08B材料力學(xué)彎曲

第8章彎曲彎曲1§7.3梁的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算彎曲應(yīng)力1、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力內(nèi)力剪力Q

剪應(yīng)力t彎矩M

正應(yīng)力s2平面彎曲時橫截面s純彎曲梁(橫截面上只有M而無Q的情況)平面彎曲時橫截面t剪切彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況)彎曲應(yīng)力2、研究方法縱向?qū)ΨQ面P1P2例如：3

某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。某段梁的內(nèi)力既有彎矩又有剪力時，該段梁的變形稱為橫力彎曲。彎曲應(yīng)力PPaaABQx純彎曲(PureBending):PPMxPa4彎曲應(yīng)力51.梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：一、純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲應(yīng)力中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸bdacabcdMM6平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，距中性軸等高處，變形相等。橫截面上只有正應(yīng)力。

3.推論彎曲應(yīng)力2.兩個概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。7A1B1O1O4.幾何方程：

彎曲應(yīng)力abcdABdqrxy)))OO1)8

（二）物理關(guān)系：

假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單項(xiàng)應(yīng)力狀態(tài)。彎曲應(yīng)力sxsx（三）靜力學(xué)關(guān)系：

9彎曲應(yīng)力對稱面……(3)EIz

桿的抗彎剛度。10彎曲應(yīng)力

梁在橫彎曲作用下，其橫截面上不僅有正應(yīng)力，還有剪應(yīng)力。由于存在剪應(yīng)力，橫截面不再保持平面，而發(fā)生“翹曲”現(xiàn)象。進(jìn)一步的分析表明，對于細(xì)長梁（例如矩形截面梁，，為梁長，為截面高度），剪應(yīng)力對正應(yīng)力和彎曲變形的影響很小，可以忽略不計(jì)，純彎曲時的正應(yīng)力公式仍然適用。

橫力彎曲時,彎矩隨截面位置變化。一般情況下，最大正應(yīng)力發(fā)生于彎矩最大的截面上，且離中性軸最遠(yuǎn)處，則………..(5)二、橫力彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力11最大正應(yīng)力：彎曲應(yīng)力……(6)DdDd=abBhH121.強(qiáng)度條件：2.強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：①校核強(qiáng)度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③設(shè)計(jì)載荷：彎曲應(yīng)力13彎曲應(yīng)力

[例1]矩形截面懸臂梁如圖7.6所示，F(xiàn)P＝lkN。試計(jì)算1-1截面上A、B、C各點(diǎn)的正應(yīng)力，并指明是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力。解(1)求1-1截面的彎矩由截面法得

N·m

計(jì)算截面慣性矩

mm414彎曲應(yīng)力計(jì)算應(yīng)力A點(diǎn)

MPaB點(diǎn)

MPaC點(diǎn)

MPa求得的A點(diǎn)的應(yīng)力為正值，表明該點(diǎn)為拉應(yīng)力，B點(diǎn)的應(yīng)力為負(fù)值，表明該點(diǎn)為壓應(yīng)力，C點(diǎn)無應(yīng)力。當(dāng)然，求得的正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，也可根據(jù)梁的變形情況來判別。15

[例2]受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）1—1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。q=60kN/mAB1m2m1112120180zy解：畫M圖求截面彎矩30彎曲應(yīng)力16q=60kN/mAB1m2m1112120zy求應(yīng)力18030彎曲應(yīng)力17求曲率半徑q=60kN/mAB1m2m111212018030彎曲應(yīng)力18彎曲應(yīng)力

[例3]矩形截面外伸梁受力如圖a)所示，已知l＝4m，b＝160mm，h＝220mm，F(xiàn)P＝4kN，q＝8kN/m，材料的許用應(yīng)力＝10MPa，試校核梁的強(qiáng)度。解

(1)作彎矩圖

作出的彎矩圖如圖

b)所示。由圖中可知Mmax＝14.1kN·m。

19彎曲應(yīng)力(2) 校核強(qiáng)度≤故梁的強(qiáng)度足夠。

20彎曲應(yīng)力

[例4]工字鋼簡支梁受力如圖a)所示，已知l＝6mm，F(xiàn)Pl＝12kN，F(xiàn)P2＝21kN，鋼的許用應(yīng)力＝160MPa。試選擇工字鋼的型號。解(1)作彎矩圖作出的彎矩圖如圖b)所示。由圖中可知Mmax＝36kN·m。(2)選擇截面查型鋼表(見附錄)，選20a號工字鋼。其Wz＝237cm2，略大于按強(qiáng)度條件算得的Wz值，一定滿足強(qiáng)度要求。

21彎曲應(yīng)力

[例5]T形鑄鐵梁，受力和截面尺寸如圖a)所示，已知截面對中性軸z的慣性矩，材料的許用拉應(yīng)力＝40MPa，許用壓應(yīng)力＝160MPa。試校核梁的強(qiáng)度。22彎曲應(yīng)力解作梁的彎矩圖如圖b)所示。由圖中可知MA＝15kN·m，MB＝-30kN·m。

在A截面上，彎矩MA為正的最大值，梁下凸變形，最大拉應(yīng)力發(fā)生在該截面下緣處，最大壓應(yīng)力發(fā)生在該截面上緣處，其值分別為23彎曲應(yīng)力在B截面上，彎矩MB為負(fù)的最大值，梁上凸變形，最大拉應(yīng)力發(fā)生在該截面上緣處，最大壓應(yīng)力發(fā)生在該截面下緣處，其值分別為由此可見，全梁的最大拉應(yīng)力為≤，發(fā)生在A截面下緣處，全梁的最大壓應(yīng)力為≤，發(fā)生在B截面下緣處。故均滿足強(qiáng)度要求。24y1y2GA1A2

解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力

[例6]T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[

L]=30MPa，[

y]=60MPa，其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4

，試校核此梁的強(qiáng)度。并說明T字梁怎樣放置更合理？畫危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn)P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDA4A3彎曲應(yīng)力25校核強(qiáng)度

T字頭在上面合理。y1y2GA1A2y1y2GA3A4A4A3彎曲應(yīng)力26§7.4梁的切應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算一、

矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、兩點(diǎn)假設(shè)：

①剪應(yīng)力與剪力平行；

②矩中性軸等距離處，剪應(yīng)力

相等。2、研究方法：分離體平衡。

①在梁上取微段如圖b；

②在微段上取一塊如圖c,平衡彎曲應(yīng)力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c27彎曲應(yīng)力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c由剪應(yīng)力互等定律知:28彎曲應(yīng)力Qt方向：與橫截面上剪力方向相同；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。二、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;剪應(yīng)力的計(jì)算公式亦為：其中Q為截面剪力；Sz為y點(diǎn)以下的面積對中性軸之靜矩；292、幾種常見截面的最大彎曲剪應(yīng)力

彎曲應(yīng)力Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b

為y點(diǎn)處截面寬度。①工字鋼截面：;?maxAQtf結(jié)論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計(jì)算腹板上的tmax。

鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大剪應(yīng)力Af—腹板的面積。;?maxAQtf30

②圓截面：③薄壁圓環(huán)：④槽鋼：彎曲應(yīng)力exyzPQeQeh311、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：①一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。彎曲應(yīng)力QtsssMt三、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件322、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：②帶翼緣的薄壁截面，最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力的情況與上述相同；還有一個可能危險(xiǎn)的點(diǎn)，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。彎曲應(yīng)力3、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：sMQtts334、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：②鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核剪應(yīng)力。①梁的跨度較短，M

較小，而Q較大時，要校核剪應(yīng)力。③各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。、校核強(qiáng)度：①校核強(qiáng)度：②設(shè)計(jì)截面尺寸③設(shè)計(jì)載荷彎曲應(yīng)力34解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力

[例7]矩形(b

h=0.12m0.18m）截面木梁如圖，[

]=7MPa，[

]=0.9MPa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比，并校核梁的強(qiáng)度。q=3.6kN/mABL=3mQ–+x彎曲應(yīng)力35求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度

應(yīng)力之比q=3.6kN/mQ–+x彎曲應(yīng)力36一、矩形木梁的合理高寬比R北宋李誡于1100年著?營造法式

?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比h/b=1.5英(T.Young)于1807年著《自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義》一書中指出:矩形木梁的合理高寬比為彎曲應(yīng)力bh§7.5提高彎曲強(qiáng)度的措施37強(qiáng)度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面二、其它材料與其它截面形狀梁的合理截面彎曲應(yīng)力zD1zaa38彎曲應(yīng)力zD0.8Da12a1z39工字形截面與框形截面類似。彎曲應(yīng)力0.8a2a21.6a22a2z40對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險(xiǎn)截面處又上側(cè)受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：彎曲應(yīng)力2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀sGz41彎曲應(yīng)力三、采用變截面梁

如下圖。最好是等強(qiáng)度梁，即若為等強(qiáng)度矩形截面，則高為同時Px42彎曲應(yīng)力1、簡支梁受力如圖所示。已知梁的橫截面為圓形，直徑為d=40mm，試求1-1截面上A、B兩點(diǎn)的正應(yīng)力，以及該梁的最大正應(yīng)力。解：1．外力分析：求支座約束反力。研究梁AB，受力分析如圖，列平衡方程：《彎曲應(yīng)力》練習(xí)題43彎曲應(yīng)力2．內(nèi)力分析：分區(qū)段繪制該梁的彎矩圖，如圖所示。由圖可知M1=－200(N·m)，Mmax=240(N·m)3．應(yīng)力分析：已知

1-1截面：全梁情況：

44彎曲應(yīng)力

2、形截面鑄鐵懸臂梁AB，受力如圖。已知材料的彎曲許用拉應(yīng)力為，彎曲許用壓應(yīng)力為，且知

，截面對形心軸的慣性矩為Iz=10000cm4，試按強(qiáng)度條件確定梁的許可載荷P的大小。

45彎曲應(yīng)力解：1．內(nèi)力分析：假設(shè)已知力P，則梁AC的彎矩圖，如圖所示。2．應(yīng)力分析：A截面：因?yàn)椋核裕?/p>

46彎曲應(yīng)力C截面：因?yàn)樗裕汗手挥腥?/p>