2025屆福建省師范大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆福建省師范大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)直線(xiàn)的傾斜角是（）A. B.C. D.2．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．3．設(shè)雙曲線(xiàn)：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A.4 B.2C. D.4．設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.則的面積為（）A.6 B.C.8 D.5．等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，則的值為（）A.13 B.16C.104 D.2086．已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)：上，點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則拋物線(xiàn)C的方程為（）A. B.C. D.7．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是A. B.C D.8．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，直線(xiàn)與橢圓相交于A(yíng)、B兩點(diǎn).若，點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離不小于，則橢圓C離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.9．下邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，如果輸入a=102，b=238，則輸出的a的值為（）A.17 B.34C.36 D.6810．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.8411．下列說(shuō)法中正確的是（）A.存在只有4個(gè)面的棱柱 B.棱柱的側(cè)面都是四邊形C.正三棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等 D.所有幾何體的表面都能展開(kāi)成平面圖形12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線(xiàn)C.的一個(gè)零點(diǎn)為 D.在區(qū)間的最小值為1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)學(xué)中，多數(shù)方程不存在求根公式.因此求精確根非常困難，甚至不可能.從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.例如牛頓迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假設(shè)是方程的根，選取作為的初始近似值，在點(diǎn)處作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱(chēng)為的一次近似值，在點(diǎn)處作曲線(xiàn)的切線(xiàn).則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱(chēng)為的二次近似值.重復(fù)上述過(guò)程，用逐步逼近.若給定方程，取，則__________.14．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，公差，則當(dāng)?shù)那皀項(xiàng)和最大時(shí)，___________15．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________.16．如圖，在等腰直角△ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A(yíng)、B的一點(diǎn)，光線(xiàn)從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC、CA反射后又回到原點(diǎn)P.若光線(xiàn)QR經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線(xiàn)及直線(xiàn)（1）若與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍（2）若與交于，兩點(diǎn)，且線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求線(xiàn)段的長(zhǎng)18．（12分）已知點(diǎn)，圓（1）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相切，求直線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)與圓相交于A(yíng)，兩點(diǎn)，弦的長(zhǎng)為，求的值19．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在直線(xiàn)上（1）求拋物線(xiàn)的方程（2）設(shè)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程20．（12分）等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，且（1）求通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求k的取值范圍22．（10分）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，若右焦點(diǎn)為且離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，是上的兩點(diǎn)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切且，，三點(diǎn)共線(xiàn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出直線(xiàn)的斜率后可得傾斜角【詳解】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為，設(shè)該直線(xiàn)的傾斜角為，則，又，所以.故選：B2、D【解析】由題可知：，，，故選；D3、B【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義及，求出，，，，再利用余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可知、，又且，所以，，，，則，且，即，即，所以離心率.故選：B4、B【解析】利用橢圓的幾何性質(zhì)，得到，，進(jìn)而利用得出，進(jìn)而可求出【詳解】解：由橢圓的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因?yàn)?，，所以，所以，故選：B5、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，故選：D6、D【解析】由拋物線(xiàn)定義可得，注意開(kāi)口方向.詳解】設(shè)∵點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4∴∵，∴.得：.故選：D.7、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上的單調(diào)性，并得出，然后分別在和解不等式，由此可得出不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，由于函?shù)為上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，解得；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，解得.綜上所述，使得成立的的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)不等式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造合適的函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.8、D【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由題可得，由點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離不小于可得，進(jìn)而可求的范圍，即可得出離心率范圍.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，P為短軸的上端點(diǎn)，連接，如圖所示：由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，又，∴四邊形為平行四邊形，∴，又，解得：，點(diǎn)P到直線(xiàn)l距離：，解得：，即，∴，∴.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查橢圓離心率的求解，解題的關(guān)鍵是由橢圓定義得出，再根據(jù)已知條件得出.9、B【解析】根據(jù)程序框圖所示代入運(yùn)行即可.【詳解】初始輸入：；第一次運(yùn)算：；第二次運(yùn)算：；第三次運(yùn)算：；第四次運(yùn)算：；結(jié)束，輸出34.故選：B.10、C【解析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.【詳解】∵隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，∴故選：C.11、B【解析】對(duì)于A(yíng)、B：由棱柱的定義直接判斷；對(duì)于C：由正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)不一定相等，即可判斷；對(duì)于D：由球的表面不能展開(kāi)成平面圖形即可判斷【詳解】對(duì)于A(yíng)：棱柱最少有5個(gè)面，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B：棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，則B正確；對(duì)于C：正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)不一定相等，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D：球的表面不能展開(kāi)成平面圖形，則D錯(cuò)誤故選：B12、D【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷其周期、對(duì)稱(chēng)軸、零點(diǎn)、最值即可.【詳解】函數(shù)，周期為，故A錯(cuò)誤；函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為，，，不是對(duì)稱(chēng)軸，故B錯(cuò)誤；函數(shù)的零點(diǎn)為，，，所以不是零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；時(shí)，，所以，即，所以，故D正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)牛頓迭代法的知識(shí)求得.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，切線(xiàn)的方程為，與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.，所以切線(xiàn)的方程為，與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故答案為：14、3【解析】根據(jù)公式求出前n項(xiàng)和，再利用二次函數(shù)的性質(zhì).【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，，所以，當(dāng)時(shí)，取到最大值.故答案為：3.15、10【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，所以，所以故答案為：1016、【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得△的內(nèi)心坐標(biāo)，根據(jù)△內(nèi)心以及關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，則問(wèn)題得解.【詳解】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，如下所示：則，不妨設(shè)，則直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，且，整理得，解得，即點(diǎn)，又；設(shè)△的內(nèi)切圓圓心為，則由等面積法可得，解得；故其內(nèi)心坐標(biāo)為，由及△的內(nèi)心三點(diǎn)共線(xiàn)，即，整理得，解得（舍）或，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）且；（2）【解析】（1）聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程，利用方程組與兩個(gè)交點(diǎn)，求出k的范圍（2）設(shè)交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求解即可【詳解】（1）聯(lián)立y=2可得∵與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且，且（2）設(shè)，由（1）可知，又中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，或又由（1）可知，為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，18、（1）或；（2）【解析】（1）分直線(xiàn)斜率存在和不存在兩種情況分析，當(dāng)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)存在斜率時(shí)，設(shè)方程為，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求得k，即可得出答案；（2）求出圓心到直線(xiàn)的距離，再根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式即可得出答案.【詳解】解：（1）由題意知圓心的坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，方程為，由圓心到直線(xiàn)的距離知，直線(xiàn)與圓相切，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)存在斜率時(shí)，設(shè)方程為，即由題意知，解得，直線(xiàn)的方程為故過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程為或（2）圓心到直線(xiàn)的距離為，，解得19、（1）（2）的方程為、、【解析】（1）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得，進(jìn)而求得拋物線(xiàn)的方程.（2）結(jié)合圖象以及判別式求得直線(xiàn)的方程.【小問(wèn)1詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，且開(kāi)口向上，直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，則，所以，拋物線(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn).那個(gè)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，解得或.所以直線(xiàn)的方程為或.綜上所述，的方程為、、.20、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件求，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法即可求得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式；【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，所以，所以.21、（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為﹣1，無(wú)極小值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；（2）令，利用分離參數(shù)法得到，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)，取得極大值﹣1所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減極大值為﹣1，無(wú)極小值【小問(wèn)2詳解】由，得，令，只需.求導(dǎo)得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，