專題08有理數(shù)乘方及混合運(yùn)算（3大考點(diǎn)11種題型）（原卷版）

專題08有理數(shù)乘方及混合運(yùn)算（3大考點(diǎn)+11種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)與題型分類聚焦考點(diǎn)一：乘方考點(diǎn)二：有理數(shù)的混合運(yùn)算考點(diǎn)三：科學(xué)記數(shù)法題型一：有理數(shù)冪的概念理解題型二：有理數(shù)的乘方運(yùn)算題型三：有理數(shù)乘方逆運(yùn)算題型四：乘方運(yùn)算的符號規(guī)律題型五：乘方的應(yīng)用題型六：有理數(shù)四則混合運(yùn)算題型七：有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用題型八：算“24”點(diǎn)題型九：含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算題型十：用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)題型十一：將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)考點(diǎn)一：乘方（1）一般地，我們把n個(gè)相同因數(shù)a相乘，記作，即．（2）定義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方．乘方的運(yùn)算結(jié)果叫做冪，在中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．讀作a的n次方（“2次方”又可以讀作“平方”，“3次方”又可以讀作“立方”）．（3）讀法：讀作a的n次方，看作運(yùn)算結(jié)果時(shí)，讀作a的n次冪．（4）特別地：，，（n為正整數(shù)）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)．考點(diǎn)二：有理數(shù)的混合運(yùn)算（1）運(yùn)算順序：先乘方，后乘除，再加減；同級運(yùn)算從左到右；如果有括號，先算小括號，后算中括號，再算大括號．（2）去括號：括號前帶負(fù)號，去括號后括號內(nèi)各項(xiàng)要變號，即，．（3）各種運(yùn)算定律和運(yùn)算法則都適用于有理數(shù)運(yùn)算．考點(diǎn)三：科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)數(shù)寫成（其中，是正整數(shù)），這種形式的記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法．題型一：有理數(shù)冪的概念理解【例1】．（2022下·上海徐匯·六年級位育中學(xué)?？计谥校┑牡讛?shù)是．【變式1】．（2022下·上海楊浦·六年級統(tǒng)考期中）5.24中底數(shù)是，乘方結(jié)果的符號為．【變式2】．（2023下·上海寶山·六年級?？计谥校┑讛?shù)是，指數(shù)是的冪可寫成．【變式3】．（2021下·上海奉賢·六年級校考期中）2014個(gè)相乘用冪的形式可表示為．【變式4】．（2021下·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校懗沙朔降男问绞?，結(jié)果是．題型二：有理數(shù)的乘方運(yùn)算【例2】．（2021下·上海徐匯·六年級上海市西南模范中學(xué)?？计谥校咀兪?】．（2021下·上海松江·六年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．【變式2】．（2021下·上海寶山·六年級?？计谥校┯?jì)算：．【變式3】．（2021下·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校┝惺接?jì)算：的相反數(shù)與它的倒數(shù)的積的2021次冪是多少？【變式4】．（2021下·上海青浦·六年級校聯(lián)考期末）計(jì)算：．【變式5】．（2023下·上海黃浦·六年級統(tǒng)考期中）已知x、y為有理數(shù)，且，(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．題型三：有理數(shù)乘方逆運(yùn)算【例3】．（2023上·廣東汕尾·七年級?？计谥校M足等式的x的值為．【變式1】．（2023上·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習(xí)）若，則．【變式2】．（2022下·上海楊浦·七年級?？计谀┤绻粋€(gè)數(shù)的平方是，那么這個(gè)數(shù)是．【變式3】．（2023上·湖北恩施·七年級校聯(lián)考期中）若a的平方是4，則a的值是．題型四：乘方運(yùn)算的符號規(guī)律【例4】．（2023上·河南信陽·七年級統(tǒng)考期中）在，，，0中，非負(fù)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1】．（2023下·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）任何一個(gè)有理數(shù)的偶次冪必是（）A．負(fù)數(shù) B．正數(shù) C．非正數(shù) D．非負(fù)數(shù)【變式2】．（2023上·河南漯河·七年級?？茧A段練習(xí)）如果一個(gè)數(shù)的15次冪是負(fù)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)的2021次冪是．（填“正數(shù)”或“負(fù)數(shù)”）【變式3】．（2023上·河南漯河·七年級校考階段練習(xí)）當(dāng)整數(shù)為時(shí)，；若是正整數(shù)，則．【變式4】．（2023上·新疆烏魯木齊·七年級統(tǒng)考期中）已知有理數(shù)n、m滿足，則．題型五：乘方的應(yīng)用【例5】．（2023上·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期中）某種霉菌的生長速度是每天增加1倍，若經(jīng)過14天，霉菌能長滿整個(gè)缸面，請問長滿半個(gè)缸面所用的時(shí)間是（）A．10 B．11 C．12 D．13【變式1】．（2021上·廣東佛山·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將一個(gè)邊長為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分②是下部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，受此啟發(fā)，則．【變式2】．（2021下·上海楊浦·六年級?？计谀┤?，則，．【變式3】．（2022下·上海徐匯·六年級位育中學(xué)?？计谥校┤?，那么=；【變式4】．（2023上·山東淄博·六年級統(tǒng)考期中）在日常生活中，我們用十進(jìn)制來表示數(shù)，如．計(jì)算機(jī)中采用的二進(jìn)制，即只需要0和1兩個(gè)數(shù)字就可以表示數(shù)，如二進(jìn)制中的，可以表示十進(jìn)制中的10，那么二進(jìn)制中的表示十進(jìn)制中的．題型六：有理數(shù)四則混合運(yùn)算【例6】．（2021下·上海徐匯·六年級上海市西南模范中學(xué)?？计谥校咀兪?】．（2021下·上海浦東新·六年級上海中學(xué)東校?？计谥校┮阎硎緝蓚€(gè)有理數(shù)，規(guī)定一種新運(yùn)算“*”為：，那么的值為．【變式2】．（2021下·上海嘉定·六年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．【變式3】．（2021下·上海長寧·六年級上海市延安初級中學(xué)校考期中）計(jì)算：．題型七：有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【例7】．（2023下·上海靜安·六年級上海市回民中學(xué)?？计谥校┧拇蟀l(fā)明之一的黑火藥，它所用原料硝酸鉀、硫磺、木炭的重量比為．要配制這種火藥180千克，則需硫磺千克【變式1】．（2021下·上海徐匯·六年級校考期中）如圖，初次見面通常以握手示禮．我們可以用點(diǎn)來表示每個(gè)人，連接兩點(diǎn)的線段數(shù)量表示握手的次數(shù)．如果握手的人數(shù)是9，那么握手的總次數(shù)是．握手圖標(biāo)握手人數(shù)握手次數(shù)21

3346【變式2】．（2021下·上海楊浦·六年級?？计谥校┱埬憷眉訙p乘除將數(shù)字，，，連接起來使得運(yùn)算的結(jié)果為：（數(shù)字的順序由你自己來定）題型八：算“24”點(diǎn)【例8】．（2023下·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）“巧算24點(diǎn)”是一種數(shù)學(xué)游戲，游戲方式簡單易學(xué)，能健腦益智．比如給出四個(gè)數(shù)字3、8、8、9，就可用加、減、乘、除（可加括號）把這四個(gè)數(shù)算成24，而且每個(gè)數(shù)字必須用一次且只能用一次，那么算式是或者，下面給出數(shù)字1、3、4、6，請你用加減乘除列出算式，算出24，此算式是．【變式1】．（2023下·上海徐匯·六年級上海市西南位育中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對1，3，5，5四個(gè)數(shù)進(jìn)行“加、減、乘、除、乘方”混合運(yùn)算（每個(gè)數(shù)只能使用一次），其計(jì)算結(jié)果為24，請列出算式：（填一個(gè)算式即可）【變式2】．（2023下·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）樂樂有5張寫著以下數(shù)字的卡片．請你按要求抽出卡片，解決下列問題．(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相乘的積最大，求出最大值；(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相除的商最小，求出最小值；(3)從中取出4張卡片．用學(xué)過的運(yùn)算方法，使計(jì)算結(jié)果為24，請寫出一種符合要求的運(yùn)算式子．（注：每個(gè)數(shù)字只能用一次）【變式3】．（2023下·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）現(xiàn)有5張卡片寫著不同的數(shù)字，利用所學(xué)過的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算按要求解答下列問題（每張卡片上的數(shù)字只能用一次）．

(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的和最小，則和的最小值為_________．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的差最大，則差的最大值為________．(3)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最大，則商的最大值為_________．(4)從中取出3張卡片，使這3張卡片上數(shù)字的乘積最大，乘積的最大值為__________．(5)從中取出4張卡片，使這4張卡片上的數(shù)字運(yùn)算結(jié)果為24．寫出兩個(gè)不同的等式，分別為，．題型九：含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【例9】．（2021下·上海松江·六年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．【變式1】．（2021下·上海閔行·六年級上海上師初級中學(xué)校考期中）計(jì)算：.【變式2】．（2021下·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校咀兪?】．（2023下·上海·六年級專題練習(xí)）計(jì)算：．【變式4】．（2021下·上海松江·六年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．【變式5】．（2022下·上海楊浦·六年級?？计谀┯?jì)算：．【變式6】．（2021下·上海徐匯·六年級上海市西南模范中學(xué)?？计谥校┮蟮闹档扔诙嗌?，直接求非常困難，因?yàn)槭且粋€(gè)非常大的數(shù)．因此，我們可以用方程的方法來做．設(shè)，則有，即，作簡單的變形：，則．請你在理解基礎(chǔ)上，模仿上述方法求下式的值：(1)．(2)．題型十：用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)【例10】．（2021下·上?！ち昙壭？茧A段練習(xí)）青浦區(qū)第六次全國人口普查主要數(shù)據(jù)顯示，全區(qū)鎮(zhèn)街道（含青東農(nóng)場）常住人口約為萬人．人口數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．人 B．人 C．人 D．人【變式】．（2021下·上海松江·六年級?？茧A段練習(xí)）用科學(xué)記數(shù)法表示：上海的面積約為平方千米平方千米．題型十一：將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)【例11】．（2024上·河北石家莊·七年級校聯(lián)考期末）的整數(shù)位數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式1】．（2024上·河北廊坊·七年級校考階段練習(xí)）一個(gè)整數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，那么原數(shù)中“0”的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】．（2021下·上海嘉定·六年級校考期中）用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)有個(gè)整數(shù)位．一、單選題1．（2023上·甘肅定西·七年級統(tǒng)考期末）世界文化遺產(chǎn)長城總長約米，將數(shù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A． B． C． D．2．（2021下·上海松江·六年級?？茧A段練習(xí)）若，則下列結(jié)論中不成立的是（

）A． B． C． D．3．（2023上·四川宜賓·七年級?？茧A段練習(xí)）樂樂在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到了神奇的“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”，按如圖所示的程序運(yùn)算，若輸入一個(gè)有理數(shù)x，則可相應(yīng)的輸出一個(gè)結(jié)果．若輸入的值為，則輸出的結(jié)果為()A．6 B．7 C．10 D．124．（2023上·浙江寧波·七年級?？茧A段練習(xí)）在，，，，，中，是非負(fù)數(shù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2023上·遼寧撫順·七年級統(tǒng)考期末）下列各組數(shù)互為相反數(shù)的是（）A．和 B．和C．和 D．和6．（2021下·上海閔行·六年級?？计谥校?，0，，，，，中是負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題7．（2024上·河北保定·七年級校聯(lián)考期中）有個(gè)填寫運(yùn)算符號的游戲：在“”中的每個(gè)□內(nèi)，填入“”，“”，“”，“”中的某一個(gè)（可重復(fù)使用），然后計(jì)算結(jié)果，若，則□內(nèi)填寫的符號為；8．（2023上·湖北荊州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算“☆”，規(guī)則如下：．例如：，則的值為．9．（2021下·上海徐匯·六年級?？计谥校┤鐖D，數(shù)軸上表示三個(gè)數(shù)的點(diǎn)的位置，用“<”、“>”或“=”比較大小：．

10．（2021下·上海松江·六年級?？茧A段練習(xí)）若，則．11．（2023上·吉林四平·七年級統(tǒng)考期末）2023年杭州舉辦了第19屆亞運(yùn)會，杭州亞運(yùn)會售出約3050000張門票，3050000這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．12．（2023上·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算．13．（2023上·河南南陽·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）比較大小：（填“”“”或“”）14．（2023上·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末）定義一種新運(yùn)算▽：對任意有理數(shù)a、b都有，如，則．15．（2023下·上海松江·六年級統(tǒng)考期中）根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算，若輸入x的值為，則輸出y的值為．

16．（2022下·上海楊浦·六年級?？计谀┮阎?、表示兩個(gè)有理數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“”為：（其中為有理數(shù)），如果，那么的值為．三、解答題17．（2021下·上?！ち昙壭？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．18．（2021下·上?！ち昙壭？计谥校┯?jì)算：．19．（2023上·湖南長沙·七年級雨花外國語學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．20．（2021下·上海寶山·六年級統(tǒng)考期中）計(jì)算：．21．（2021下·上海·六年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．22．（2023上·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期中）我們的家鄉(xiāng)——臨沂，大力實(shí)施公交優(yōu)先發(fā)展戰(zhàn)略，逐步建立以公共汽車為主體的公共交通運(yùn)輸系統(tǒng)，年全市實(shí)現(xiàn)公交客運(yùn)量約萬人次．為鼓勵(lì)市民綠色出行，更多地選擇乘坐公交，經(jīng)市委、市政府研究決定，實(shí)施國家法定節(jié)假日及雙休日在臨