專題114角平分線（分層練習(xí)）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

專題1.14角平分線（分層練習(xí)）單選題1．（2021上·北京海淀·八年級(jí)北京二十中?？计谥校┤鐖D，ABC中，AD是∠BAC的平分線，DEAB交AC于點(diǎn)E，若DE＝7，CE＝5，則AC＝（）A．11 B．12 C．13 D．142．（2024上·遼寧本溪·八年級(jí)期末）如圖，在中，，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M、N，再分別以M、N為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G，作射線交于點(diǎn)D．已知，P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．5 D．83．（2023上·安徽馬鞍山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在和中，，連接交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C．平分 D．4．（2023上·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，若，，，則的面積為（

）

A． B． C． D．5．（2021上·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的外角的平分線CE與內(nèi)角的平分線BE交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為（

）A．65° B．60° C．55° D．50°6．（天津市西青區(qū)20232024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，已知的兩條角平分線，相交于點(diǎn)，是外角的平分線，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，有下列結(jié)論：①；②；③點(diǎn)到直線，直線，直線的距離相等；④．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024上·黑龍江綏化·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，平分，下列結(jié)論：①；②；③；④，四個(gè)結(jié)論中成立的是（）

A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①③8．（2023上·河南商丘·八年級(jí)商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，．分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線，分別交，于點(diǎn)P，D，連接．若點(diǎn)P到，的距離相等，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，的角平分線與外角的角平分線交于點(diǎn)，連接．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．10．（2023上·湖南株洲·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在等邊中；在、上分別截取、，使．再分別以點(diǎn)P，Q為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)R，作射線，交于點(diǎn)D．已知，．若點(diǎn)M、N分別是線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．6填空題11．（2024上·上?！ぐ四昙?jí)校考期末）如圖，已知，點(diǎn)為的平分線的交點(diǎn)．，且，則兩平行線間的距離等于．12．（2022上·上海黃浦·八年級(jí)上海市黃浦大同初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，為的垂直平分線，且，那么．13．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡在第二象限內(nèi)作出點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是．

14．（2024上·北京朝陽·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)M，N；②M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；③作射線交于點(diǎn)，若，的面積為2，則的面積為．15．（2023上·河南商丘·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，的平分線與中的相鄰?fù)饨堑钠椒志€相交于點(diǎn)F，過F作，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．若，，則的長(zhǎng)為．16．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)，是內(nèi)角與外角的三等分線的交點(diǎn)，則．

17．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，是外角平分線上一點(diǎn)，連接，，已知，則．18．（2023上·河北衡水·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P到，的距離與相等時(shí)，；（2）如圖2，在中，，，，．在中，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，從點(diǎn)A沿著運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某時(shí)刻，恰好，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為．19．（2022上·福建福州·八年級(jí)校考期中）如圖，，平分，平分，若，則．

20．（2023·北京·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于點(diǎn)M，N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；③作射線交于點(diǎn)D．若，的面積為4，則的面積為．

解答題21．（2022上·河北石家莊·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)D為斜邊上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)D作的垂線交于點(diǎn)E．（1）求證：平分．（2）若，①求證：點(diǎn)E在的垂直平分線上；②若，求的長(zhǎng)．22．（2023上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，完成下面問題：如圖，點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，利用直尺和圓規(guī)按如下步驟作圖．（1）在直線上任取一點(diǎn)，畫線段（2）以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．（3）分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，畫射線．（4）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)，畫直線．（1）利用，可得到平分．請(qǐng)根據(jù)作圖過程，直接寫出這兩個(gè)三角形全等的判定依據(jù)；（2）求證．23．（2023上·河北滄州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，是角平分線，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，過點(diǎn)作，垂足為．（1）求證：；（2）判斷是否垂直平分線段？并說明理由；（3）若為線段（不與重合）上任意一點(diǎn)，連接，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，直接寫出的度數(shù)．24．（2023上·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期中）問題情境：如圖1，，平分，把三角尺的直角頂點(diǎn)落在的任意一點(diǎn)P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與、相交于點(diǎn)E、F，與相等嗎？請(qǐng)你給出證明；變式拓展：如圖2，已知，平分，P是上一點(diǎn)，，邊與邊相交于點(diǎn)E，邊與射線的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．試解決下列問題：①與還相等嗎？為什么？②試判斷、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．25．（2023上·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，P是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，若平分，交于點(diǎn)F，求證：；（2）在（1）的條件下，若，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，若，過直角頂點(diǎn)C作，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．為的角平分線，連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．26．（2023上·廣東惠州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖①，在中，平分，，求證：；小明通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”兩種方法解決問題：方法一：如圖②，在上截取，使得，連接，可以得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法二：如圖③，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得，連接，可以得到等腰三角形，進(jìn)而解決問題.

（1）根據(jù)以上材料，任選一種方法證明：；（2）如圖④，四邊形中，E是上一點(diǎn)，，，，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.參考答案：1．B【分析】首先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而有，從而利用求解即可．解：∵AD是∠BAC的平分線，．，，，．∵DE＝7，CE＝5，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)是關(guān)鍵．2．B【分析】本題考查了作角平分線及角平分線的性質(zhì)定理；過點(diǎn)D作于E，則，由垂線段最短即可得的最小值．解：由作圖知，平分，過點(diǎn)D作于E，如圖，∵，∴；∵，∴的最小值為3，故選：B．3．D【分析】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)面積等式證明線段相等、角平分線的判定，首先證明，再在此基礎(chǔ)上逐個(gè)去判斷即可．解：，，即．在和中，，故選項(xiàng)A正確；，．，．，，故選項(xiàng)B正確；如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)．，，，，，平分，故選項(xiàng)C正確；平分，，即，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：D．4．B【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，作于，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算，熟練掌握角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．解：作于，如圖，

∵平分，，，∴，∴，，故選：．5．D【分析】過點(diǎn)E作EF⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EM⊥AC于點(diǎn)M，EN⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，設(shè)∠ECD=x°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，可得EF=EM，再由三角形外角的性質(zhì)，可得∠BAC=80°，從而得到∠CAF=100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解．解：如圖，過點(diǎn)E作EF⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EM⊥AC于點(diǎn)M，EN⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，設(shè)∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=x°，EM=EN，∵BE平分ABC，∴∠ABE=∠EBC，EF=EN，∴EF=EM，∵∠BEC=40°，∴∠ABE=∠EBC=∠ECD–∠BEC=（x40）°，∴∠BAC=∠ACD–∠ABC=2x°（x°40°）（x°40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM=EF，∴Rt△EFA≌Rt△EMA（HL），∴∠FAE=∠EAC=50°．故選：D【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】由角平分線的定義得到，再由平角的定義可得，即，由此即可判斷①；根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理得到，則，由此即可判斷②；根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可判斷③；由平行線和角平分線的定義證明，得到，同理可得，由此即可判斷④．解：∵分別平分，∴，∵，∴，即，∴，故①正確；∵的兩條角平分線，相交于點(diǎn)∴，∵，∴，∴，故②正確；∵分別平分，∴點(diǎn)G到直線的距離等于點(diǎn)G到直線，點(diǎn)G到直線的距離等于點(diǎn)G到直線的距離，∴點(diǎn)到直線，直線，直線的距離相等，故③正確；∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴，故④正確；故選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的定義和性質(zhì)，等角對(duì)等邊，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等等，熟知角平分線的性質(zhì)和定義是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)；過E作于F，可得，運(yùn)用全等三角形的判定可得，再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)可得，；根據(jù)點(diǎn)E是的中點(diǎn)即可判斷③是否正確；運(yùn)用全等三角形的判定可得，再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)即可判斷②④是否正確；根據(jù)即可判斷①是否正確．解：如圖，過E作于F，

∵，平分，∴，在和中，，∴，∴，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，而，∴，故③錯(cuò)誤；在和中，，∴，∴，，，故②正確；∴，故④正確；∴，故①正確．綜上，四個(gè)結(jié)論中成立的是①②④，故選：A．8．C【分析】由作圖知垂直平分，證出；由P到，的距離相等得出平分，再根據(jù)內(nèi)角和求出，進(jìn)而求出結(jié)論．解：由作圖知：垂直平分，，，到，的距離相等，，，平分，，，在中，，，，，．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查作圖基本作圖、等腰三角形性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及角平分線的判定，熟練掌握中垂線的作圖和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，作交的延長(zhǎng)線于，于，交的延長(zhǎng)線于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和判定得到平分求出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得到答案，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．解：作交的延長(zhǎng)線于，于，交的延長(zhǎng)線于，如圖：∵平分，平分，∴，，∴，又，，∴平分，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，又平分，∴，∴，∴，∴，故選：．10．C【分析】本題考查了軸對(duì)稱求最短路徑問題，等邊三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作角平分線；過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得．作點(diǎn)H關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)交于點(diǎn)N，連接，可得，證明點(diǎn)在點(diǎn)位置時(shí)，的值最小，最小值為，即可得到答案．解：如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)，由作圖可知，平分，，在等邊中，，，∵,，，∵，，作點(diǎn)H關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)交于點(diǎn)N，連接，∴，，點(diǎn)在點(diǎn)位置時(shí)，的值最小，最小值為．故選：C．11．/【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，根據(jù)，得出，求出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，，即可得出結(jié)論．解：過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，如圖所示：則，∵，∴，∴，∵、分別平分，，∵，∴，，∴，∴兩平行線、之間的距離為．故答案為：．12．6【分析】如圖，連接，則，，，由，，，可知是的平分線，則，由三角形內(nèi)角和定理可求，根據(jù)，計(jì)算求解即可．解：如圖，連接，∵為的垂直平分線，∴，，∴，∵，，，∴是的平分線，∴，∵，∴，∴，故答案為：6．【點(diǎn)撥】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的判定定理，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，含的直角三角形．熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的判定定理，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，含的直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．【分析】利用基本作圖得到點(diǎn)P到x軸和y軸的距離相等，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，從而得到m、n的數(shù)量關(guān)系．解：∵由作圖痕跡得點(diǎn)在的平分線上，∴點(diǎn)到軸和軸的距離相等，∵，且點(diǎn)在第二象限，∴，即．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖?基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了角平分線的性質(zhì)．14．【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)定理，作可得，根據(jù)可得的面積，即可求解．解：作，如圖所示：由題意得：平分，∴∵∴∵的面積為2，∴的面積為，∴的面積為，故答案為：15．3【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知條件，分別平分的外角，且，可得，根據(jù)等角對(duì)等邊得出，根據(jù)即可求得．解：∵分別平分的外角，，，∴，∴，，，，故答案為：3．16．．【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，再由內(nèi)角和即可求解．解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵點(diǎn)，是內(nèi)角與外角的三等分線的交點(diǎn)，∴是的平分線，又∵，，∴，同理可得，∴，又∵，，∴是的平分線，∵，，∴，∵點(diǎn)，是內(nèi)角與外角的三等分線的交點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的的性質(zhì)定理和判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì)．17．67°【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，過點(diǎn)作于，于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：過點(diǎn)作于，于，平分，，在上截取，連接，在和中，，，在四邊形中，∵，∴在四邊形為正方形，，，平分，，，平分．∴∴故答案為：67°18．3或或或【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定；解題的關(guān)鍵是注意分類討論．（1）連接，證明，得出，根據(jù)即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意分四種情況進(jìn)行分析，利用全等三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)所走的路程，進(jìn)而可求出的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再利用速度路程時(shí)間求解即可．解：（1）連接，如圖所示：∵點(diǎn)P到，的距離與相等，∴平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：3．（2）設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，①當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，時(shí)，，∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為。則，解得；②當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，時(shí)，，∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，解得：；③當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)在上，時(shí)，，∴點(diǎn)P的路程為，點(diǎn)Q的路程為，∴此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，解得；④當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，時(shí)，∴點(diǎn)P的路程為，點(diǎn)Q的路程為，∴此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，解得；∴運(yùn)動(dòng)的速度為或或或．故答案為：或或或．19．【分析】過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，然后證明，根據(jù)全等三角形的面積相等可得，同理可得：，設(shè)，，表示出，然后求解即可．解：如圖，過點(diǎn)作于，

∵，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，同理：，設(shè)，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．20．6【分析】利用基本作圖得到平分，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得點(diǎn)D到、的距離相等，于是利用三角形面積公式得到的面積的面積，從而可計(jì)算出的面積．解：由作法得平分，則點(diǎn)D到、的距離相等，∴的面積的面積，∵的面積為4，∴的面積是6．故答案為：6．【點(diǎn)撥】本題考查了基本作圖：熟練掌握基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線也考查了角平分線的性質(zhì)．21．（1）證明見分析；（2）①證明見分析；②【分析】（1）證明得到，即可證明平分；（2）①先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，由角平分線的定義推出，則，據(jù)此可得點(diǎn)E在的垂直平分線上；②根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，再求出，則．解：（1）證明：∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，，∴平分；（2）解：①：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴點(diǎn)E在的垂直平分線上；②∵在中，，∴，在中，，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，線段垂直平分線的判定，等角對(duì)等邊，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，證明是解題的關(guān)鍵．22．（1）畫圖見分析，；（2）見分析【分析】（1）根據(jù)作圖得出，進(jìn)而根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)作圖可得平分，，根據(jù)角平分線的定義以及等邊對(duì)等角得出即可得出．解：（1）證明：根據(jù)作圖可得，又∵∴故答案為：．（2）平分．【點(diǎn)撥】本題考查了基本作圖，角平分線的定義，等邊對(duì)等角，平行線的判定，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．23．（1）見分析；（2）垂直平分線段，理由見分析；（3）或【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)，（1）根據(jù)題意得，則，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，即可證得；（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和角平分線性質(zhì)得，得到即可證明結(jié)論；（3）當(dāng)，求得，即可求得；當(dāng)，先求出，進(jìn)而根據(jù)求解．解：（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵是角平分線，，，∴，∴．（2）垂直平分線段；理由：，，，，平分，，，，，，垂直平分線段；（3）如圖，當(dāng)，則，∴；如圖，當(dāng)，則，∴綜上所述，為或．24．問題情境