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文檔簡介
2024屆江蘇省南通市通州區(qū)、海安縣高考數(shù)學試題模擬題及解析(北京卷)注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,,則A. B.C. D.2.音樂,是用聲音來展現(xiàn)美,給人以聽覺上的享受,熔鑄人們的美學趣味.著名數(shù)學家傅立葉研究了樂聲的本質(zhì),他證明了所有的樂聲都能用數(shù)學表達式來描述,它們是一些形如的簡單正弦函數(shù)的和,其中頻率最低的一項是基本音,其余的為泛音.由樂聲的數(shù)學表達式可知,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波.下列函數(shù)中不能與函數(shù)構(gòu)成樂音的是()A. B. C. D.3.已知分別為雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,若,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C.2 D.4.已知若(1-ai)(3+2i)為純虛數(shù),則a的值為()A. B. C. D.5.已知,,且是的充分不必要條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},則=()A.{3,5,6} B.{1,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,5,6}7.已知x,y滿足不等式,且目標函數(shù)z=9x+6y最大值的變化范圍[20,22],則t的取值范圍()A.[2,4] B.[4,6] C.[5,8] D.[6,7]8.設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點,點與點關(guān)于軸對稱,為坐標原點,若,且,則點的軌跡方程是()A. B.C. D.9.已知為等比數(shù)列,,,則()A.9 B.-9 C. D.10.在邊長為的菱形中,,沿對角線折成二面角為的四面體(如圖),則此四面體的外接球表面積為()A. B.C. D.11.復數(shù)的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.設遞增的等比數(shù)列的前n項和為,已知,,則()A.9 B.27 C.81 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.三棱柱中,,側(cè)棱底面,且三棱柱的側(cè)面積為.若該三棱柱的頂點都在同一個球的表面上,則球的表面積的最小值為_____.14.齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽,則田忌的馬獲勝的概率為__________.15.函數(shù)的值域為_________.16.已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則的最小值等于__________,此時a=____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,底面,,點在線段上,且.(1)求證:平面;(2)若,,,,求二面角的正弦值.18.(12分)如圖,四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直,,//,.(1)證明://平面BCE.(2)設平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ,求.19.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)的最大值為3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求證:20.(12分)已知,,,.(1)求的值;(2)求的值.21.(12分)已知點為圓:上的動點,為坐標原點,過作直線的垂線(當、重合時,直線約定為軸),垂足為,以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求點的軌跡的極坐標方程;(2)直線的極坐標方程為,連接并延長交于,求的最大值.22.(10分)對于很多人來說,提前消費的認識首先是源于信用卡,在那個工資不高的年代,信用卡絕對是神器,稍微大件的東西都是可以選擇用信用卡來買,甚至于分期買,然后慢慢還!現(xiàn)在銀行貸款也是很風靡的,從房貸到車貸到一般的現(xiàn)金貸.信用卡“忽如一夜春風來”,遍布了各大小城市的大街小巷.為了解信用卡在市的使用情況,某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡進行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機抽取了100人進行抽樣分析,得到如下列聯(lián)表(單位:人)經(jīng)常使用信用卡偶爾或不用信用卡合計40歲及以下15355040歲以上203050合計3565100(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為市使用信用卡情況與年齡有關(guān)?(2)①現(xiàn)從所抽取的40歲及以下的網(wǎng)民中,按“經(jīng)常使用”與“偶爾或不用”這兩種類型進行分層抽樣抽取10人,然后,再從這10人中隨機選出4人贈送積分,求選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率;②將頻率視為概率,從市所有參與調(diào)查的40歲以上的網(wǎng)民中隨機抽取3人贈送禮品,記其中經(jīng)常使用信用卡的人數(shù)為,求隨機變量的分布列、數(shù)學期望和方差.參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
因為,,所以,,故選D.2、C【解析】
由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項.【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.3、A【解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用雙曲線的定義可用表示出,,用勾股定理得出的等式,從而得離心率.【詳解】.又,可令,則.設,得,即,解得,∴,,由得,,,該雙曲線的離心率.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系,利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來,從而再由勾股定理建立的關(guān)系.4、A【解析】
根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則化簡可得,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為,該復數(shù)為純虛數(shù),所以.故選:A【點睛】本題考查復數(shù)的運算和復數(shù)的分類,屬基礎題.5、D【解析】
“是的充分不必要條件”等價于“是的充分不必要條件”,即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知:可化簡為,,所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集,所以.【點睛】利用原命題與其逆否命題的等價性,對是的充分不必要條件進行命題轉(zhuǎn)換,使問題易于求解.6、B【解析】
按補集、交集定義,即可求解.【詳解】={1,3,5,6},={1,2,5,6},所以={1,5,6}.故選:B.【點睛】本題考查集合間的運算,屬于基礎題.7、B【解析】
作出可行域,對t進行分類討論分析目標函數(shù)的最大值,即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當t≤2時,可行域即為如圖中的△OAM,此時目標函數(shù)z=9x+6y在A(2,0)取得最大值Z=18不符合題意t>2時可知目標函數(shù)Z=9x+6y在的交點()處取得最大值,此時Z=t+16由題意可得,20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選:B.【點睛】此題考查線性規(guī)劃,根據(jù)可行域結(jié)合目標函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍,涉及分類討論思想,關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.8、A【解析】
設坐標,根據(jù)向量坐標運算表示出,從而可利用表示出;由坐標運算表示出,代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設,,其中,,即關(guān)于軸對稱故選:【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解,涉及到平面向量的坐標運算、數(shù)量積運算;關(guān)鍵是利用動點坐標表示出變量,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算可整理得軌跡方程.9、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的下標和性質(zhì)可求出,便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設等比數(shù)列的公比為,則當時,,∴;當時,,∴.故選:C.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應用,意在考查學生的數(shù)學運算能力,屬于基礎題.10、A【解析】
畫圖取的中點M,法一:四邊形的外接圓直徑為OM,即可求半徑從而求外接球表面積;法二:根據(jù),即可求半徑從而求外接球表面積;法三:作出的外接圓直徑,求出和,即可求半徑從而求外接球表面積;【詳解】如圖,取的中點M,和的外接圓半徑為,和的外心,到弦的距離(弦心距)為.法一:四邊形的外接圓直徑,,;法二:,,;法三:作出的外接圓直徑,則,,,,,,,,,.故選:A【點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積,關(guān)鍵點是通過幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑,方法較多,屬于較易題目.11、C【解析】所對應的點為(-1,-2)位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復平面的概念,屬于簡單題.12、A【解析】
根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項,即得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為q.由,得,解得或.因為.且數(shù)列遞增,所以.又,解得,故.故選:A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
分析題意可知,三棱柱為正三棱柱,所以三棱柱的中心即為外接球的球心,設棱柱的底面邊長為,高為,則三棱柱的側(cè)面積為,球的半徑表示為,再由重要不等式即可得球表面積的最小值【詳解】如下圖,∵三棱柱為正三棱柱∴設,∴三棱柱的側(cè)面積為∴又外接球半徑∴外接球表面積.故答案為:【點睛】考查學生對幾何體的正確認識,能通過題意了解到題目傳達的意思,培養(yǎng)學生空間想象力,能夠利用題目條件,畫出圖形,尋找外接球的球心以及半徑,屬于中檔題14、.【解析】分析:由題意結(jié)合古典概型計算公式即可求得題中的概率值.詳解:由題意可知了,比賽可能的方法有種,其中田忌可獲勝的比賽方法有三種:田忌的中等馬對齊王的下等馬,田忌的上等馬對齊王的下等馬,田忌的上等馬對齊王的中等馬,結(jié)合古典概型公式可得,田忌的馬獲勝的概率為.點睛:有關(guān)古典概型的概率問題,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).(1)基本事件總數(shù)較少時,用列舉法把所有基本事件一一列出時,要做到不重復、不遺漏,可借助“樹狀圖”列舉.(2)注意區(qū)分排列與組合,以及計數(shù)原理的正確使用.15、【解析】
利用換元法,得到,利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值,即可得到函數(shù)的值域,得到答案.【詳解】由題意,可得,令,,即,則,當時,,當時,,即在為增函數(shù),在為減函數(shù),又,,,故函數(shù)的值域為:.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的最值,以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,其中解答中合理利用換元法得到函數(shù),再利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與預算能力,屬于基礎題.16、3【解析】
根據(jù)題意,分析可得,由基本不等式的性質(zhì)可得最小值,進而分析基本不等式成立的條件可得a的值,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,正數(shù)a、b滿足,則,當且僅當時,等號成立,故的最小值為3,此時.故答案為:3;.【點睛】本題考查基本不等式及其應用,考查轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)要證明平面,只需證明,,即可求得答案;(2)先根據(jù)已知證明四邊形為矩形,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立坐標系,求得平面的法向量為,平面的法向量,設二面角的平面角為,,即可求得答案.【詳解】(1)平面,平面,.,,.又,平面.(2)由(1)可知.在中,,..又,,四邊形為矩形.以為原點,為軸,為軸,為軸,建立坐標系,如圖:則:,,,,:,設平面的法向量為,即,令,則,由題平面,即平面的法向量為由二面角的平面角為銳角,設二面角的平面角為即二面角的正弦值為:.【點睛】本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角,解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理,可得DE//BF,然后根據(jù)勾股定理計算可得BF=DE,最后利用線面平行的判定定理,可得結(jié)果.(2)利用建系的方法,可得平面ABF的一個法向量為,平面CDF的法向量為,然后利用向量的夾角公式以及平方關(guān)系,可得結(jié)果.【詳解】(1)因為DE⊥平面ABCD,所以DEAD,因為AD=4,AE=5,DE=3,同理BF=3,又DE⊥平面ABCD,BF⊥平面ABCD,所以DE//BF,又BF=DE,所以平行四邊形BEDF,故DF//BE,因為BE平面BCE,DF平面BCE所以DF//平面BCE;(2)建立如圖空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),F(xiàn)(4,3,﹣3),,設平面CDF的法向量為,由,令x=3,得,易知平面ABF的一個法向量為,所以,故.【點睛】本題考查線面平行的判定以及利用建系方法解決面面角問題,屬基礎題.19、(1)(2)見解析【解析】
(1)分三種情況去絕對值,求出最大值與已知最大值相等列式可解得;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab≥1,再構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證.【詳解】(1)∵,∴.∴當時,取得最大值.∴.(2)由(Ⅰ),得,.∵,當且僅當時等號成立,∴.令,.則在上單調(diào)遞減.∴.∴當時,.∴.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法,屬中檔題.本題主要考查了絕對值不等式的求解,以及不等式的恒成立問題,其中解答中根據(jù)絕對值的定義,合理去掉絕對值號,及合理轉(zhuǎn)化恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵,著重考查分析問題和解答問題的能力,以及轉(zhuǎn)化思想的應用.20、(1)(2)【解析】
(1)先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可;(2)由(1)可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【詳解】解:(1)因為,所以又,故,所以,所以(2)由(1)得,,,所以,所以,因為且,即,解得,因為,所以,所以,所以,所以【點睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查三角函數(shù)的化簡,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函數(shù)關(guān)系的應用,考查
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