高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練48利用空間向量研究距離問題

四十八利用空間向量研究距離問題(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)已知平面α的一個法向量為n=-1,-2,2,點(diǎn)A0,1,0為α內(nèi)一點(diǎn),A.4 B.3 C.2 D.1【解析】選D.因?yàn)锳P=1,-1,1,n=-1,-2,2,所以AP則點(diǎn)P到平面α的距離d=AP·n2.(5分)如圖是一棱長為1的正方體,則異面直線A1B與B1D1之間的距離為 ()A.3 B.33 C.12 【解析】選B.分別以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則D1B1=(1,1,0),設(shè)n=(x,y,z)與D1B1和則D1B1·取n=(1,1,1),又因?yàn)镈1A所以異面直線D1B1和A1B間的距離為d=|D1A1·3.(5分)如圖,已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,O為正方形ADD1A1的中心,若P為平面OD1B內(nèi)的一個動點(diǎn),則P到直線A1B1的距離的最小值為 ()A.22B.12C.64【解析】選A.如圖,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則有B(1,1,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B1(1,1,1),因?yàn)镺為正方形ADD1A1的中心,得O(12,0,1A1B1=(0,1,0),OB=(12,1,1設(shè)平面OBD1的法向量為n=(x,y,z),利用OB·n=0D取x=1,解得n=(1,0,1),有A1B1·n=0,且A1B1?平面OD1B,則直線A1B1∥平面OD設(shè)直線A1B1到平面OD1B的距離為d,取直線上一點(diǎn)B1,與平面OD1B上一點(diǎn)B,則BB1利用空間中點(diǎn)面距離公式有d=BB1·4.(5分)如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,點(diǎn)P是線段AA1的中點(diǎn),點(diǎn)Q是線段DB1上的動點(diǎn)(包括端點(diǎn)),則PQ的最小值為 ()A.12B.22C.3【解析】選B.分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:則點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為λ,則PQ=(=3λ2-3λ當(dāng)且僅當(dāng)λ=12時,不等式取等號即PQ的最小值為225.(5分)如圖,在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中,P為A1D1的中點(diǎn),Q為A1B1上任意一點(diǎn),E,F為CD上兩個動點(diǎn),且EF的長為定值,則點(diǎn)Q到平面PEF的距離 ()A.等于55B.和EF的長度有關(guān)C.等于23D.和點(diǎn)Q的位置有關(guān)【解析】選A.取B1C1的中點(diǎn)G,連接PG,CG,DP,則PG∥CD,所以點(diǎn)Q到平面PEF的距離即點(diǎn)Q到平面PGCD的距離,與EF的長度無關(guān),B錯.又A1B1∥平面PGCD,所以點(diǎn)A1到平面PGCD的距離即點(diǎn)Q到平面PGCD的距離,即點(diǎn)Q到平面PEF的距離,與點(diǎn)Q的位置無關(guān),D錯.如圖,以點(diǎn)D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P(a2,0,a),所以DC=(0,a,0),DA1=(a,0,a),DP設(shè)n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,則由n·DP令z=1,則x=2,y=0,所以n=(2,0,1)是平面PGCD的一個法向量.設(shè)點(diǎn)Q到平面PEF的距離為d,則d=DA1·nn=-2a6.(5分)(多選題)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,P是棱AB上一動點(diǎn),則P到平面A1C1D的距離可能是 ()A.33 B.3 C.423 【解析】選BC.如圖,以D1為坐標(biāo)原點(diǎn),以D1A1,D1C1,D1D的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(2,0,0),B(2,2,2),P(2,λ故A1C1=(2,2,0),設(shè)平面A1C1D的法向量n=(x,y,z),由n·取x=1,則n=(1,1,1)為平面A1C1D的一個法向量,A1P=(0,所以P到平面A1C1D的距離d=A1P·因?yàn)?≤λ≤2,所以d∈233,433,而22247.(5分)如圖,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,平面AB1C與平面A1C1D的距離d是 ()A.36 B.33 C.233 【解析】選B.如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,連接BD1,BD,BD交AC于點(diǎn)E,則B(1,1,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),E(12,12因?yàn)镈D1⊥AC,AC⊥BD,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面D1DB,所以BD1⊥AC.同理可證BD1⊥AB1.因?yàn)锳C∩AB1=A,所以BD1⊥平面AB1C,即BD1是平面AB1C因?yàn)槠矫鍭B1C∥平面A1C1D,所以點(diǎn)D到平面AB1C的距離即為兩平面之間的距離.因?yàn)镈E=12,12,所以d=|DE·BD18.(5分)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,AB=2,CC1=22,E為B1C1的中點(diǎn),F為C1D1的中點(diǎn),則直線BD與EF之間的距離為________.

【解析】以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),B(2,2,0),E(1,2,22),F(0,1,22),所以DF=(0,1,22),EF=(1,1,0),DB=(2,2,0).因?yàn)镋F=12DB,所以EF∥DB,所以直線BD與EF之間的距離d即為點(diǎn)D到直線EF設(shè)<DF,EF>=θ,則cosθ=DF·EF|所以sinθ=346所以所求距離為d=|DF|sinθ=3×346=34答案:349.(10分)如圖,△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=23,求點(diǎn)A到平面MBC的距離.【解析】如圖,取CD的中點(diǎn)O,連接OB,OM,因?yàn)椤鰾CD與△MCD均為正三角形,所以O(shè)B⊥CD,OM⊥CD,又平面MCD⊥平面BCD,平面MCD∩平面BCD=CD,OM?平面MCD,所以MO⊥平面BCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OC,BO,OM分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)椤鰾CD與△MCD都是邊長為2的正三角形,所以O(shè)B=OM=3,則O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,3),B(0,3,0),A(0,3,23),所以BC=(1,3,0),BM=(0,3,3).設(shè)平面MBC的法向量為n=(x,y,z),由n⊥BCn⊥即x+取x=3,可得平面MBC的一個法向量為n=(3,1,1).又BA=(0,0,23),所以所求距離為d=|BA·n【能力提升練】10.(5分)(多選題)如圖所示,三棱錐SABC中,△ABC為等邊三角形,SA⊥平面ABC,SA=3,AB=2.點(diǎn)D在線段SC上,且SD=13SC,點(diǎn)E為線段SB的中點(diǎn),以線段BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB所在直線分別為x,y軸,過點(diǎn)O作SA的平行線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則下列說法正確的是 (A.直線CE的一個方向向量為1B.點(diǎn)D到直線CE的距離為8C.平面ACE的一個法向量為3D.點(diǎn)D到平面ACE的距離為1【解析】選ABD.依題意,S(3,0,3),A(3,0,0),B(0,1,0),C0,-1,0,E(32因?yàn)镾D=13SC,則D(233則CE=(32,32,因?yàn)镃E=3(12,32,32),故CD=(233,23,2),AC=(3,1,0),AE=(32,12,32),故點(diǎn)D到直線CE的距離d=CD2設(shè)n=(x,y,z)為平面ACE的法向量,則AC·n=0AE令y=3,則n=(3,3,2)為平面ACE的一個法向量,故C錯誤;而CD=(233,23,2),故點(diǎn)D到平面ACE的距離d1=CD·n11.(5分)如圖,P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),PA⊥平面ABCD,若已知AB=3,AD=4,PA=1,則點(diǎn)P到BD的距離為________.

【解析】如圖,分別以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),所以PB=(3,0,1),BD=(3,4,0).設(shè)<PB,BD>=φ,所以cosφ=BD·PB|所以sinφ=1310所以點(diǎn)P到BD的距離d=|PB|·sinφ=135答案:1312.(5分)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為4,M,N,E,F分別為A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中點(diǎn),則平面AMN與平面EFBD之間的距離為______.

【解析】以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),從而EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(2,0,4),BF=(2,0,4),所以EF=MN,AM=BF,所以EF∥MN,AM∥BF,所以平面AMN∥平面EFBD.設(shè)n=(x,y,z)是平面EFBD的一個法向量,從而n·解得x=2取z=1,得n=(2,2,1).因?yàn)锳B=(0,4,0),所以點(diǎn)A到平面EFBD的距離為|n·AB||n|=83答案:813.(10分)如圖,邊長為2的等邊△ABC所在平面與菱形A1ACC1所在平面互相垂直,A1C=3AC1,M為線段AC的中點(diǎn).(1)求證:平面BMC1⊥平面A1BC1;【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1為菱形,所以A1C⊥AC1.又因?yàn)锳1C=3AC1,所以∠ACC1=60°,即△ACC1為等邊三角形.因?yàn)锳C1=CC1,M為線段AC的中點(diǎn),所以AC⊥C1M.因?yàn)锳B=BC,M為線段AC的中點(diǎn),所以AC⊥BM.又因?yàn)镃1M∩BM=M,所以AC⊥平面BMC1.又因?yàn)锳C∥A1C1,所以A1C1⊥平面BMC1.又A1C1?平面A1BC1,所以平面BMC1⊥平面A1BC1.13.(10分)如圖,邊長為2的等邊△ABC所在平面與菱形A1ACC1所在平面互相垂直,A1C=3AC1,M為線段AC的中點(diǎn).(2)求點(diǎn)C到平面A1BC1的距離.【解析】(2)因?yàn)槠矫鍭1ACC1⊥平面ABC,交線是AC,且C1M⊥AC,所以C1M⊥平面ABC.以M為原點(diǎn),MB,MC,MC1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:C(0,1,0),B(3,0,0),C1(0,0,3),A1(0,2,3),則A1C1=(0,2,0),BC1=(3,0,3),設(shè)平面A1BC1的法向量為n=(x,y,z),則n·令x=1,則n=(1,0,1),所以點(diǎn)C到平面A1BC1的距離d=|CC1·n14.(10分)如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,M,N分別是BB1,B1C1的中點(diǎn).(1)求直線MN到平面ACD1的距離;【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則知點(diǎn)A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,1,0),M(1,1,12),N(1所以AD1=(1,0,1),MN=(12所以MN=12因?yàn)橹本€MN與AD1不重合,所以MN∥AD1.又因?yàn)镸N?平面ACD1,AD1?平面ACD1,所以MN∥平面ACD1.故直線MN到平面ACD1的距離等于點(diǎn)M到平面ACD1的距離.AC=(1,1,0),AD1=(設(shè)平面ACD1的一個法向量為m=(x,y,z),所以m·AD1令x=1,得y=z=1,所以m=(1,1,1).因?yàn)锳M=0,所以|AM|=1+14=52.而|m所以點(diǎn)M到平面ACD1的距離為|m·AM||m|=1+123=14.(10分)如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,M,N分別是BB1,B1C1的中點(diǎn).(2)若G是A1B1的中點(diǎn),求平面MNG與平面ACD1的距離.【解析】(2)連接A1C1,因?yàn)镚,N分別為A1B1,B1C1的中點(diǎn),所以GN∥A1C1.又因?yàn)锳1C1∥AC,所以GN∥AC.因?yàn)镚N?平面ACD1,AC?平面ACD1,所以GN∥平面ACD1.同理可得MN∥平面ACD1.因?yàn)镸N∩GN=N,MN,GN?平面MNG,所以平面MNG∥平面ACD1,所以平面MNG與平面ACD1的距離即為直線MN到平面ACD1的距離,由(1)知兩平面間的距離為32【加練備選】如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,各棱長均為4,N是CC1的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)N到直線AB的距離;【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,0),C1(0,4,4),因?yàn)镹是CC1的中點(diǎn),所以N(0,4,2).(1)AN=(0,4,2),AB=(23,2,0),則|AN|=25,|AB|=4.設(shè)點(diǎn)N到直線AB的距離為d1,則d1=|AN|2-如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,各棱長均為4,N是CC1的中點(diǎn).(2)求點(diǎn)C1到平面ABN的距離.【解析】(2)設(shè)平面ABN的法向量為n=(x,y,z),則由n⊥AB,n⊥AN,得n·令z=2,則y=1,x=33即n=33易知C1N=(設(shè)點(diǎn)C1到平面ABN的距離為d2,則d2=|C1N·n【素養(yǎng)創(chuàng)新練】15.(5分)如圖,已知正方體ABCDA1B1C1D1棱長為3,點(diǎn)H在棱AA1上,且HA1=1,在側(cè)面BCC1B1內(nèi)作邊長為1的正方形EFGC1,P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一動點(diǎn),且點(diǎn)P到平面CDD1C1的距離等于線段PF