專題139三角形中的邊角關(guān)系命題與證明章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）

專題13.9三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用三角形的中線求面積】 1【題型2利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】 7【題型3利用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)或證明】 10【題型4與角平分線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】 14【題型5與平行線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】 23【題型6與折疊有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】 35【題型7坐標(biāo)系中的角度探究問(wèn)題】 45【題型8有關(guān)三角形角度的多結(jié)論問(wèn)題】 54【題型1利用三角形的中線求面積】【例1】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四邊形DEFG

A．60 B．56 C．70 D．48【答案】A【分析】連接CG、BF，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)S△AFG=a，根據(jù)同高的三角形的面積的比等于底邊的比，分別得到S△AFB=2a、SΔBCF=8a、S【詳解】解：連接CG、BF，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)設(shè)S△∵S△AFG=1∴S∴S∵CF同理可得：S△∴S∴S∵BD∴BC同理可得：S△∵G是AB同理可得：S△∵BD∴BC同理可得：S△∵四邊形DEFG的面積為28，∴S∴a∴S故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中線的性質(zhì)，掌握三角形的中線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式11】（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面積為【答案】14【分析】根據(jù)等底等高的三角形面積相等即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接AF，∵EF=FC，△BEF∴S△∵BF=2∴S△∵EF=∴S△∵BF=2∴S△∴S△∴S△ADF+2+4=2∴S△∴S四邊形故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三角形的中線求面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握等底等高的三角形面積相等．【變式12】（2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C為直線AB外一動(dòng)點(diǎn)，AB=6，連接CA、CB，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，連接AE、CD交于點(diǎn)F，當(dāng)四邊形BEFD

【答案】5【分析】如圖：連接BF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)求得S△【詳解】解：如圖：連接BF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)

∵點(diǎn)D、E分別是AB、∴S△ABE=S△∴S△CEF+∴S四邊形∴S△∴12∴CH=5又∵點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，∴AC≥∴AC的最小值為5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、利用中線分析三角形的面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式13】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本八年級(jí)下冊(cè)上有這樣一道題：如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與小旭同學(xué)在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BD=CD．又因?yàn)楦逜E相同，所以S△

【深入探究】（1）如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，點(diǎn)P在AD①若AD是△ABC的中線，求證：S②若BD=3DC，則S【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長(zhǎng)四邊形ABCD的各邊，使得點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn)，依次連結(jié)E、F、G、H得四邊形EFGH．①求證：S△②若S四邊形ABCD=3，則【答案】（1）①證明見解析；②3:1；（2）①證明見解析；②15【分析】（1）①根據(jù)中線的性質(zhì)可得S△ADB=S△ADC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，推得PD是②設(shè)△ABC邊BC上的高為h，根據(jù)三角形的面積公式可得S△ADB=12×BD×h，S（2）①連接AG，AC，CE，根據(jù)中線的判定和性質(zhì)可得S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△②由①可得S△HDG+S△FBE=2【詳解】（1）①證明：∵AD是△ABC∴S△ADB=S△∴PD是△PBC∴S△∴S△即S△②S△解：設(shè)△ABC邊BC上的高為h則S△ADB=∵BD=3∴S△同理S△則S△即S△∴S△（2）①證明：連接AG，AC，CE，如圖：

∵點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn)，∴AG，BC，CE，DA分別為△GHD，△CAE，△EFB∴S△GAH=S△GAD=∴S△ADC∵S四邊形即S△②15，解：由①可得S△HDG+S四邊形即S四邊形∵S四邊形∴S四邊形【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握三角形的一條中線把原三角形分成兩個(gè)等底同高的三角形是題的關(guān)鍵．【題型2利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】【例2】（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB<90°，點(diǎn)M在OB上，且OM=6，點(diǎn)M到射線OA的距離為a，點(diǎn)P在射線OA上，MP=x．若△

A．x=a或x≥6 B．x≥6 C．x=6【答案】A【分析】根據(jù)△OMP【詳解】解：過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OA交OA于點(diǎn)N，作點(diǎn)O關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)

∵點(diǎn)M到射線OA的距離為a，∴MN=∵M(jìn)N垂直平分OD，∴MD=當(dāng)a<x<6，即點(diǎn)P在線段ON上（不含端點(diǎn)）或點(diǎn)P不能唯一確定△OMP當(dāng)x=a時(shí)，即點(diǎn)P與點(diǎn)可唯一確定△OMP當(dāng)x=6時(shí)，即點(diǎn)P與點(diǎn)D重合或點(diǎn)P與點(diǎn)O∵點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)不能構(gòu)成三角形，故能唯一確定△OMP當(dāng)x>6時(shí)，即點(diǎn)P在點(diǎn)D的右側(cè)，故能唯一確定△綜上，若△OMP的形狀，大小是唯一確定的，則x的取值范圍是x=a故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）不等邊△ABC的兩條高的長(zhǎng)度分別為4和12，若第三條高也為整數(shù)，那么它的長(zhǎng)度最大值是【答案】5【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系及三角形面積相等即可求出要求高的整數(shù)值．【詳解】解：因?yàn)椴坏冗叀鰽BC的兩條高的長(zhǎng)度分別為4和12，根據(jù)面積相等可設(shè)△ABC的兩邊長(zhǎng)為3x，x；因?yàn)?x×4＝12×x（2倍的面積），面積S＝6x，因?yàn)橹纼蓷l邊的假設(shè)長(zhǎng)度，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可得：2x＜第三邊長(zhǎng)度＜4x，因?yàn)橐蟾叩淖畲箝L(zhǎng)度，所以當(dāng)?shù)谌呑疃虝r(shí)，在第三邊上的高就越長(zhǎng)，S＝12×第三邊的長(zhǎng)×高，6x＞12×2x×高，6x＜12×4∴6＞高＞3，∵是不等邊三角形，且高為整數(shù)，∴高的最大值為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系及三角形的面積，難度較大，關(guān)鍵是掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊差小于第三邊．【變式22】（2023秋·安徽·八年級(jí)期末）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7，設(shè)第三邊上的中線長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是（

）A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6【答案】D【詳解】如圖所示:AB=5，AC=7，設(shè)BC=2a，AD=x，延長(zhǎng)AD至E，使AD=DE，在△BDE與△CDA中，∵AD=DE，BD=CD，∠ADC=∠BDE，∴△BDE≌△CDA，∴AE=2x，BE=AC=7，在△ABE中，BEAB＜AE＜AB+BE，即75＜2x＜7+5，∴1＜x＜6．故選D．【變式23】（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)期末）設(shè)a,b,c表示一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，且他們都是自然數(shù)，其中a≤b【答案】2041210【分析】已知b=2020，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解，首先確定出a、c【詳解】解：a，b，c表示一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，且它們都是自然數(shù)，其中a?b?c，如果b=2020∴當(dāng)c=2020時(shí)，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，則a的取值范圍為1?a當(dāng)c=2021時(shí)，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，則a的取值范圍為2?a當(dāng)c=2022時(shí)，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，則a的取值范圍為3?a…當(dāng)c=4039時(shí)，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，則a的取值范圍為a=2020，有1個(gè)三角形；∴三角形數(shù)量是：故答案為：2041210．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次不等式、三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用了在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊的三邊關(guān)系．【題型3利用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)或證明】【例3】（2023·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知點(diǎn)O為ΔABC內(nèi)任意一點(diǎn).證明：（1）OA+（2）AB+（3）若A，B，C為三個(gè)城鎮(zhèn)，AB+AC+BC=10km【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）水管長(zhǎng)度應(yīng)在5km到10km【分析】（1）在ΔAOB、ΔAOC、ΔBOC中，分別有OA+OB>ABBO+（2）AB+AC>OB+（3）由AB+AC+BC=10km，點(diǎn)O為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，及（1）（2）可知12AB+【詳解】（1）在ΔAOB中，OA+OB在ΔAOC中，OA+OC在ΔBOC中，BO+由①+②+③，得2OA故OA+（2）AB+同理，AB+BCAC+由①+②+③，得2AB即AB+（3）由AB+AC+BC=10km，點(diǎn)O為ΔABC∴5故水管長(zhǎng)度應(yīng)在5km到10km【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，準(zhǔn)確找到三角形來(lái)寫對(duì)應(yīng)關(guān)系是本題的解題關(guān)鍵.【變式31】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【答案】a+3b【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0，再去絕對(duì)值，合并同類項(xiàng)即可求解．【詳解】解：∵a，b，c是三角形的三邊，∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0，由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0，由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0，∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c）＝a+3b．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，絕對(duì)值的性質(zhì)，整式的加減，關(guān)鍵是得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0．【變式32】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接BP，并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D(1)試探究AB+BC+(2)試探究AB+AC與(3)如圖2，點(diǎn)D，E是△ABC內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)，試探究AB+AC【答案】(1)AB+(2)AB+(3)AB+【分析】（1）利用三角形的兩邊之和大于第三邊解題即可；（2）在△ABD和△PDC（3）延長(zhǎng)BD交CE的延長(zhǎng)線于G，交AC于點(diǎn)F，在△ABF、△GFC和【詳解】（1）解：AB+∵AB∴AB即：AB（2）AB+在△ABD中，AB在△PDC中，PD兩式相加得：AB+AD即：AB（3）AB+如圖，延長(zhǎng)BD交CE的延長(zhǎng)線于G，交AC于點(diǎn)F，在△ABF中，AB+在△GFC中，GF+△DEG中，DG+①+②+③得：AB【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三遍之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式33】（2023春·六年級(jí)單元測(cè)試）如圖，草原上有四口油井，位于四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，現(xiàn)在要建立一個(gè)維修站H，試問(wèn)H建在何處，才能使它到四口油井的距離之和HA+【答案】H建在AC、BD的交點(diǎn)處，理由見解析．【分析】連接AC、BD相交于點(diǎn)H，任取一點(diǎn)H'，連接H'A、H'B、H'C、H【詳解】解：H建在AC、BD的交點(diǎn)處，理由如下：連接AC、BD相交于點(diǎn)H，任取一點(diǎn)H'，連接H'A、H'B在△AH'在△BH'∴H∵AC∴H∴HA即維修站H建在AC、BD的交點(diǎn)處，才能使它到四口油井的距離之和HA+【點(diǎn)睛】本題考查了線段最短，三角形的三邊關(guān)系，作輔助線構(gòu)造三角形，靈活運(yùn)用三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．【題型4與角平分線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】【例4】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)太倉(cāng)市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分(1)若∠A=60°，則∠BDC(2)若∠A=α，直線MN①如圖2，若MN∥AB，求∠NDC-∠MDB②如圖3，若MN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交線段BC,AC于點(diǎn)M,N，試問(wèn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠NDC③如圖4，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線MN，與線段AC交于點(diǎn)N，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出∠NDC與∠MDB的關(guān)系（用含【答案】(1)120°(2)①90°α2②不變，90°α2③∠NDC與∠MDB的關(guān)系是∠NDC【分析】（1）利用角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，分步計(jì)算即可．（2）①利用平角的定義，變形代入計(jì)算，注意與第（1）的結(jié)合．②與①結(jié)合起來(lái)求解即可．③根據(jù)平角的定義，變形后結(jié)合前面的計(jì)算，求解即可．【詳解】（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠∴∠CBD=12∠ABC，∠BCD∴∠CBD+∠BCD=12∠ACB+1∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴180°∠BDC=12∴∠BDC=90°∵∠A=60°，∴∠BDC=90°+故答案為：120°．（2）①∵∠NDC=180°∠MDC，∴∠NDC-∠MDB=180°∠=180°（∠MDC+∠MDB）=180°∠BDC=180°（90°=90°②∠NDC-∠MDB保持不變，恒等于∵∠NDC=180°∠MDC，∴∠NDC-∠MDB=180°∠=180°（∠MDC+∠MDB）=180°∠BDC=180°（90°=90°故保持不變，且為90°③∠NDC與∠MDB的關(guān)系是∠NDC+∠∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°，∴∠NDC+∠MDB=180°∠BDC，∵∠BDC=90°∴∠NDC+∠MDB=180°（90°+α2【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，平角的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，平角的定義是解題的關(guān)鍵．【變式41】（2023秋·河南漯河·八年級(jí)?？计谥校?）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A（2）如果圖2中，∠D=40°,∠B=36°，AP與CP分別是∠DAB（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問(wèn)∠P與∠【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B（2）∠P=38°（3）∠【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等就可以得出∠A，∠D，∠C，∠B的數(shù)量關(guān)系；（2）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P，再兩式相加，結(jié)合角平分線的定義可得∠D+∠B=2∠P（3）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P，再兩式相加，結(jié)合角平分線的定義可得∠【詳解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，且∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠C+∠B；（2）由（1）可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，∵∠DAB和∠DCB的角平分線AP與CP相交于點(diǎn)P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，∴∠D又∵∠D=40°，∠B=36°，∴40°+36°=2∠P，∴∠P=38°；（3）存在的數(shù)量關(guān)系為：∠D由（1）可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，∵∠DAB和∠DCB的角平分線AP與CP相交于點(diǎn)P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，∴∠D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式42】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）∠MON=90°，點(diǎn)A，B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)O重合(1)如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AO=BO時(shí)∠AEB(2)如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)D，隨著點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)∠D(3)如圖③，延長(zhǎng)MO至Q，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的【答案】(1)135°(2)∠D的度數(shù)不隨A、B的移動(dòng)而發(fā)生變化，值為45°(3)60°或45°【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理、兩角互余、角平分線性質(zhì)即可求解；（2）利用對(duì)頂角相等、兩角互余、兩角互補(bǔ)、角平分線性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)不難得出∠EAF=90°，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，所以不確定是哪個(gè)角是哪個(gè)角的三倍，所以需要分情況討論；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°【詳解】（1）解：∵AE、BE分別是∠BAO和∠∴∠EBA=12∠OBA，∠BAE=12∠∵∠MON∴∠EAB+EBA=90°，∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，∴∠AEB=180°-1=180°-1=180°-45°，=135°；（2）解：∠D的度數(shù)不隨A、B的移動(dòng)而發(fā)生變化，設(shè)∠BAD=α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO=2α，∵∠AOB=90°，∴∠ABN=180°∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC=45°+α，∵∠ABC=180°∠ABD=∠D+∠BAD，∴∠D=∠ABC∠BAD=45°+αα=45°；（3）解：∵∠BAO與∠BOQ的平分線交于點(diǎn)E，∴∠AOE=135°，∴∠E=45=45=45=∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的平分線，∴∠EAF在△AEF中，若有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，則①當(dāng)∠EAF=3∠E時(shí)，得∠E=30°，此時(shí)∠ABO=60°；②當(dāng)∠EAF=3∠F時(shí)，得∠E=60°，此時(shí)∠ABO=120°＞90°，舍去；③當(dāng)∠F=3∠E時(shí)，得∠E此時(shí)∠ABO=45°；．④當(dāng)∠E=3∠F時(shí)，得∠E此時(shí)∠ABO=135°＞90°，舍去．綜上可知，∠ABO的度數(shù)為60°或45°．【點(diǎn)睛】前兩問(wèn)熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的兩銳角互余、對(duì)頂角相等、角平分線性質(zhì)等角的關(guān)系即可求解；第三問(wèn)需先證明∠EAF=90°【變式43】（2023秋·安徽宣城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)(1)若BC是∠ABN的平分線，BC的反方向延長(zhǎng)線與∠BAO的平分線交于點(diǎn)①若∠BAO=60°，則∠D②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B(2)如圖2，若∠OAD=35∠OAB，(3)若將∠MON=90°改為∠MON=120°（如圖3），∠OAD=mn∠OAB，∠【答案】(1)①45；②不隨A，B的移動(dòng)發(fā)生變化，理由見解析(2)36(3)120°【分析】（1）①先利用角平分線的定義求出∠BAD，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠ABO，即可得到∠NBA②設(shè)∠BAO=α（2）設(shè)∠BAO=5β（3）與（1）（2）類似，設(shè)出∠BAO【詳解】（1）解：①∵∠BAO=60°，AD平分∴∠BAD∵∠MON∴∠ABO∴∠ABN∵BC是∠∴∠ABC∴∠ABD∵∠ABD∴∠D故答案為：45；②∠D的度數(shù)不隨A，B設(shè)∠BAO∵AD平分∠∴∠BAD∵∠MON∴∠ABO∴∠ABN∵BC是∠∴∠ABC∴∠ABD∵∠ABD∴∠D∴∠D的度數(shù)不隨A，B（2）解：設(shè)∠BAO∵∠OAD∴∠BAD∴∠BAD∵∠MON∴∠ABO∴∠ABN∵∠NBC∴∠ABC∴∠ABC∴∠ABD∵∠ABD∴∠D故答案為：36；（3）解：設(shè)∠BAO∵∠OAD∴∠BAD∴∠BAD∵∠MON∴∠ABO∴∠ABN∵∠NBC∴∠ABC∴∠ABC∴∠ABD∵∠ABD∴∠D故答案為：120°n【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，列代數(shù)式，角的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理．【題型5與平行線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】【例5】（2023春·遼寧盤錦·八年級(jí)統(tǒng)考期末