數(shù)學教育學摘要02018

PAGEPAGE24第一篇數(shù)學課程第一章：數(shù)學的特點、方法和意義1數(shù)學：研究現(xiàn)實世界的數(shù)和形之間各種量、量變及其關系的一門學科。具有抽象性、嚴謹性，廣泛應用性。數(shù)學抽象的徹底性，層次性，數(shù)學的嚴謹性是指邏輯上要無懈可擊，結論要十分確定，一般又稱為邏輯嚴密性或嚴格性，結論確定性或可靠性。2、課程是指學校學生所應學習的學科總和及其進程與安排。廣義的課程是指學校為實現(xiàn)培養(yǎng)目標而選擇的教育內(nèi)容及其進程的總和，它包括學校所交的各門學科和有目的、有計劃的教育活動。狹義的課程是指某一門學科。2、作為教育學科的數(shù)學特征，（1）數(shù)學是一門漸進性的科學，（2）數(shù)學具有獨特的語言，符號系統(tǒng)。數(shù)學語言主要由文字語言（術語），符號語言（記號）和圖像語言組成。數(shù)學語言具有精確，簡潔，形式化，符號化的特點，3、數(shù)學思想數(shù)學思想是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人的意識之中并經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果，是對數(shù)學事實與數(shù)學理論的本質(zhì)認識，基本數(shù)學思想則是體現(xiàn)或應該體現(xiàn)于基礎數(shù)學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數(shù)學思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。通過數(shù)學思想的培養(yǎng)，數(shù)學的能力才會有一個大幅度的提高。掌握數(shù)學思想，就是掌握數(shù)學的精髓。4、數(shù)學方法數(shù)學方法是以數(shù)學為工具進行科學研究和解決問題的方法，即用數(shù)學語言表達事物的狀態(tài)，關系和過程，經(jīng)過推理運算和分析，以形成解釋、判斷和預言的方法。數(shù)學的方法同樣具有數(shù)學科學的三個基本特點，一是高度的抽象性和概括性，二是精確性，三是應用的普遍性和可操作性。5、數(shù)學思想和數(shù)學方法的關系數(shù)學思想、數(shù)學觀念與數(shù)學方法三者密不可分，思想是相應的方法的精神實質(zhì)和理論基礎，方法則是實施有關思想的技術手段，數(shù)學教育中出現(xiàn)的數(shù)學觀念和各種數(shù)學方法都體現(xiàn)著一定的數(shù)學思想。具體來說，數(shù)學方法是處理、探索、解決問題，數(shù)學數(shù)學思想的技術工具和手段，而數(shù)學方法都是體現(xiàn)著一定的數(shù)學思想。6、宏觀的數(shù)學方法有公理化方法，數(shù)學模型方法，隨機思想方法7、公理化方法公理化方法，就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則推導出其他命題，建立起一個演繹系統(tǒng)的方法。。8、數(shù)學模型方法 數(shù)學模型方法是指對某種事物或現(xiàn)象中所包含的數(shù)量關系和空間形式進行數(shù)學概括，描述和抽象的基本方法。9、隨機思想方法隨機思想方法又稱概率統(tǒng)計方法，就是指人們以概率統(tǒng)計為工具，通過有效的收集，整理受隨機因素影響的數(shù)據(jù)，從中尋找確定的本質(zhì)的數(shù)量規(guī)律，并對這些隨機影響一數(shù)量的刻畫和分析，從而對所觀察的現(xiàn)象和問題做出推斷，預測，直至未來的決策與行動提供依據(jù)和建議的一種方法。10、隨機思想方法的特點：概率統(tǒng)計方法的歸納性處理的數(shù)據(jù)受隨機因素影響處理的問題一般是機理不甚清楚的復雜問題概率數(shù)據(jù)中隱藏著概率特性。11、數(shù)學的作用（1）對于人類進步和社會發(fā)展的重要影響（2）探索自然現(xiàn)象社會現(xiàn)象的語言與工具3、提高文化素質(zhì)與發(fā)展科學思維第二章數(shù)學課程概述1、數(shù)學課程的類型（1）按照課程的內(nèi)容不同分為學科課程與經(jīng)驗課程，（2）按照課程實施的方式，可分為傳授性課程與研究型課程，（3）按照課程的預期性可分為顯性課程與隱性課程（4）按照課程的開發(fā)與管理，可分為國家課程，地方課程與校本課程，2、學科課程學科課程是以知識為基礎，按照一定的價值標準，從不同的領域中選擇一定的內(nèi)容，再根據(jù)知識的邏輯體系，將所選出的知識組織為學科。3、經(jīng)驗課程經(jīng)驗課程亦稱為活動課程，生活課程，經(jīng)驗課程旨在培養(yǎng)具有豐富個性的學生，它是從學生的興趣和需要出發(fā)，以兒童的主體性活動的經(jīng)驗為中心組織的課程。4、傳授性課程傳授性課程是以老師講授為主的課程，使學生在教師的指導下獲得規(guī)范的發(fā)展是傳授性課程的主導價值。5、研究型課程研究型課程的價值在于使學生通過自主研究和發(fā)現(xiàn)獲得自由的發(fā)展，具體表現(xiàn)為產(chǎn)生學生興趣，豐富學習研究體驗，形成合作與共享的品質(zhì)，建立合理的知識結構，養(yǎng)成尊重事實的科學態(tài)度。6、隱性課程 隱性課程是學生在學習環(huán)境中所學習到的非預期的或非計劃的知識，價值觀念、規(guī)范和態(tài)度，特點：（1）其影響具有普遍性（2）具有持久性(3)其影響可能是積極的也可能是消極的7、課程的現(xiàn)代發(fā)展變化趨勢：從強調(diào)學科發(fā)展到強調(diào)學習者的經(jīng)驗，從強調(diào)目標，計劃發(fā)展到強調(diào)學習過程的價值，從強調(diào)教材到強調(diào)教師，學生，教材，環(huán)境的整合。從只強調(diào)顯性課程發(fā)展到強調(diào)顯性課程與隱性課程并重。從只強調(diào)學科課程到強調(diào)學校課程與校外課程的整合。8、影響數(shù)學課程發(fā)展的因素：社會發(fā)展的需求，數(shù)學學科體系，學生心理基礎。形式教育與實質(zhì)教育的爭論。9、注重問題解決的數(shù)學課程 美國數(shù)學教師協(xié)會公布一份名曰《關于行動的議程》提出：必須把問題解決作為80年底按中學數(shù)學的核心，，1982年英國《柯克克羅夫特報告》明確提出數(shù)學教育的核心是培養(yǎng)解決數(shù)學問題的能力，10、“問題解決策略的內(nèi)涵其一“問題解決“是個數(shù)學教學的一個目的，其二：“問題解決“是個數(shù)學活動過程其三：“問題解決”是技能。11、注重“問題解決”的數(shù)學課程（1）通過問題解決認識和理解數(shù)學（2）把數(shù)學和非數(shù)學的問題情景表述成數(shù)學問題（3）學會和應用各種策略解決問題4）根據(jù)問題的原始情境來檢驗和解釋答案（5）概括解決新問題的方法和策略（6）在有意義地運用數(shù)學的過程中獲得自信心12、大眾數(shù)學1984年第五屆國際數(shù)學教育會議上正式形成“大眾數(shù)學“的說法，1991年，美國總統(tǒng)簽署了一份《美國2000年教育規(guī)劃》的報告，提出大眾數(shù)學的思想。13、大眾數(shù)學的基本意義（1）人人學有用的數(shù)學（2）人人掌握數(shù)學（3）不同的學生學習不同的數(shù)學14、體現(xiàn)大眾數(shù)學的數(shù)學課程（1）注重課程內(nèi)容的普適性，2）以未來社會公民所必須的數(shù)學思想方法為主線選擇和安排教學內(nèi)容（3）以與學生年齡特征相適應的大眾化，生活化的方式呈現(xiàn)教學內(nèi)容。（4）使學生在活動中，在現(xiàn)實生活中學習數(shù)學，發(fā)展數(shù)學（5）淡化形式，重在實質(zhì)。15、注重應用的數(shù)學課程增加具有廣泛性應用前景的數(shù)學知識，加強傳統(tǒng)教學內(nèi)容與實際的聯(lián)系，進行實踐課題的研究16、數(shù)學課程體系的編排原則 （一）符合學生的認知規(guī)律和心理發(fā)展規(guī)律可接受性，直觀性，趣味性，階段性，（二）符合數(shù)學科學的基本特性17、課程體系的具體呈現(xiàn)形式：直線式與螺旋式，結論式與過程式，綜合式與分科式18、直線式：是將一門學科的知識內(nèi)容按照邏輯體系組織起來，前后的內(nèi)容不重復，通俗地說，就是一個知識點學習完之后，不再作為新知識出現(xiàn)。19、螺旋式：就是在不同的學習階段重復呈現(xiàn)特定的知識內(nèi)容，也就是說某個知識點學完之后，還有可能作為新知識出現(xiàn)，不過不是簡單的重復，再次出現(xiàn)時，其知識點的內(nèi)涵，難度均有所上升。20、結論式的處理方式：就是教材內(nèi)容反映的是編者經(jīng)過研究，整理得到的結論性知識，沒有給出得到這些結論的思考，分析，探索過程。21、過程式的處理方式：一般是從問題出發(fā)，通過提出問題，解決問題，給出學習新知識的背景與必要性，提供觀察，嘗試，操作，猜想，歸納，驗證等方面的學習材料，暴露思維活動的過程，總結數(shù)學活動的經(jīng)驗，使學生在數(shù)學化的過程中學習概念，公式，法則，性質(zhì)。22、人本主義的教育目標：突出地強調(diào)個人的心智訓練和發(fā)展，由于數(shù)學教育對于促進人的理性思維與創(chuàng)造性才能有特殊意義。在古希臘數(shù)學教育中得到較鮮明的體現(xiàn)。23、實用主義教育目標:強調(diào)對于實用技能的掌握，對數(shù)學教育而言，就是唯一的注重數(shù)學知識的實用價值，這種教育思想在中國古代教育史上有典型的關系。第三章：國外的數(shù)學課程改革1、貝利-克萊因運動在19世紀末20世紀初，由德國數(shù)學家克萊因和英國數(shù)學家貝利發(fā)起并領導的數(shù)學教育的近代化運動，被稱為克萊因——貝利運動。

這場運動的重點是中學數(shù)學教學內(nèi)容的變革。貝利針對當時英國數(shù)學教學忽視實際應用的弊病，強調(diào)了數(shù)學的實用性價值，提出數(shù)學教學要強調(diào)應用。克萊因提出，數(shù)學教學應該強調(diào)：提倡數(shù)學理論應用于實際；教材內(nèi)容應以函數(shù)概念為中心；應該運用教育學、心理學的觀點來指導教學內(nèi)容。盡管他們的主張各有差異，但基本精神是一致的，這就是使教材教法近代化、心理化，實現(xiàn)數(shù)學各科的有機統(tǒng)一，理論與實踐的統(tǒng)一。雖然這次改革運動由于一些客觀的歷史原因，例如兩次世界大戰(zhàn)，中斷了一些很有價值的改革試驗，使該運動沒有取得很好的結果，但是它對現(xiàn)代中學數(shù)學教學的影響是深遠的。例如，初等函數(shù)知識成了中學數(shù)學的固定內(nèi)容；幾何變換的知識在幾何中得以充實；解析幾何在多數(shù)國家的中學中占有主要地位；微積分初步也長期成為某些國家的一些中學的數(shù)學教材，特別是普遍加強了中學數(shù)學教材的實踐性服務。2、新數(shù)學運動1957年，蘇聯(lián)發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星，使得自以為“世界霸主”的美國震驚，深感教育的落后，科學人才的缺乏，美國認為出現(xiàn)這種差距的根本原因，在于數(shù)學教育的落后，于是他們便從數(shù)學教育的改革入手，提出新數(shù)學運動——數(shù)學教育現(xiàn)代化。3、回到基礎運動 回到基礎運動的出發(fā)點是希望重新引起對基本技能的重視，但是令人遺憾的是“回到基礎“不但沒有提高教學水平，反而是數(shù)學教學回落到歷史的最低谷，4、“新數(shù)運動“回到基礎”運動的共同教訓教育不是一名純粹獨立的學科用口號來代替行動綱領，將毫無益處數(shù)學課程的改革不是一個突變的過程教材的編寫應照顧到不同層次的學生。5、問題解決1977年美國全國數(shù)學督導委員會宣布：學習數(shù)學的根本目的數(shù)學好問題解決。6、關于問題解決的三種說法作為背景的問題解決，將問題解決作為一種學習課程內(nèi)容和實現(xiàn)其他課程目標的工具作為技能的問題解決，認為數(shù)學問題解決之所以重要，并不是因為它能使一個人成為好的問題解決者，而是因為解決數(shù)學問題本身具有重要價值。作為藝術的問題解決，波利亞，認為數(shù)學是一種創(chuàng)造活動。7、1990年NCTM修訂的基本原則是第一，課堂教授是促進數(shù)學教育的關鍵，第二，數(shù)學教育應當促進所有的學生學習數(shù)學，第三，新的教學大綱的目標的制定應真正關心它的教師運用方便，容易取得，要讓教師制定怎樣從他們目前的課堂教學達到大綱的目標第四，在新的大綱總應清楚的闡述發(fā)展基本技能的觀點。6、國外的數(shù)學新課程對我國的數(shù)學課程改革有哪些借鑒作用？第四章：國內(nèi)數(shù)學課程改革1、我國新一輪課程改革的背景計算機的普及與廣泛運用，科學技術得到迅猛發(fā)展，世界范圍內(nèi)的競爭越來越依賴于對具有創(chuàng)新意識和實踐能力的人才的占有程度，時代的發(fā)展對未來的公民的學習能力提出了更高的要求，合作意識與合作能力的重要性也就是說時代的發(fā)展對未來公民的創(chuàng)新意識，實踐能力，合作交流的意識與能力，終身學習的心向和能力等方面提出了新的要求，教育應關注適應這些新變化。2、課程目標：知識與技能，數(shù)學思考，解決問題，情感與態(tài)度，3、高中課程標準的基本理念高中課程的基礎性高中課程的選擇性與多樣性提供積極主動，勇于探索的學習方式提高學生的數(shù)學思維能力發(fā)展學生的應用意識及聯(lián)系的觀念正確處理好“雙基”教學中的繼承與發(fā)展強調(diào)理解數(shù)學的本質(zhì)，注意適度的形式化體現(xiàn)數(shù)學的人文價值信息技術與課程的有機整合建立合理，科學的評價體系4、新課程的特點增補了一些具有時代特征的學習內(nèi)容關注實踐與綜合運用，發(fā)展學生的綜合能力關注數(shù)學的文化價值，培養(yǎng)學生的人文素養(yǎng)，關注知識的聯(lián)系，提高對數(shù)學整體的認識關注知識的獲得過程，形成對知識的完整感受加強與學生生活的聯(lián)系，發(fā)展學生的應用意識與能力。對基礎知識，基本技能作了重新定位。第二篇數(shù)學教學理論第5章一般教學理論概述1、教學的涵義教學是傳授知識或技能教學意味著不僅要發(fā)生某種關系，它還要求學習者掌握所教的內(nèi)容意向式定義，教學作為一種規(guī)范性行為，教學活動必須符合特定的道德條件。2、教學發(fā)生的必要條件（1）引起學生的學習意向（20）用易于學生覺知的方式暗示或明釋學習的內(nèi)容，3、教學理論教學理論是教育學的一個重要分支。它既是一門理論科學，也是一門應用科學；它既要研究教學的現(xiàn)象、問題，揭示教學的一般規(guī)律，也要研究利用和遵循規(guī)律解決教學實際問題的方法策略和技術。它既是描述性的理論，也是一種處方性和規(guī)范性的理論夸美紐斯的《大教學論》是第一本最系統(tǒng)地總結了歐洲文藝復興以來的教學經(jīng)驗的著作。赫爾巴特使教學真正成為一門獨立的學科。昆體良《雄辯術原理》首次明確提出班級教學制。最早提出量力性原則，認為教學必須適度，繼承和發(fā)揚了蘇格拉底的啟發(fā)式教學思想，提出“教是為了不教”，提出了學習與休息相間和變換課業(yè)的教學思想，最早提出反對體罰。4、《學記》中的教學思想孔子的教學思想，在教學目的上，主張“學而優(yōu)則仕”，在教學內(nèi)容上，主張因材施教，啟發(fā)誘導，學思結合，學行結合，溫故知新等，在教師修養(yǎng)上，主張“學而不厭，誨人不倦”學記中的教學思想：關于教學目的主張“化民成俗”，在教學關系上主張教學相長，在課內(nèi)與課外的關系上提出了課內(nèi)與課外相結合的道理（藏息相輔），在教學方法上主張啟發(fā)誘導，長善就失，豫時孫摩。5、夸美紐斯的教學理論他把培根的知識論和方法論直接應用于教育，教育應當適應這種自然，自然適應性原則是教學的方法論原則，這一方法論原則孕育了“教與學對應”的思想。6、杜威的教學思想杜威提出“在做中學”的教學思想，并認為兒童與社會是教育歷程中的兩極。杜威的做中學思想姜問題教學法，重視素質(zhì)和創(chuàng)造性，重視興趣等都保留下來。7、三大教學流派：以前蘇聯(lián)贊科夫為代表的教學與發(fā)展實驗派，以美國布魯納為代表的結構主義或結構課程派，以德國瓦跟舍因和克拉夫為代表的范例教學派，8、教學論中國化第一階段，建國初期，主要學習蘇聯(lián)凱洛夫的《教育學》，第二階段，標志是對研究方法的關注，代表作是董遠騫的《教學論》第三階段，主要表現(xiàn)在綜合或概括以及理論體系的改造方面。王策三著的《教學論稿》9、奧蘇伯爾的教學論思想意義接受學習，根據(jù)學習的材料與學生認知結構的關系，學習可分為有意義學習和機械學習，根據(jù)學生的學習方式，學習可分為接受學習和發(fā)現(xiàn)學習，無論是接受學習還是發(fā)現(xiàn)學習，都可能是有意義學習，也都有可能是機械學習，奧蘇泊爾支持有意義的發(fā)現(xiàn)學習，抨擊機械的接受學習。教學原則與策略奧蘇泊爾提出在教學中應遵循逐漸分化原則和整合協(xié)調(diào)原則，成就動機理論奧蘇泊爾認為影響課堂中學生學習的因素，除了認知因素外，還有情感因素和社會因素。主要關注成就動機，在奧蘇泊爾看來，成就動機主要由認知內(nèi)驅(qū)力，自我提高的內(nèi)驅(qū)力和附屬的內(nèi)驅(qū)力構成，10、布盧姆的掌握學習11、布魯納提出四條教學原則：動機原則，結構原則，程序原則，反饋原則。其教學論思想的主要內(nèi)容：學習學科基本原理，從小學開始，螺旋上升，憑發(fā)現(xiàn)學習，遵循動機，結構，程序，反饋幾項原則。第6章數(shù)學教學模式1、教學模式教學模式是指在一定的教學思想，教學理論，學習理論的指導下，在大量的教學實驗的基礎上，為完成特定教學目標和內(nèi)容而圍繞某個主題形成的穩(wěn)定，簡明的教學結構理論框架及其具體可操作的實踐活動方式，它是教學思想，教學理論，學習理論的集中體現(xiàn)。2、教學模式的類型認知發(fā)展下的教學模式：奧蘇泊爾的有意義接受教學模式，布魯姆的掌握教學模式，探究發(fā)現(xiàn)意義下的教學模式：布魯納的發(fā)現(xiàn)教學模式，薩齊曼的探究訓練教學模式，蘭本達的探究-研討教學模式，3、基本的教學模式講授教學模式，啟發(fā)討論教學模式，問題解決教學模式，探究教學模式，4、講授教學模式講授模式是通過教師講解，向?qū)W生傳授知識，培養(yǎng)其能力，學生則通過聽講理解新知識，發(fā)展自己的能力的一種教學模式，盡管這一模式以教師講解為主，但并不排斥教師向?qū)W生提出或進行課堂練習，也不排斥借助多媒體等的演示。五個環(huán)節(jié)：組織教學，引入新課，講授新課，鞏固練習，小結布置作業(yè)。注意：要與其他教學模式合理的搭配。5、啟發(fā)討論教學模式蘇格拉底:產(chǎn)婆術。操作步驟：第一提出要討論的問題，第二，如果這個問題尚未數(shù)學化，則先數(shù)學化，并在必要的時侯對問題進行解釋。第三，教師組織討論要有啟發(fā)性，鼓勵學生形成討論和爭辯的氣氛，對于超出預想的結果要及時認可，并進一步學習。第四，全面了解學生對談話中問題的認可程度，圓滿解決問題后，請學生總結經(jīng)驗和教訓，并對提出的建議做評價，以積累經(jīng)驗。6、問題解決模式操作程序：設置數(shù)學情境，提出數(shù)學問題，解決數(shù)學問題，注重數(shù)學應用。注意點：第一要營造一個有利于探究教學的環(huán)境，第二，探究的難度有一定的梯度，第三，注重多種教學方法的運用。7、我國教學實驗中形成的數(shù)學教學模式：顧泠元地“嘗試回授-反饋調(diào)節(jié)”教學模式，盧仲衡的“自學輔導”教學模式。第7章數(shù)學教學評價1、數(shù)學教學評價數(shù)學教學評價是依據(jù)數(shù)學教學總目標和數(shù)學教學任務的具體目標，對數(shù)學教與學的過程與結果所作的一種價值判斷，數(shù)學評價的功能，導向功能，診斷功能，調(diào)控功能，激勵功能，2、數(shù)學評價的類型，相對評價與絕對評價（按不同的參照標準），診斷性評價，形成性評價，終結性評價。3、相對評價：是指在被評價對象的集合內(nèi)確定一個恰當?shù)脑u價標準，將每一個被評價對象與之作比較，從而確定每個對象在這個集合內(nèi)的相對位置和狀態(tài)的一種價值判斷。4、絕對評價：是指在被評價對象的集合之外確定一個評價標準（如課程標準，教學目標，教學要求）等，評價時將被評價對象與客觀的評價標準進行比較，而不考慮被評價對象之間的關系，5、診斷性評價：也稱準備性評價，一般在學習某一部分新知識之前進行，常用來了解學生是否具有學習新知識的必備的基礎知識，認知水平，了解學習困難之所在以及學生之間的差異性，以便有針對性的進行數(shù)學教學。6、形成性評價，是在數(shù)學教學實施過程中為了查明學生在某一階段的數(shù)學學習活動達到學習目標的程度而使用的一種評價，形成性評價時是一種過程性評價，功能：一是提供教的反饋信息，二是提供學的反饋信息。7、終結性評價：是在某個相對完整的學段或一門課程的學習結束之后對整個教學活動進行的全面評價，目的是考核學生是否達到了數(shù)學教育目標，并以相應的數(shù)學學習成績對學生階段或課程的學習狀況作出價值判斷，是一種結果性評價。8、數(shù)學課程標準的評價理念：重視發(fā)展，淡化甄別與選拔，實現(xiàn)評價功能的轉(zhuǎn)化，重視綜合評價，關注個體差異，實現(xiàn)評價指標的多元化，強調(diào)質(zhì)性評價，將定性評價與定量評價相結合，實現(xiàn)評價方法的多樣化，強調(diào)參與互動，采取自評與他評相結合，實現(xiàn)評價主體多元化，立足過程，終結性評價與形成性評價相結合，實現(xiàn)評價重點的轉(zhuǎn)移。9、數(shù)學教學評價的多元化趨勢：評價主體的多元化，方式的多元化，內(nèi)容的多元化和標準的多元化。10、評價學生學習的方式：課堂觀察，表現(xiàn)性評價，數(shù)學測驗（數(shù)量指標：難度，區(qū)分度，信度，效度。）第8章：數(shù)學教學原則1、數(shù)學教學原則：，是根據(jù)數(shù)學教學目標，為反映數(shù)學教學規(guī)律而制定的指導數(shù)學教學工作的基本要求，抽象性與具體性相結合的原則，嚴謹性與量力性相結合，培養(yǎng)雙基與策略創(chuàng)新相結合的原則，精講多練與自主建構相結合。2、抽象性與具體性相結合：(1)數(shù)學的抽象性：數(shù)學抽象是對事物的空間形式和數(shù)量關系的抽象，它舍棄了構成事物的質(zhì)的規(guī)定性，數(shù)學的抽象是逐級進行的，有層次性，還有高度的概括性，（2）數(shù)學抽象的相對性：首先數(shù)學的抽象性是以具體性作為基礎的，其次，數(shù)學的抽象性是逐步深入，第三,高度的抽象性與廣泛的具體性。貫徹要求 ：（1）直觀教學，提供學生感興趣的，熟悉的，以及與生活實際、已有的學習經(jīng)驗和知識背景密切相關的素材，要讓學生有比較充分的時間、空間經(jīng)歷觀察，實驗，猜測，推理，交流，反思等活動過程。（2）數(shù)形結合：數(shù)形結合即是數(shù)學教學的重要策略，也是數(shù)學中的重要思想方法，本質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來。許多數(shù)量關系方面的抽象概念和解析式，輔之以幾何意義，變得直觀、形象，是一些關系明朗化，簡單化；同時一些圖形的性質(zhì)，可以賦予數(shù)量意義，尋找恰當表達的數(shù)量關系式，將幾何問題代數(shù)化，以數(shù)助形，用代數(shù)方法解決幾何問題（3）從抽象到具體。學生要真正掌握數(shù)學知識，要學會運用數(shù)學理論去解決問題。認識第一階段的“具體”是感性材料，其作用是上升到理性認識提供基礎；第二階段的“具體”是理性材料的具體化，起作用是理性材料的進一步具體化。當掌握了抽象數(shù)學概念的定義、定理、公式以及法則的意義后，則運用這些理論于新的問題情境，或去解決、說明同類事物的有關現(xiàn)象或去完成相應智力操作。解數(shù)學題就是就是從抽象到具體的一種重要途徑，主要是抽象的數(shù)學概念、定理、公式、公理等運用的過程，是形成相關數(shù)學技能的過程。3、嚴謹性與量力性相結合的原則。（1）數(shù)學是嚴謹?shù)模憩F(xiàn)在數(shù)學概念的定義，數(shù)學結論的闡述，推理論證的進行。運算的要求，體系的建構等各個方面：1、數(shù)學概念：原始概念：從大量數(shù)學名詞中挑選出來的最基本的不加定義的概念，其本質(zhì)屬性用公理來揭示。被定義概念必須有確切的符合邏輯的要求的定義、符合定義規(guī)則，即概念體系是完整的。2、真命題：分為定理和公理，公理是這個學科中被挑選出來的作為證明其他真命題的原始依據(jù)，定理是經(jīng)過邏輯證明的真命題。3、公理化體系：每個數(shù)學分支都是從原始概念和公理出發(fā)，按照一定的邏輯構成的公理體系。每個定義必須被已知概念定義，每個定理必須有已知真命題推導。4、數(shù)學語言表述：概念和命題的陳述及命題的論證過程日益符號化，形式化，表述簡練正確科學不會產(chǎn)生歧義。5、數(shù)學運算：必須按運算法則，算理進行。（2）中學生的可接受性：首先對中學生嚴謹性的要求，需要逐步適應。要理解和掌握數(shù)學嚴謹性必須具備很強的邏輯思維能力和相當?shù)臄?shù)學基礎知識，根據(jù)中學生測發(fā)展水平，只能逐步獲得，不可能馬上達到，教學必須順應學生的認知發(fā)展規(guī)律，螺旋式的安排抽象內(nèi)容，有計劃有步棸的逐步要求循序提高。其次：數(shù)學的嚴謹性具有相對性。學生個體教學理解的發(fā)展需遵循數(shù)學隸屬的發(fā)展順序，因此要求學生從一開始就掌握課本中形式化呈現(xiàn)出來的嚴謹?shù)臄?shù)學知識，是違背個體認知的“歷史發(fā)生原理”的，應遵循由低級到高級，由簡單到復雜，由淺入深，逐步深化的一般認知規(guī)律。再次：在尊重學生可接受性的同時，也應當充分估計學生認識上的潛能。一定年齡階段接受知識能力是局限的，但是有很大的可塑性，在考慮學生可接受性的同時，不能忽視教學促進發(fā)展。嚴謹性與量力性結合原則的貫徹要求：在數(shù)學教學中，既要體現(xiàn)數(shù)學科學的特色，又要符合學生的實際。這是原則的總要求。首先：認真了解學生的學業(yè)基礎水平與認知水平，這是貫徹量力性原則的基礎，第二：根據(jù)數(shù)學課程標準制定恰當、合理的課堂教學目標。妥善處理好數(shù)學知識體系、學生的年齡特征，課程目標三者之間的關系，根據(jù)嚴謹性與量力性結合的原則，制定符合學生認識水平的教學目標。第三：螺旋式地處理教材內(nèi)容。為了符合學生的認識規(guī)律，適合學生原有的知識基礎和認知水平，課題學習要分幾個階段逐步深化。從邏輯體系來看。這樣的安排是不嚴謹?shù)?，但符合問題產(chǎn)生的實際過程，符合學生的認識特點和水平，是學生較早的掌握利用知識，解決問題，適應學習要求。第四：注重數(shù)學語言的教學。數(shù)學中的每一個名詞術語公式法則都有精確的含義，學生是否能確切的理解他們的含義是能否保證數(shù)學教學的嚴謹性的重要標志之一。第五：周密思考，推理有據(jù)。推理有據(jù)是思維嚴謹性的核心要求，有時可以借助直觀或者猜想，強調(diào)思維嚴謹性時必須辯證的處理好推理有據(jù)與善于利用直觀，歸納猜想的關系。4、培養(yǎng)雙基與策略創(chuàng)新結合的原則：1、數(shù)學雙基：就是指數(shù)學基礎知識和基本技能，數(shù)學基礎知識即數(shù)學知識網(wǎng)絡中的結點，包括概念定理公式法則方法等；基本技能是指與數(shù)學基礎知識相關的按照一定的程序與步棸進行的操作方式，包括運算推理數(shù)據(jù)處理畫圖繪制表格等心智活動。數(shù)學雙基教學原則的含義包括四個方面，即運算速度-速度帶來的效率；記憶程序-記憶與理解相輔相成；精確的表達-建立在邏輯分析的基礎上；做練習通過變式改進重復。 2、策略創(chuàng)新：是根據(jù)數(shù)學的探索性特征提出來的，其內(nèi)涵就是波利亞推崇的“合情推理”，包括觀察與實驗、想象與直覺、猜想與驗證等數(shù)學探索性特征和創(chuàng)造性思維方式。因此數(shù)學教學應把策略創(chuàng)新精神，思想方法的培養(yǎng)放在首位，以適當?shù)臄?shù)學雙基學習和訓練促進這方面的發(fā)展。5、培養(yǎng)雙基與策略創(chuàng)新的貫徹要求：1、轉(zhuǎn)變觀念，與時俱進的認識數(shù)學雙基數(shù)學雙基是一個動態(tài)概念，隨時代發(fā)展變化，也需要與時俱進，繼承傳統(tǒng)雙基的合理成分，揚棄不必要的繁瑣記憶，增加新興的數(shù)學知識和技能要求。2、重視“雙基”數(shù)學，加強合情推理培養(yǎng)。合情推理是數(shù)學發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的重要方法，加強合情推理能力的培養(yǎng)，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識，合情推理能力是數(shù)學雙基教學過程中培養(yǎng)的的，在重視數(shù)學雙基過程中，加強合情推理能力的培養(yǎng)，是打基礎抓創(chuàng)新“兩手硬”的做法。3、把握數(shù)學“雙基”和數(shù)學創(chuàng)新的關系。必須把數(shù)學“雙基”和數(shù)學創(chuàng)新這兩個方面同時研究，強調(diào)數(shù)學雙擊需要把握適當?shù)摹岸取保耙詫W生的發(fā)展為本”，把數(shù)學“雙基”和數(shù)學創(chuàng)新放在一起進行研究，找出適度的平衡。6、精講多練與自主建構相結合的原則：1、精講多練要求教師精選典型例題做出講解，對數(shù)學概念定理中的關鍵點做出精辟講解，講解要少而精，要有針對性，代表性，普遍性，個別問題作個別教學。多練是要求學生練習解題必須達到一定數(shù)量。2、自主建構：數(shù)學究其本質(zhì)而言就是一種構建活動：數(shù)學對象就是通過這樣一種活動得到構建的。1）數(shù)學知識的基礎是語言知識、約定和規(guī)則，而語言知識是一種社會構建；2）主觀知識發(fā)表后轉(zhuǎn)換成客觀知識，需要社會過程；3）客觀性本身就應理解為社會認同。所謂構建就是建立和構造關于新知識認知結構的過程，建立是從無到有的興建，構造是對已有材料結構框架加以調(diào)整整合或重組，學習是學生通過自己已有知識經(jīng)驗主動建構的過程，只是不能被動接受，不能被傳遞，需要走學生主動的自我構建，就數(shù)學學習來說，有意義的接受學習和有意義的發(fā)現(xiàn)學習是數(shù)學構建性學習的兩個基本過程。構建學習是數(shù)學學習的根本途徑。7、精講多練與自主建構相結合的原則貫徹要求：首先確立學生學習的主體地位，其次：教師要為學生自主建構而精講。再次：注重數(shù)學過程教學。第九章數(shù)學教學設計（一）課程內(nèi)容學生的特征和學習內(nèi)容分析，教學目標和教學過程的設計。（二）學習與考核要求了解教學設計時，如何對學生、學習內(nèi)容進行分析。掌握數(shù)學課堂教學目標有哪些，如何確定課堂教學目標。熟練掌握數(shù)學新授課的基本結構，能根據(jù)中學數(shù)學某一內(nèi)容，寫出教學設計方案。教學設計：是指教師以現(xiàn)代教學理論為基礎，根據(jù)教學對象的特點和教師自己的教學觀念、經(jīng)驗、風格，運用系統(tǒng)的觀點與方法，分析教學中的問題和需要，確定教學目標，建立解決問題的步棸，合理組合和安排各種教學要素，為優(yōu)化教學效果而制定實施方案的系統(tǒng)的計劃過程。簡單地說，就是指教師為達成一定的教學目標，對教學活動進行系統(tǒng)的規(guī)劃、安排與決策。皮亞杰將兒童認知發(fā)展氛圍四個階段：感覺—運動階段（0-2），前運演階段（2-7），具體運演階段（7-11、12），形式運演階段（12-17）具體運演階段兒童表象思維特點：1、運演的可逆性；2、運演系統(tǒng)的守恒，即思維形成了可閉合系統(tǒng)或結構具備形成正轉(zhuǎn)換和你轉(zhuǎn)換的運演組合；3、運演的傳遞；4、注意的擴大；5、思維的概念化從實物性表象概念過度到內(nèi)部心里表象概念。形式運演階段特點：由具體思維向抽象思維發(fā)展；由學習概念向?qū)W習命題發(fā)展；邏輯思維向形式化推理發(fā)展；思維量和思維度向復雜方向發(fā)展；思維活動向自我反省方向發(fā)展。我國中學生數(shù)學學習特征：1、中學生的數(shù)學思維成分中形式化思維逐步占優(yōu)勢，而且發(fā)展到形式運演階段自我意識和思維控制能力有了發(fā)展和提高；2、中學生思維發(fā)展具有階段性：初中邏輯思維逐步形成仍需要直觀感性經(jīng)驗，高中階段抽象思維發(fā)展能擺脫直觀形象的具體內(nèi)容進行各種思維活動。1、教學設計時應分析學生的學習起點水平，學習風格的分析和學習內(nèi)容的分析1）學習起點水平分析：=1\*GB3①學生基礎知識分析：判斷學生認知結構技術-繪制概念圖，繪制概念圖的基本步棸1）確定醫(yī)學內(nèi)容中的概念；2、將概念排序，從最一般最廣泛的概念開始排列已知排列到最具體最狹窄的概念，3）確定各概念之間的關系4）找出土中不同的概念關系，標出各種交叉連接線。=2\*GB3②、學生技能基礎分析：技術先決條件分析方法，是對學生技能基礎進行分析的常用方法，這種方法從終點技能著手，逐步分析到達終點技能所需要的從屬知識和技能，層層分析，直到直到能夠判斷從屬技能確實已被學生掌握，從而教學設計者通過學生是否能夠完成這些最簡單的技能來判斷他們的技能起點水平。=3\*GB3③學習心向的分析：學習心向是指影響個體的行為選擇的內(nèi)部狀態(tài)，往往表現(xiàn)為趨向與回避、喜愛與厭惡、接受、排斥。學習心向包括認知的、情感的和行為的三種成分。認知成分是指個體對學習內(nèi)容所具有的帶有評價意義的觀念和信念；情感成分是指伴隨認知成分而產(chǎn)生的情緒與情感，是學習心向的核心部分；行為傾向是指個體對學習內(nèi)容企圖表現(xiàn)出來的行為意圖，構成學習心向的準備狀態(tài)。學習心向：是指影響個體的行為選擇的內(nèi)部狀態(tài)，往往表現(xiàn)為趨向與回避，喜愛與厭惡，接受與排斥，包括認知的，情感的和行為的三種成分。=4\*GB3④學生的學習風格類型學習風格：是學生學習的最優(yōu)方式，是學生持續(xù)一貫的帶有個性特征的學習方式，是學習策略與學習傾向的綜合。學習風格的類型：心理層面：包括認知、情感、意動，情感部分是指學習興趣、態(tài)度、焦慮、價值觀等，意動部分是指堅持性、是否善于言語表達、是否善于動手操作等，認知部分指感知、接受、加工信息的風格；生理層面指的是心理喜好的一種傾向；社會層面是指與他人交往的一種傾向，比如喜歡獨立學習或結伴學習、競爭和合作等。從數(shù)學知識信息加工角度看，學生的學習認知方式可分為圖形思維占優(yōu)者，符號思維占優(yōu)者和二者兼有者。2）、學習內(nèi)容分析1、背景分析：其一分析數(shù)學知識的發(fā)生與發(fā)展過程；其二分析數(shù)學知識之間或者與其他學科的聯(lián)系；其三分析數(shù)學知識在日常生活中的運用；其四分析數(shù)學知識在后續(xù)學習中的地位和作用；其五分析數(shù)學知識中蘊含的數(shù)學思想方法。2、結構分析：是對學習內(nèi)容的層次進行分析和劃分，對數(shù)學內(nèi)容來說，層次結構主要有平行層次、遞進層次和二者的綜合。另外學習內(nèi)容結構分析不僅包括傳統(tǒng)備課中對課題內(nèi)容在教材中地位、作用的認識，更主要是對學習內(nèi)容縱橫結構、內(nèi)外聯(lián)系以及知識結構和學生認知結構深入、細致的剖析。取決于數(shù)學知識內(nèi)在的邏輯結構關系和數(shù)學教師的知識水平、認知能力及把握教材的能力。3、內(nèi)容范圍分析：學習課題范圍和知識領域。分析主要包括兩個方面：一是學習內(nèi)容的廣度，即學生在現(xiàn)有水平上必須和可能達到的知識技能的廣度。二是學習內(nèi)容的深度，即學生在現(xiàn)有水平上必須達到的知識身前程度和能力的質(zhì)量水平。衡量深淺程度的參照標準有兩個，一是學生的知識基礎與認知水平，二是數(shù)學知識結構的關系。4、學習內(nèi)容分析的基本方法：=1\*GB3①歸類分析法，主要應用于數(shù)學言語信息學習內(nèi)容的分析，實際就是要清理數(shù)學教材的知識體系（各個知識點及其之間的相互關系即知識結構），在清理知識體系之后，下一步就是確定具體知識點，第一步從知識體系中確定哪些內(nèi)容是需要學生掌握的，第二步在所確定的知識點上引出相對獨立部分，確定重點難點。=2\*GB3②圖解分析法，是用直觀形式，揭示學習內(nèi)容的要素及其相互聯(lián)系的分析方法。1、列出與教學目標相關的數(shù)學事實、概念、原理等；2、把所列內(nèi)容按邏輯順序排列；3、用線條連接各要素。4、圖解完成后，核查內(nèi)容的完整性、各要素之間的邏輯性，并補充或修改；5、提供實例，撰寫教學建議。=3\*GB3③層次分析法，主要用于揭示教學目標所需從屬技能分析。步棸1、確定學生必須獲得的終點技能；2、確定次一級從屬技能；3、確定再次一級從屬技能；4、如此剖析，直到學生的起點水平為止。=4\*GB3④信息加工分析法，以信息加工理論為基礎的一種心理操作過程的方法，按照線性的順序來分析學習內(nèi)容。確定一下三種基本順序結構：線性順序結構、交替順序結構、重復順序結構。3）教學目標設計1、教學目標確立的依據(jù)：=1\*GB3①教學內(nèi)容及其特點：它在單元乃至整個學科中的地位和作用，以及與前后知識的聯(lián)系是影響教學目標設立的內(nèi)在的重要因素，直接決定課堂教學目標的水平層次；=2\*GB3②學生實際教學必須為學生發(fā)展服務，學生已有的知識經(jīng)驗、生理心理發(fā)展水平、認知能力和習慣是制定課堂教學目標的重要依據(jù)。2、課堂教學目標1）分類：布魯姆基提出教學目標分為認知情感和動作技能三大領域，每個領域從由簡到繁，由易到難分為不同的層次目標。<基礎教育課程改革綱要>把目標分為結果性與過程性兩大部分，包括知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀三個維度。=1\*GB3①知識與技能目標：了解水平、理解水平、應用水平；=2\*GB3②過程與方法目標：經(jīng)歷形成數(shù)學概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學原理、探索解決數(shù)學問題的途徑的過程；培養(yǎng)正確的數(shù)與符號的觀念、空間觀念、統(tǒng)計觀念、隨機觀念等；增強應用意識與探索能力，通過觀察、實驗、歸納、類比等方法進行數(shù)學探究活動，在與他人交流中發(fā)展數(shù)學思維水平；=3\*GB3③情感態(tài)度價值觀目標：要求學生在數(shù)學學習過程中了解數(shù)學的價值，增加數(shù)學學習的興趣與自信，具有創(chuàng)新精神與實踐能力，形成認真嚴謹獨立思考的習慣，具有實事求是、質(zhì)疑求真的科學態(tài)度與精神。2）表述方法：常用方法之一是“ABCD模式法”，表述包括四個要素，即行為主體、行為條件、行為動詞、表現(xiàn)程度。=1\*GB3①行為主體（A）教學對象—學生，行為目標描述是學生的行為；=2\*GB3②行為動詞：用以描述學生應該達到目標的可觀察、可測量的具體行為；=3\*GB3③行為條件（C）指能影響學生產(chǎn)生學習結果的特定的限制或范圍，對條件的表述有四種類型：一是允許或不允許使用手冊或輔助手段，二是提供信息或提示，三是時間限制，四是完成行為的情境；=4\*GB3④表現(xiàn)程度指學生對目標所達到的最低表現(xiàn)標準，用以衡量學生學習表現(xiàn)或?qū)W習結果所達到的程度。3）目標設立要求1、目標設立應適當：目標深度廣度要適中，既要落實課程目標等上位目標要求，又要照顧學生實際。2、目標具有可操作性：做到具體不空泛，明確不羅嗦，抽象概括而不模糊，能夠直接指導課堂教學活動。3、目標陳述要明確：根據(jù)指示與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀等目標領域不同緯度和具體要求，運用概括明確的語言準確的表達出來。4）教學目標確立的方法：=1\*GB3①研習課程標準：經(jīng)常性研習課程標準，做到常學習、常研究、常對照，才能使課堂目標緊緊圍繞課程教學總目標。=2\*GB3②了解學生：是課堂教學目標的設立具有針對性、實踐性、實效性，努力做到因材施教。=3\*GB3③確立本屆可的教學目標點，高清各個目標點的內(nèi)容范疇，要分清事實（公理）、原理、概念還是方法、程序、公式，以便選用適當?shù)男袨閯釉~和確定具體的行為條件。=4\*GB3④確定目標點的掌握成度：掌握程度取決于課程目標和學生兩個因素，對掌握程度的表述應盡可能是可測量、可評價的，以便對本屆可的課程目標達成程度進行評價。=5\*GB3⑤修改：在實踐中不斷完善、總結、修改。4）教學過程設計1、確定數(shù)學課的課型數(shù)學課程類型分為：新授課、練習課、復習課、講評課、活動課。新授課：新授課主要包括復習導引、講授新課、鞏固練習、課堂小結、布置作業(yè)等環(huán)節(jié)。復習導引的目的是1、檢查復習舊知識；2、引入課題；3、吸引學生注意力；講解新課要完成下列教學任務：引入概念，剖析概念的本質(zhì)屬性，給出概念的名稱、定義與符號，發(fā)現(xiàn)公式法則性質(zhì)定理，并給予推導和證明，解決例題中提出的問題。掌握解決問題的方法；記憶有關數(shù)學知識等。鞏固練習具體任務是：根據(jù)定義判斷概念；復述公式法則性質(zhì)定理的內(nèi)容，明確其應用范圍，學習或模仿應用新知識解決問題的方法；初步形成相應的技能技巧等，鞏固練習的形式有書面練習，黑板練習、集體討論等。課堂小結：概括本節(jié)課主要內(nèi)容，是學生地本節(jié)課有更深刻的認識；布置作業(yè)包括：書面作業(yè)、預習性作業(yè)和思考題。練習課：主要任務是通過教師講解典型例題和學生練習的方式，進一步鞏固已學知識，訓練相應的技能技巧，并培養(yǎng)數(shù)學技巧。包括復習練習小姐布置作業(yè)四個步棸。復習課：幫助學生鞏固、加深和系統(tǒng)化過的知識，通過歸納、整理、綜合，優(yōu)化學生的認知結構進一步提高學生與運用所學知識和解決問題的能力。有單元復習，期中期末復習、畢業(yè)復習等幾種形式。。一般有知識的系統(tǒng)復習、典型例題示范與綜合練習、小結、布置作業(yè)四個環(huán)節(jié)。講評課：任務是對學生某一階段的作業(yè)情況進行小結或?qū)δ骋淮慰荚嚨慕Y果進行分析，目的在于糾正作業(yè)試卷中反映出來的問題或錯誤，幫助學生總結經(jīng)驗、調(diào)整學習方法、促進今后學習。包括以下幾個環(huán)節(jié)：介紹班級總體情況，分析考題，小結。教學順序的確定：主要有三種教學理論作指導：一是加涅的從簡單到復雜的教學順序安排；二是布魯納發(fā)現(xiàn)法；三是奧蘇泊爾的先行組織者理論。加涅把智力技術技能按從簡單到復雜的順序分辨為辨別、概念、規(guī)則、問題解決。布魯納的發(fā)現(xiàn)學習教學順序是：創(chuàng)設問題情境，是學生在情境中產(chǎn)生矛盾，提出要解決的問題；學生利用所提供的材料，對問題提出解答的假設；從理論和實踐上檢驗假設，不同觀點進行爭論，做出總結得出結論。奧蘇泊爾：充當線性組織者的材料一般在呈現(xiàn)教學內(nèi)容本身之前介紹，目的在于幫助學生確立意義學習的心向，，在三方面有助于促進學習和保持信息，首先可以使學生注意到自己在認知結構中已有的那些可起固定作用的知識，并把新知識建立其上，其次通過吧知識包括進來，并說明統(tǒng)括各種知識的基本原理，從而為新知識提供腳手架，第三穩(wěn)定清晰的組織，是學生不必采用機械學習的方式。教學活動的安排：教學活動一般包括：復習導引，講解新課，鞏固新知識，課堂小結，布置作業(yè)。加涅根據(jù)學習與信息的加工模式，揭示了學習內(nèi)部的八個過程學習階段教學階段期望注意：選擇性知覺編碼：儲存登記期望注意：選擇性知覺編碼：儲存登記記憶貯存提取遷移反應強化激發(fā)動機把目標告訴學生指導注意刺激回憶提供學習指導增強保持促進學習遷移讓學生作業(yè)；提供反饋領會階段習得階段保持階段回憶階段概括階段作業(yè)階段反饋階段教學方法的選擇：講解法：就是教師用簡明生動的口頭語言想學生系統(tǒng)的講授分析教材內(nèi)容和重點，學生則集中注意力傾聽的一種方法。主要優(yōu)點：有利于教師系統(tǒng)的講授教學內(nèi)容，保持教師的主導地位，控制課堂教學進程，使教學過程流暢，連貫，有利于提高課堂教學效率，在時間的使用上較經(jīng)濟。缺點：學生常處于被動狀態(tài)，不利于學生主體地位的發(fā)揮，不利于學生能力，特別是創(chuàng)造能力的發(fā)展，不能做到及時反饋，不利于因材施教。注意要點：1、內(nèi)容要主體明確，重點突出，層次分明，創(chuàng)造情境導入課題，抓住關鍵，層層深入，說理充分解決問題，簡單扼要的概括。2、善于用設問啟發(fā)學生思維，給學生提供思考空間，然后自問自答，3、隨時觀察學生表情，適時組織教學，吸引學生注意，根據(jù)接受情況，恰當調(diào)整講解。，4、板書講解同步進行，重點要點必須書寫在醒目位置。談話法：教學內(nèi)容設計成問題，與學生展開對話。注意：1、必須對教材理解透徹，對其中邏輯關系準確把握，并對學生有充分全面的估計。2、精心設計談話材料和體溫問題，問題要進口中心，有系統(tǒng)有坡度。環(huán)環(huán)相扣逐漸深入。3、教師必須有較高的談話技巧4、對象是全班學生，同時應有目的有計劃堅固特殊學生，4、談話結束后做適當小結。發(fā)現(xiàn)法：常以一個問題為中心，引導學生在求職境界中，依靠已有知識，展開思維實驗活動——通過觀察、試誤、猜想、推斷、查閱資料，來解決問題、歸納結論，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、探究的習慣和態(tài)度。優(yōu)點：1、有利于發(fā)揮學生的主觀能動性，2、可使學生的心智活動方式得到不斷的發(fā)展。3、利于激起學生學習的興趣和學習期望，4、能讓學生學會發(fā)現(xiàn)探索的方法。缺點：教學進程緩慢，有礙于學生較快的掌握知識，重視發(fā)現(xiàn)而忽視訓練，不利于技能技巧的形成。步棸：設疑思考、閱讀觀察、分析議論、綜合和發(fā)展。選擇教學方法的依據(jù)：1、課堂教學目標和教學任務2、教材內(nèi)容特點3、學生的實際情況4、教師自身條件5、教學方法的適用范圍和使用條件6、教學時間和效率教學組織形式的選用：教學組織形式主要有班級學習、小組學習，個別學習班級教學的優(yōu)越性：能大規(guī)模的面向全體學生進行教學；學生彼此之間由于共同的目的和共同活動集合在一起，可以互相觀摩、啟發(fā)、切磋、砥礪；能比較全面的實現(xiàn)教學任務，從而有利于學生多方面的發(fā)展，它不僅能夠全面的保證學生獲得系統(tǒng)的知識、技能技巧，同時也能保證對學生經(jīng)常的思想政治影響，啟發(fā)學生思維、想象能力以及學習熱情。局限性：學生主體地位或獨立性受到一定的限制；學生的探索性創(chuàng)造性不易發(fā)揮，主要或者只能接受現(xiàn)成的知識經(jīng)驗；難以兼顧學生個別差異，因材施教難以貫徹。小組教學的優(yōu)點：注重組員之間的協(xié)商合作有利于情感領域的學習目標實現(xiàn)；小組教學重視小組成員在小組教學活動中主體作用的發(fā)揮；小組教學使學生和教師面對面的接觸，指導、交流的機會增多，有利于教師對學生學習過程的全面了解；有利于培養(yǎng)學生積極參與的態(tài)度和意識。但是小組教學必須經(jīng)過系統(tǒng)計劃，否則會造成不易控制教學進度，合作失衡等現(xiàn)象。個別教學：就是教師在某一時間內(nèi)面向個別學生采用一對一的教學形式，有利于發(fā)揮學生的主動性和積極性，可以充分體現(xiàn)學生的主體地位，但是不利于學生之間的信息和情感交流。比較講解法與發(fā)現(xiàn)法的優(yōu)缺點講解法：優(yōu)點，有利于教師系統(tǒng)的講述教學內(nèi)容，有利于保持教師的主導地位，控制課堂教學的進程，使教學過程流暢，連貫，有利于提高課堂教學效率，在時間的使用上較經(jīng)濟。缺點：學生常處于被動狀態(tài)，不利于學生主體地位的發(fā)揮，不利于學生能力，特別是創(chuàng)造能力的發(fā)展，不能做到及時反饋，不利于因材施教。發(fā)現(xiàn)法：優(yōu)點：1、有利于發(fā)揮學生的主觀能動性，2、可使學生的心智活動方式得到不斷的發(fā)展。3、利于激起學生學習的興趣和學習期望，4、能讓學生學會發(fā)現(xiàn)探索的方法。缺點：教學進程緩慢，有礙于學生較快的掌握知識，重視發(fā)現(xiàn)而忽視訓練，不利于技能技巧的形成。 第十章數(shù)學知識的分類教學設計（一）課程內(nèi)容數(shù)學概念、數(shù)學命題和數(shù)學問題及其教學。（二）學習與考核要求了解屬概念，概念的內(nèi)涵、外延，概念的定義、形成和獲得，逆命題和偏逆命題。掌握給概念下定義的方法，數(shù)學公式的特性，并能結合自身教學實踐說明如何進行概念、公式、定理和問題的教學。任何一個概念都涉及四個方面：概念的屬性、例證、名稱、定義概念的內(nèi)涵和外延：在邏輯學上把概念所反映的事物本質(zhì)屬性的總和，叫做概念的內(nèi)涵，。凡是適合某概念的對象的全體叫做這個概念的外延。如果某對象屬于該概念的外延集合，那么這個對象叫做該概念的肯定例證。概念的內(nèi)涵與外延是相互聯(lián)系、相互制約的，如果外延確定了，那么外延集合中所有的元素的共同屬性便是這個概念的內(nèi)涵；反之，如果已知概念的內(nèi)涵，那么概念的外延也隨之確定；在一般情況下，如果內(nèi)涵性質(zhì)增加，那么相應的外延集合縮小，反之亦然，這種關系，常被稱為反比規(guī)律。概念間的邏輯關系：=1\*GB3①M（X1）M（X2）如果一個概念的外延集合為另一個概念的外延集合的真子集，那么這兩個概念之間的關系叫做屬種關系。其中X2叫做X1的屬概念,X1叫做x2的種概念；=2\*GB3②M（X1）∩M（X2）≠〇,且不包含。此時成兩個概念具有交叉關系；=3\*GB3③M（X1）∩M（X2）=〇不相容關系：如果兩概念的外延集合的并集是某一屬性概念的外延集合的真子集使，為反對關系，如果兩概念的外延集合的并集等于某一屬性概念的外延集合，為矛盾關系。概念的名稱和定義：概念是反應事物本質(zhì)屬性的思維形式。概念的名稱是是表示概念的詞語。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法。常見的定義形式有下列幾種:屬加種差定義：先確定被定義概念的最鄰近的屬概念，二胺后尋找這個屬概念中諸種概念彼此之間的本質(zhì)差別（種差）。被定義概念=最鄰近的屬概念+種差關系定義：這種定義是以被定義概念與其他事物的關系作為種差定義外延定義：指出屬概念中的種概念，如“有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)”。發(fā)生定義：通過被定義概念形成過程來揭示概念內(nèi)涵的。遞歸定義：約定式定義：利用意義已經(jīng)明確的表達式，去規(guī)定新引入的表達式的意義。形式定義：在代數(shù)中，有一類概念是通過其形式結構下定義的，如√2。公理化定義：常給出若干性質(zhì)，滿足性質(zhì)，這一概念便定義了。給概念定義時注意以下幾點：1、定義必須對稱；2、定義不能循環(huán)3、定義的方式可以不唯一；4、定義是對被定義概念內(nèi)涵或外延的一種規(guī)定，所以對概念的定義只能解釋不能證明。數(shù)學概念學習的認知分析：數(shù)學概念的學習包括概念的獲得、概念的應用、建立概念體系三個方面。概念的獲得：所謂概念的獲得就是掌握、理解一類事物的共同的本質(zhì)的屬性。也就是說能夠用符號、詞匯表示一類事物。有兩種基本形式：概念的形成與概念的同化。概念的形成：就是從大量的實例出發(fā)。通過個體的感知、辨別、比較、歸類，以歸納的方式概括出一類事物的共同屬性，從而獲得某概念的方式。其主要特征是能區(qū)別概念的肯定例證或否定例證。關鍵要素：觀察一定數(shù)量的形式變異的事實材料；分化每一個事實材料的屬性；概括共性；辨析變式材料。確認關鍵共性。概念的同化：就是新知識與學習者原有認知結構中的某些觀念建立有機的、非人為的實質(zhì)性的聯(lián)系，通過新舊知識的作用，新知識被納入原有的認知結構中，原有結構得到充實。通過已有的認知結構中相關概念建立聯(lián)系來理解，掌掌握新概念。關鍵要素：學習新概念中已有的知識經(jīng)驗；運用定義給出概念的本質(zhì)屬性、名稱、符號；運用定義辨認概念的肯定或否定例證；把新概念納入到相應的概念體系中，建立聯(lián)系，形成一個概念體系。概念的應用：1、判別與判斷：2、概念的泛化：就是將概念應用于各種具體問題情境中去。建立概念體系：1、具有種屬關系的概念群《具有種屬關系的概念，可用分一種邏輯鏈將他們連接起來，因此形成的概念體系一般成線狀；線狀概念結構在教材中的展現(xiàn)，有的是從一般到特殊，有的是從特殊到一般。2、具有并列關系的概念群：不具有種屬關系，但他們具有某種潛在聯(lián)系，并從屬于某個概括成都更高的概念數(shù)學概念的教學：數(shù)學概念的引入：2、列舉生活實例，提供現(xiàn)實原型，2、在已知概念的基礎上引入，3、運用數(shù)學問題引入。明確內(nèi)涵，廓清外延：其主要任務是通過抽象化、形式化來掌握概念的內(nèi)涵，廓清概念的外延，，就是能從理性層面上掌握一類事物的本質(zhì)屬性，并能夠辨別哪一類事物屬于該概念。往往通過下列環(huán)節(jié)達到對概念內(nèi)涵的把握與外延的界定。1、給出、剖析概念的定義：經(jīng)歷兩個過程一是知覺表達定義的語句的語法結構。二是吧詞義與知識結構中已有概念建立聯(lián)系，把個別、孤立的詞義綜合起來以獲得整體定義的意義。2、給出變式材料，所謂變式材料就是指概念的肯定例證咋uwuguan特征方面的變化，有一些具體的特殊的直觀材料組成。3、辨析否定例證：否定例證的運用可排除概念學習中五官特征的干擾，進一步弄清概念的外延。數(shù)學命題及數(shù)學教學數(shù)學課程中表示概念具有某種性質(zhì)或者概念之間具有某種關系的判斷叫做數(shù)學命題。數(shù)學命題記錄和反應了人類對客觀世界“數(shù)量關系和空間形式”方面的規(guī)律性認識。我們把反應事物是否具有某種屬性或事物之間是否具有某種關系的思維形式叫判斷。與表達判斷語句相關的，用來表達判斷的語句叫做命題，在數(shù)學中，用語言、符號表達的并且能夠判斷真假的語句叫做數(shù)學命題。數(shù)學公式是一類用純數(shù)學符號表達概念之間數(shù)量關系的且在一定范圍內(nèi)恒成立的數(shù)學命題。與其他命題相比，數(shù)學命題具有下列特性：1、數(shù)學公式的網(wǎng)絡化，數(shù)學課程中公式常以群組的面貌出現(xiàn)，每組中的公式之間的關系可概括為以下三類：派生關系，相關并列關系，總括關系。2、數(shù)學公式的形式化：表現(xiàn)：公式中的元素符號起著“位置占有者”的作用、數(shù)學公式的正逆向推演，適用于不同的技能操作、同一個公式通過恒等變量變換，可得到多種表現(xiàn)形式。在研究各種不同的數(shù)學對象（如圖形、函數(shù)、數(shù)等）時，往往要對他們之間的關系作出一些判斷，經(jīng)過證明而肯定其正確性的判斷，稱之為定理。定理群的展現(xiàn)有下列形式。1、性質(zhì)定理與判定定理，用來說明一個概念存在的充分條件的定理，稱為這個概念的判定定理，又來說明概念存在的必要條件的定理，稱為這個概念的性質(zhì)定理，在數(shù)學教學中，判定定理和性質(zhì)定理總是結伴而行。2、原命題與偏逆命題;在構造命題時，只需將前件與后件中部分命題“換位”，得到的命題真實性則大大增加，我們稱這類命題為偏逆命題。在命題學習的認知過程主要經(jīng)歷命題的獲得、命題的證明、命題的應用三個階段。命題的獲得：就是學習者在已有知識經(jīng)驗的基礎上感知命題的形式結構，表征命題的數(shù)學內(nèi)容，命題獲得的基本形式有呈現(xiàn)式與發(fā)現(xiàn)式兩種。1、呈現(xiàn)式一般經(jīng)歷下列心理活動：分析命題的條件與結論，理解條件與結論中涉及到的數(shù)學概念，從而明確命題所表明的數(shù)學事實與規(guī)律，聯(lián)想與該命題有關的已有知識，嘗試將新知識與已有觀念建立聯(lián)系，形成證明命題的心向。2、發(fā)生式：是學生通過體驗命題產(chǎn)生于發(fā)展的過程來獲得命題的方式，老師充分發(fā)揮支架作用和學生主動思考、探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學命題是發(fā)生式獲得命題兩個不可缺少的要素。命題的證明：命題“若P則Q”的證明，就是在學習者已有知識經(jīng)驗的基礎下，從命題P出發(fā)，運用邏輯規(guī)律與正確的思維形式，進行一系列的推理，最終得到命題Q的過程，證明是的認知活動包括三方面：其一根據(jù)命題中條件結論中涉及的概念、原理、激活已有的知識，并對之進行篩選與組織，作為證明依據(jù)；其二，根據(jù)邏輯規(guī)則進行正確的推理；其三，根據(jù)已有的證明經(jīng)驗，選擇恰當?shù)淖C明方法，探索證明途徑。數(shù)學命題教學數(shù)學公式教學：分為以下幾個階段：1）公式的引入數(shù)學概念：數(shù)學概念反映了事物在數(shù)量關系，結構關系，空間形式方面的本質(zhì)屬性。概念的內(nèi)涵與外延內(nèi)涵：概念所反映的事物本質(zhì)屬性的總和。從“質(zhì)”的角度考慮，外延：凡是適合某概念的對象的全體，從“量”的角度反映概念的。獲得概念的兩種基本形式：概念的形成與概念的同化。概念的形成：就是從大量的實例出發(fā)，通過個體的感知，辨別，比較，歸類，以歸納的方式概括出一類事物的共同屬性，從而獲得某概念的方式。概念的同化：在學生原有知識經(jīng)驗基礎上，以定義的方式直接揭示概念的關鍵特征，由學生通過與已有的認知結構中相關概念建立聯(lián)系來理解、掌握新概念。同化：就是新知識與學習者原有認知結構中的某些觀念建立有機的，非人為的實質(zhì)性聯(lián)系，通過新舊知識的作用，新知識備納入原有的認知結構中，原有的認知結構得到充實。 數(shù)學公式：是一類用純數(shù)學符號表達概念之間數(shù)量關系且在一定范圍內(nèi)恒成立的數(shù)學命題。具有網(wǎng)絡化，形式化的特征。第11章備課與說課教學重點：就是本節(jié)課所要著重解決的問題。教學難點：主要產(chǎn)生于教材內(nèi)容的深、廣度與學生的認識水平有較大差距之處。第12章數(shù)學教學的語言數(shù)學語言的特點：簡潔性，精確性，抽象性。分為數(shù)學符號語言，數(shù)學圖形語言，數(shù)學口頭語言的基本要求：教育性，學科性，科學性，簡明性，啟發(fā)性，可接受性。提問的類型，按照提問的意圖分為實問和虛問，按照提問的不同目的分為檢查性提問和啟發(fā)性提問，有效提問的方法：提問要有目的性，適應性，提問要面向全體學生，提問要富于感情，采用階梯式提問的策略，鼓勵學生發(fā)問。板書設計的原則：整體性原則，規(guī)范性原則，直觀性原則，實用性原則，板書的基本要求：板書要清晰簡明，具有層次性。板書要重點突出，具有目的性，板書要布局合理，具有計劃性，板書要靈活，多樣，具有趣味性。板書要工整規(guī)范，具有示范性。體態(tài)語言：除口語和板書之外，數(shù)學教學中還必須輔以只可意會不可言傳的非口語因素，如點頭，手勢，走動，眼神，表情，語調(diào)，停頓，沉思，感嘆等以及由聲音情緒帶出的幽默，期望，熱愛等，統(tǒng)稱為體態(tài)語言。對學生的活動起到定向，調(diào)節(jié)，促進，強化，鼓勵等積極作用。體態(tài)語言對課堂教學的影響，體態(tài)語言能促進師生雙方的情感交流，使教學信息得以順利傳授。體態(tài)語言能吸引學生的注意力，有利于組織，優(yōu)化教學。體態(tài)語言可以傳達更為豐富真切的知識信息，可以加大教學信息密度，增加學生對有用信息的接受程度。體態(tài)語言的基本原則：適度，自然，協(xié)調(diào)。第13章計算機輔助教學了解計算機輔助數(shù)學教學有哪些功能特性答：（1）拓展數(shù)學活動的內(nèi)容；（2）改善數(shù)學學習環(huán)境；（3）優(yōu)化數(shù)學學習方法多媒體支持下的數(shù)學教學方式具有以下幾個方面的優(yōu)勢：（1）揭示知識的形成過程。培養(yǎng)學生的探索發(fā)現(xiàn)能力；（2）教師可以在更高層次上發(fā)揮教學創(chuàng)造性，更好地實現(xiàn)教學主導作用；（3）調(diào)動學生的非智力因素，潛移默化地培養(yǎng)學生的情緒智力。掌握計算機輔助數(shù)學教學的基本模式，并能就中小學數(shù)學的某一內(nèi)容，制作一款數(shù)學CAI課件答：（一）基于CAI的情境認知數(shù)學教學模式。即是指利用多媒體計算機技術創(chuàng)設包含圖形、圖像、聲音、動畫等信息的數(shù)學認知情景，使學生通過觀察、操作、辨別、解釋等活動學習數(shù)學概念、命題、原理等基本知識。從形式上來看，基于 CAI的情境認知數(shù)學教學模式主要是教師根據(jù)數(shù)學教學內(nèi)容的特點，制作具有一定動態(tài)性的課件，設計合適的數(shù)學二活動情境。基于 CAI的情境認知數(shù)學教學模式反映扎起數(shù)學課堂上，最直接的方式就是借助計算機使抽象轉(zhuǎn)化為形象，微觀成為宏觀，實現(xiàn)數(shù)與行的相互轉(zhuǎn)化，借以辨析、理解數(shù)學概念、命題等基本知識。不足之處：1、技術含量不高，。2、5人機對話的功能發(fā)揮欠佳。3、學生主動參與的數(shù)學活動較少。（二）基于CAI的練習指導數(shù)學教學模式。是指借助計算機提供的便利條件促使學生反復練習，教師適時的給予指導，從而達到鞏固知識和掌握技能的目的。這種教學模式也主要有兩種操作形式：一種是在配有多媒體條件的通常的教室里，主要由教師集中呈現(xiàn)練習題，并對學生進行針對性的指導，這種形式比較常見，對硬件要求不太高，但缺點是利用計算機技術的層次相對較低，代表行不強；另一種是在網(wǎng)絡教室，學生人手一臺，對硬件要求較高，練習和指導的效率很高，是今后的發(fā)展趨勢。（三）基于CAI的問題探究數(shù)學教學模式，是指利用計算機軟件將要學習的數(shù)學內(nèi)容構造成一定的問題或問題情境，有學生獨立或合作探究，在思考、解決問題的過程鎮(zhèn)南關獲取知識和發(fā)展能力。這種教學模式的應用大致有兩類：1計算機提供問題，由學生探究問題的解決辦法，并從解決問題的探究過程中歸納、概括出一般原理，從而獲得所要學習的知識；2計算機呈現(xiàn)問題情境，由學生根據(jù)問題情境所涉及的背景材料自己確定問題、提出假設和加強能力解決問題的程序，然后將有關的數(shù)據(jù)資料、操作程序輸入計算機執(zhí)行，通過學生的自主探究，驗證假設，得出結論。（四）基于CAI的數(shù)學實驗教學模式，就是利用計算機系統(tǒng)作為實驗工具，以數(shù)學原則、理論為實驗原理，以數(shù)學素材為實驗對象，以簡單的對話方式或復雜的程序操作為實驗形式，以數(shù)值計算、符號演算、圖形變換等作為實驗內(nèi)容?；贑AI的數(shù)學實驗教學模式的基本思路是：學生在教室的指導下，從數(shù)學實際活動情境出發(fā)，設計研究步驟，在計算機上進行探索性實驗，提出猜想、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、進行證明或驗證。根據(jù)這一思路，具體教學時一般涉及以下五個基本環(huán)節(jié)：創(chuàng)設活動情境活動與實驗討論與交流歸納與猜想驗證與數(shù)學化。1、計算機輔助教學計算機輔助教學由通用計算機系統(tǒng)和具有實現(xiàn)數(shù)學教學功能的軟件所組成。功能特性：（1）拓展數(shù)學活動的內(nèi)容和方法，（2）改善學習環(huán)境（3）優(yōu)化數(shù)學教學的方式?；灸Ｊ剑夯贑AI的情境認知數(shù)學教學模式，基于CAI的練習指導數(shù)學教學模式，基于CAI的問題探究數(shù)學教學模式，基于CAI的數(shù)學實驗教學模式?；贑AI的數(shù)學通訊輔導教學模式，數(shù)學CAI課件的設計原則：（1）科學性與實用性相結合原則，（2）具體與抽象相結合原則，（3）數(shù)學性與藝術性相結合原則，（4）歸納實驗與演繹思維相結合原則，（5）數(shù)值與圖形相結合原則。第14章數(shù)學能力及其培養(yǎng)能力概念的界定：能力是人完成某種活動所必備的個性心理特征，它在心理活動中表現(xiàn)出來，是影響活動效果的基本因素，是符合活動要求的個性心理特征的綜合。在理解能力概念時應注意一下三點：（1）能力是一個人的個性心理特征，是個體在認識世界和改造世界的過程中，所表現(xiàn)出來的心理活動的恒定的特點；（2）能力與活動關系密切A;活動是能力產(chǎn)生和發(fā)展的源泉；B;能力的形成對活動的進程及方式直接起調(diào)節(jié)、控制作用；C;能力只有在活動過程中才能體現(xiàn)出來，離開了活動就不能對能力進行考察與測定。（3）能力是一種穩(wěn)固的心理特征。能力是一種保證人們成功地完成某種任務或進行某種活動的穩(wěn)固的心理品質(zhì)的綜合。能力與智力的關系有三種觀點：能力包含智力（能力是智力的屬概念）；智力包含能力（能力是智力的種概念）；能力和智力是交叉關系。數(shù)學能力是一種特殊的能力，它是與數(shù)學活動相適應，保證數(shù)學活動順利完成所必須具備的人的心理特征。按照數(shù)學活動的結果能否產(chǎn)生對社會有意義的成就為標準，數(shù)學活動分為數(shù)學學習和數(shù)學學術研究兩種類型。國外學者的觀點：瑞典心理學家魏德林在《數(shù)學能力》一書中指出：“數(shù)學能力是理解數(shù)學的問題、符號、方法和證明的本質(zhì)能力，是學會它們并在記憶中保持和再現(xiàn)它們的能力，是把它們同其他問題、符號、方法和證明結合起來的能力，也是在解數(shù)學的課題時應用它們的能力。他認為數(shù)學能力的結構是：⑴獲得數(shù)學信息方面。包括對于數(shù)學材料形式化感知的能力，掌握問題形式結構的能力。（2）加工數(shù)學信息方面：①在數(shù)量關系和空間關系，以及在數(shù)字和字母符號方面的邏輯思維能力，對數(shù)學符號進行思維的能力。②迅速而廣泛地概括數(shù)學對象、關系和運算的能力③縮短數(shù)學推理過程和相應的運算系統(tǒng)的能力，以簡短的結構進行思維的能力④在數(shù)學活動中心理過程的靈活性。⑤力求解答的清晰、簡明、經(jīng)濟和合理⑥迅速而自如的重建心理過程的方向，從正向思維序列轉(zhuǎn)向逆向思維序列的能力。（3）保持數(shù)學信息方面，值得是數(shù)學記憶能力，包括關于數(shù)學關系、類型特征、論據(jù)和證據(jù)的圖式，解題方法及探討原則的概括性記憶。（4）數(shù)學氣質(zhì)。了解數(shù)學運算的特性。從數(shù)學活動的角度，把運算解釋為：根據(jù)一定的規(guī)則，對數(shù)或式進行一系列操作以獲得確切結論的運演過程，它具有以下特點：（1）運算有明確的目標和方向（2）運算有依據(jù)（3）運算有算法。培養(yǎng)運算能力的有效途徑：（1）幫助學生準確理解和掌握基礎知識；（2）進行科學系統(tǒng)地訓練，促使運算技能的形成：①訓練必須有序②訓練時間和訓練量必須適中③讓學生及時了解練習的效果，即使糾正練習中的錯誤。（3）重視算法內(nèi)容的學習（4）重視運算過程重思維靈活性的訓練。在實際教學中，要克服、防止定勢的消極作用，培養(yǎng)學生運算的靈活性，可以從以下兩方面進行：（1）在掌握通性同法的基礎上進行適當?shù)募记尚杂柧?；?）重視運算過程中的正向思維和逆向思維的轉(zhuǎn)換?？臻g想象能力的結構?？臻g想象能力分為四個基本成分：（1）空間觀念；（2）建構幾何表象的能力。這種能力是指在語言或圖形的刺激下，在頭腦中形成表象，或者在頭腦中重新建構幾何表象。這種建立表象的過程必須以空間觀念為基礎，必須在語言指導下進行，圖形刺激僅起到輔助作用。（3）對幾何表象或幾何圖形的變換、加工能力。（4）數(shù)學問題形象化、直觀化地能力。通過上述分析可以看出，空間想象能力的結構是有層次的，其中空間觀念是基礎，形成表象、變換表象與圖形是核心，而幾何形象化、直觀化是前三種成分的系統(tǒng)化、概括化地結果，是空間想象能力在其他領域中的遷移?？臻g想象能力的培養(yǎng)與幾何教學有關，研究圖形的方法主要有以下四種：一是直觀實驗的方法通過制作模型、搭積木、畫圖識圖，對圖形進行描述、分類、整理等學習活動，認識、理解我們所處的現(xiàn)實世界的幾何空間，以形成空間觀念；二是坐標的方法在坐標系中研究圖形的數(shù)量關系和位置關系；三是變換的方法運用變換理解、研究圖形；四是演繹的方法運用邏輯推理的方法研究圖形的性質(zhì)。圖形教學中應注意以下幾點：（1）加強幾何教學和實際的聯(lián)系，以培養(yǎng)空間觀念；（2）處理好實物或模型與幾何圖形的關系；（3）增強對圖形的加工、變換能力；（4）進行抽象問題形象化地訓練，培養(yǎng)幾何直覺能力。領會如何培養(yǎng)學生的直覺思維能力、發(fā)散思維能力和空間想象能力。思維是具有意識的人腦對客觀事物的本質(zhì)屬性環(huán)境而相互聯(lián)系的概括的、間接的反映。它通過主體與客體的相互作用，用不同的方式對外界輸入的信息進行加工，從而產(chǎn)生新的思想產(chǎn)品包括概念、判斷、推理，獲得關于客觀事物的特性和關系的認識。（2）間接性（3）問題性。（4）語言、符號對思維的作用。數(shù)學思維是人腦與數(shù)學對象的空間形式、數(shù)量關系、結構關系交互作用并按照一般思維規(guī)律認識數(shù)學內(nèi)容的內(nèi)在了理性活動。通過數(shù)學思維形成的數(shù)學概念、關系、原理，是在人的認識系統(tǒng)作用下，對客觀事物的數(shù)學結構或模型所進行的概括的、間接的反映。數(shù)學思維的主要特性有：概括性、問題性、辯證性。培養(yǎng)數(shù)學思維能力的基本要求：1、創(chuàng)設問題情境，激發(fā)思維動機，提高思維的志向水平。（2）重視數(shù)學活動過程的教學，提高思維的探究水平；（3）滲透數(shù)學思想，提高思維的策略水平。直覺思維能力的訓練與培養(yǎng)：研究結果表明，邏輯思維是數(shù)學思維的核心，直覺思維是導致數(shù)學發(fā)現(xiàn)的團建，兩者構成數(shù)學認識活動的雙翼。重視直覺思維的訓練與培養(yǎng)，具體做法如下：一是鼓勵學生猜想，以形成朦朧的直覺；二是重視基本圖形、基本模式的教學，幫助學生形成知識組塊；三是促使直覺思維與邏輯思維轉(zhuǎn)換，以加強對知識的理解。發(fā)散思維能力的訓練與培養(yǎng)：聚合思維和發(fā)散思維是1950年代由美國心理學家吉爾福特在研究智力結構模型是提出來的。聚合思維是指思維者把所提供的各種信息聚合起來得到一個正確答案，或者從形式上不同的現(xiàn)象和問題中，發(fā)現(xiàn)共同因素的過程。而發(fā)散思維則是從同一對象中產(chǎn)生多種分化因素，或者揭示同一本質(zhì)所表現(xiàn)出來的現(xiàn)象、形式之間的差異的思維過程。由于發(fā)散性思維要求思維流暢、靈活、獨特、開闊，對已知信息進行多方向、多角度的聯(lián)想，從而能夠發(fā)現(xiàn)新知識、提出新問題，因此，有的心理學家將發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維聯(lián)系起來。在數(shù)學教學中，一方面要重視聚合思維的訓練，提高訓練的質(zhì)量，提高概括的層次，從方法論的角度加深對解題規(guī)律、方法的認識，不斷地探求和揭示數(shù)學問題的共性和解決問題的同法。另一方面，也要突出發(fā)散性思維的訓練，通過對具體問題的分析和聯(lián)想，培養(yǎng)學生思維的靈活性與獨創(chuàng)性。具體做法如下：一是給學生提供獨立思考問題、自己提問題的條件和機會（學生數(shù)學學習認知水平一般分為三個層次：記憶性模仿；說明性理解型與探究性理解型。）在課堂教學中，給學生提供自己獨立思考問題、發(fā)現(xiàn)問題的機會和方法很多，期中組織課堂討論（集體或小組）是很有效的。二是適當進行”一題多變“一題多解”一法多用的教學活動。三是運用開放型問題進行發(fā)散思維的訓練。所謂開放型問題，是條件不充分、結論不確切，或解題策略多種多樣的新題型。能結合自身教學實踐，引導中小學生作一題多解、一題多變的練習數(shù)學能力：是一種特殊的能力，它是與數(shù)學活動相適應，保證數(shù)學活動順利完成所必須具備的人的心理特征，按照數(shù)學活動的結果能否產(chǎn)生對社會有意義的成就為標準，分為數(shù)學研究能力和數(shù)學學習能力，數(shù)學運算：根據(jù)一定的規(guī)則，對數(shù)或式進行一系列操作以獲得確切結論的運演過程。數(shù)學運算的特點：（1）有明確的目標與方向，（2）運算有依據(jù)，（3）運算有算法培養(yǎng)運算能力的有效途徑：（1）幫助學生準確理解和掌握基礎知識（2）進行科學系統(tǒng)地訓練，促使運算技能的形成。（3）重視“算法”內(nèi)容的學習。（4）重視運算過程中思維靈活性的訓練表象：是客觀對象不在主體面前呈現(xiàn)時，在觀念中所保持的客觀對象的形象和客體形象在觀念中復現(xiàn)的過程。表象不僅是一個人的映象，而且是一種操作，即心理操作可以以表象的形式進行，即形象思維活動。從這個意義上說，表象的心理操作、形象思維與概念思維可處于不同的相互作用中。想象：是在客觀事物的影響下，在語言的調(diào)節(jié)下，對頭腦中已有的表象經(jīng)過結合、改造與創(chuàng)新而產(chǎn)生新表象的心理過程，又稱為“想象表象”思維的特性：概括性間接性，問題性，辯證性培養(yǎng)各種數(shù)學思維能力的有效途徑重視基本概念和基本原理的教學結合具體數(shù)學內(nèi)容講授一些必要的邏輯知識。有計劃，有步驟地進行邏輯推理的訓練，第15章中學數(shù)學思想方法了解學習與研究數(shù)學思想方法的意義所謂“數(shù)學思想”是人們對數(shù)學知識的本質(zhì)認識，是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點，它在認識活動中反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數(shù)學和用數(shù)學解決問題的指導思想。中學的數(shù)學思想十分豐富，主要有字母代數(shù)的思、集合和對應的思想、方程和函數(shù)的思想、化歸的思想、數(shù)形結合的思想、分類整合的思想、極限的思想、算法化思想。學習與研究數(shù)學思想方法的意義;一是能促進學生在數(shù)學學習過程中，對合理方法的天才的、不自覺的運用想有意識的、自覺地運用轉(zhuǎn)化。在數(shù)學的發(fā)生、發(fā)展和應用過程中，數(shù)學家們逐漸形成、積累了豐富的思想方法，這些思想方法，能有效地指導我們更好的學習和研究。二是能有效的指導我們的數(shù)學學習叢更為有意義上說，數(shù)學學習不僅是具體的數(shù)學知識的學習，而且也是數(shù)學思想方法的領悟。因為數(shù)學思想方法的學習對今后即