2024年上海市中考數(shù)學(xué)試題含解析

2024年上海市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷1．本場考試時間100分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁．2．作答前，請在答題紙指定位置填寫姓名、報名號、座位號．井將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置．3．所有作答務(wù)必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應(yīng)的區(qū)域，不得錯位．在試卷上作答一律不得分．4．用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題．一、選擇題（每題4分，共24分）1.如果，那么下列正確的是（）A B. C. D.2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.3.以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（）A. B.C. D.4.科學(xué)家同時培育了甲乙丙丁四種花，從甲乙丙丁選個開花時間最短的并且最平穩(wěn)的．種類甲種類乙種類丙種類丁種類平均數(shù)2.32.32.83.1方差1.050.781.050.78A.甲種類 B.乙種類 C.丙種類 D.丁種類5.四邊形為矩形，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（）A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形6.在中，，，，點在內(nèi)，分別以為圓心畫，圓半徑為1，圓半徑為2，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓與圓的關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.相交 C.外切 D.相離二、填空題（每題4分，共48分）7計算：___________．8計算______．9.已知，則___________．10.科學(xué)家研發(fā)了一種新的藍(lán)光唱片，一張藍(lán)光唱片的容量約為，一張普通唱片的容量約為25，則藍(lán)光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科學(xué)記數(shù)法表示）11.若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則y的值隨x的增大而___________．（選填“增大”或“減小”）12.在菱形中，，則___________．13.某種商品的銷售量y（萬元）與廣告投入x（萬元）成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)投入10萬元時銷售額1000萬元，當(dāng)投入90萬元時銷售量5000萬元，則投入80萬元時，銷售量為___________萬元．14.一個袋子中有若干個白球和綠球，它們除了顏色外都相同隨機從中摸一個球，恰好摸到綠球的概率是，則袋子中至少有___________個綠球．15.如圖，在平行四邊形中，E為對角線上一點，設(shè)，，若，則___________（結(jié)果用含，的式子表示）．16.博物館為展品準(zhǔn)備了人工講解、語音播報和增強三種講解方式，博物館共回收有效問卷張，其中人沒有講解需求，剩余人中需求情況如圖所示（一人可以選擇多種），那么在總共萬人的參觀中，需要增強講解的人數(shù)約有__________人．17.在平行四邊形中，是銳角，將沿直線翻折至所在直線，對應(yīng)點分別為，，若，則__________．18.對于一個二次函數(shù)（）中存在一點，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為__________．三、簡答題（共78分，其中第19-22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分）19.計算：．20.解方程組：．21.在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（k常數(shù)且）上有一點，且與直線交于另一點．（1）求k與m的值；（2）過點A作直線軸與直線交于點C，求值．22.同學(xué)用兩幅三角板拼出了如下的平行四邊形，且內(nèi)部留白部分也是平行四邊形（直角三角板互不重疊），直角三角形斜邊上的高都為．（1）求：兩個直角三角形的直角邊（結(jié)果用表示）；小平行四邊形的底、高和面積（結(jié)果用表示）；（2）請畫出同學(xué)拼出的另一種符合題意的圖，要求：不與給定的圖形狀相同；畫出三角形的邊．23.如圖所示，在矩形中，為邊上一點，且．（1）求證：；（2）為線段延長線上一點，且滿足，求證：．24.在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．（1）求平移后新拋物線的表達(dá)式；（2）直線（）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點P在原拋物線上的對應(yīng)點為，如果四邊形有一組對邊平行，求點P的坐標(biāo)．25.在梯形中，，點E在邊上，且．（1）如圖1所示，點F在邊上，且，聯(lián)結(jié)，求證：；（2）已知；①如圖2所示，聯(lián)結(jié)，如果外接圓的心恰好落在的平分線上，求的外接圓的半徑長；②如圖3所示，如果點M在邊上，聯(lián)結(jié)、、，與交于N，如果，且，，求邊的長．

2024年上海市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷1．本場考試時間100分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁．2．作答前，請在答題紙指定位置填寫姓名、報名號、座位號．井將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置．3．所有作答務(wù)必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應(yīng)的區(qū)域，不得錯位．在試卷上作答一律不得分．4．用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題．一、選擇題（每題4分，共24分）1.如果，那么下列正確的是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．【詳解】解：A．兩邊都加上，不等號的方向不改變，故錯誤，不符合題意；B．兩邊都加上，不等號的方向不改變，故錯誤，不符合題意；C．兩邊同時乘上大于零的數(shù)，不等號的方向不改變，故正確，符合題意；D．兩邊同時乘上小于零的數(shù)，不等號的方向改變，故錯誤，不符合題意；故選：C．2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查求函數(shù)定義域，涉及分式有意義的條件：分式分母不為0，解不等式即可得到答案，熟練掌握求函數(shù)定義域的方法是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：函數(shù)的定義域是，解得，故選：D．3.以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時，方程有兩個不相等實數(shù)根；當(dāng)時，方程的兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．分別計算出各選項中的根的判別式的值，即可判斷．【詳解】解：A．，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故A選項不符合題意；B．，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故B選項不符合題意；C．，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故C選項不符合題意；D．，該方程有兩個相等實數(shù)根，故D選項不符合題意；故選：D．4.科學(xué)家同時培育了甲乙丙丁四種花，從甲乙丙丁選個開花時間最短的并且最平穩(wěn)的．種類甲種類乙種類丙種類丁種類平均數(shù)2.32.32.83.1方差1.050.781.050.78A.甲種類 B.乙種類 C.丙種類 D.丁種類【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了用平均數(shù)和方差做決策，根據(jù)平均數(shù)的定義以及方差的定義做決策即可．解題的關(guān)鍵是掌握方差的意義：方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．【詳解】解：∵由表格可知四種花開花時間最短的為甲種類和乙種類，四種花的方差最小的為乙種類和丁種類，方差越小越穩(wěn)定，∴乙種類開花時間最短的并且最平穩(wěn)的，故選：B．5.四邊形為矩形，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（）A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形【答案】A【解析】【分析】本題考查矩形性質(zhì)、等面積法、菱形的判定等知識，熟練掌握矩形性質(zhì)及菱形的判定是解決問題的關(guān)鍵．由矩形性質(zhì)得到，，進(jìn)而由等面積法確定，再由菱形的判定即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：四邊形為矩形，，，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為菱形，故選：A．6.在中，，，，點在內(nèi)，分別以為圓心畫，圓半徑為1，圓半徑為2，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓與圓的關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.相交 C.外切 D.相離【答案】B【解析】【分析】本題考查圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得到答案，熟記圓的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：圓半徑為1，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓含在圓內(nèi)，即，在以為圓心、為半徑的圓與邊相交形成的弧上運動，如圖所示：當(dāng)?shù)轿恢脮r，圓與圓圓心距離最大，為，，圓與圓相交，故選：B．二、填空題（每題4分，共48分）7.計算：___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了積的乘方以及冪的乘方，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．先將因式分別乘方，再結(jié)合冪的乘方計算即可．【詳解】解：，故答案為：．8.計算______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查平方差公式，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．9.已知，則___________．【答案】1【解析】【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．由二次根式被開方數(shù)大于0可知，則可得出，求出x即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知：，∴，解得：，故答案為：1．10.科學(xué)家研發(fā)了一種新的藍(lán)光唱片，一張藍(lán)光唱片的容量約為，一張普通唱片的容量約為25，則藍(lán)光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科學(xué)記數(shù)法表示）【答案】【解析】【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，按照定義，用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)，按要求表示即可得到答案，確定與的值是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：藍(lán)光唱片的容量是普通唱片的倍，故答案為：．11.若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則y的值隨x的增大而___________．（選填“增大”或“減小”）【答案】減小【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及正比例函數(shù)的性質(zhì)，牢記“當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，可求出，結(jié)合正比例函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的值隨的增大而減?。驹斀狻拷猓赫壤瘮?shù)的圖象經(jīng)過點，，解得：，又，的值隨的增大而減小．故答案為：減?。?2.菱形中，，則___________．【答案】##57度【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，利用菱形性質(zhì)得出，利用等邊對等角得出，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形菱形，∴，∴，故答案為：．13.某種商品的銷售量y（萬元）與廣告投入x（萬元）成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)投入10萬元時銷售額1000萬元，當(dāng)投入90萬元時銷售量5000萬元，則投入80萬元時，銷售量為___________萬元．【答案】4500【解析】【分析】本題考查求一次函數(shù)解析式及求函數(shù)值，設(shè)，根據(jù)題意找出點代入求出解析式，然后把代入求解即可．【詳解】解：設(shè)，把，代入，得，解得，∴，當(dāng)時，，即投入80萬元時，銷售量為4500萬元，故答案為：4500．14.一個袋子中有若干個白球和綠球，它們除了顏色外都相同隨機從中摸一個球，恰好摸到綠球的概率是，則袋子中至少有___________個綠球．【答案】3【解析】【分析】本題主要考查了已知概率求數(shù)量，一元一次不等式的應(yīng)用，設(shè)袋子中綠球有個，則根據(jù)概率計算公式得到球的總數(shù)為個，則白球的數(shù)量為個，再由每種球的個數(shù)為正整數(shù)，列出不等式求解即可．【詳解】解：設(shè)袋子中綠球有個，∵摸到綠球的概率是，∴球的總數(shù)為個，∴白球的數(shù)量為個，∵每種球的個數(shù)為正整數(shù)，∴，且x為正整數(shù)，∴，且x為正整數(shù)，∴x的最小值為1，∴綠球的個數(shù)的最小值為3，∴袋子中至少有3個綠球，故答案為：3．15.如圖，在平行四邊形中，E為對角線上一點，設(shè)，，若，則___________（結(jié)果用含，的式子表示）．【答案】【解析】【分析】本題考查了平面向量的知識，解答本題的關(guān)鍵是先確定各線段之間的關(guān)系．先求出，從而可得．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，．是上一點，，，，，故答案為：．16.博物館為展品準(zhǔn)備了人工講解、語音播報和增強三種講解方式，博物館共回收有效問卷張，其中人沒有講解需求，剩余人中需求情況如圖所示（一人可以選擇多種），那么在總共萬人的參觀中，需要增強講解的人數(shù)約有__________人．【答案】【解析】【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖及用樣本的某種“率”估計總體的某種“率”，正確得出需要增強講解的人數(shù)占有需求講解的人數(shù)的百分比是解題關(guān)鍵．先求出需求講解的人數(shù)占有效問卷的百分比，再根據(jù)條形統(tǒng)計圖求出需要增強講解的人數(shù)占有需求講解的人數(shù)的百分比，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵共回收有效問卷1000張，其中700人沒有講解需求，剩余300人有需求講解，∴需求講解的人數(shù)占有效問卷的百分比為，由條形統(tǒng)計圖可知：需要增強講解的人數(shù)為人，∴需要增強講解的人數(shù)占有需求講解的人數(shù)的百分比為，∴在總共萬人的參觀中，需要增強講解的人數(shù)約有（人），故答案為：17.在平行四邊形中，是銳角，將沿直線翻折至所在直線，對應(yīng)點分別為，，若，則__________．【答案】或##或【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想進(jìn)行求解．【詳解】解：當(dāng)在之間時，作下圖，根據(jù)，不妨設(shè)，由翻折性質(zhì)知：，沿直線翻折至所在直線，，。，過作的垂線交于，，，當(dāng)在的延長線上時，作下圖，根據(jù)，不妨設(shè)，同理知：，過作的垂線交于，，，故答案為：或．18.對于一個二次函數(shù)（）中存在一點，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為__________．【答案】4【解析】【分析】本題考查新定義運算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點，使得，則，，中存在一點，有，解得，則，拋物線“開口大小”為，故答案為：．三、簡答題（共78分，其中第19-22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分）19.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了絕對值，二次根式，零指數(shù)冪等，掌握化簡法則是解題的關(guān)鍵．先化簡絕對值，二次根式，零指數(shù)冪，再根據(jù)實數(shù)的運算法則進(jìn)行計算．【詳解】解：．20.解方程組：．【答案】，或者，．【解析】【分析】本題考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是利用代入法進(jìn)行求解．【詳解】解：，由得：代入中得：，，，，解得：或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴方程組的解為或者．21.在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（k為常數(shù)且）上有一點，且與直線交于另一點．（1）求k與m的值；（2）過點A作直線軸與直線交于點C，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）把B的坐標(biāo)代入，求出n，然后把B的坐標(biāo)代入，求出k，最后把A的坐標(biāo)代入求出m即可；（2）根據(jù)軸求出C的縱坐標(biāo)，然后代入，求出C的橫坐標(biāo)，利用勾股定理求出，最后根據(jù)正弦的定義求解即可．【小問1詳解】解：把代入，得，解得，∴，把代入，得，∴，把代入，得；【小問2詳解】解：由（1）知：設(shè)l與y軸相交于D，∵軸，軸軸，∴A、C、D的縱坐標(biāo)相同，均為2，，把代入，得，解得，∴，∴，，∴，∴．22.同學(xué)用兩幅三角板拼出了如下的平行四邊形，且內(nèi)部留白部分也是平行四邊形（直角三角板互不重疊），直角三角形斜邊上的高都為．（1）求：兩個直角三角形的直角邊（結(jié)果用表示）；小平行四邊形的底、高和面積（結(jié)果用表示）；（2）請畫出同學(xué)拼出的另一種符合題意的圖，要求：不與給定的圖形狀相同；畫出三角形的邊．【答案】（1）等腰直角三角板直角邊為，含的直角三角形板直角邊為和；底為，高為，面積為；（2）畫圖見解析．【解析】【分析】（）①解直角三角形即可求解；由題意可知四邊形是矩形，利用線段的和差可求出矩形的邊長，進(jìn)而可求出面積；（）根據(jù)題意畫出圖形即可；本題考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面積，圖形設(shè)計，正確識圖是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：①如圖，為等腰直角三角板，，則；如圖，為含的直角三角形板，，，，則，；綜上，等腰直角三角板直角邊為，含的直角三角形板直角邊為和；由題意可知，∴四邊形是矩形，由圖可得，，，∴，故小平行四邊形的底為，高為，面積為；【小問2詳解】解：如圖，即為所作圖形．23.如圖所示，在矩形中，為邊上一點，且．（1）求證：；（2）為線段延長線上一點，且滿足，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到，，，由角的互余得到，從而確定，利用相似三角形性質(zhì)得到；（2）由矩形性質(zhì)，結(jié)合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，，，進(jìn)而由三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到．【小問1詳解】證明：在矩形中，，，，，，，，，，，即，，；【小問2詳解】證明：連接交于點，如圖所示：在矩形中，，則，，，，，，在矩形中，，，，，，，，在和中，，．【點睛】本題考查矩形綜合，涉及矩形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定是解決問題第的關(guān)鍵．24.在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．（1）求平移后新拋物線的表達(dá)式；（2）直線（）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點P在原拋物線上的對應(yīng)點為，如果四邊形有一組對邊平行，求點P的坐標(biāo)．【答案】（1）或；（2）①；②．【解析】【分析】（1）設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得答案；（2）①如圖，設(shè)，則，，結(jié)合小于3，可得，結(jié)合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個單位，向下平移3個單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時，可得，結(jié)合平移的性質(zhì)可得答案如圖，當(dāng)時，則，過作于，證明，可得，設(shè)，則，，，再建立方程求解即可.【小問1詳解】解：設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得：，解得：，∴新拋物線為；【小問2詳解】解：①如圖，設(shè)，則，∴，∵小于3，∴，∴，∵，