專題16解直角三角形（全章直通中考）（提升練）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題1.6解直角三角形（全章直通中考）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）的值等于（

）A．1 B． C． D．22．（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長(zhǎng)為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米3．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，弦交于點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C．1 D．24．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得樹頂C的仰角為，在點(diǎn)B處測(cè)得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（

）A． B． C． D．5．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）矩形紙片中，E為的中點(diǎn)，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B． C． D．6．（2022·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動(dòng)到，點(diǎn)對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（

）A．96 B． C．192 D．7．（2022·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，則高AD約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm8．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當(dāng)太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的樹影BC長(zhǎng)為m，則大樹AB的高為（

）A． B． C． D．9．（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．10．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖是源于我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則的值為（

）

A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，則cosA=．12．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，為上的點(diǎn)，，，則．13．（2022·寧夏·中考真題）如圖，在中，半徑垂直弦于點(diǎn)，若，，則．

14．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)、、都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則．15．（2021·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，且，則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是．16．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知的平分線交于點(diǎn)E，且．將沿折疊使點(diǎn)C與點(diǎn)E恰好重合．下列結(jié)論正確的有：（填寫序號(hào)）①②點(diǎn)E到的距離為3③④17．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）2023年岳陽舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組在處用儀器測(cè)得賽場(chǎng)一宣傳氣球頂部處的仰角為，儀器與氣球的水平距離為20米，且距地面高度為1.5米，則氣球頂部離地面的高度是米（結(jié)果精確到0.1米，）．

18．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題．余弦定理是這樣描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：a2＝b2＋c2﹣2bccosAb2＝a2＋c2﹣2accosBc2＝a2＋b2﹣2abcosC現(xiàn)已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，則BC＝．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．20．（8分）（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）（1）化簡(jiǎn)：；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．21．（10分）（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時(shí)，測(cè)得燈塔B在它北偏東方向上，繼續(xù)向東航行到達(dá)C港，此時(shí)測(cè)得燈塔B在它北偏西方向上，求輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．22．（10分）（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，一人在道路上騎行，BD段是坡路，其余為平路．當(dāng)他路過A，B兩點(diǎn)時(shí)，一架無人機(jī)從空中的C點(diǎn)處測(cè)得A，B兩點(diǎn)的俯角分別為30°和45°，，，，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，CE是無人機(jī)到平路DF的距離，求CE的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）23．（10分）（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊上，將線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，線段交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，與線段交于點(diǎn)G，連接．

（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，當(dāng)平分四邊形的面積時(shí)，求的長(zhǎng)．24．（12分）（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）小磊安裝了一個(gè)連桿裝置，他將兩根定長(zhǎng)的金屬桿各自的一個(gè)端點(diǎn)固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個(gè)端點(diǎn)分別固定在門框和門的頂部．如圖1是俯視圖，分別表示門框和門所在位置，M，N分別是上的定點(diǎn)，，的長(zhǎng)度固定，的大小可變．（1）圖2是門完全打開時(shí)的俯視圖，此時(shí)，，，求的度數(shù)．（2）圖1中的門在開合過程中的某一時(shí)刻，點(diǎn)F的位置如圖3所示，請(qǐng)?jiān)趫D3中作出此時(shí)門的位置．（用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（3）在門開合的過程中，的最大值為______．（參考數(shù)據(jù)：）參考答案：1．B【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行二次根式的加法運(yùn)算即可．解：，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和二次根式的加法運(yùn)算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定義，sinα=，代入AB值即可求解．解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=，∴BC=sinαAB=12sinα（米），故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】連接BC，根據(jù)垂徑定理的推論可得AB⊥CD，再由圓周角定理可得∠A=∠CDB=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得AE=3，AB=4，即可求解．解：如圖，連接BC，∵為的直徑，，∴AB⊥CD，∵∠BAC=∠CDB=30°，，∴，∵為的直徑，∴，∴OA=2，∴OE=AEOA=1．故選：C【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理，特殊角銳角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】設(shè)CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函數(shù)值即可求解．解：設(shè)CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16x，在Rt△BCD中，∠B=60°，∴，即：，解得，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)，根據(jù)直角三角形的邊的關(guān)系，建立三角函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】連接BF交AE于點(diǎn)G，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根據(jù)E為BC中點(diǎn)，可證BE=CE=EF，通過等邊對(duì)等角可證明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函數(shù)（或相似）求出BF，則根據(jù)計(jì)算即可．解：連接BF，與AE相交于點(diǎn)G，如圖，∵將沿折疊得到∴與關(guān)于AE對(duì)稱∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=∵點(diǎn)E是BC中點(diǎn)∴BE=CE=DF=∴∵∴∴∵BE=CE=EF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=∴故選D【點(diǎn)撥】本題考查了折疊對(duì)稱的性質(zhì)，熟練運(yùn)用對(duì)稱性質(zhì)證明相關(guān)線段相等是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】根據(jù)直尺與三角尺的夾角為60°，根據(jù)四邊形的面積為，即可求解．解：依題意為平行四邊形，∵，，AB＝8，．∴平行四邊形的面積=故選B【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形，平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及BC＝44cm，可得cm，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及，可得，在中，由，求得AD的長(zhǎng)度．解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD為BC邊上的高，∴，∵BC＝44cm，∴cm．∵等腰三角形ABC，AB＝AC，，∴．∵AD為BC邊上的高，，∴在中，，∵，cm，∴cm．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】應(yīng)充分利用所給的α和45°在樹的位置構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用三角函數(shù)求解．解：如圖，過點(diǎn)C作水平線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，則AD⊥CD，∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，∴AB=ADBD=（mcosαmsinα）=m（cosαsinα）．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．需注意構(gòu)造直角三角形是常用的輔助線方法，另外，利用三角函數(shù)時(shí)要注意各邊相對(duì)．9．B【分析】先證，再求出AB的長(zhǎng)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得．解：，，是繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，在中，，，，，，，，的長(zhǎng)=，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)定義，弧長(zhǎng)公式，正確運(yùn)用三角函數(shù)定義求線段的長(zhǎng)度是解本題的關(guān)鍵．10．D【分析】首先根據(jù)兩個(gè)正方形的面積分別求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后結(jié)合題意進(jìn)一步設(shè)直角三角形短的直角邊為，則較長(zhǎng)的直角邊為，再接著利用勾股定理得到關(guān)于的方程，據(jù)此進(jìn)一步求出直角三角形各個(gè)直角邊的邊長(zhǎng)，最后求出的值即可.解：∵小正方形的面積為，大正方形的面積為25，∴小正方形的邊長(zhǎng)為1，大正方形的邊長(zhǎng)為5，設(shè)直角三角形短的直角邊為，則較長(zhǎng)的直角邊為，其中，∴，其中，解得：，，∴，故選：D.【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理與一元二次方程及三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.11．/【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊AB的值，在利用余弦的定義直接計(jì)算即可．解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=，∴AB=，∴cosA=，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解決此類題時(shí)，要注意前提條件是在直角三角形中，此外還有熟記三角函數(shù)的定義．12．/解：設(shè)，在矩形中，為上的點(diǎn)，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，求正切，掌握正確的定義是解題的關(guān)鍵．13．/0.8【分析】由垂徑定理可知，然后在中根據(jù)余弦的概念計(jì)算的值即可．解：∵半徑垂直弦于點(diǎn)，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理和余弦的知識(shí)，熟練掌握余弦的概念是解題的關(guān)鍵．14．/0.8【分析】如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，由此求解即可．解：如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，由題意得，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了求正弦值，勾股定理與網(wǎng)格問題正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．15．【分析】根據(jù)的坐標(biāo)求得的長(zhǎng)度,，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求得的長(zhǎng)度，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易得軸，則的縱坐標(biāo)即的縱坐標(biāo)．解：的坐標(biāo)分別是軸．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了含30°角的直角三角形，用到的知識(shí)點(diǎn)有特殊角的三角函數(shù)，在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，熟記特殊角的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．16．①④/④①【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷①，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可判斷②，設(shè)，則，中，，．繼而求得，設(shè)，則，根據(jù)，進(jìn)而求得的值，根據(jù)，，可得，即可判斷④解：∵∴，故①正確；如圖，過點(diǎn)作于，于，，平分，，是的角平分線，，，，故②不正確，.將沿折疊使點(diǎn)C與點(diǎn)E恰好重合，，設(shè)，則，中，，．，解得，故③不正確，設(shè)，則，，，，，，，解得或（舍去），，，，故④正確，故答案為：①④【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形，三線合一，角平分線的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．9.5【分析】通過解直角三角形，求出，再根據(jù)求出結(jié)論即可．解：根據(jù)題意得，四邊形是矩形，∴在中，∴,∴故答案為：9.5【點(diǎn)撥】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題．此題難度適中，注意能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．18．【分析】從閱讀可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2ABACcosA，將數(shù)值代入求得結(jié)果．解：由題意可得，BC2＝AB2＋AC2﹣2AB?AC?cosA＝32＋42﹣2×3×4cos60°＝13，∴BC＝，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了閱讀理解能力，特殊角銳角三角函數(shù)值等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是公式的具體情景運(yùn)用．19．【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解．解：原式【點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．熟記特殊角的三角函數(shù)值、求絕對(duì)值法則，負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．20．（1）；（2），【分析】（1）根據(jù)平方根，絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將代入求解即可．（1）解：（2）解：將代入可得，原式．【點(diǎn)撥】本題考查了平方根，絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則，分式的化簡(jiǎn)求值等，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．21．輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離為【分析】過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，則，進(jìn)而得出，，根據(jù)，得出，即可求解．解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，解得：，∴，答：輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離為．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．22．的長(zhǎng)約為【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)B作，垂足為G，可得，，從而，，設(shè)，則，分別在直角和直角中求出的長(zhǎng)，最后利用平角定義可得，從而在中，求出的長(zhǎng)，再利用線段的和差關(guān)系計(jì)算即可解答．解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)B作，垂足為G，

由題意得：，，，，設(shè)，，則，在中，，在中，，，解得：，,，，在中，，，，，的長(zhǎng)約為．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，根據(jù)已知條件結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解決問題的關(guān)鍵．23．（1）見分析；（2）見分析；（3）