寒假作業(yè)09角度及其運(yùn)算-2024年七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：30min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)09角度及其運(yùn)算1.角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點(diǎn)叫做這個(gè)角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做這個(gè)角的邊．或：角也可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的．2.平角和周角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角．終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時(shí)，所形成的角叫做周角．3.角的表示：①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如∠1，∠2，∠3等．②用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等．③用一個(gè)大寫英文字母表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如∠B，∠C等．④用三個(gè)大寫英文字母表示任一個(gè)角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等．注意：用三個(gè)大寫英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)．4.用一副三角板，可以畫出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°的角.5.角的度量角的度量有如下規(guī)定：把一個(gè)平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”．把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“”．把的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“”．即1°=，=.6.角的性質(zhì)①角的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān).②角的大小可以度量，可以比較.③角可以參與運(yùn)算.7.角的平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線．8.余角和補(bǔ)角①如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這兩個(gè)角叫做互為余角，簡(jiǎn)稱互余，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．用數(shù)學(xué)語言表示為如果∠α+∠β=90°，那么∠α與∠β互余；反過來，如果∠α與∠β互余，那么∠α+∠β=90°.②如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．用數(shù)學(xué)語言表示為如果∠α+∠β=180°，那么∠α與∠β互補(bǔ)；反過來，如果∠α與∠β互補(bǔ)，那么∠α+∠β=180°.③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等．9.對(duì)頂角①一對(duì)角，如果它們的頂點(diǎn)重合，兩條邊互為反向延長(zhǎng)線，我們把這樣的兩個(gè)角叫做互為對(duì)頂角，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的對(duì)頂角．注意：對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，它們有公共的頂點(diǎn)；只有兩條直線相交時(shí)才能形成對(duì)頂角．②對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等1．下列說法中正確的是（

）A．平角就是一條直線 B．小于平角的角是鈍角C．平角的兩條邊在同一條直線上 D．周角的終邊與始邊重合，所以周角的度數(shù)是【答案】C【解析】A、一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)半周后，兩條射線剛好在一條直線上，這個(gè)角就是平角，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、小于平角的角是鈍角或直角或銳角，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、平角的兩條邊在同一條直線上，選項(xiàng)說法正確，符合題意；D、周角的終邊與始邊重合，所以周角的度數(shù)是，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意.故選C.2．下列圖形中，能用和表示同一個(gè)角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】A、因?yàn)轫旤c(diǎn)O處只有一個(gè)角，所以這個(gè)角能用和表示，符合題意；B、因?yàn)轫旤c(diǎn)O處不止一個(gè)角，所以這里的所有角均不能用表示，不符合題意；C、因?yàn)轫旤c(diǎn)O處不止一個(gè)角，所以這里的所有角均不能用表示，不符合題意；D、因?yàn)轫旤c(diǎn)O處不止一個(gè)角，所以這里的所有角均不能用表示，不符合題意.故選A．3．下列各角中，是鈍角的是（

）A．周角 B．平角 C．2銳角 D．直角【答案】B【解析】A、周角，是直角，故此選項(xiàng)不符合題意；B、平角，是鈍角，故此選項(xiàng)符合題意；C、∵銳角，∴當(dāng)銳角時(shí)，2銳角，2銳角是銳角；當(dāng)銳角時(shí)，2銳角，2銳角是直角；當(dāng)銳角時(shí)，2銳角，2銳角是鈍角.故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵直角，是銳角，故此選項(xiàng)不符合題意.故選B．4．等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故選C．5．如圖，一副三角尺按不同的位置擺放，擺放位置中的圖形個(gè)數(shù)是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根據(jù)直角三角板每個(gè)角的度數(shù)，可以判斷出圖①中，由同角的余角相等可得圖②中，由等角的補(bǔ)角相等可得圖③中，在圖④中，不相等，因此的圖形是①②③，共3個(gè)．故選C．6．若，則的補(bǔ)角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴的補(bǔ)角為．故選C．7．如圖，在燈塔O處觀測(cè)到輪船A位于北偏西的方向，同時(shí)輪船B在南偏東的方向，那么．

【答案】/141度【解析】如圖：

∵A在北偏西，∴，∴，∵B在南偏東，∴，∴．故答案為：．8．如圖，是直角，平分，平分，，則的度數(shù)為．【答案】【解析】平分，，，是直角，．又平分，，．故答案為：．9．計(jì)算：（1）；（2）；（3）：（4）．【答案】【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．故答案為：，，，．10．將一副三角尺疊放在一起．(1)如下圖，若，求的度數(shù)；(2)如下圖，若，求的度數(shù)．

【解析】（1）解：，，，；（2）設(shè)，則，，，∴，∴，∴，即，∴．11．甲從點(diǎn)出發(fā)，沿北偏西走了米到達(dá)點(diǎn)，乙從點(diǎn)出發(fā)，沿南偏東方向走了米到達(dá)點(diǎn)，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，

甲從點(diǎn)出發(fā)，沿北偏西走了米到達(dá)點(diǎn)，乙從點(diǎn)出發(fā)，沿南偏東方向走了米到達(dá)點(diǎn)，，，．故選C．12．實(shí)驗(yàn)中學(xué)上午時(shí)通常準(zhǔn)時(shí)上第三節(jié)課，此時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】時(shí)鐘上每一大格是，∵時(shí)時(shí)針與分針之間有四個(gè)大格，且此時(shí)時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，∴此時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角是，故選C．13．如圖，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，平分，則以下結(jié)論：①與互為余角；②；③；④若，則．其中正確的是（

）

A．只有①④ B．只有①③④C．只有③④ D．①②③④【答案】B【解析】∵，∴，∴與互為余角，故①正確．∵平分，∴，但無法推斷得到，故②錯(cuò)誤．∵平分，∴，∴，∵，∴，故③正確．∵，∴．∵平分，∴，故④正確．綜上：正確的有①③④．故選B．14．已知三條射線、、，若其中一條射線平分另兩條射線所組成的角時(shí)，我們稱、、組成的圖形為“角分圖形”．如圖（1），當(dāng)平分時(shí)，圖（1）為角分圖形．如圖（2），點(diǎn)O是直線上一點(diǎn)，，射線繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，設(shè)時(shí)間為s，當(dāng)t為何值時(shí)，圖中存在角分圖形．小明認(rèn)為，小亮認(rèn)為，你認(rèn)為正確的答案為（

）

A．小明 B．小亮 C．兩人合在一起才正確 D．兩人合在一起也不正確【答案】D【解析】∵，∴，當(dāng)平分時(shí)，，∵，∴，解得：，當(dāng)平分時(shí)，，∴，解得：，當(dāng)平分時(shí)，，∴，解得：，當(dāng)平分時(shí)，，∴，解得：．綜上：的值為：，，，.故選D．15．如圖，直線，交于點(diǎn)，射線平分，若，則等于．【答案】/156度【解析】根據(jù)對(duì)頂角相等，得：，射線平分，，，，故答案為：．16．如圖，若是直線上一點(diǎn)，，，則．【答案】/80度【解析】，，，，且，．故答案為：．17．有一題目：“已知，，平分，求的度數(shù)．”嘉嘉的解答過程為：如圖，，．而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，還應(yīng)有另一個(gè)不同的值．”

甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)嘉嘉和淇淇的評(píng)論如下：甲：淇淇說的對(duì)，且的另一個(gè)值是．

乙：淇淇說的不對(duì)，就是．丙：嘉嘉求的結(jié)果不對(duì)，應(yīng)得．?。簝扇硕疾粚?duì)，應(yīng)有3個(gè)不同的值．那么你認(rèn)為的值有個(gè)，度數(shù)為．【答案】?jī)苫颉窘馕觥咳鐖D，當(dāng)在外部時(shí)，

由，平分得到，，又，∴；當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，由，平分得到，，又，∴，故答案為：兩；或．18．在同一平面內(nèi)，，與互余，則為．【答案】90或40【解析】分兩種情況：當(dāng)在和之間時(shí)，如圖：

與互余，；當(dāng)在和之間時(shí)，如圖：

與互余，，，.綜上可知，為或，故答案為：90或40．19．已知一個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角的余角的4倍，求這個(gè)角的度數(shù)．【解析】設(shè)這個(gè)角為度，則它的補(bǔ)角為,余角為，由題意得：，解得．答：這個(gè)角的度數(shù)為．20．如圖，已知射線在的外部，，，平分，平分．求的度數(shù)．【解析】因?yàn)?，，所?因?yàn)槠椒郑椒?，所以，．所以?1．如圖，為直線，是的平分線，在內(nèi)，，，求．

【解析】，設(shè)，則，，是的平分線，，，，，解得：，，，．22．如圖，O是直線上一點(diǎn)，OD平分，．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，則______（用含的代數(shù)式表示）．【解析】（1）是直線上一點(diǎn)，，，，平分，，，，；（2）是直線上一點(diǎn)，，，，平分，，，，．故答案為：．23．如圖，一漁船在海上點(diǎn)開始繞點(diǎn)航行，開始時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東，然后繞點(diǎn)航行到，測(cè)得，繼續(xù)繞行，最后到達(dá)點(diǎn)且．(1)求的度數(shù)；(2)說明該漁船最后到達(dá)的點(diǎn)在點(diǎn)的什么方向？【解析】（1）∵開始時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東，∴，，∴∴．（2）解：∵，∴，∴點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西的方向．24．直線、相交于點(diǎn)O，平分．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若平分，，求的度數(shù)．【解析】（1）平分，，；（2）設(shè)，平分，，平分，，由題意得，，解得，，．25．如圖，.

(1)直接寫出圖中一組相等的銳角；(2)設(shè)，，求與之間的關(guān)系式；(3)請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中，僅利用三角板畫出，使.（不寫作法，保留作圖痕跡）【解析】（1）解：，，，；（2）解：設(shè)，，則，，，；（3）解：如圖所示，即為所求．，，，．

26．如圖，點(diǎn)為線段外一點(diǎn)，，，，為上任意四點(diǎn)，連接OA，，，，，OD，下列結(jié)論：①以為頂點(diǎn)的角有15個(gè)；②若平分，平分，，則；③若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則；④若，，則．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】∵以O(shè)為頂點(diǎn)的角的邊有6條，∴角的個(gè)數(shù)為：，①正確；，設(shè)，則，，平分，平分，，，，②正確；為中點(diǎn)，N為中點(diǎn)，，，，③正確；，，，，，得不出，④錯(cuò)誤.故選C．27．如圖，點(diǎn)在直線上，，，將繞點(diǎn)以每秒的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周（如圖），當(dāng)旋轉(zhuǎn)到第秒時(shí)，所在的直線平分，則的值為．

【答案】或秒【解析】∵，∴，∵，∴，如圖，當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到時(shí)，

∵平分，∴，則逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了，∴，如圖，當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到時(shí)，

由得：，，∴，∴，則逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了，∴，綜上可知：的值為或秒，故答案為：或秒．28．已知：如圖，在的內(nèi)部，平分，平分．(1)當(dāng)時(shí)，___________；(2)當(dāng)時(shí)，___________；(3)當(dāng)時(shí)，___________；(4)猜想：不論和的度數(shù)是多少，的度數(shù)總等于________的度數(shù)的一半．【答案】(1)45(2)40(3)40(4)【解析】（1）解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：45；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：40；（3）解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：40；（4）解：由以上（1）（2）（3）得出結(jié)論，即不論和的度數(shù)是多少，的度數(shù)總等于的度數(shù)的一半．故答案為：．29．如圖1，已知長(zhǎng)方形的紙片．操作1：如圖2，把紙片沿折疊，使落在邊上，則______；操作2：如圖3，把紙片沿、折疊，使、的對(duì)應(yīng)邊、重合，求的度數(shù)：操作3：如圖4，把紙片沿、折疊，使、的對(duì)應(yīng)邊、重合，求的度數(shù)．【解析】（1）由折疊知，由題意得：，；故答案為：；（2）由折疊可知：，，，，，，；（3）由折疊知：，，，，．30．如圖，是內(nèi)部的一條射線，是內(nèi)部的一條射線，是內(nèi)部的一條射線．(1)如圖1，若，，、分別是、的平分線，求的度數(shù)；(2)如圖2，若平分，且，，則和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【解析】（1）解：，，、分別是、的平分線，，，；（2）解：，理由如下，，設(shè)，則，設(shè)，平分，，，，，解得：，則，．31．熟悉又陌生的三角尺．

(1)如圖1，將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)疊放在一起，．①若，則______；若，則_______；②猜想與的數(shù)量關(guān)系并驗(yàn)證．(2)如圖2，兩個(gè)同樣的直角三角尺的銳角的頂點(diǎn)重合在一起，則與的數(shù)量關(guān)系為_______；(3)已知，（都是銳角），如圖3，若把它們的頂點(diǎn)重合在一起，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【解析】（1）①∵∴∵∴∵∴∵∴故答案為：，；②猜想得（或與互補(bǔ)）.理由：∵∴∴.故答案為：.（2）.理由如下：由于，故；故答案為：.（3）。理由：∵∴，即，∴．故答案為：.32．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）下圖中用量角器測(cè)得的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，可得，故選C．33．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）若，則的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．1