4不定積分的基本知識

第四章不定積分求原來那個函數(shù)的問題.已知某曲線的切線斜率為2x,

本章研究微分運算的逆運算已會求已知函數(shù)的導數(shù)和微分的運算.解決相反的問題,就是已知函數(shù)的導數(shù)或微分,例如某質(zhì)點作直線運動,已知運動速度函數(shù)

求路程函數(shù).常要求此曲線的方程.1.2.不定積分.

1第一節(jié)不定積分的基本知識原函數(shù)與不定積分的概念基本積分公式不定積分的性質(zhì)小結(jié)思考題

indefiniteintegral第四章不定積分2一、原函數(shù)與不定積分的概念幾何問題解例1設曲線方程上任一點的切線斜率都等于切點處橫坐標的兩倍,求曲線的方程.設曲線方程為滿足此條件的函數(shù)有無窮多個,如等都是.一般,所求曲線方程為C為任意常數(shù).不定積分的基本知識3定義1例1.原函數(shù)如果在區(qū)間I上,則稱或原函數(shù).一個或由知是原函數(shù).也是的原函數(shù),其中為任意常數(shù).不定積分的基本知識4問:?原函數(shù)存在問題則在該區(qū)間上存在可導函數(shù)即,連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).以后談到函數(shù)的原函數(shù)時,總是對其連續(xù)區(qū)間而言.不定積分的基本知識5如,問:否!問:是否有其他類型的原函數(shù)?否!不定積分的基本知識6一般,的原函數(shù)(C為任意常數(shù)).因一個函數(shù)如果有原函數(shù),就有無窮多個.在區(qū)間I上的一個在區(qū)間I上的任一原函數(shù)都其中C為某一常數(shù).則定理定理表明:的一整族函數(shù)形如是f(x)的全部原函數(shù).原函數(shù),

結(jié)論

的形式,可表為不定積分的基本知識7故證的另一個原函數(shù),則又只要找到f(x)的一個原函數(shù),就知道它的全部原函數(shù).在區(qū)間I上的一個原函數(shù),則f(x)在區(qū)間I上的任一原函數(shù)都可表為其中C為某一常數(shù).定理的形式,要證常數(shù)因為不定積分的基本知識導數(shù)恒為零的函數(shù)必為常數(shù)某個常數(shù)8注意:若將”區(qū)間I”改為則定理的結(jié)論未必成立.如不定積分的基本知識9積分變量積分常數(shù)被積函數(shù)定義2被積表達式2.不定積分不定積分.(1)定義全部原函數(shù)的一般表達式稱為函數(shù)f(x)的

總和(summa)記為積分號不定積分的基本知識101.被積函數(shù)是原函數(shù)的導數(shù),被積表達式是原函數(shù)的微分.2.不定積分表示那些導數(shù)等于被積函數(shù)的所或說其微分等于被積表達式的所有函數(shù).有函數(shù).因此絕不能漏寫積分常數(shù)C.3.

求已知函數(shù)的原函數(shù)或不定積分的運算稱

為積分運算,它是微分運算的逆運算.4.以后不定積分的適用區(qū)間常指被積函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.不定積分的基本知識11例求解解例

?不定積分的基本知識12(2)不定積分的幾何意義積分曲線稱為的積分曲線.的圖形向平行于y軸的方向任意上下移動,得出的無窮多條曲線,稱為的圖形是平面的一條曲線,是將曲線族.不定積分的基本知識13

由于不論常數(shù)C取何值,同一x處其導數(shù)等于f(x),各切線相互平行.有積分曲線族即x不定積分的基本知識14解故所求曲線方程為(3)積分常數(shù)的確定求通過點且其切線斜率為2x曲線.例

在求原函數(shù)的實際問題中,有時要從全部原函數(shù)中確定出所需要的具有某特性的一個原函數(shù),這時應根據(jù)這個特性確定常數(shù)C的值,從而找出需要的原函數(shù).的曲線族為有不定積分的基本知識15解例所以不定積分的基本知識16

由不定積分的定義

結(jié)論微分運算與求不定積分的運算是如(1)或或互逆的.二、不定積分的性質(zhì)不定積分的基本知識17證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）(2)(2)，(3)稱為線性性質(zhì).

思考:k=0,等式是否成立?(3)不定積分的基本知識18實例啟示能否根據(jù)求導公式得出積分公式結(jié)論

要判斷一個不定積分公式是否正確,只要將右端的函數(shù)求導,看是否等于被積函數(shù).求導公式?積分公式.?三、基本積分公式積分運算和微分運算是互逆的，不定積分的基本知識19基本積分公式(k是常數(shù))說明：簡寫為不定積分的基本知識20不定積分的基本知識21熟記不定積分的基本知識22注意:1.不定積分的答案形式可以不同,只要導數(shù)等于被積函數(shù)就行.如,不定積分的基本知識232.3.絕大部分求不定積分是探索性的,有些或者沒有原函數(shù),或者寫不出原函數(shù).如,有原函數(shù),但不是初等函數(shù).在x=0不連續(xù),沒有原函數(shù).不定積分的基本知識24例求下列不定積分.出一些簡單函數(shù)的不定積分,稱為利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式,可求直接積分法.不定積分的基本知識25例求積分解不定積分的基本知識26例求積分解

稱為分項積分法.分項積分法

利用線性性質(zhì)計算積分,上兩例是將被積函數(shù)作恒等變形,不定積分的基本知識27例求積分不定積分的基本知識28解例

不定積分的基本知識

以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形,才能使用基本積分表.29解所求曲線方程為不定積分的基本知識已知一曲線y=f(x)在點(x,f(x))處的切線例斜率為且此曲線與y軸的交點為(0,5),求此曲線的方程.30例設求不定積分的基本知識31練習不定積分的基本知識32練習不定積分的基本知識33熟記基本積分公式不定積分的性質(zhì)

原函數(shù)的概念不定積分的概念求微分與求積分的互逆