為．由勾股定理知，圓錐的高，則體積.故答案為：；.四、填空題20．已知圓錐的高為2，體積為，則該圓錐的側(cè)面積為.【答案】【分析】利用圓錐體積公式可知其底面半徑，再由側(cè)面展開(kāi)圖可計(jì)算可得面積為.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，由題意可得圓錐的高，體積，解得；所以圓錐母線；由圓錐側(cè)面展開(kāi)圖可知，展開(kāi)圖是半徑為，弧長(zhǎng)為的扇形，所以該圓錐的側(cè)面積為.故答案為：21．已知一個(gè)圓臺(tái)內(nèi)切球的半徑為，圓臺(tái)的表面積為，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為.【答案】/【分析】根據(jù)圓臺(tái)與球的性質(zhì)結(jié)合圓臺(tái)的表面積、體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)內(nèi)切球的半徑為，圓臺(tái)上、下底面圓半徑分別為，，則圓臺(tái)的高，如圖為圓臺(tái)的軸截面圖形，可得母線長(zhǎng)，故，故.

故答案為：22．陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積是.

【答案】【分析】求出圓錐部分的母線，利用圓錐以及圓柱的側(cè)面積公式，即可求得答案.【詳解】由題意可知圓錐的母線長(zhǎng)為，故陀螺的表面積為，故答案為：23．如圖，高度均為3的封閉玻璃圓錐和圓柱容器內(nèi)裝入等體積的水，此時(shí)水面高度均為，若，記圓錐的底面半徑為，圓柱的底面半徑為，則.

【答案】/【分析】利用圓錐的軸截面求出圓錐內(nèi)水的體積的表達(dá)式，再求出圓柱內(nèi)水的體積表達(dá)式，二者相等，化簡(jiǎn)即可得答案.【詳解】如圖，作出圓錐的軸截面，設(shè)為水面，O為圓錐底面中心，為水面中心，

則，則∽，故，故圓錐內(nèi)水的體積為，圓柱內(nèi)水的體積為，由，得，故，故答案為：24．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”．現(xiàn)有一“陽(yáng)馬”（如圖所示），其中底面，，，，則該“陽(yáng)馬”的外接球的表面積為．

【答案】【分析】以為棱作長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為外接球的直徑，從而求出外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】如圖，以為棱作長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為該“陽(yáng)馬”的外接球的直徑，設(shè)直徑為，則，所以，所以該“陽(yáng)馬”的外接球的表面積為.故答案為：.

25．長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，1，那么這個(gè)球的表面積是．【答案】【分析】先求出長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)度，即得外接球的直徑，再求球的表面積即可.【詳解】由題意，長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度即外接球的直徑，為，故這個(gè)球的表面積是.故答案為：26．若圓臺(tái)下底半徑為4，上底半徑為1，母線長(zhǎng)為，則其體積為.【答案】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的幾何特征及體積公式計(jì)算即可.【詳解】圓臺(tái)下底半徑為，上底半徑為，母線長(zhǎng)為，則圓臺(tái)的高為；所以圓臺(tái)的體積．故答案為:.27．如圖1，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為2，高為4，內(nèi)裝水若干，將容器放倒．把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖2，這時(shí)水面恰好是中截面．則圖1中容器水面的高度是．

【答案】【分析】根據(jù)水的體積與棱柱體積的關(guān)系得出結(jié)論．【詳解】棱柱的體積公式是，其中是底面積，是高．在圖2中，水面是中截面，水面以上部分是一個(gè)三棱柱，所以這個(gè)三棱柱的底面積是原來(lái)三棱柱底面的，從而這個(gè)小三棱柱的體積是大棱柱體積的（高一樣），所以水的體積是大三棱柱體積的，那么圖1中水面的高度是棱柱高的，即為．故答案為：．28．如圖，是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以自豪的發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)中，球的體積與圓柱的體積之比為.

【答案】/【分析】根據(jù)兩圖形的關(guān)系可得圓柱的底面半徑與球的半徑相等，設(shè)半徑為，計(jì)算出兩幾何體的體積，求出比值即可．【詳解】圓柱內(nèi)切一個(gè)球，圓柱的底面半徑與球的半徑相等，不妨設(shè)為，則圓柱的高為，，．球與圓柱的體積之比為，故答案為:．29．某斜棱柱的底面積為，側(cè)棱長(zhǎng)為20，其直截面（垂直于側(cè)棱的平面與棱柱的截面）面積為5，則該棱柱的高為．【答案】/【分析】設(shè)棱柱的高為，則利用等體積法由已知條件直接列方程求解即可【詳解】設(shè)棱柱的高為，因?yàn)樾崩庵牡酌娣e為，側(cè)棱長(zhǎng)為20，其直截面面積為5，所以，解得，故答案為：30．已知圓錐的高為，底面半徑為1，則該圓錐的表面積是．【答案】【分析】求出圓錐的底面積和側(cè)面積，相加后得到表面積.【詳解】圓錐的底面積為，圓錐的母線長(zhǎng)為，故側(cè)面積為，故該圓錐的表面積為.故答案為：31．已知正四棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則此棱臺(tái)的體積為．【答案】/【分析】根據(jù)棱臺(tái)的體積公式直接計(jì)算即可.【詳解】由題意可知此棱臺(tái)的上、下底面對(duì)角線長(zhǎng)、，

所以棱臺(tái)的高，所以棱臺(tái)的體積，故答案為：32．在一些餐飲店中經(jīng)常見(jiàn)到用于計(jì)時(shí)的沙漏，從沙漏的下半部分可抽象出一個(gè)高為，底面圓半徑為的圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為.【答案】【分析】求出母線長(zhǎng)，利用圓錐側(cè)面積公式求解即可.【詳解】圓錐的底面半徑是，高是，則圓錐母線長(zhǎng)為，所以它的側(cè)面積是.故答案為：33．已知半球的半徑為2，如圖，截面圓平行于半球的底面的，以該截面圓為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下的幾何體的表面積的最大值為.

【答案】【分析】畫(huà)圖，設(shè)球的半徑為