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文檔簡介

對端點(diǎn)

x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點(diǎn)x=1,級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù)收斂;

級數(shù)為發(fā)散.故收斂域?yàn)?.求冪級數(shù)

2.求下列冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域?yàn)?2)所以級數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=13.的收斂半徑.解:時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為4.的收斂域.解:

令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2

時(shí),級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2時(shí),級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域?yàn)楣试墧?shù)的收斂域?yàn)榧唇?

由題2可知級數(shù)的收斂半徑R＝+∞.5.則故有故得的和函數(shù).因此得設(shè)6.

的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x＝±1時(shí)級數(shù)發(fā)散,7.

求級數(shù)的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,及收斂,因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及8.解:

設(shè)則而故9.

在冪級數(shù)中,n

為奇數(shù)n

為偶數(shù)能否確定它的收斂半徑不存在?答:

不能.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)級數(shù)收斂,時(shí)級數(shù)發(fā)散,說明:

可以證明比值判別法成立根值判別法成立10.

求極限其中解:

令作冪級數(shù)設(shè)其和為易知其收斂半徑為1,則11.

將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù),其中m為任意常數(shù).解:

易求出于是得級數(shù)由于級數(shù)在開區(qū)間(－1,1)內(nèi)收斂.因此對任意常數(shù)m,推導(dǎo)則為避免研究余項(xiàng),設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為稱為二項(xiàng)展開式

.說明：(1)在x＝±1

處的收斂性與m

有關(guān).(2)當(dāng)m為正整數(shù)時(shí),級數(shù)為x

的m

次多項(xiàng)式,上式就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理.由此得對應(yīng)的二項(xiàng)展開式分別為12.

將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù).解:

因?yàn)榘褁

換成,得13.

將展成解:

的冪級數(shù).14.

將展成x－1的冪級數(shù).解:

15.將下列函數(shù)展開成x

的冪級數(shù)解:x＝

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