北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊解答題專題訓(xùn)練50題-含答案

北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊解答題專題訓(xùn)練50題含答案

一、解答題

I.如圖所示，點3,C,。在同一條直線上，且=CD,點A和點七在的同

側(cè)，且NACE=NB=".

（2）若5C=2,AB-3,求OE1的長度.

【答案】（1）證明過程見詳解

4

⑵

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與平角的定義得出NA=NECD,即可推出結(jié)論;

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式求解即可.

【詳解】（1）證明：VZA=180°-Z^-ZACB,ZECD=1800-ZACE-ZACB,

ZACE=ZB,

：.ZA=AECDi

?.Z=ZD,

:.AABCs^CDE.

（2）解；111（1）可知，AABCSACDE,

,ABBC

,.---=---,

CDDE

VBC=CD,BC=2,

：.8=2,

AB=3,

-3_2

2DE

4

:.DE=-.

3

【點睛】本題主要考查三角形相似的判定與性質(zhì)，掌握三角形相似的判定方法和性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

2.某人在室內(nèi)從窗口向外觀看（如下圖）.

(1)在右圖中將視點用點標(biāo)出.

(2)在右圖中將視線畫出.

I廠、

(4)此人若想在此窗口觀察室外更多的影物，應(yīng)該靠近窗口，還是遠(yuǎn)離窗口？

(4)此人若想在此窗口觀察室外更多的影物，應(yīng)該靠近窗口.

考點：中心投影作圖

點評：作圖能力是學(xué)生必須具備的基本能力，因為此類問題在中考中比較常見，一般

以作圖題形式出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題，難度不大.

3.小明在學(xué)習(xí)了《相似三角形》的知識后做了一次數(shù)學(xué)實驗活動---------測量學(xué)

校操場邊的大樹的高度.他測量出小樹AB的高度是6米，小明距寓小樹的根部的距

離EB=8米，小樹AB與大樹8根部之間的距離BD是5米，已知小明的身高為1.6

米(即EF=1.6米)，試計算小明所測得的大樹的高度.

【答案】8.75米;

【分析1根據(jù)題意可知△AFHs/XCFK,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出CK的長度,

將其代入CD=CK+EF中即可求出大樹的高度.

【詳解】根據(jù)題意，可知：△AFHSACFK,

嚼端即是T等

r.CK=7.15,

/.CD=CK+EF=8.75.

答：小明所測得的大樹的高度為17米.

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CK的長度是解

題的關(guān)鍵.

4.已知關(guān)于x的方程》：一(2七一1)丁+七：-2=0.

(1)A取何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)在(1)的條件下，請你取一個自己喜愛的左值，并求出此時方程的解.

【答案】(1)當(dāng)A時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

4

(2)42時斤2或x=l.

【分析】(1)根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根可以得到方程根的判別式大于零，從而

得到不等式求解即可.

(2)從求得的々值中找到一個代入求解方程即可.

【詳解】（1）由題意知：△=從-4時=（2"1）2-4（公一2）＞0,

工＜2,

4

9

???當(dāng)上時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

4

⑵當(dāng)k=2時,原方程可化為％2一3*+2=0

即：（廠2）（x-l）=0,

x—2=0或x-］=0,

解得x=2或ml.

【點睛】考查一元二次方程渥+云+。=0（。工0）根的判別式△二從-船。，

當(dāng)A=b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.

當(dāng)△=〃-4w=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根.

當(dāng)』=從-4死＜0時，方程沒有實數(shù)根.

5.已知關(guān)于工的一元二次方程2/一（4加+1?+262_1=0有一個根為］,求m的值,

并求出方程的另一個根.

【答案】機=0時，方程另一根為-3;當(dāng)m=2時，方程另一根為:

【分析】先將x=l代入方程求出，〃的值，再分別代入求根即可.

【詳解】解：???方程2^-（4山+1）工+訓(xùn)2-1=0有一個根為］,

???將戶1代入方程得：2-（4m+1）+2＞一1=0,

整理得:2m（m-2）=0,

解得；/=0或〃尸2,

當(dāng)初=0時，方程化為2丁_1_1=0，

g|J（2x+l）（x-l）=0,

解得：x=-g或x=l,

此時方程另一根為-g；

當(dāng)機=2時，方程化為2--9"+7=0,

即（2x-7）（x-l）=0,

7

解得：x=5或x=l,

此時方程另一根為T：

則機=()時，方程另一根為-；；當(dāng)m2時，方程另一根為g.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義和解一元二次方程，熟練掌握運算法則是解

題的關(guān)鍵.

6.已知關(guān)于X的方程.d-(2+l)x+公+2女=0,有兩個實數(shù)根巧，巧.

(1)求左的取值范圍；

(2)若方程的兩實數(shù)根毛，々滿足玉52-片-考=-16,求實數(shù)女的值.

【答案】(1)仁!；(2)k=-3

4

【分析】(1)根據(jù)題意，令△")即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)韋達(dá)定理可得X/+M=2A+1,xa=k2+2k,然后利用整體代入法即可取出結(jié)

論.

【詳解】解：(1)由題意得△=(2k+l)24R+2碓0,

解得，仁!；

4

(2)由韋達(dá)定理得，x/+x2=2k+l,xiX2=k2+2k,

■:X[?%2—xj—X,"=-16

XiX2-[(Xl+X2)2-2xiX2]=-16,即-(X/+X2)2+3X/X2=-16,

???-(2A+l)2+3(N+2Q=-16,

整理得，^-2M5=0,

解得為=5,依=?3,

??

?“—19

4

：.k=-3

【點睛】此題考查的是根據(jù)一元二次方程的根的情況求參數(shù)的取值范圍和利用韋達(dá)定

理求參數(shù)的值，掌握一元二次方程的根的情況與△的關(guān)系和韋達(dá)定理是解決此題的關(guān)

鍵.

a?—a+25/3

若〃是一元二次方程/一工一的根，求的值.

7.3=0(a2-a)2-1+y/3

18+13石

【答案】

61

【分析】依題意，。是方程/_1_3=0的根，則可得/一々=3,然后對/一。=3進(jìn)行

整體代入代數(shù)式中求解即可.

【詳解】解：由題可得：a是方程X2-%-3=0的根,

cr-a-3=0：

???/_°=3,將其代入代數(shù)式中:

3I2G

，原式=

9-1+75

_(3+2>/3)(8-V3)

(8+-75)(8

_18+136

-61-,

【點睛】本題主要考查一元二次方程根的性質(zhì)，關(guān)鍵在于構(gòu)造整體代入的等式.

8.如圖，BD、AC相交于點P,連接A3、BC、CD、D4,Z1=Z2

(1)求證：AADPsABCP；

(2)若A3=8,CD=4,OP=3,求AP的長

【答案】(1)見解析

(2)6

【分析】(1)由N1=N2,(對頂角相等)，即可得證△AD尸s2\8C尸

ApRp

(2)由△AOPs2XBCP,可得而=而，再證得△APBS/XOPC,從而得

博=淺=5,即可得出答案：

(1)

證明：VZ1=Z2,ND吐NCPB

:./\ADPs^BCP

(2)

■:XADPsABCP,

.APBP

??="9

DPCP

■:ZAPB=ZDPC

???△APBs^DPC

.AP_AB

??.=，

DPDC

：.AP=()

【點睛】此題主要考宜相似三角形的判定，本題關(guān)鍵是要懂得我相似三角形，利用相

似三角形的性質(zhì)求解.

9.己知關(guān)于x的一元二次方程2寸一5%一加=0(機為常數(shù)).

(1)當(dāng)閉=3時，求該方程的實數(shù)根；

(2)若x=2是該方程的一個實數(shù)根，求用的值和另一個根.

【答案】(1)%=一5，%=3

(2)/n=-2；&=g

【分析】(1)代入用=3,利用刃式分解法可求出方程的實數(shù)根；

(2)將x=2代入原方程可求出川的值和另一個根.

【詳解】(1)解：將m=3代入原方程得2--5工-3=0

/.(2x+l)(x-3)=0

解得X]=一:,工2二3

.??當(dāng)相=3時，該方程的實數(shù)根為$=-；,電=3

(2)解:將x=2代入原方程得2x22-5x2-6=0

解得m=-2

?,原方程為2f-5x+2=0

(2x-l)(x-2)=0

解得X=g,42=2

.?.〃?的值為一2；另一個根為

【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及因式分解法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是

利用因式分解法求出方程的解，代入”的值，求出加的值.

10.如圖，△48C在平面直角坐標(biāo)系中，點A(2,-1),B(3,2),C(1,0).解

答問題：請按要求對△A5C作如下變換.

(1)將4ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△A/B/C/；

(2)以點O為位似中心，位似比為2：1,將△ABC在位似中心的異側(cè)進(jìn)行放大得到

△A2B2C2.

【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點4、B、C繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)90。的對應(yīng)點A/、用、。

的位置，然后順次連接即可；

(2)連接AO并延長至A2,使A2g2AO,連接80并延長至歷，使比0=280,連接CO

并延長至C2,使C2O=2CO,然后順次連接A2、&、C2即可.

【詳解】(1)如圖所示，△48/0即為△A6C繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)9(T得到的圖形；

(2)如圖所示，AA2&C2即為AABC在位似中心0的異側(cè)位似比為2：1的圖形.

【點睛】本題考查了利用位似變換作圖，利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)

確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵.

11.(1)2y(3-y)=3；

(2)9(X-2)2=4(X+1)2.

【答案】(1)玉=止巨，x,=匕叵；(2)9=8

【分析】(1)將原方程變形為一元二次方程的一般形式，利用公式法求解；

(2)利用因式分解法求解.

【詳解】解：(1)2)，(3-#=3,

變形，得2)，2-6)，+3=0,

A=(-6)2-4X2X3=12>0,

-(-6)±J(-6)2-4x2x36±2X/33土石

x=-----------------------------=-------=------，

2x242

3+石3-6

?'x\=—~~，±=一2~:

(2)9(X-2)2=4(X+1)2,

變形，得[3(x-2)丁-[2(%+1)了=0,

因式分解，^[3(x-2)+2(x+l)].[3(x-2)-2(x+l)]=0,

gp(5x-4)(x-8)=0,

.?.5%一4=0或/-8二0,

1.X=-，x2=8.

【點睛】本題考查解一元二次方程，掌握公式法、因式分解法等常用方法是解題的關(guān)

鍵.

12.已知關(guān)于x的一元二次方程f-(攵+5)x+6+2k=0.

(1)求證：此方程總有兩個實數(shù)杈；

(2)若此方程的兩根的差為2,求上的值.

【答案】(1)見解析；

(2)1或-3

【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)垢合根的判別式△=〃-4訛，可得出D=(%+1)2,由偶

次方的非負(fù)性可得出△>(),進(jìn)而可證出方程總有兩個實數(shù)根；

(2)根據(jù)求根公式表示方程的兩個根，再根據(jù)兩根之差為2的關(guān)系，分類討論列方程

解之即可.

【詳解】(1)證明：???D=(2+5)2.4(6+2%)=公+2&+i=(4+1-？o,

???此方程總有兩個實數(shù)根；

(2)解：由⑴知，D=(k+I)2,

.(A+5)盥1(k+5)?(k1)

??x=---------------=-------------------，

22

X]=A+3,I?=2,

???若此方程的兩根的差為2,

???4+3?2=2或2-(2+3)=2,

解得：左=1或%=—3；

??/的值為1或-3.

【點睛】本題考查根的判別式以及求根公式，解題的關(guān)鍵是：（1）熟知“當(dāng)ANO時，方

-b±yJb2-4ac

程有兩個實數(shù)根“；（2）牢記求根公式:x=-----------------

13.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

（1）羯2斗號二剛

⑵x，=20x-2

【答案】（1）X|=3,X2="2;（2）,'

【詳解】試題分析：（1）運用公式法求解即可；

（2）移項，化成完全平方直接開平方即可求解.

試題解析：Va=2,b=-5,c=3

.??A=b2-4ac=（-5）2-4x2x3=l>0

.5±1

.?x=-----

2

即xi=3,X2=2;

⑵移項得：x2-2y/2x+2=0

:,/-2岳+（應(yīng)）2=0

即：（X->/2）2=0

解得：%=%=&.

考點：1.解?元二次方程--公式法；2.解?元二次方程一直接開平方法.

14.已知菱形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O,ZBAD=120°,求NABD的

度數(shù).

【答案】30。

【詳解】試題分析：根據(jù)已知及菱形的性質(zhì)：鄰角互補，可求得NABC的度數(shù)；進(jìn)而

依據(jù)菱形的對角線平分一組對角，可得到NABD的度數(shù).

解：???四邊形ABCD是菱形，ZBAD=120°,

/.ZABC=60°.（菱形的鄰角互補）

???菱形的每條對角線平分一組對角,

???NABD弓NABC=30。.

點評：此題主要考查菱形的性質(zhì)的理解及運用.

15.按要求解方程：

⑴3/一4x-l=0（用配方法）

⑵』+3x+2=0（公式法）.

【答案】（1）%=昔立,9=冬哈

（2）為=-1,%2=-2

【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得:

（2）利用公式法解一元二次方程即可得.

（1）

解：3X2-4X-1=0,

41

移項、二次項的系數(shù)化為1,得d—=g

33

442Y7

配方，得—x+—=—+—

3939

開平方，得工-2=±包,

33

解得土也，

33

所以方程的解為玉=當(dāng)乙為=三2.

（2）

解：X2+3X+2=0,

方程中的4=1力=3,c=2,

則方程根的判別式為△=從-4農(nóng)=32-4x1x2=1,

所以x二士至三二小也二上,

2a2x12

所以方程的解為占=T,X2=-2.

【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握配方法和公式法是解題關(guān)鍵.

16.如圖，一次函數(shù)y=-x+4的圖象與反比例y=&（火為常數(shù)，口后0）的圖象交于

X

A(l,a),B兩點.

(I)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點8的坐標(biāo)；

(2)①在x軸上找一點P,使RA+P3的值最小，求滿足條件的點P的坐標(biāo);

②在x軸上找一點M,使|MA-MB|的值為最大，直接寫出M點的坐標(biāo).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題；

(2)作點B關(guān)于x軸的對稱點。，連接40,交k軸于點尸，此時陰+PB的值最小：

(3)直線)，=?x+4與X軸的交點即為M點，此時IM4-M8I的值為最大，令y=0,求

得x的值，即可求得M的坐標(biāo).

【詳解】解：(1)把點A(1,fl)代入一次函數(shù)y=-x+4,得。=3,

???A(1,3),

把點A(1,3)代入反比例y=&,得2=3,

x

，反比例函數(shù)的表達(dá)式)，=：3,

'y=-x+4

聯(lián)立13，解得：

y=-

X

故B(3,1).

(2)①作點8關(guān)于x軸的對稱點。，連接40,交X軸于點P,此時附+PB的值最小

：.D(3,-1)

，〃+〃=3\m=-2

。I，解得:，

｛3w+/?=-1[n=5

，直線4。的解析式為y=?2x+5,令y=0,則

點坐標(biāo)為(g,0)；

②直線y=-x+4與x軸的交點即為M點，此時的值為最大,

令y=0,則x=4,

??.M點的坐標(biāo)為(4,0).

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握待定系數(shù)法解決問題，學(xué)會利用軸對稱解決最短問題.

17.在矩形ABC。中，AB=3,AD=9,對角線AC、BD交于點0,一直線過。點分

別交40、BC于點E、F,且EO=4,求證：四邊形AFCE為菱形.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可記得40EWC0F,從而得到四邊形AFCE為平行四邊

形，再由勾股定理，可得到AE=EC,即可求證.

【詳解】證明：???矩形A8CO,

/.AO=CO,AD//CD,

ZEAO=ZFCO,

在AAOE和,COF中，

ZAOE=ZC(?F

<AO=CO,

Z.EAO=ZFCO

：.AOE=.COFf

AE=CF,

又???AE//CF,

，四邊形為平行四邊形，

???矩形4BC。，

/.ZEDC=90°,AB=CD,

又?.?旗=3,AD=9,ED=4,

:.AE=9—4=5,

EC=4C^+E^=V3i+4I=5，

:.AE=EC,

???四邊形A尸CE為菱形.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)

定理，菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

18.已知關(guān)于%的方程/-辰女=0有實數(shù)根，求左的取值范圍.

【答案】-2M2

【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到△=卜>/^^7)2-軟..0,還有被開方式衰+4..0,

然后解不等式組即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得△=卜/22+4『-4火..0且4+4..0,

解得：-2領(lǐng)k2.

【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程&+法+°=0(”0)的根與△

=〃一4四有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)△二()時，

方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)4<0時，方程無實數(shù)根，本題關(guān)鍵還應(yīng)考慮被開方

式非負(fù).

19.如圖是由幾個棱長為1cm的小立方塊搭成的幾何體從上往下看的平面圖形，小立

方塊中的數(shù)字表示該位置上小立方塊的個數(shù)，求出這個幾何體的體積.

【答案】這個幾何體的體積是lOcn?.

【分析】先根據(jù)正方體的體積公式：V=L\計算出一個正方體的體積，再數(shù)出幾何體

中小立方塊的個數(shù)，相乘即可求解.

【詳解】解：(Ixlxl)x(3+4+2+1)

=1x10

=10(cm3)

答：這個幾何體的體積是10cm」.

【點睛】考查了由三視圖判斷匚何體，關(guān)鍵是熟悉正方體的體積公式，通過幾何體中

小立方塊的個數(shù)求得體積.

20.已知王、巧是方程3/—7、縱+1=0的兩個根，求父三+再￡的值.

47

【答案】y

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出百+2=辿，代入代數(shù)式

33

即可求解.

【詳解】解：???/、巧是方程3/_764+1=0的兩個根,

._1

??xt+x2=—^―，痞-§

X：%2+^1^2=NW(N2+V)

【點睛】本題考查了元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若小七是元二次方程

or2+bx+c=O(a￥O)的兩根，$+為二——

21.如圖，在J13C中，。，E分別是4B,AC上的點，NAEO=NB,AD=2,AC=

3,ABC的角平分線A尸交OE于點G,交BC于點F.

⑴求證：,ADESAACB；

(2)求若的值.

【答案】(1)見解析

(2)2

【分析】(1)由相似三角形的判定方法可證AAOES/XACB；

(2)由相似三角形的性質(zhì)可得/4OE=NC,由角平分線的性質(zhì)可得ND4G=

ZCAF,可證AAOGs/kACF,可求解.

【詳解】(1)證明：*：ZAED=/B,ZBAC=ZDAEt

：.AADE^^ACB；

⑵解：、：XKDESXACB、

/.NADE=NC,

〈A尸平分NBAC,

：.ZDAG=ZCAF,

???△AQGs/MC凡

.AGAD

**AC'

*/AD=2,AC=3,

.AG2

*'AT=3*

?4G

?&-2.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是本題的

關(guān)鍵.

22.如圖，實驗中學(xué)某班學(xué)生在學(xué)習(xí)完《利用相似三角形測高》后，利用標(biāo)桿BE測

量學(xué)校體育館的高度.若標(biāo)桿BE的高為1.5米，測得AB=2米，BC=14米，求學(xué)校體

育館CD的高度.

□

□

□

【答案】CD=I2.

【分析】根據(jù)同一時刻同一地點物高與影長成正比列式求得CD的長即可.

【詳解】解：

依題意得NE84=NOCA=90,又NA=NA,

AAAEB^AADC,

.ABBE2_1.5

CDCD2+14CD

則CD=12.

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角

形.

23.如圖，一次函數(shù)y=ar+。與反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖象在第一象限交于A,

8兩點，點3的坐標(biāo)為(4,2),連接。4,過點5作8O_Ly軸，垂足為。，交。4于

點C,且0C=C4.

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.

(2)根據(jù)圖象直接寫出關(guān)于工的不等式以的解集為.

Q

【答案】(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為丁=一，一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+6；(2)0<x

x

V2或x>4.

【分析】(1)先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而確定出點A的坐標(biāo)，再

用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；

(2)觀察函數(shù)圖象即可求解.

【詳解】解：(1)如圖，過點A作AN_Lx軸于點N,交BD于點E,

???點B(4,2)在反比例函數(shù)y="的圖象上,

x

A=4x2=8,

Q

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為)，=2,

X

VB(4,2),

AEN=2,

???BD_Ly軸,OC=CA,

AAE=EN=-AN,

2

???AN=4,

，點A的縱坐標(biāo)為4,

x

???點A在反比例函數(shù)y=一圖象上，

x

AA(2,4),

:一次函數(shù)的表達(dá)式為y=or+》，

A4a+b=2,2a+b=4,

??a=-1,b=69

???一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+6；

(2)觀察函數(shù)圖象知，不等式ax+b-K<o的解集為：0〈xV2或x>4,

x

故答案為：0VxV2或x>4.

【點睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，主要考查了待定系數(shù)法，解本題

的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式.

24.一個人站在一盞路燈下，利用他在這盞路燈下的影子可以估算出路燈燈泡的高

度，請你設(shè)計一個估測方案.

【答案】見解析

【分析】如圖，測出人的身高、人在這盞路燈下的影長、人到燈桿的距離，利用兩個

相似直角三角形邊長之間的比例關(guān)系即可求出路燈燈泡的高度.

【詳解】如圖，圖中A8為路燈，OE為站在路燈下的人的高度，CD段為人影子的長

度，

??,路燈AB和人垂直于地面BC,

/.AB//DE，aABC和△EOC為直角三角形,

：.ZCED=ZCAB(同位角相等)，

VZC=ZC,ZCDE=ZCBA,

A^ABCcEDC,

.ABED

',~BC~~DC'

己知人的高度ED,再測出OC,BC的長，

FD

則可得出=.

【點睛】本題考查的是投影與視圖，可轉(zhuǎn)化成幾何題求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相

似三角形的判定和性質(zhì).

25.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)一次函數(shù)y=m、+〃（m,〃為常數(shù)，且〃z工0,

加工一〃）與反比例函數(shù)的圖象交于點出1,6）.

（1）若〃=57n；

①求m,n的值；

②當(dāng)時，求為的取值范圍；

⑵當(dāng)點8（4,2）在反比例函數(shù)必=絲圖象上，求/+的值.

X

【答案】（1）①〃=5,m=\?0<x<l

（2）20

【分析】（1）①根據(jù)題意得到用與〃的關(guān)系式，再結(jié)合〃=5小，求出膽、〃的值即

可；②分類討論解不等式即可；

（2）根據(jù)題意得到m〃的值，再結(jié)合根+〃=6,利用完全平方公式即可求得病+〃2的

值.

【詳解】（1）解：①內(nèi)+〃（小，〃為常數(shù)，且機。0,加工一〃）與反比例函數(shù)

必=答的圖象交于點A（l,6）,

/w+〃=6,

n=5m,

m+n=6

n=5m'

[m=\

解得《，

[n=5

n=5,m=\\

②、由①可知％=9，

x

當(dāng)yN6時，y=->6,

2x

當(dāng)x>0時，6>6x,

解得HL

.,.0<X<1；

當(dāng)xv0時，6<6x,

解得X21,

???x無解；

綜上所述：當(dāng)y>6時，求月的取值范圍為

(2)點8(4,2)在反比例函數(shù)為=處圖象上，

x

??%=8,

由(1)可知機+〃=6,

nt+rr=(m+n)2-2mn=62-2x8=20,

nr+〃2的值為20.

【點睛】本題考查了二元一次方程組，反比例函數(shù)性質(zhì)，完全平方公式.熟練掌握完

全平方公式的變形以及反比例函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

26.已知函數(shù)y/=x+l和”=/+3x+c(c為常數(shù)).

(1)若兩個函數(shù)圖像只有一個公共點，求c的值；

(2)點4在函數(shù)》的圖像上，點8在函數(shù)”的圖像上，4,B兩點的橫坐標(biāo)都為

m.若A,B兩點的距離為3,直接寫出滿足條件的m值的個數(shù)及其對應(yīng)的c的取值范

圍.

【答案】(1)c=2；(2)當(dāng)c>5時，加有。個；當(dāng)c=5時，機有1個；當(dāng)一1VCV5

時，機有2個；當(dāng)。=一1時，陽有3個；當(dāng)cV—l時，機有4個

【分析】(1)只需求出丁尸”時對應(yīng)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根的c值即可；

(2)根據(jù)題意，AB=I療+2機+。一］|=3,分旭2+2^+。一1和機2+2用+。一1v

。兩種情況，利用一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系求解即可.

【詳解】解；(1)根據(jù)題意，若兩個函數(shù)圖像只有一個公共點，

則方程/+3x+c=x+l有兩個相等的實數(shù)根，

△=/>2—4ac=22—4(c—1)=0,

：.c=2；

(2)由題意，A(m,m+\),B(m,w24-3/n4-c)

,.AB=I-+36+<?—/n-1I=Im2-^-2m+c-1I=3,

①當(dāng)wi2+2zn+c_1>0時，/n2-F2/n+c—1=3>即機2+2,〃+。-4=0,

△=22—4(c—4)=20—4c,令A(yù)=20—4c=0,解得：c=5,

???當(dāng)cV5時，△>(),方程有兩個不相等的實數(shù)根，即m有2個；

當(dāng)c=5時，△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根，即機有1個；

當(dāng)c>5時，△V0,方程無實數(shù)根，即加有0個；

②當(dāng)m2+2?n+c—1<0時，62+2機+c—1=—3,即tn2+2m+c+2=O,

△=22—4(c+2)=—4c-4,令A(yù)=-4c—4=0,解得：c=—1,

???當(dāng)cV-l時，△>(),方程有兩個不相等的實數(shù)根，即m有2個；

當(dāng)c=-l時，△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根，即m有1個；

當(dāng)c>一1時，AV。，方程無實數(shù)根，即機有0個；

綜上，當(dāng)c>5時，機有0個；

當(dāng)c=5時，機有1個；

當(dāng)一1VCV5時，機有2個；

當(dāng)c=-l時，m有3個；

當(dāng)cV-l時，m有4個.

【點睛】本題考查函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系、

坐標(biāo)與圖形，解答的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式與根治關(guān)系：△>0,方

程有兩個不相等的實數(shù)根，△=0,方程有兩個相等的實數(shù)根，△V0,方程無實數(shù)根.

27.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

⑴，2￥-8=0;

(2)X2-X-4=0.

【答案】(1)X=4,七二一2

【分析】(1)根據(jù)因式分解法可以解答此方程;

(2)根據(jù)公式法可以解答此方程

【詳解】(1)解：x2-2x-8=0,

A(x-4)(x+2)=0,

x-4=0或x+2=0,

解得：％=4,X2=-2

(2)解：「x2-x-4=0,

?b=?l,c=-4

D=(-l)2-4創(chuàng)(-4)=17>0

.1±V17

..x=---------

T1

1+V171-V17

222

【點睛】本題考查解一元二次方程，解題關(guān)鍵是明確解一元二次方程的方法.

28.一個不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“書”、“香，“華”、“一”的四個小球，除字

不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻.

（1）若從中任取一個球，球上的漢字剛好是“書”的概率為;

（2）從中隨機取出兩球，請用樹狀圖或列表的方法，求取出的兩個球上的漢字能組成

“華一”的概率.

【答案】（1）7；（2）

46

【分析】（1）根據(jù)概率公式計算即可；

（2）畫出樹狀圖計算即可；

【詳解】（1）由題可得，球上的漢字剛好是“書''的概率為9：

故答案是：-J-：

（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：

21

則取出的兩個球上的漢字能組成“華一''的概率為77=二.

126

【點睛】本題主要考查了概率公式和樹狀圖法求概率，準(zhǔn)確畫圖計算是解題的關(guān)鍵.

29.“疫情”期間，某小區(qū)準(zhǔn)備搭建一個面積為12平方米的矩形臨時隔離點ABCD,如

圖所示，矩形一邊利用一段已有的圍墻（可利用的圍墻長度僅有5米），另外三邊用9

米長的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在與圍墻平行的一邊要開一扇寬度為1米的小門

EF,求AB的長度為多少米？

m

////////////////

A\D

【答案】3

【分析】根據(jù)臨時隔離點ABCD總長度是10米，人8=*米，貝ijBC=(10-2x)米，再

根據(jù)矩形的面積公式列方程，解一元二次方程即可.

【詳解】解：設(shè)AB=x米，則BC=(9+l-2x)米，

根據(jù)題意可得，x(10-2x)=12,

解得xi=3,X2=2,

當(dāng)x=3時,AD=4<5,

當(dāng)x=2時，AD=6>5,

???可利用的圍墻長度僅有5米,

AAB的長為3米.

答：AB的長度為3米.

【點睛】本題考查了一元二次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程

是解題的關(guān)鍵.

30.如圖，在四邊形A8C。中，AD//BC,E是BC的中點,45=5,BC=12,

CD=4近,NC=45。，點P是5c邊上一動點，設(shè)的長為x.

(1)當(dāng)x的值為時，以點RARE為頂點的四邊形為平行四邊形；

(2)點P在邊上運動的過程中，以尸,ARE為頂點的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明

理由.

【答案】⑴1或11

(2)能，理由見詳解

【分析】(1)若以點RARE為頂點的四邊形為平行四邊形，那么AO=PE=5,可

有兩種情況：當(dāng)點P在點E左惻時和點P在點E右側(cè)時，依次求解即可獲得答案；

(2)點尸在邊上運動的過程中，以RARE為頂點的四邊形能構(gòu)成菱形.當(dāng)

8P=11時，四邊形為平行四邊形，根據(jù)已知條件計算出0P=40=5,即可證

明四邊形物”為菱形.

【詳解】(1)解：若以點RARE為頂點的四邊形為平行四邊形，那么

AD=PE=5f

可有兩種情況：

①當(dāng)點P在點E左側(cè)時,

YE是的中點，8c=12,

BE=—BC=6,

2

:.BP=BE-PE=6-5=\^

②當(dāng)點尸在點E右側(cè)時，

可有8尸=8E+?E=6+5=ll.

???當(dāng)x的值為1或11時，以點P,AZ),E為頂點的四邊形為平行四邊形.

故答案為：1或11；

(2)點尸在8C邊上運動的過程中，以RARE為頂點的四邊形能構(gòu)成菱形,

理由如下：

①當(dāng)點尸在點E左側(cè)時，如下圖，過點。作OHJLBC于點H,

bPEHC

*：CD=4&,4=45。，

:.ZCDH=90°-ZC=45°,

；?4CDH=4C,

:?CH=DH,

2222

在RtACD/7中，由勾股定理可得CH+DH=2CH=CD=(4&『=32,

:?CH=DH=4,

???￡是8C的中點，BC=12,

：.CE=-BC=6,

2

JEH=CE-CH=6-4=2,

，在RtZXOEH中，DE=ylEH2+DH2=722+42=2^?

AD^DE,

即此時以RARE為頂點的四邊形不能構(gòu)成菱形；

②當(dāng)點P在點E右側(cè)時，如下圖，過點。作O"_L5C于點”，

由(1)可知，當(dāng)8尸=11時，四邊形AEPD為平行四邊形,

此時OH=C”=4,CP=BC—BP=12—11=1,

:.HP=CH-CP=47=3,

工在Rt二OPH中，DP=ylDH2+HP1=V42+32=5?

???DP=AD=5,

???四邊形AKP。為菱形.

綜上所述，點尸在8C邊上運動的過程中，以P,AO,E為頂點的四邊形能構(gòu)成菱形.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)與判定、勾股定理、

等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用是解題關(guān)鍵.

31.如圖1,在正方形48co中的邊8上取一點N,連結(jié)AN,過點8作8G_LAN交

AN于點G.

(1)求證：ND4N=ZABG；

(2)如圖2,過點C作CEJ_fiG交BG于點E,過點。作。尸_LCE交CE于F,點M

為DF與AN的交點,若A8=5,AG=3,求四邊形G同M的面積：

(3)如圖3,正方形對角線交于點O,若AG=2,GO=2應(yīng)，求正方形ABC。邊

長.

圖1圖2圖3

【答案】(1)見解析；(2)S正方形磔松=1；(3)邊長為2國

【分析】(1)利用等角的余角相等，即可證明結(jié)論；

(2)利用“AAS”證明，再根據(jù)勾股定理求得AM=G6=4,即可求

解；

(3)過。作。M垂直AN于M,連結(jié)OM,利用“SAS”證明AGg-AWO,再推出

3GoM為等腰直角三角形，求得GM的長，再在直角三角形ADM中，利用勾股定理

即可求解.

【詳解】(1)???四邊形A3CO是正方形，

ZD=ZBAD=90°,

■:/NAD+ZGAB=90°,ZABG+ZBAG=90°,

：.ZDAN=ZABG；

(2)VZAGB=90°=ZGEF,

:.AN//CE,

/.ZDFE=90°=ZE>A^4,

在^ABG和ADAM中，

ZAGB=ZDAM=90°

Z.ABG=Z.DAM,

AB=AD

：.^ABG^DAM(AAS)

?**AM=GB=VAB2-AG2=V52-32=4：

AGA/=AAf-AG=4-3=l,

同理EG=GM=Mb=EF=l,且NGEF=90°,

???四邊形GEFM是正方形，

S正方彩GEFM=1；

(3)過。作OM垂直AN于M,連結(jié)QM,

由(2)得AG=OM,

?：ZNDM+ZDNA=9^,/DAN+功NA=9(T,

：?4NDM=ADAN,

JZ.GAO=45°-ZNAD=45°-ANDM=NODM,

在aAGO和ADMO中,

AG=DM

<ZGAO=ZMDO,

AO=DO

:..AGO^-DMO(SAS),

：?GO=MO,NGOA=NMOD,

:.ZGOM=ZAOD=90°,

.?.一GOM為等腰直角三角形，

?二GM=>lGO2+MOZ=V(2V2)2+(272)2=4，

即AM=2+4=6,

而DM=AG=2,

?*-AD=4AM2+DM?=V62+22=2y/\0?

【點睛】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角

形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

32.如圖，已知正方形A8CO的邊長為4的，點E從點A出發(fā)，以kvn/s的速度沿著

折線運動，到達(dá)點C時停止運動；點尸從點8出發(fā)，也以lcm/s的速度沿

著折線BfCf。運動，到達(dá)點。時停止運動.點E、尸分別從點A、8同時出發(fā)，設(shè)

運動時間為，（S）.

（1）當(dāng)，為何值時，E、尸兩點間的距離為26cm.

（2）連接。石、AF交于點M,

①在整個運動過程中，CM的最小值為cm.

②當(dāng)時，此時，的值為.

【答案】（1），為2+近,2-近,G+五,6-應(yīng)時，E、"兩點間的距離為

2瘋加；（2）①2石-2；②2或8.

【分析】（1）分情況討論確定E,F的位置，根據(jù)勾股定理列式求解即可；

（2）①根據(jù)題意分析出點M的運動軌跡是圓，然后即可確定答案；②求證

△DAM^ACDN,△DAE^ADMA,分情況討論即可.

【詳解】（1）當(dāng)04f?4時，由題可知AE=f,BF=t,

:.BE=4T,

中,8爐+8尸=（25/5）;

A（4-r）2+z2=12,

解得：Zj=2+>/2,t2=2—>/2,

當(dāng)4＜，W8時，由題可知5石=/-4,CF=/-4,

：.CE=3-t,

△CE"中，CE2+C尸2一，

J(r-4)2+(8-r)2=12,

解得：r3=6+V2,。=6-五，

綜上所述：，為2+&，2-V2.6+V2?6-夜時，E、F兩點間的距離為26cm.

(2)①26-2

D

VE,F兩點速度相同，

AAE=AF

又「正方形ABCD中，AD=BA,ZDAB=ZB=90°,

AADAE^ABAF(SAS)

AZADE=ZBAF

ZBAF+ZDAF=90°

:.ZADE+ZDAF=90°

ZDMA=90°

???點M在以O(shè)為圓心，AD為直徑的圓上，

連接OC交圓O于點此時CM長度最短，

在RSDOC中，CO=CO=\lDC2+DO2=742+22=2>/5

ACM的最小值為2石-2.

②2或8

如下圖，過點C作CN_LDE

由①可知NDMA=90。

VZADM+ZCDN=90°,ZADM+ZDAM=90°

???NCDN=NDAM

在4ADM和^CDN中

/DMA=ZCND

■ZDAM=NCDN

AD=CD

/.△ADM^ACDN(AAS)

/.DN=AM

XVCM=CD=4且CN±DE

AM1

ADM=2DN=2AM,即——=-

DM2

■:ZDMA=90°

，/DAE:/AMD,ZADM=ZEDA

AADAE^ADMA

.AEAM\

t=AE=2

當(dāng)點E到達(dá)點C,點F到達(dá)點D,此時AM=4,此時t=8

綜上所述，當(dāng)CM=4cm時，此時t的值為2或8.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，正方形的性質(zhì)和應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，

并根據(jù)點的運動軌跡求線段最小值，綜合性比較強，能夠充分調(diào)動所學(xué)過的知識是解

題的關(guān)鍵.

33.閱讀下面材料：

學(xué)習(xí)了《平行四邊形》單元知識后，小東根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形的經(jīng)驗，對矩形的判定

問題進(jìn)行了再次探究.

以下是小東的探究過程，請你補充完整：

（1）在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0.補充下列條件中能判斷

平行四邊形ABCD是矩形的是（請將所有正確答案前的字母填寫在橫線上）

A.AC0BDB.AC=BDC.AD=DCD.0DAB=0ABC

（2）小東進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：

在通過對“邊、角、對角線''研究矩形的判定中，小東提出了一個猜想：“一組對邊相

等，一組對角均為直角的四邊形為矩形.”請你畫出圖形，判斷小東的猜想是否是證明

題.如果是真命題，請寫出證明過程，如果不是，請說明理由.

【答案】（1）B：（2）猜想：是真命題

【詳解】（1）VAC=BD,NDAB二NABC,

，平行四邊形A8CO是矩形；

故選B；

（2）是真命題

作圖：

:.ACD^,ABC,（或者通過勾股定理）

AD=BC,

???四邊形ABC。是平行四邊形

?.*ZB=ZD=90°

???平行四邊形A8CQ是矩形.

34.計算

⑴解方程：2%+6=（X+3）2

（2）畫出圖中空心圓柱的主視圖、左視圖、俯視圖.

【答案】（1）內(nèi)=-3,x2=-l；

（2）見解析.

【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可;

(2)根據(jù)簡單幾何體的三視圖的畫法作圖即可.

(1)解：2(x+3)=(x+3)22(X+3)-(X+3)2=0(x+3)[2-(x+3)]=0A

(x+3)(-l-x)=0,，x+3=0或-l-x=O,解得：N=-3,x2=-\.

(2)解：空心圓柱的主視圖、左視圖、俯視圖如下圖所示：

主視圖左視圖

俯視圖

【點睛】本題考查解一元二次方程，圓柱體的三視圖，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解法

解一元二次方程，簡單幾何體的三視圖畫法.

35.如圖，E,F分別是矩形ABCD的邊AD,AB上的點，若EF=EC,且EF_LEC.

(1)求證：AE=DC；

(2)已知DC=&,求BE的長.

【答案】(1)證明見試題解析；(2〉2.

【分析】(1)由矩形的性質(zhì)及已知條件可得到△AEFgZX