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文檔簡介
第8章彎曲彎曲1§7.6梁的變形和剛度計算彎曲變形研究范圍:等直梁在對稱彎曲時位移的計算。研究目的:①對梁作剛度校核;
②解超靜定梁(為變形幾何條件提供補充方程)。2彎曲變形31.撓度:橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用w表示。與f
同向為正,反之為負。
2.轉(zhuǎn)角:橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度。用
表示,順時針轉(zhuǎn)動為正,反之為負。
3、撓曲線:變形后,軸線變?yōu)楣饣€,該曲線稱為撓曲線。其方程為:w=f(x)4、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系:彎曲變形小變形4一、撓曲線近似微分方程式(2)就是撓曲線近似微分方程。彎曲變形(1)小變形(2)機電專業(yè),取+號或5二、用積分法求梁的變形1.微分方程的積分彎曲變形2.位移邊界條件PABCPD6討論:
①適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構(gòu)件的平面彎曲。
②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。
③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件(邊界條件、連續(xù)條件)確定。
④優(yōu)點:使用范圍廣,直接求出較精確;缺點:計算較繁。彎曲變形
支點位移條件:
連續(xù)條件:
光滑條件:7[例1]求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。
建立坐標系并寫出彎矩方程
寫出微分方程并積分
應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形解:8
寫出彈性曲線方程并畫出曲線
最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形9解:
建立坐標系并寫出彎矩方程
寫出微分方程并積分彎曲變形[例2]求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。10
應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形11
寫出彈性曲線方程并畫出曲線
最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形12彎曲變形
[例3]試用積分法求圖示梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并求C截面撓度和A截面轉(zhuǎn)角。設(shè)梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。
解:1.外力分析:求支座約束反力。研究梁ABC,受力分析如圖,列平衡方程:13彎曲變形
2.內(nèi)力分析:分區(qū)段列出梁的彎矩方程:3.變形分析:AB段:由于積分后得:14彎曲變形BC段:由于,積分后得:邊界條件:當(dāng)連續(xù)光滑條件:代入以上積分公式中,解得:
15彎曲變形故撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程分別為:
由此可知:
161、載荷疊加
多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。2、結(jié)構(gòu)形式疊加(逐段剛化法)彎曲變形三、用疊加法求梁的變形17
[例4]按疊加原理求A點轉(zhuǎn)角和C點撓度。解、①載荷分解如圖②由梁的簡單載荷變形表,查簡單載荷引起的變形。彎曲變形qqPP=+AAABBB
Caa18彎曲變形qqPP=+AAABBB
Caa③
疊加19彎曲變形
[例5]
試用疊加法求圖示梁C截面撓度和轉(zhuǎn)角。設(shè)梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。(已知AB=BC=l/2)
(a)(b)
+
解:將原圖分解成圖(a)和圖(b)所示情況。
查表,對于圖(a)有:20彎曲變形于是有:對于圖(b)有:故梁C截面撓度為:轉(zhuǎn)角為:(順時針)
說明:對于圖(a):BC段無內(nèi)力,因而BC段不變形,BC段為直線。21[例6]
按疊加原理求C點撓度。解:
載荷無限分解如圖
由梁的簡單載荷變形表,查簡單載荷引起的變形。
疊加彎曲變形22
[例7]
結(jié)構(gòu)形式疊加(逐段剛化法)原理說明。=+彎曲變形PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf23四、梁的剛度條件其中[
]稱為許用轉(zhuǎn)角;[f/L]稱為許用撓跨比。通常依此條件進行如下三種剛度計算:
、校核剛度:
、設(shè)計截面尺寸:
、設(shè)計載荷:彎曲變形(對于土建工程,強度常處于主要地位,剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外)24彎曲變形
[例8]
圖示木梁的右端由鋼拉桿支承。已知梁的橫截面為邊長a=200mm的正方形,均布載荷集度,彈性模量E1=10GPa,鋼拉桿的橫截面面積A=250mm2,彈性模量E2=210GPa,試求拉桿的伸長量及梁跨中點D處沿鉛垂方向的位移。解:靜力分析,求出支座A點的約束反力及拉桿BC所受的力。列平衡方程:25彎曲變形本題既可用積分法,也可用疊加法求圖示梁D截面的撓度。積分法:拉桿BC的伸長為梁AB的彎矩方程為撓曲線的近似微分方程積分得:
26彎曲變形邊界條件:當(dāng)時,;當(dāng)時,代入上式得故當(dāng)時,。疊加法:
說明:AB梁不變形,BC桿變形后引起AB梁中點的位移,與BC不變形,AB梁變形后引起AB梁中點的位移疊加。
27PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB
[例9]下圖為一空心圓截面梁,內(nèi)外徑分別為:d=40mm、D=80mm,梁的E=210GPa,工程規(guī)定C點的[f/L]=0.00001,B點的[
]=0.001弧度,試校核此梁的剛度。=++=彎曲變形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM28P2BCa=++圖1圖2圖3解:
結(jié)構(gòu)變換,查表求簡單載荷變形。彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf29P2BCa=++圖1圖2圖3彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf
疊加求復(fù)雜載荷下的變形30
校核剛度彎曲變形31彎曲變形通過以上討論可知,梁的變形與梁的抗彎剛度EI、跨度l、支座情況、載荷形式及其作用位置有關(guān)。根據(jù)這些因素對彎曲變形的作用,可通過下列措施來提高梁的剛度。
(1)增大抗彎剛度:主要是采用合理的截面形狀,在面積基本不變的情況下,使慣性矩I盡可能增大,可有效地減小梁的變形。為此,工程上的受彎構(gòu)件多采用空心圓形、工字形、箱形等薄壁截面。材料的彈性模量E值愈大,梁的抗彎剛度也會愈大。但對鋼材來說,各類鋼的E值非常接近,故選用優(yōu)質(zhì)鋼對提高梁的抗彎剛度意義并不大。
五、提高梁的剛度的措施32
(2)調(diào)整跨度和改善結(jié)構(gòu):靜定梁的撓度與跨度的n次方成正比。在可能的條件下,減小跨度可明顯地減小梁的變形。但減小跨度往往和改變梁的結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起。如圖a)所示受均布載荷作用的簡支梁,若將兩端支座向內(nèi)移動2l/9變?yōu)橥馍炝?圖
b),則其跨中截面的撓度明顯下降。
彎曲變形33彎曲變形3、合理布置外力(包括支座),使M
max
盡可能小PL/2L/2P=qLL/54L/5對稱PL/43L/434彎曲變形qLL/5qL/5qL/2L/235dxxQQ+dQMM+dM§7.8
梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能
彎曲變形應(yīng)變能等于外力功。不計剪切應(yīng)變能并略去dqM(x)P1MxfP2dxdqr36
[例10]
用能量法求C點的撓度。梁為等截面直梁。解:外力功等于應(yīng)變能在應(yīng)用對稱性,得:思考:分布荷載時,可否用此法求C點位移?彎曲變形qxfPaa37
一、撓曲線近似微分方程的近似性反映在哪幾
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