江西省景德鎮(zhèn)市一中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題

2023~2024年景德鎮(zhèn)一中高二年級(jí)第二學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.等差數(shù)列中，，則的值為（）A.5 B.10 C.14 D.35【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【詳解】解：，解得，故選：B2.記事件A為“拋一枚硬幣正面向上”，事件B為“擲一顆骰子點(diǎn)數(shù)為6”，則條件概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率公式求，再利用條件概率公式求.【詳解】因事件A為“拋一枚硬幣正面向上”，事件B為“擲一顆骰子點(diǎn)數(shù)為6”，所以，，因?yàn)槭录?dú)立，所以，所以，故選：B.3.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則為（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求的概率，再求可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布，又，所以，故所以，故選：D.4.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則公比q為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】先將表達(dá)為等比數(shù)列的片段和的形式，求公比即可.【詳解】.故選：A.5.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則的值為（）A.20 B.25 C.30 D.35【答案】C【解析】【分析】分別將代入公式，解得，進(jìn)而得出的表達(dá)式，求出即可.【詳解】分別將代入，得：，，即，，兩式相減得：，解得：，故，故選：C.6.先后投擲兩個(gè)完全相同的骰子，已知兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為10，則第一個(gè)骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為5的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用列舉法，分別求和，結(jié)合條件概率運(yùn)算求解.【詳解】記“兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為10”為事件A，“第一個(gè)骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為5”為事件B，事件A包含，共有個(gè)基本事件，即，事件包含，共有1個(gè)基本事件，即，所以所求概率為.故選：C.7.給定兩個(gè)隨機(jī)變量和的5組數(shù)據(jù)如下表所示，利用最小二乘法得到關(guān)于的線性回歸方程為，則表中值為（）

123452478A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】求變量平均值，結(jié)合回歸方程的性質(zhì)可得.【詳解】由已知，，因?yàn)辄c(diǎn)在回歸直線上，所以，所以，故選：B.8.記集合中元素的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則為（）A.15 B.20 C.47 D.52【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定信息求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法求出即可得解.【詳解】依題意，，因此，所以.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為r，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，X和Y具有正線性相關(guān)性 B.隨著r值減小，X和Y相關(guān)性也減小C.當(dāng)時(shí)，X和Y不具有相關(guān)性 D.當(dāng)時(shí)，X和Y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的含義，可得當(dāng)時(shí)，X和Y具有正線性相關(guān)性；當(dāng)時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系；故選項(xiàng)A正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，隨著r值減小，越接近1，X和Y的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)知，當(dāng)時(shí)，X和Y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，故D正確.故選：AD10.已知某曲線方程為，其中a，，a與b可以相等，則下列說法正確的是（）A.該曲線為圓的概率為 B.該曲線為橢圓的概率為C.該曲線為雙曲線的概率為 D.該曲線為拋物線的概率為【答案】BC【解析】【分析】列表確定所有可能曲線的形狀，結(jié)合古典概型概率公式判斷各選項(xiàng).【詳解】所有可能得曲線方程對(duì)應(yīng)的曲線形狀列表如下：ba－112－1雙曲線雙曲線1雙曲線圓橢圓2雙曲線橢圓圓所以該曲線為圓的概率為，A錯(cuò)誤，該曲線為橢圓的概率為，B正確，該曲線為雙曲線的概率為，C正確，該曲線為拋物線的概率為，D錯(cuò)誤，故選：BC.11.袋中有除顏色外完全相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中每次抽取一個(gè)球，抽后不放回、直到取出所有的白球，則下列說法正確的是（）A.抽取次數(shù)為兩次的概率為 B.抽取次數(shù)為三次的概率為C.抽取次數(shù)為四次的概率為 D.抽取次數(shù)為五次的概率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率求解方法可得答案.【詳解】抽取次數(shù)為兩次說明前兩次都是抽取的白球，概率為；抽取次數(shù)為三次說明前兩次中抽取了一個(gè)白球，第三次抽取了一個(gè)白球，概率為；抽取次數(shù)為四次說明前三次中抽取了一個(gè)白球，第四次抽取了一個(gè)白球，概率為；抽取次數(shù)為五次說明前四次中抽取了一個(gè)白球，第五次抽取了一個(gè)白球，概率為；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．【答案】【解析】【分析】由條件取，可求，結(jié)合關(guān)系，求，由此可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，,又，所以；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋矟M足關(guān)系，所以.故答案為：.13.若隨機(jī)變量，則其方差______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布列的方差公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：14.數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為______．【答案】【解析】【分析】首先，利用遞推求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.【詳解】由；當(dāng)時(shí)，；顯然，對(duì)于時(shí)也成立；所以，；又，故.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.新高考“”模式最大的特點(diǎn)就是取消了文理分科，除語文、數(shù)學(xué)、外語3門必考科目外，從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6門中自主選擇3門作為選考科目，為了了解學(xué)生對(duì)全文（政治、歷史、地理）的選擇是否與性別有關(guān)，某學(xué)校從高一年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取男、女生各25人進(jìn)行模擬選科．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，選擇全文的男生有10人，在隨機(jī)抽取的50人中選擇全文的比不選全文的多10人．（1）請(qǐng)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為選擇全文與性別有關(guān)；選擇全文不選擇全文總計(jì)男生女生總計(jì)（2）將樣本的頻率視作概率，估計(jì)在高一年級(jí)全體女生中隨機(jī)抽取兩人，恰好一人選擇全文的概率．附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參公式：，其中【答案】（1）表格見解析，有關(guān)（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對(duì)比分析；（2）由題意可知：選擇全文的概率為，利用獨(dú)立重復(fù)性概率問題分析求解.【小問1詳解】據(jù)題意可知

選擇全文不選擇全文總計(jì)男生101525女生20525總計(jì)302050則因此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為選擇全文與性別有關(guān).【小問2詳解】用樣本的頻率視作概率，則高一年級(jí)女生選擇全文的概率為，抽到兩人中恰好一人選擇全文的概率為.16.已知公差大于0的等差數(shù)列和公比大于0的等比數(shù)列滿足，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算求得公比、公差即可得解；（2）由錯(cuò)位相減法以及等比數(shù)列求和公式即可得解.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，則，由①式平方除②式得：，得（舍）或，所以通項(xiàng)公式分別為.【小問2詳解】記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，，兩式相減可得，故：.17.某省2023年開始將全面實(shí)施新高考方案．在6門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計(jì)分：思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為A、B，C，D，E共5個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為15%、35%、35%、13%和2%，并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分．該省部分學(xué)校聯(lián)合組織了一次高二年級(jí)統(tǒng)一考試，并對(duì)思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目的原始分進(jìn)行了等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分．（1）其中一所學(xué)校某班生物學(xué)科獲得A等級(jí)的共有10名學(xué)生，其原始分及轉(zhuǎn)換賦分如表：原始分97959190898785848483賦分99979595949291909090現(xiàn)從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中生物的賦分不低于95分的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望：（2）假設(shè)此次高二學(xué)生生物學(xué)科原始分Y近似服從正態(tài)分布．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名高二學(xué)生的此次生物學(xué)科的原始分，后經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)其中有一名學(xué)生舞弊，剔除掉這名學(xué)生成績后，記ξ為其他被抽到的原始分不低于80分的學(xué)生人數(shù)，預(yù)測(cè)當(dāng)取得最大值時(shí)k的值．附，若，則，．【答案】（1）分布列見解析，；（2）或16【解析】【分析】（1）X服從超幾何分布，由超幾何分布的概率公式即可求得分布列以及數(shù)學(xué)期望；（2）由正態(tài)分布性質(zhì)得，再由二項(xiàng)分布結(jié)合已知列出不等式組即可得解.【小問1詳解】據(jù)題意可知：X服從參數(shù)為10，4，3的超幾何分布，因此，則，，，，所以X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望為.【小問2詳解】據(jù)題意可知，那么有，要使取最大值，只需，得：且，故：當(dāng)或16時(shí)，取得最大值.18.近年來，共享單車進(jìn)駐城市，綠色出行引領(lǐng)時(shí)尚．某公司計(jì)劃對(duì)未開通共享單車的A縣城進(jìn)行車輛投放，為了確定車輛投放量，對(duì)過去在其他縣城的投放量情況以及年使用人次進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到了投放量x（單位；千輛）與年使用人次y（單位：千次）的數(shù)據(jù)如下表所示，根據(jù)數(shù)據(jù)繪制投放量x與年使用人次y的散點(diǎn)圖如圖所示．x1234567y516283864108196擬用模型①或模型②對(duì)兩個(gè)變量關(guān)系進(jìn)行擬合，令，可得，，，，，變量y與t的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，．（1）根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中y關(guān)于x的回歸方程；（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）（2）計(jì)算并比較兩種模型的相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位），求哪種模型預(yù)測(cè)值精度更高、更可靠；（3）已知每輛單車的購入成本為200元，年調(diào)度費(fèi)以及維修等的使用成本為每人次0.2元，按用戶每使用一次，收費(fèi)1元計(jì)算，若投入8000輛單車，利用（2）中更可靠的模型，預(yù)測(cè)幾年后開始實(shí)現(xiàn)盈利．（結(jié)果保留整數(shù)）附，樣本點(diǎn)的線性回歸方程最小二乘估計(jì)公式為，，相關(guān)系數(shù)參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）（2）0.910；0.972；模型②預(yù)測(cè)值精度更高、更可靠；（3）6年.【解析】【分析】（1）由，利用給定的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求解；（2）由分別求得模型①和模型②的相關(guān)系數(shù)比較求解；（3）易得時(shí)，，再由n年后的利潤為求解.【小問1詳解】據(jù)題意可知，，，，，故：模型②中y關(guān)于x的回歸方程為；【小問2詳解】因?yàn)榍?，所以模型①的相關(guān)系數(shù)，模型②的相關(guān)系數(shù)，因此，模型②預(yù)測(cè)值精度更高、更可靠；【小問3詳解】設(shè)預(yù)計(jì)n年后開始盈利，將代入中，得，n年后的利潤為，要使，只需，且故：預(yù)測(cè)6年后開始實(shí)現(xiàn)盈利.19.已知數(shù)列滿足，，且，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）已知對(duì)于恒成立．求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析