2018高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第6章數(shù)列第2節(jié)數(shù)列的通項公式與求和

第2節(jié)數(shù)列的通項公式與求和題型74數(shù)列通項公式的求解1.(2013安徽文19）設(shè)數(shù)列滿足，且對任意，函數(shù)滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；；（2）若，求數(shù)列的前項和.1.分析（1）求導(dǎo)，代入，并對所得式子進(jìn)行變形，從而證明數(shù)列是等差數(shù)列，再由題目條件求基本量，得通項公式.（2）將代入化簡，利用分組求和法，結(jié)合等差、等比數(shù)列的前項和公式計算.解析（1）由題設(shè)可得.對任意，，即，故為等差數(shù)列.由，，可得數(shù)列的公差，所以.（2）由知，.2.（2013廣東文19）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，,且構(gòu)成等比數(shù)列．(1)證明：；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)，有2.分析（1）把代入遞推式，可以得到和的關(guān)系式，變形可得.（2）鑒于遞推式含有的特點，常用公式進(jìn)行化異為同，得到和的遞推式，構(gòu)造等差數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項.（3）要證的不等式的左邊是一個新數(shù)列的前項和，因此要求和、化簡，因為是一個分式，常常通過裂項相消法逐項相消，然后再通過放縮，得出結(jié)論.解析（1）證明：由，得，即，所以.因為，所以.（2）因為①所以當(dāng)時，②由①-②得，即.因為，所以，即.因為成等比數(shù)列，所以，即，解得.又由（1）知，所以，所以.綜上知，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.所以.所以數(shù)列的通項公式為.（3）證明：由（2）知，所以.3.（2013江西文16）正項數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，數(shù)列的前項和為．3.分析（1）根據(jù)已知的和的關(guān)系式進(jìn)行因式分解，通過得到數(shù)列的通項公式；（2）把數(shù)列的通項公式代入的表達(dá)式，利用裂項法求出數(shù)列的前項和.解析（1）由，得.由于是正項數(shù)列，所以.（2）由，則，.(2013重慶文16）設(shè)數(shù)列滿足：.（1）求的通項公式及前項和；（2）已知是等差數(shù)列，為其前項和，且，求.4.分析根據(jù)等比、等差數(shù)列的通項公式及前項和公式直接運算求解.解析（1）由題設(shè)知是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2），所以公差，故.5.(2013湖南文19）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，2，.（1）求，，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.5.分析根據(jù)消去得到關(guān)于的關(guān)系式，求其通項；利用錯位相減法求前項和.解析（1）令，得，即.因為，所以.令，得，解得.當(dāng)時，由，即.于是數(shù)列是首項為.公比為的等比數(shù)列.因此，.所以的通項公式為.（2）由（1）知，.記數(shù)列的前項和為，于是，.，得.從而.6.（2014陜西文4）根據(jù)如圖所示框圖，對大于的整數(shù)，輸出的數(shù)列的通項公式是（）.A.B.C.D.7.（2014新課標(biāo)Ⅱ文16）數(shù)列滿足，，則.8.（2014江西文17）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：對任意，都有，使得成等比數(shù)列.9.（2014大綱文17）（本小題滿分10分）數(shù)列滿足.（1）設(shè)，證明是等差數(shù)列；（2）求的通項公式.10.（2014廣東文19）（本小題滿分14分）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足.求的值；求數(shù)列的通項公式；求證：對一切正整數(shù)，有.11.（2014湖南文16）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.12.（2015陜西文16）觀察下列等式：……據(jù)此規(guī)律，第個等式可為______________________.12.解析觀察等式知，第個等式的左邊有個數(shù)相加減，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，且分子為，分母是到的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是.故答案為.13.（2015江蘇卷11）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列前項的和為．13.解析解法一：可以考慮算出前項，但運算化簡較繁瑣．解法二：由題意得，，…，故累加得，從而，當(dāng)時，滿足通項．故，則有．14.（2015安徽理18）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項和，，求數(shù)列的前項和.14.解析（1）因為是等比數(shù)列，且，所以.聯(lián)立，又為遞增的等比數(shù)列，即.解得或（舍），可得，得.所以.（2）由（1）可知，所以，所以.故.15.（2015北京文16）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，；問：與數(shù)列的第幾項相等？15.解析（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，①②得，.數(shù)列的通項公式為.（2）等比數(shù)列中，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，.，得，則與數(shù)列的第項相等.16.（2015福建文17）在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求的值．16.分析（1）利用基本量法可求得，，進(jìn)而求的通項公式；（2）求數(shù)列前項和，首先考慮其通項公式，根據(jù)通項公式的不同特點，選擇相應(yīng)的求和方法，本題，故可采取分組求和法求其前項和．解析（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由已知得，解得．所以．（2）由（1）可得，所以.17.（2015廣東文19）設(shè)數(shù)列的前項和為，．已知，，，且當(dāng)時，．（1）求的值；（2）求證：為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項公式．17.解析（1）當(dāng)時，，即，解得.（2）因為（），所以（），即（），亦即，則.當(dāng)時，，滿足上式.故數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列.（3）由（2）可得，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列的通項公式是.18.（2015湖北文19）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為，等比數(shù)列的公比為，已知，，，.(1)求數(shù)列，的通項公式;(2)當(dāng)時，記，求數(shù)列的前項和.18.解析(1)由題意有，，即.解得，或.故或.(2)由，知，，故，于是，①.②式①式②可得.故.19.（2015山東文19）已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和.19.解析（1）設(shè)數(shù)列的公差為，令，得，即.令，得，即.聯(lián)立，解得，.所以.（2）由（1）知，得到，從而，得，所以.19.（2015四川文16）設(shè)數(shù)列（）的前項和滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求.19.解析（1）由已知，可得，即.則，.又因為，，成等差數(shù)列，即.所以，解得.所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.故.（2）由（1）可得，所以.20.（2015天津文18）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè),求數(shù)列的前項和.20.分析（1）列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求出，即可確定通項；（2）用錯位相減法求和.解析（1）設(shè)的公比為，的公差為，由題意，由已知，有，消去得，解得，所以的通項公式為，的通項公式為.（2）由（1）有，設(shè)的前項和為，則，，兩式相減得，所以.21.（2015浙江文17）已知數(shù)列和滿足，.(1)求與;(2)記數(shù)列的前項和為，求.21.解析(1)由題意知是等比數(shù)列，，，所以.當(dāng)時，，所以，所以，所以，又，所以.（或采用累乘法）(2)，所以，所以，所以.22.（2015重慶文16）已知等差數(shù)列滿足，前3項和.（1）求的通項公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求前項和.22.解析（1）設(shè)的公差為，則由已知條件得，，化簡得，，解得，，故通項公式，．（2）由（1）得，.設(shè)的公比為，則，從而，故的前項和.23.（2016浙江文17）設(shè)數(shù)列的前項和為.已知，，.（1）求通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.23.解析（1）由題意得，則.因為，，所以，得.又知，所以數(shù)列的通項公式為，.（2）對于，，，當(dāng)時，有.設(shè)，，，，當(dāng)時，有.設(shè)數(shù)列的前項和為，則，.當(dāng)時，，時也滿足此式，所以.24.（2017全國3文17）設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.24.解析（1）令，則有，即.當(dāng)時，=1\*GB3①=2\*GB3②得，即，得.當(dāng)時，也符合，所以.（2）令，所以.評注本題具有一定的難度，第一問要求學(xué)生具備一定的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將不熟悉的表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列求通項問題才能迎刃而解.第二問屬于常規(guī)裂項相消問題，沒有難度，如果學(xué)生第一問求解時出現(xiàn)困難的話，可以用找規(guī)律的方法求出其通項，這樣可以拿到第二問的分?jǐn)?shù)，不失為一種靈活變通的處理方法.25.（2017山東文19）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）為各項非零的等差數(shù)列，其前項和，已知，求數(shù)列的前項和.25.解析（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知，，.又，解得，，所以.（2）由題意知，.又，，所以.令，則，因此，又，兩式相減得，所以.題型75數(shù)列的求和1.（2015湖南文5）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的（）.A.B.C.D.1.解析由題意，輸出的為數(shù)列的前項和，即.故選B.2.（2015安徽理18）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和，，求數(shù)列的前項和.2.解析（1）因為是等比數(shù)列，且，所以.聯(lián)立，又為遞增的等比數(shù)列，即.解得或（舍），可得，得.所以.（2）由（1）可知，所以，所以.故.3.（2014安徽文18）（本小題滿分12分）數(shù)列滿足，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.3.解析（=1\*ROMANI）由已知可得，即.所以是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）得，所以.從而.，①.②得.所以.評注本題考查等差數(shù)列定義的應(yīng)用，錯位相減法求數(shù)列的前項和，解題時利用題（=1\*ROMANI）提示對遞推關(guān)系進(jìn)行變形是關(guān)鍵.4.（2015福建文17）在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求的值．4.分析（1）利用基本量法可求得，，進(jìn)而求的通項公式；（2）求數(shù)列前項和，首先考慮其通項公式，根據(jù)通項公式的不同特點，選擇相應(yīng)的求和方法，本題，故可采取分組求和法求其前項和．解析（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由已知得，解得．所以．（2）由（1）可得，所以.5.（2015湖北文19）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為，等比數(shù)列的公比為，已知，，，.(1)求數(shù)列，的通項公式(2)當(dāng)時，記，求數(shù)列的前項和.5.解析(1)由題意有，，即.解得，或.故或.(2)由，知，，故，于是，①.②式①式②可得.故.6.（2015湖南文19）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，，且.（1）證明：；（2）求.6.解析（1）由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對一切，.（2）由（1）知，，所以，于是數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，所以，（于是，從而，綜上所述，.7.（2015山東文19）已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和.7.解析（1）設(shè)數(shù)列的公差為，令，得，即令，得，即聯(lián)立，解得，.所以.（2）由（1）知，得到，從而，得，所以.8.（2015四川文16）設(shè)數(shù)列（）的前項和滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求.8.解析（1）由已知，可得，即.則，.又因為，，成等差數(shù)列，即.所以，解得.所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.故.（2）由（1）可得，所以.9.（2015天津文18）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè),求數(shù)列的前項和.9.分析（1）列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求出，即可確定通項；（2）用錯位相減法求和.解析（1）設(shè)的公比為，的公差為，由題意，由已知，有，消去得，解得，所以的通項公式為，的通項公式為.（2）由（1）有，設(shè)的前項和為，則，，兩式相減得，所以.10.（2015浙江文17）已知數(shù)列和滿足，.(1)求與;(2)記數(shù)列的前項和為，求.10.解析(1)由題意知是等比數(shù)列，，，所以.當(dāng)時，，所以，所以，所以.又，所以（或采用累乘法）.(2)，所以，所以，所以.11.（2015重慶文16）已知等差數(shù)列滿足，前3項和.（1）求的通項公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求前項和.11.解析（1）設(shè)的公差為，則由已知條件得，，化簡得，，解得，，故通項公式，．（2）由（1）得，.設(shè)的公比為，則，從而，故的前項和.12.（2016北京文15）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.12.解析（1）等比數(shù)列的公比，所以，.設(shè)等差數(shù)列的公差為.因為，，所以，即.所以.（2）由（1）知，，.因此.從而數(shù)列的前項和.13.（2016山東文19）已知數(shù)列的前項和，是等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令.求數(shù)列的前n項和.13.解析（1）由題意當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，解得，所以.（2）由（1）知，又，即，所以，以上兩式兩邊相減得.所以.14.（2016浙江文17）設(shè)數(shù)列的前項和為.已知，，.（1）