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安徽省滁州市部分高中2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.箱子中放有一雙紅色和一雙黑色的襪子,現(xiàn)從箱子中同時(shí)取出兩只襪子,則取出的兩只襪子正好可以配成一雙的概率為()A. B.C. D.2.已知點(diǎn)位于第二象限,那么角所在的象限是A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知為三角形的內(nèi)角,且,則()A. B.C. D.4.已知角的終邊過點(diǎn),則()A. B.C. D.5.已知為圓的兩條互相垂直的弦,且垂足為,則四邊形面積的最大值為()A.10 B.13C.15 D.206.的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.7.函數(shù)的大致圖象是A. B.C. D.8.已知,,,則的邊上的高線所在的直線方程為()A. B.C. D.9.設(shè)集合,,則()A.{2,3} B.{1,2,3}C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}10.直線x+1=0的傾斜角為A.0 B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知是定義在正整數(shù)集上的嚴(yán)格減函數(shù),它的值域是整數(shù)集的一個(gè)子集,并且,,則的值為___________.12.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且,若對(duì)任意的,當(dāng)時(shí),都有成立,則不等式的解集為_____13.若,則的值為______14.已知,則__________.15.已知為直角三角形的三邊長(zhǎng),為斜邊長(zhǎng),若點(diǎn)在直線上,則的最小值為__________16.若a∈{1,a2﹣2a+2},則實(shí)數(shù)a的值為___________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知定理:“若、為常數(shù),滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱”.設(shè)函數(shù),定義域?yàn)?(1)試求的圖象對(duì)稱中心,并用上述定理證明;(2)對(duì)于給定的,設(shè)計(jì)構(gòu)造過程:、、、.如果,構(gòu)造過程將繼續(xù)下去;如果,構(gòu)造過程將停止.若對(duì)任意,構(gòu)造過程可以無限進(jìn)行下去,求的取值范圍.18.已知點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn),直線.(1)若圓的弦恰好被點(diǎn)平分,求弦所在直線的方程;(2)若過點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦,求四邊形的面積的最大值;(3)若,是上的動(dòng)點(diǎn),過作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為.證明:直線過定點(diǎn).19.已知(其中a為常數(shù),且)是偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)m的值;(2)證明方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,若這個(gè)唯一的實(shí)數(shù)根為,試比較與的大小.20.已知函數(shù).求:(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,對(duì)稱軸,對(duì)稱中心;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域21.設(shè)直線與相交于一點(diǎn).(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求經(jīng)過點(diǎn),且垂直于直線的直線的方程.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】先求出試驗(yàn)的樣本空間,再求有利事件個(gè)數(shù),最后用概率公式計(jì)算即可.【詳解】?jī)芍患t色襪子分別設(shè)為,,兩只黑色襪子分別設(shè)為,,這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間可記為,共包含6個(gè)樣本點(diǎn),記為“取出的兩只襪子正好可以配成一雙”,則,包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,所以.故選:B2、C【解析】通過點(diǎn)所在象限,判斷三角函數(shù)的符號(hào),推出角所在的象限.【詳解】點(diǎn)位于第二象限,可得,,可得,,角所在的象限是第三象限故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的符號(hào)的判斷,是基礎(chǔ)題.第一象限所有三角函數(shù)值均為正,第二象限正弦為正,其它為負(fù),第三象限正切為正,其它為負(fù),第四象限余弦為正,其它為負(fù).3、A【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,運(yùn)用“弦化切”求解即可.【詳解】計(jì)算得,所以,,從而可計(jì)算的,,,選項(xiàng)A正確,選項(xiàng)BCD錯(cuò)誤.故選:A.4、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)榻墙K邊過點(diǎn),所以;故選:A5、B【解析】如圖,作OP⊥AC于P,OQ⊥BD于Q,則|OP|2+|OQ|2=|OM|2=5,∴|AC|2+|BD|2=4(9-|OP|2)+4(9-|OQ|2)=52則|AC|·|BD|=,當(dāng)時(shí),|AC|·|BD|有最大值26,此時(shí)S四邊形ABCD=|AC|·|BD|=×26=13,∴四邊形ABCD面積的最大值為13故選B點(diǎn)睛:直線與圓的位置關(guān)系常用處理方法:(1)直線與圓相切處理時(shí)要利用圓心與切點(diǎn)連線垂直,構(gòu)建直角三角形,進(jìn)而利用勾股定理可以建立等量關(guān)系;(2)直線與圓相交,利用垂徑定理也可以構(gòu)建直角三角形;(3)直線與圓相離時(shí),當(dāng)過圓心作直線垂線時(shí)長(zhǎng)度最小6、C【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分式的性質(zhì)解不等式即可得解.【詳解】由題意得,解得,所以的定義域?yàn)?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了具體函數(shù)定義域的求解,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】關(guān)于對(duì)稱,且時(shí),,故選D8、A【解析】先計(jì)算,得到高線的斜率,又高線過點(diǎn),計(jì)算得到答案.【詳解】,高線過點(diǎn)∴邊上的高線所在的直線方程為,即.故選【點(diǎn)睛】本題考查了高線的計(jì)算,利用斜率相乘為是解題的關(guān)鍵.9、A【解析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算直接可得答案.【詳解】集合,,則,故選:A.10、C【解析】軸垂直的直線傾斜角為.【詳解】直線垂直于軸,傾斜角為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查直線傾斜角,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】利用嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)定義求得值,然后在由區(qū)間上整數(shù)個(gè)數(shù),可確定的值【詳解】,根據(jù)題意,,又,,所以,即,,在上只有13個(gè)整數(shù),因此可得,故答案為:12、;【解析】令,則為偶函數(shù),且,當(dāng)時(shí),為減函數(shù)所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;因此當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,即不等式的解集為點(diǎn)睛:利用函數(shù)性質(zhì)解抽象函數(shù)不等式,實(shí)質(zhì)是利用對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性,而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.13、0【解析】由,得到∴sin∴2sin+4兩邊都除以,得:2tan故答案為014、3【解析】由同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系及已知等式可得,應(yīng)用誘導(dǎo)公式有,即可求值.【詳解】由題設(shè),,可得,∴.故答案為:315、4【解析】∵a,b,c為直角三角形中的三邊長(zhǎng),c為斜邊長(zhǎng),∴c=,又∵點(diǎn)M(m,n)在直線l:ax+by+2c=0上,∴m2+n2表示直線l上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,∴m2+n2的最小值為原點(diǎn)到直線l距離的平方,由點(diǎn)到直線的距離公式可得d==2,∴m2+n2的最小值為d2=4,故答案為4.16、2【解析】利用集合的互異性,分類討論即可求解【詳解】因?yàn)閍∈{1,a2﹣2a+2},則:a=1或a=a2﹣2a+2,當(dāng)a=1時(shí):a2﹣2a+2=1,與集合元素的互異性矛盾,舍去;當(dāng)a≠1時(shí):a=a2﹣2a+2,解得:a=1(舍去)或a=2;故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查集合的互異性問題,主要考查學(xué)生的分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),證明見解析;(2).【解析】(1)計(jì)算出的值,由此可得出結(jié)論;(2)分、、三種情況討論,求出函數(shù)的值域,根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組,由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1),由已知定理得,的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱;(2),當(dāng)時(shí),若,由基本不等式可得,若,由基本不等式可得.此時(shí),函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)時(shí),的值域?yàn)?,?dāng)時(shí),的值域?yàn)?,因?yàn)闃?gòu)造過程可以無限進(jìn)行下去,對(duì)任意恒成立或,由此得到.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的新定義問題,解本題的關(guān)鍵在于對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論,求出函數(shù)的值域,根據(jù)題意得出所滿足的不等式組求解.18、(1)(2)11(3)見解析【解析】(1)由題意知,易知,進(jìn)而得到弦所在直線的方程;(2)設(shè)點(diǎn)到直線、的距離分別為,則,,利用條件二元變一元,轉(zhuǎn)為二次函數(shù)最值問題;(3)設(shè).該圓的方程為,利用C、D在圓O:上,求出CD方程,利用直線系求解即可試題解析:(1)由題意知,∴,∵,∴,因此弦所在直線方程為,即.(2)設(shè)點(diǎn)到直線、的距離分別為,則,,.∴,,當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以四邊形面積的最大值為11.(3)由題意可知、兩點(diǎn)均在以為直徑的圓上,設(shè),則該圓的方程為,即:.又、在圓上,所以直線的方程為,即,由得,所以直線過定點(diǎn).19、(1)(2)【解析】(1)由偶函數(shù)的定義得對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,進(jìn)而整理得恒成立,故;(2)設(shè),進(jìn)而得唯一實(shí)數(shù)根,使得,即,故,再結(jié)合得得答案.【小問1詳解】解:因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù),有,所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,即恒成立,所以,即,【小問2詳解】解:設(shè),因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根,當(dāng)時(shí),因?yàn)?,,所以,使得,又在上單調(diào)遞減,所以存在唯一實(shí)數(shù)根;因?yàn)?,所以,又,所以,所?所以20、(1)單調(diào)遞減區(qū)間為;對(duì)稱軸為,;對(duì)稱中心為,;(2)【解析】(1)首先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式得到,然后結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出單調(diào)遞減區(qū)間,對(duì)稱軸和對(duì)稱中心;(2)由求得,即可求出值域.【詳解】(1)化簡(jiǎn)可得,由,,可得,,∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,令,可得,故函數(shù)的對(duì)稱軸為,;令,得,故函數(shù)的對(duì)稱中心為,(2)當(dāng)時(shí),,∴,∴,∴函數(shù)的值域?yàn)?1、(1);(2).【解析】(1)將
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