專(zhuān)題529相交線與平行線常見(jiàn)幾何模型(綜合練)-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練(人教版)_第1頁(yè)
專(zhuān)題529相交線與平行線常見(jiàn)幾何模型(綜合練)-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練(人教版)_第2頁(yè)
專(zhuān)題529相交線與平行線常見(jiàn)幾何模型(綜合練)-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練(人教版)_第3頁(yè)
專(zhuān)題529相交線與平行線常見(jiàn)幾何模型(綜合練)-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練(人教版)_第4頁(yè)
專(zhuān)題529相交線與平行線常見(jiàn)幾何模型(綜合練)-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練(人教版)_第5頁(yè)
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專(zhuān)題5.29相交線與平行線常見(jiàn)幾何模型(綜合練)單選題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)1.(2023下·河南平頂山·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,,,,則的度數(shù)為(

)A.90° B.100° C.110° D.120°2.(2023下·遼寧鐵嶺·七年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖所示,,,,則的度數(shù)為(

)A. B. C. D.3.(2023上·廣東廣州·八年級(jí)??计谥校﹫D1是男子競(jìng)技體操項(xiàng)目雙杠的靜止動(dòng)作,圖2是其俯視示意圖,已知,若與的夾角為,,則的度數(shù)為(

)A. B. C. D.4.(2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè))已知,一個(gè)含有30°的角的三角尺按如圖所示位置擺放,若,則的度數(shù)為(

)A.20° B.25° C.30° D.65°5.(2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)??计谀┤鐖D,l∥m,矩形ABCD的頂點(diǎn)B在直線m上,則∠α=()A.20° B.25° C.30° D.35°6.(2024上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,小穎繪制一個(gè)潛望鏡原理示意圖,兩個(gè)平面鏡的鏡面與平行,入射光線與出射光線平行.若入射光線與鏡面的夾角,則的度數(shù)為(

)A. B. C. D.7.(2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖,已知直線,平分,過(guò)點(diǎn)C作,平分分別交于點(diǎn)H,G,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M.設(shè),,則下列結(jié)論正確的是(

A.B.C. D.8.(2022下·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,,,設(shè),,則與之間的數(shù)量關(guān)系正確的是(

)A. B.C. D.與沒(méi)有數(shù)量關(guān)系9.(2022下·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,已知,于點(diǎn),,,則的度數(shù)是(

)A. B. C. D.10.(2023上·四川宜賓·七年級(jí)四川省宜賓市第二中學(xué)校??茧A段練習(xí))如圖,平分交于點(diǎn)E,,,M,N分別是延長(zhǎng)線上的點(diǎn),和的平分線交于點(diǎn)F.下列結(jié)論:①;②;③平分;④為定值.其中正確的有(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)填空題(本大題共8小題,每小題4分,共32分)11.(2024上·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,,,,則.12.(2020上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)??茧A段練習(xí))潛望鏡中的兩面鏡子是互相平行放置的,如圖所示的光線經(jīng)過(guò)鏡子反射時(shí),∠1=∠2,∠3=∠4,則可判斷進(jìn)入潛望鏡和離開(kāi)潛望鏡的光線是平行的,依據(jù)是:.13.(2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)??计谥校┤鐖D,直線,小亮把一把含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)放在直線a上,把30°的頂點(diǎn)放在直線b上,若,則的度數(shù)為.

14.(2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,,,,則.15.(2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,已知,則的度數(shù)為.16.(2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,,,,表示圖中三個(gè)角的角度,則,,三者之間的數(shù)量關(guān)系是.17.(2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)??计谥校┮阎喝鐖D,,的平分線與的平分線交于點(diǎn)M,,,,則.18.(2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校考期中)如圖,已知,點(diǎn)是上方一點(diǎn),點(diǎn)分別在直線、上,連結(jié)、,平分,交的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn),若,且,則度數(shù)為.

三、解答題(本大題共6小題,共58分)19.(8分)(2023下·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期中)【問(wèn)題背景】同學(xué)們,我們一起觀察小豬的豬蹄,你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)我們熟悉的幾何圖形,我們就把這個(gè)圖形形象的稱(chēng)為“豬蹄模型”,豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系.

(1)如圖①,,E為之間一點(diǎn),連接,得到.試探究與之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.(2)請(qǐng)你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法,完成下面的問(wèn)題:【類(lèi)比探究】如圖②,,線段與線段相交于點(diǎn)E,,,平分交直線于點(diǎn)F,則°.20.(8分)(2022下·山東濟(jì)南·六年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖1,已知點(diǎn)A是外一點(diǎn),連接.求的度數(shù).

(1)閱讀并補(bǔ)充下面推理過(guò)程:解:過(guò)點(diǎn)A作,所以,.又因?yàn)椋裕?)從上面的推理過(guò)程中,我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能,將“湊”在一起,得出角之間的關(guān)系,使問(wèn)題得以解決.如圖2,已知,試說(shuō)明(3)如圖3,已知,平分,平分,若,則的度數(shù)為°;(4)如圖4,已知,平分,平分,平分,平分,平分,平分…,若,則的度數(shù)為;(用含a的代數(shù)式表示)21.(10分)(山西省晉中市壽陽(yáng)縣20222023學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在綜合與實(shí)踐課上,同學(xué)們以“一個(gè)含的直角三角尺和兩條平行線”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).如圖1,已知兩直線a,b且和,,,.

(1)在圖1中,,求的度數(shù);【深入探究】(2)如圖2,創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線a向上平移,并把的位置改變,發(fā)現(xiàn),請(qǐng)說(shuō)明理由;【拓展應(yīng)用】(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上,將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3,平分,此時(shí)發(fā)現(xiàn)與又存在新的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系.22.(10分)(2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末)已知,點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,點(diǎn)為射線上一點(diǎn).(1)【基礎(chǔ)問(wèn)題】如圖1,試說(shuō)明:.(完成下面的填空部分)證明:過(guò)點(diǎn)作直線,∵,∴_______①_______.∵,∴_______②_______.∵,∴_______③_______(_______④_______).∴.(2)【類(lèi)比探究】如圖2,當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出、、三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.(3)【應(yīng)用拓展】如圖3,點(diǎn)與點(diǎn)重合,平分,且,,那么的度數(shù)為_(kāi)_______.23.(10分)(2023下·云南玉溪·七年級(jí)統(tǒng)考期末)世界上最早記載潛望鏡原理的古書(shū),是公元前2世紀(jì)我國(guó)西漢初期的《淮南萬(wàn)畢術(shù)》,書(shū)中記載的現(xiàn)象:“取大鏡高懸,置水盆于其下,則見(jiàn)四鄰矣.”即潛望鏡的雛形.如圖,是一個(gè)潛望鏡模型示意圖,光線經(jīng)過(guò)互相平行的鏡子和鏡子反射后,形成光線,人眼在點(diǎn)即可看到點(diǎn)的光線.已知,求證.請(qǐng)完成下面的證明,在括號(hào)內(nèi)的橫線上補(bǔ)充正確的結(jié)論或推理的依據(jù).

證明:(已知),()(已知),()(等式的性質(zhì)).,(平角的定義),,().24.(12分)(2018下·江蘇南京·七年級(jí)校聯(lián)考期中)模型與應(yīng)用.【模型】(1)如圖①,已知AB∥CD,求證∠1+∠MEN+∠2=360°.【應(yīng)用】(2)如圖②,已知AB∥CD,則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)為.如圖③,已知AB∥CD,則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度數(shù)為.(3)如圖④,已知AB∥CD,∠AM1M2的角平分線M1O與∠CMnMn-1的角平分線MnO交于點(diǎn)O,若∠M1OMn=m°.在(2)的基礎(chǔ)上,求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n-1的度數(shù).(用含m、n的代數(shù)式表示)參考答案:1.C【分析】過(guò)O作直線MN//AB,根據(jù)兩直線平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)即可求出,然后根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行可得MN//CD,進(jìn)而可求出,從而求出.解:過(guò)O作直線MN//AB,如下圖所示,∵M(jìn)N//AB,∴(兩直線平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)),∴,∵M(jìn)N//AB,AB//CD,,∴MN//CD,∴,∴,∴,故選:C.【點(diǎn)撥】此題考查的是平行線的判定及性質(zhì),掌握構(gòu)造平行線的方法是解決此題的關(guān)鍵.2.C解:本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì).假設(shè)與的交點(diǎn)為,因?yàn)?,所以;根?jù)三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和,可得,所以.故選C.3.C【分析】過(guò)點(diǎn)B作,則,利用平行線的性質(zhì),進(jìn)行求解即可.解:如圖,過(guò)點(diǎn)B作,∵,∴,∴,,∵,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是構(gòu)造平行線.4.B【分析】過(guò)三角尺的頂點(diǎn)作平行線,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠4,故可求出的度數(shù).解:如圖,三角尺的頂點(diǎn)作平行線,則∴∠3=,∠4=90°∠3=25°故=∠4=25°故選B..【點(diǎn)撥】此題主要考查平行線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出平行線進(jìn)行求解.5.B解:試題解析:延長(zhǎng)DC交直線m于E.如圖所示:∵l∥m,∴∠CEB=65°.在Rt△BCE中,∠BCE=90°,∠CEB=65°,∴∠α=90°∠CEB=90°65°=25°;故選B.考點(diǎn):平行線的性質(zhì).6.B【分析】本題考查了平行性的性質(zhì).熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.由題意知,,,由,可得,進(jìn)而可求.解:由題意知,入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角,即,,∵,∴,∴,故選:B.7.D【分析】由三角形內(nèi)角和定理和垂直的定義得,,則,由得到,由平分得到,由,則,由平分得到,由得到,整理即可得到答案.解:如圖,

∵于點(diǎn)M.∴,∴,,∴,∵,∴,∵平分,∴,∵,∴,∴,∵平分,∴,∵,∴,∴,故選:D【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等知識(shí),熟練掌握平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8.A【分析】過(guò)C作∥,得到∥,因此,,由垂直的定義得到,由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得到答案.解:過(guò)C作∥,∥,,,,,,,,,

故選:A.【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì),關(guān)鍵是過(guò)C作,得到,由平行線的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.9.C【分析】如圖,過(guò)點(diǎn)H作,過(guò)點(diǎn)F作,根據(jù)平行線的性質(zhì)定理進(jìn)行解答即可.解:如圖,過(guò)點(diǎn)H作,過(guò)點(diǎn)F作,∴,,∵,∴,∴,∵,,,∴,,∴,,∵,,∴,∴,∵,∴,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì),熟練掌握判定與性質(zhì)定理,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.10.C【分析】先根據(jù)AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E,AE⊥DE,∠1+∠2=90°,∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F,由三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.解:∵AB⊥BC,AE⊥DE,∴∠1+∠AEB=90°,∠DEC+∠AEB=90°,∴∠1=∠DEC,又∵∠1+∠2=90°,∴∠DEC+∠2=90°,∴∠C=90°,∴∠B+∠C=180°,∴AB∥CD,故①正確;∴∠ADN=∠BAD,∵∠ADC+∠ADN=180°,∴∠BAD+∠ADC=180°,又∵∠AEB≠∠BAD,∴AEB+∠ADC≠180°,故②錯(cuò)誤;∵∠4+∠3=90°,∠2+∠1=90°,而∠3=∠1,∴∠2=∠4,∴ED平分∠ADC,故③正確;∵∠1+∠2=90°,∴∠EAM+∠EDN=360°90°=270°.∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F,∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°.∵AE⊥DE,∴∠3+∠4=90°,∴∠FAD+∠FDA=135°90°=45°,∴∠F=180°(∠FAD+∠FDA)=18045°=135°,故④正確.故選:C.【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)及角平分線的計(jì)算,熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵.11.20【分析】由得到∠ABC+∠C=180°,再根據(jù)∠C=70°,BE⊥BC,即可求得∠ABE=180°90°70°=20°.解:∵,∴∠ABC+∠C=180°,又∵∠C=70°,BE⊥BC,∴∠ABE=180°90°70°=20°.故答案為:20.【點(diǎn)撥】考查了平行線的性質(zhì)和垂線的定義,解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形和利用“兩直線平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”進(jìn)行求解.12.內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可求解.解:∵ABCD,∴∠2=∠3,∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1=∠2=∠3=∠4,∴∠EFG=∠FGH,∴EFGH(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).故答案為:內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.【點(diǎn)撥】此題主要是綜合考查了平行線的判定和性質(zhì),牢記內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.13.【分析】過(guò)點(diǎn)作,可得,,可得,進(jìn)而可求的度數(shù).解:如圖,過(guò)點(diǎn)作,

,,,.故答案為:.【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)與判斷,解決本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線.14.130°【分析】根據(jù),,可以得到AD∥BC,∠DCB=50°,∠DCB+∠ADC=180°,即可求解.解:∵∴AD∥BC∴∠DCB+∠ADC=180°∵∴∠DCE=90°∵∴∠DCB=50°∴∠ADC=130°故答案為:130°.【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定,垂直的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.15.25°【分析】要求∠D的度數(shù),只需根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求得該三角形的外角∠1的度數(shù).顯然根據(jù)平行線的性質(zhì)就可解決.解:∵AB∥ED,∠B=60°,∠C=35°,∴∠1=∠B=60°.∵∠1=∠C+∠D,∴∠D=∠1∠C=60°35°=25°.故答案為:25°.【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)和外角的性質(zhì),根據(jù)兩直線平行同位角相等和三角形外角的性質(zhì)解答.16.【解析】略17./88度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等,解題的關(guān)鍵是會(huì)添加常用輔助線(即過(guò)“拐點(diǎn)”作平行線),一般而言,有幾個(gè)“拐點(diǎn)”就需要作幾條平行線,從而利用“拐點(diǎn)”模型的基本結(jié)論解決問(wèn)題;過(guò)點(diǎn)、、分別作,根據(jù)平行線的傳遞性得出,再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等以及角平分線的定義即可求解;解:過(guò)點(diǎn)、、分別作,∵,,平分,平分,,,,,,,故答案為:.18./52度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用,過(guò)點(diǎn)作,過(guò)作,設(shè),,利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得出結(jié)論,解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角,利用平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行推算.解:如圖,過(guò)點(diǎn)作,過(guò)作,

設(shè),,∵,交于,平分,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∵,平分,∴,∵,∴,∴,∴,,∵,∴,∴,∴,故答案為:.19.(1),理由見(jiàn)分析;(2)58【分析】(1)過(guò)E作,根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可;(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的概念求解即可.解:(1),理由如下:過(guò)E作,如圖,

∵,∴,∴,∴,即;(2)同(1)方法可知:,∵,,∴,∴,∵平分,∴.【點(diǎn)撥】題目主要考查平行線的判定和性質(zhì),角平分線的計(jì)算,理解題意,熟練掌握運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.20.(1);(2)見(jiàn)分析;(3)130;(4)【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)解答即可;(2)過(guò)點(diǎn)B作,得到,利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到,由此得到結(jié)論;(3)過(guò)點(diǎn)B作,則,根據(jù)平行線的性質(zhì)推出,再根據(jù)角平分線求出的度數(shù);(4)依據(jù)(2)(3)的結(jié)論推理計(jì)算可得答案.(1)解:過(guò)點(diǎn)A作,所以.又因?yàn)?,所以.故答案為:?/p>

(2)解:過(guò)點(diǎn)B作,如圖,

∵,,∴,∴,∴;(3)解:過(guò)點(diǎn)B作,則,

∴,,∴,∵,∴,∵平分,平分,∴,,根據(jù)(2)的結(jié)論可得:,故答案為:130;(4)由(3)得,

,∵平分,平分,∴,∵平分,平分,∴,∵平分,平分,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用,正確作出輔助線,熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.21.(1);(2)見(jiàn)分析;(3),理由見(jiàn)分析.【分析】(1)根據(jù)及的和為可求出,根據(jù)平行線的性質(zhì)解答;(2)過(guò)點(diǎn)作,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,,結(jié)合圖形計(jì)算,證明結(jié)論;(3)過(guò)點(diǎn)作,根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)計(jì)算即可.(1)解:如答圖1,

∵,,∴.∵,∴;(2)解:理由如下:如答圖2,過(guò)點(diǎn)B作.

∴.∵,∴.∴.∴.∴.∴;(3)解:.理由如下:如答圖3,過(guò)點(diǎn)C作.

∴.∵平分,,∴.∵,∴,.∴.∵,∴.∴.∴.【點(diǎn)撥】本題考查的是角平分線定義、平行線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)定理.22.(1);;;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;(2),理由見(jiàn)分析;(3)【分析】()過(guò)點(diǎn)作直線,根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定即可求解;()過(guò)點(diǎn)作直線,同理可得,,則;()利用平行線的性質(zhì)求出的值,再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可;本題主要考查了平行線的性質(zhì),平行公理,解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì).解:(1)過(guò)點(diǎn)作直線,∵,∴(平行于同一條直線的兩條直線平行),,∴,∵,∴(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∴;故答案為:;;;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;(2)如圖所示,過(guò)點(diǎn)作直線,又∵,∴,∵,∴,∵,∴,∴;(3)如圖所示,∵,∴,∵平分,∴,∵,∴,∴.23.;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;等量代換;;;;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.【分析】先根據(jù)“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”可得,又由于,可得,由平角的定義可得,,由

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