甘肅省慶陽市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

甘肅省慶陽市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)區(qū)間上有（）A.極大值為27，極小值為-5 B.無極大值，極小值為-5C.極大值為27，無極小值 D.無極大值，無極小值2．已知等比數(shù)列滿足，則q＝（）A.1 B.－1C.3 D.－33．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的體積為（）A. B.C. D.4．某市物價部門對5家商場的某商品一天的銷售量及其售價進(jìn)行調(diào)查，5家商場的售價（元）和銷售量（件）之間的一組數(shù)據(jù)如表所示.按公式計(jì)算，與的回歸直線方程是，則下列說法錯誤的是（）售價99.51010.511銷售量1110865A.B.售價變量每增加1個單位時，銷售變量大約減少3.2個單位C.當(dāng)時，的估計(jì)值為12.8D.銷售量與售價成正相關(guān)5．某校開學(xué)“迎新”活動中要把3名男生，2名女生安排在5個崗位，每人安排一個崗位，每個崗位安排一人，其中甲崗位不能安排女生，則安排方法的種數(shù)為（）A.72 B.56C.48 D.366．已知，則下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點(diǎn)，則AM與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.8．在等比數(shù)列中，，，則等于（）A.90 B.30C.70 D.409．已知甲、乙、丙三名同學(xué)同時獨(dú)立地解答一道導(dǎo)數(shù)試題，每人均有的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨(dú)立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率A. B.C. D.10．下列雙曲線中，以為一個焦點(diǎn)，以為一個頂點(diǎn)的雙曲線方程是（）A. B.C. D.11．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，準(zhǔn)線與對稱軸交于點(diǎn)，若，且，則此拋物線的方程為（）A. B.C. D.12．已知四棱錐，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，滿足上述條件的四棱錐的頂點(diǎn)P的軌跡是（）A.橢圓 B.橢圓的一部分C.圓 D.不完整的圓二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，由數(shù)學(xué)家斐波那契研究兔子繁殖問題時引入．已知斐波那契數(shù)列滿足，，，若記，，則________．（用，表示）14．已知數(shù)列中，.若為等差數(shù)列，則______.15．已知球的半徑為3，則該球的體積為_________.16．若，則與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，直線，直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)（1）求的最小值；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線l的方程18．（12分）如圖，已知正方體的棱長為，，分別是棱與的中點(diǎn).（1）求以，，，為頂點(diǎn)的四面體的體積；（2）求異面直線和所成角的大小.19．（12分）已知在公差不為0的等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和請?jiān)冖?；②；③這三個條件中選擇一個，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答20．（12分）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）已知樣本中分?jǐn)?shù)在[40，50）的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；（2）試估計(jì)測評成績的75%分位數(shù)；（3）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.22．（10分）芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在手機(jī)、軍工、航天等多個領(lǐng)域，是能夠影響一個國家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場調(diào)研與統(tǒng)計(jì)，某公司七年時間里在芯片技術(shù)上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）根據(jù)折線圖的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到整數(shù)部分);（2）為鼓勵科技創(chuàng)新,當(dāng)研發(fā)技術(shù)投入不少于16億元時,國家給予公司補(bǔ)貼5億元,預(yù)測當(dāng)芯片的研發(fā)投入為17億元時公司的實(shí)際收益附:其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為,．參考數(shù)據(jù),

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出得出的單調(diào)區(qū)間，從而可得答案.【詳解】當(dāng)時，，單調(diào)遞減.當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取得極小值，極小值為，無極大值.故選：B2、C【解析】根據(jù)已知條件，利用等比數(shù)列的基本量列出方程，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋士傻茫唤獾?故選：C.3、A【解析】可由三視圖還原原幾何體，然后根據(jù)題意的邊角關(guān)系，完成體積的求解.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖：其中平面，，則該四面體的體積為.故選：A.4、D【解析】首先求出、，再根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點(diǎn)，即可求出，再根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：因?yàn)椋?，與回歸直線方程，恒過定點(diǎn)，，解得，故A正確，所以回歸直線方程為，即售價變量每增加1個單位時，銷售變量大約減少3.2個單位，故B正確；當(dāng)時，即當(dāng)時，的估計(jì)值為12.8，故C正確；因?yàn)榛貧w直線方程為，所以銷售量與售價成負(fù)相關(guān)，故D錯誤；故選：D5、A【解析】以位置優(yōu)先法去安排即可解決.【詳解】第一步：安排甲崗位，由3名男生中任選1人，有3種方法;第二步：安排余下的4個崗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有種方法故安排方法的種數(shù)為故選：A6、B【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.【詳解】對于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對于B，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對于C，因?yàn)椋?，所以不成立，故C不正確；對于D，因?yàn)?，所以，所以，故D不正確.故選：B7、B【解析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為故選：B8、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出答案.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，則，則.故選：D9、C【解析】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件，利用二項(xiàng)分布的知識計(jì)算出，再計(jì)算出，結(jié)合條件概率公式求得結(jié)果.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的求解問題，涉及到利用二項(xiàng)分布公式求解概率的問題.10、C【解析】設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)題意，求得，即可選擇.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個焦點(diǎn)是，故可設(shè)雙曲線方程為，且；又為一個頂點(diǎn)，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.11、B【解析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合三角形相似以及已知條件，求得，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，如下所示：因?yàn)?，?/，，則，故可得，又△△，則，即，解得，故拋物線方程為：.故選：.12、D【解析】根據(jù)題意，分析得動點(diǎn)滿足的條件，結(jié)合圓以及橢圓的方程，以及點(diǎn)的限制條件，即可判斷軌跡.【詳解】因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB，則//，又面面，故可得；因?yàn)?，故可得，則，綜上所述：動點(diǎn)在垂直的平面中，且滿足；為方便研究，不妨建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行說明，在平面中，因?yàn)?，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，過且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下所示：因?yàn)?，故可得，整理得：，故動點(diǎn)的軌跡是一個圓；又當(dāng)三點(diǎn)共線時，幾何體不是空間幾何體，故動點(diǎn)的軌跡是一個不完整的圓.故選：.【點(diǎn)睛】本題考察立體幾何中動點(diǎn)的軌跡問題，處理的關(guān)鍵是利用立體幾何知識，找到動點(diǎn)滿足的條件，進(jìn)而求解軌跡.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知兩式相加求得，得，得到，從而得到，，利用可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，，得，所以，得，因?yàn)?，所以，，所以，，所以?故答案為：.14、【解析】利用等差中項(xiàng)求解即可【詳解】由為等差數(shù)列，則，解得故答案為：15、【解析】根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榍虻陌霃?，所以球的體積；故答案為：16、【解析】由空間向量的模的計(jì)算求得向量的模，再由單位向量的定義求得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4；（2）或.【解析】(1)過定點(diǎn)D(4，2)，當(dāng)CD⊥l時，|PQ|最??；(2)，當(dāng)時，△CPQ面積最大，此時△CPQ為等腰直角三角形，圓心到直線l的距離，據(jù)此即可求出m.【小問1詳解】由，得，由，∴直線l過定點(diǎn)D(4，2)，∵，∴在圓C內(nèi)部，∴直線和l與圓C相交，當(dāng)CD⊥l時，|PQ|最小，；【小問2詳解】∵，∴當(dāng)時，△CPQ面積最大，此時△CPQ為等腰直角三角形，故圓心到直線l的距離，∴，解得，∴此時l的方程為：或.18、（1）（2）【解析】（1）由題意可知該四面體為以為底面，以為高的四面體，可得四面體體積；（2）連接，，可得即為異面直線和所成的角的平面角，根據(jù)余弦定理可得角的大小.【小問1詳解】解：連接，，，以，，，為頂點(diǎn)的四面體即為三棱錐，底面的面積，高，則其體積；【小問2詳解】解：連接，，，則即為異面直線和所成的角的平面角，在中，，，，則，故，即和所成的角的的大小為.19、（1），（2）答案見解析【解析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到，即可求，從而求出的通項(xiàng)公式，所以，即可求出等比數(shù)列的公比，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）若選①：則，利用裂項(xiàng)相消法求和即可；若選②：則，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得；若選③：則利用分組求和法求和即可；【小問1詳解】解：設(shè)的公差為，成等比數(shù)列，，，解得或，，，即，，的公比，，【小問2詳解】解：若選①：則，；若選②：則，；若選③：則，.20、（1）20人（2）（3）【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖先求出樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的頻率，即可解出；（2）先根據(jù)頻率分布直方圖判斷出75%分位數(shù)在[70，80）之間，即可根據(jù)分位數(shù)公式算出；（3）根據(jù)頻率分布直方圖知分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)中男女各占30人，從而可知樣本中男生有60人，女生有40人，即可求出總體中男生和女生人數(shù)的比例【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在[50，90）頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在樣本中分?jǐn)?shù)在[50，90）的人數(shù)為100×0.9=90(人)，在樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為95人，所以分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為400×0.95=380(人)，總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人【小問2詳解】測試成績從低到高排序，占人數(shù)75%的人分?jǐn)?shù)在[70，80）之間，所以估計(jì)測評成績的75%分位數(shù)為【小問3詳解】由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)共有60人，由已知男女各占30人，從而樣