2024屆濟南一中高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題

2024屆濟南一中高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則=（）A． B． C． D．2．計算等于()A． B． C． D．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入，則輸出的的值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù).設(shè)，若對任意不相等的正數(shù)，，恒有，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．5．已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離6．已知定點，，是圓上的任意一點，點關(guān)于點的對稱點為，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓7．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A．2 B． C．4 D．8．若實數(shù)x，y滿足條件，目標函數(shù)，則z的最大值為()A． B．1 C．2 D．09．在中所對的邊分別是，若，則（）A．37 B．13 C． D．10．如圖，圓的半徑為，，是圓上的定點，，是圓上的動點，點關(guān)于直線的對稱點為，角的始邊為射線，終邊為射線，將表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（）A． B． C． D．11．如圖是二次函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．12．一個盒子里有4個分別標有號碼為1，2，3，4的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是4的取法有（）A．17種 B．27種 C．37種 D．47種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則的值等于__________.14．（5分）在平面直角坐標系中，過點作傾斜角為的直線，已知直線與圓相交于兩點，則弦的長等于____________．15．已知函數(shù)，若的最小值為，則實數(shù)的取值范圍是_________16．函數(shù)的定義域是___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓的右焦點，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點.為坐標原點，為橢圓的右頂點，求四邊形面積的最大值.18．（12分）在平面直角坐標系xoy中，曲線C的方程為.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）寫出曲線C的極坐標方程，并求出直線l與曲線C的交點M，N的極坐標；（2）設(shè)P是橢圓上的動點，求面積的最大值.19．（12分）車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對之前加工的100個零件的加工時間進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：加工1個零件用時（分鐘）20253035頻數(shù)（個）15304015以加工這100個零件用時的頻率代替概率.（1）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）劉師傅準備給幾個徒弟做一個加工該零件的講座，用時40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個零件作示范的總時間不超過100分鐘的概率.20．（12分）在中，角的對邊分別為.已知，且.（1）求的值；（2）若的面積是，求的周長.21．（12分）如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.過頂點，的平面與棱，分別交于，兩點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：四邊形是平行四邊形；（Ⅲ）若，試判斷二面角的大小能否為？說明理由.22．（10分）某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山隧道，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，以所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，山區(qū)邊界曲線為，設(shè)公路與曲線相切于點，的橫坐標為.（1）當(dāng)為何值時，公路的長度最短?求出最短長度；（2）當(dāng)公路的長度最短時，設(shè)公路交軸，軸分別為，兩點，并測得四邊形中，，，千米，千米，求應(yīng)開鑿的隧道的長度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】解：由，得，．故選．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2、A【解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合對數(shù)運算，求得所求表達式的值.【詳解】原式.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

由程序語言依次計算，直到時輸出即可【詳解】程序的運行過程為當(dāng)n=2時，時，，此時輸出.故選：C【點睛】本題考查由程序框圖計算輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】

求解的導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，對任意不相等的正數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域為，，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減；不妨設(shè)，而，知在單調(diào)遞減，從而對任意、，恒有，即，，，令，則，原不等式等價于在單調(diào)遞減，即，從而，因為，所以實數(shù)a的取值范圍是故選：D.【點睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.5、B【解析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r6、B【解析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，如下圖所示：所以有，而是中點，連接，故，因此當(dāng)在如下圖所示位置時有，所以有，而是中點，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點的軌跡是雙曲線.故選：B【點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了數(shù)學(xué)運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.7、A【解析】

對復(fù)數(shù)進行乘法運算，并計算得到，從而得到虛部為2.【詳解】因為，所以z的虛部為2.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算及虛部的概念，計算過程要注意.8、C【解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實數(shù)x，y滿足條件，目標函數(shù)如圖：當(dāng)時函數(shù)取最大值為故答案選C【點睛】求線性目標函數(shù)的最值:當(dāng)時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最大，在軸截距最小時，z值最??；當(dāng)時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最小，在軸上截距最小時，值最大.9、D【解析】

直接根據(jù)余弦定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

根據(jù)圖象分析變化過程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯誤選項，得到函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時，P與A重合，則與B重合，所以,故排除C,D選項；當(dāng)時，，由圖象可知選B.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.11、B【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸得出范圍，軸截距，求出的范圍，判斷在區(qū)間端點函數(shù)值正負，即可求出結(jié)論.【詳解】∵，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，二次函數(shù)的對稱軸為，，，∵，所以在上單調(diào)遞增.又因為，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選:B.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種；先找到最大值不是4的情況,即三次取出標號均不為4的球的情況,進而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標號最大值是4的取法有種,故選:C【點睛】本題考查古典概型,考查補集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可解決.【詳解】由已知，，，故.故答案為：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意在某點的切線與過某點的切線的區(qū)別，本題屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

方法一：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡得，解得或，從而得或，則．方法二：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡得，設(shè)，則，故.方法三：將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離，則.15、【解析】

，可得在時，最小值為，時，要使得最小值為，則對稱軸在1的右邊，且，求解出即滿足最小值為.【詳解】當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.當(dāng)時，為二次函數(shù)，要想在處取最小，則對稱軸要滿足并且，即，解得.【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，對每段函數(shù)先進行分類討論，找到每段的最小值，然后再對兩段函數(shù)的最小值進行比較，得到結(jié)果，題目較綜合，屬于中檔題.16、【解析】

由于偶次根式中被開方數(shù)非負，對數(shù)的真數(shù)要大于零，然后解不等式組可得答案.【詳解】解：由題意得，，解得，所以，故答案為：【點睛】此題考查函數(shù)定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）最大值.【解析】

（1）根據(jù)通徑和即可求（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓，利用，用含的式子表示出，用換元，可得，最后用均值不等式求解.【詳解】解：（1）依題意有，，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.所以，.所以.令，則，所以，因，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，即四邊形面積的最大值.【點睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.18、（1），，；（2）.【解析】

（1）利用公式即可求得曲線的極坐標方程；聯(lián)立直線和曲線的極坐標方程，即可求得交點坐標；（2）設(shè)出點坐標的參數(shù)形式，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值的問題即可求得.【詳解】（1）曲線的極坐標方程：聯(lián)立，得，又因為都滿足兩方程，故兩曲線的交點為，.（2）易知，直線.設(shè)點，則點到直線的距離（其中）.面積的最大值為.【點睛】本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的相互轉(zhuǎn)化，涉及利用橢圓的參數(shù)方程求面積的最值問題，屬綜合中檔題.19、（1）分布列見解析，；（2）0.8575【解析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得分布列，并計算出數(shù)學(xué)期望.（2）根據(jù)對立事件概率計算公式、相互獨立事件概率計算公式，計算出劉師傅講座及加工個零件作示范的總時間不超過分鐘的概率.【詳解】（1）的分布列如下：202530350.150.300.400.15.（2）設(shè)，分別表示講座前、講座后加工該零件所需時間，事件表示“留師傅講座及加工兩個零件示范的總時間不超過100分鐘”，則.【點睛】本小題主要考查隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查對立事件概率計算，考查相互獨立事件概率計算，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】

（1）由正弦定理可得,,化簡并結(jié)合,可求得三者間的關(guān)系,代入余弦定理可求得;（2）由（1）可求得,再結(jié)合三角形的面積公式,可求出,從而可求出答案.【詳解】（1）因為,所以,整理得:.因為,所以,所以.由余弦定理可得.（2）由（1）知,則,因為的面積是,所以,即,解得,則.故的周長為:.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了三角形面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.21、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）不能為.【解析】

（1）由平面平面，可得平面，從而證明；（2）由平面與平面沒有交點，可得與不相交，又與共面，所以，同理可證，得證；（3）作交于點，延長交于點，連接，根據(jù)三垂線定理，確定二面角的平面角，若，，由大角對大邊知，兩者矛盾，故二面角的大小不能為.【詳解】（1）由平面平面，平面平面，且，所以平面，又平面，所以；（2）依題意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面與平面平行，即兩個平面沒有交點，則與不相交，又與共面，所以，同理可證，所以四邊形是平行四邊形；（3）不能.如圖，作交于點，延長交于點，連接，由，，，所以平面，則平面，又，根據(jù)三垂線定理，得到，所以是二面角的平面角，若，則是等腰直角三角形，，又，所以中，由大角對大邊知，所以，這與上面相矛盾，所以二面角的大小不能為.【點睛】本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問題，和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，屬中檔題.22、（1）當(dāng)時，公路的長度最短為千米；（2）（千米）.【解析】

（1）設(shè)切點的坐標為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程為，根據(jù)兩點間距離得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，從而得出極值和最值，即可得出結(jié)果；（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根據(jù)勾股定理即可